Funciones racionales: dominio, asíntotas y ejemplos ✨

Justo Fernández

hace 3 meses

🔎 Índice de contenidos

📉 Funciones Racionales
🔍 ¿Qué son las funciones racionales?
🎯 Cómo calcular el dominio de una función racional
📏 Asíntotas verticales
➡️ Asíntotas horizontales
↗️ Asíntotas oblicuas
✂️ Cortes con los ejes y simetría
📊 Tabla resumen: cómo detectar cada tipo de asíntota
⚙️ Método completo de representación gráfica
🎯 Ejercicios resueltos interactivos
🚫 Errores más frecuentes en funciones racionales
❓ Preguntas frecuentes sobre funciones racionales

📉 Funciones Racionales

Guía completa · Dominio · Asíntotas · Representación gráfica · Ejercicios interactivos paso a paso

Dominio
Asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Asíntotas oblicuas
Gráfica completa

🔍 ¿Qué son las funciones racionales?

Una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios. Su forma general es:

\[ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios y \(Q(x) \neq 0\)

Son el tipo más estudiado en Bachillerato porque reúnen todos los conceptos del análisis: dominio, límites, continuidad, asíntotas y representación gráfica. También se conocen como funciones fraccionarias.

📐Ejemplo sencillo

\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)

El prototipo más simple. Una hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes.

📈Ejemplo intermedio

\(f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}\)

Grado 1 en numerador y denominador. Tiene asíntota horizontal y vertical.

🔬Ejemplo complejo

\(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x^2-1}\)

Grado 2 en numerador y denominador. Puede tener agujeros (discontinuidades evitables).

💡 ¿Por qué son tan importantes en Bachillerato?

Las funciones racionales aparecen en la representación gráfica de funciones, en el cálculo de límites, en integrales de funciones racionales y en problemas de selectividad (EBAU). Dominarlas es dominar el análisis.

🎯 Cómo calcular el dominio de una función racional

El dominio de una función racional son todos los valores reales de \(x\) para los que la función está definida. Como no se puede dividir entre cero, el dominio excluye todos los valores que anulan el denominador.

\[ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) = 0\} \]

Es decir: todos los reales excepto los que anulan el denominador

Pasos para calcular el dominio:

Iguala el denominador a cero: Resuelve la ecuación \(Q(x) = 0\).

Halla las raíces: Esos valores de \(x\) son las singularidades de la función.

Escribe el dominio: Excluye esos valores: \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{x_1, x_2, \ldots\}\).

Ejemplo 1

\(f(x) = \dfrac{x+1}{x-3}\)

Denominador = 0 → \(x-3=0\) → \(x=3\)

\(\text{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{3\}\)

Ejemplo 2

\(f(x) = \dfrac{x}{x^2-4}\)

Denominador = 0 → \(x^2-4=0\) → \(x=\pm 2\)

\(\text{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\)

⚠️Importante: Las raíces del denominador generan candidatas a asíntota vertical, pero solo son asíntotas verticales reales si esas raíces no anulan también el numerador. Si anulan ambos, puede haber un agujero (discontinuidad evitable) en lugar de una asíntota.

📏 Asíntotas verticales

Una asíntota vertical es una recta vertical \(x = a\) tal que la función tiende a \(\pm\infty\) cuando \(x\) se acerca a \(a\). Se produce cuando el denominador se anula pero el numerador no.

\[ x = a \text{ es asíntota vertical} \iff Q(a) = 0 \;\text{ y }\; P(a) \neq 0 \]\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{y/o} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \]

Para determinar hacia qué lado tiende la función en cada asíntota vertical, calcula los límites laterales:

Límite por la derecha

\(\lim_{x \to a^+} f(x)\): sustituye un valor ligeramente mayor que \(a\) y estudia el signo.

Límite por la izquierda

\(\lim_{x \to a^-} f(x)\): sustituye un valor ligeramente menor que \(a\) y estudia el signo.

🔍 Agujeros vs. asíntotas verticales

Si el valor \(a\) anula tanto numerador como denominador, hay que simplificar la fracción:

Si después de simplificar el denominador ya no se anula en \(a\) → hay un agujero (discontinuidad evitable) en \(x = a\).
Si después de simplificar el denominador sigue anulándose en \(a\) → hay asíntota vertical en \(x = a\).

Ejemplo: \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}\). Después de simplificar: \(f(x) = x+1\) para \(x \neq 1\). Hay un agujero en \(x=1\), no una asíntota.

funciones racionales

➡️ Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal es una recta \(y = b\) tal que la función se aproxima a \(b\) cuando \(x \to \pm\infty\). Se obtiene calculando el límite en el infinito:

\[ y = b \text{ es asíntota horizontal} \iff \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b \]

El resultado depende de los grados del numerador (\(n\)) y del denominador (\(m\)):

Condición de grados	Asíntota horizontal	Ejemplo
\(n < m\) (grado numerador menor)	\(y = 0\)	\(\dfrac{x+1}{x^2-4}\) → \(y=0\)
\(n = m\) (grados iguales)	\(y = \dfrac{a_n}{b_m}\) (cociente de coef. líderes)	\(\dfrac{3x^2+1}{2x^2-5}\) → \(y=\dfrac{3}{2}\)
\(n > m\) (grado numerador mayor)	No hay asíntota horizontal	\(\dfrac{x^2}{x+1}\) → no hay

🎯Regla rápida: Mira solo los términos de mayor grado de numerador y denominador. Si el numerador tiene mayor grado, no hay asíntota horizontal (puede haber oblicua). Si tienen el mismo grado, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes líderes.

↗️ Asíntotas oblicuas

Una asíntota oblicua es una recta \(y = mx + n\) (con \(m \neq 0\)) a la que se aproxima la función cuando \(x \to \pm\infty\). Solo existe cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador.

📐 Condición necesaria para asíntota oblicua

\[\text{Asíntota oblicua} \iff \deg(P) = \deg(Q) + 1\]Si el grado del numerador es 2 o más mayor que el del denominador, no hay asíntota oblicua (hay una curva parabólica).

Método para hallarla — división de polinomios:

Divide el numerador entre el denominador: Realiza la división entera \(P(x) \div Q(x)\).

Obtén el cociente: El cociente \(mx + n\) es la ecuación de la asíntota oblicua.

El resto no importa para la asíntota: El resto tiende a 0 cuando \(x \to \infty\), así que no afecta a la asíntota.

🧮 Ejemplo: hallar la asíntota oblicua de f(x) = (x²+1)/(x−1)

Dividimos \(x^2+1\) entre \(x-1\):
\[ x^2 + 1 = (x-1)\cdot(x+1) + 2 \]El cociente es \(x+1\) y el resto es \(2\). Por tanto:
\[ f(x) = x+1 + \dfrac{2}{x-1} \xrightarrow{x\to\infty} x+1 \]La asíntota oblicua es \(\boldsymbol{y = x+1}\).

✅Fórmula alternativa: También puedes calcular \(m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) y luego \(n = \lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]\). Si \(m=0\), no hay asíntota oblicua sino horizontal.

✂️ Cortes con los ejes y simetría

Corte con el eje X (abscisas)

Iguala el numerador a cero: \(P(x) = 0\).

Los puntos \((x_i, 0)\) son los cortes con el eje X, siempre que esos valores estén en el dominio (no anulen el denominador).

Corte con el eje Y (ordenadas)

Evalúa \(f(0)\), si 0 está en el dominio.

El punto es \(\left(0,\, \dfrac{P(0)}{Q(0)}\right)\). Si \(Q(0)=0\), la función no corta el eje Y.

Simetría de las funciones racionales

Tipo de simetría	Condición	Ejemplo
Función par (simetría respecto al eje Y)	\(f(-x) = f(x)\)	\(f(x) = \dfrac{x^2}{x^2-1}\)
Función impar (simetría respecto al origen)	\(f(-x) = -f(x)\)	\(f(x) = \dfrac{x}{x^2-4}\)
Sin simetría	\(f(-x) \neq f(x)\) y \(f(-x) \neq -f(x)\)	\(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\)

📊 Tabla resumen: cómo detectar cada tipo de asíntota

Tipo	Cómo hallarla	Existe cuando…	No existe cuando…
Asíntota vertical \ \(x=a\)	Iguala \(Q(x)=0\). Si \(P(a)\neq 0\) → asíntota	\(Q(a)=0\) y \(P(a)\neq 0\)	\(Q(x)\neq 0\) para todo \(x\), o \(P(a)=Q(a)=0\) (agujero)
Asíntota horizontal \ \(y=b\)	Calcula \(\lim_{x\to\infty}f(x)\)	\(\deg P \leq \deg Q\)	\(\deg P > \deg Q\)
Asíntota oblicua \ \(y=mx+n\)	Divide \(P(x)\div Q(x)\); el cociente es la asíntota	\(\deg P = \deg Q + 1\)	\(\deg P \neq \deg Q+1\)

🗺️ Regla rápida para identificar el tipo de asíntota no vertical

Llama \(n = \deg P\) y \(m = \deg Q\):

\(n < m\): asíntota horizontal \(y = 0\)
\(n = m\): asíntota horizontal \(y = \dfrac{\text{coef. líder de }P}{\text{coef. líder de }Q}\)
\(n = m+1\): asíntota oblicua \(y = mx+n\) (hallar por división)
\(n \geq m+2\): no hay asíntota horizontal ni oblicua

⚙️ Método completo de representación gráfica

Para trazar la gráfica de cualquier función racional, sigue siempre este orden:

Dominio: Iguala \(Q(x)=0\) y excluye esas raíces.

Simetría: Calcula \(f(-x)\). ¿Es par, impar o ninguna?

Cortes con los ejes: Eje X: iguala \(P(x)=0\). Eje Y: calcula \(f(0)\).

Asíntotas verticales: Raíces de \(Q(x)\) que no anulan \(P(x)\). Calcula límites laterales (signo \(+\infty\) o \(-\infty\)).

Asíntota horizontal u oblicua: Compara grados de \(P\) y \(Q\). Si \(n=m\) → horizontal. Si \(n=m+1\) → oblicua (divide).

Tabla de valores (signo entre asíntotas): Elige puntos representativos en cada intervalo del dominio para saber si la curva está por encima o por debajo de la asíntota.

Dibuja la gráfica: Traza las asíntotas como líneas discontinuas, marca los cortes con los ejes y dibuja la curva respetando los límites laterales.

🏆Consejo de selectividad: Nunca te saltes ningún paso. Los correctores puntúan cada elemento por separado: dominio, asíntotas, cortes, gráfica. Un error en el dominio no tiene por qué anular los puntos de la gráfica si el resto está bien razonado.

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución detallada paso a paso. ¡Intenta resolverlos tú primero! 💪

01
Dominio y asíntota vertical básica
►

📝 Halla el dominio y las asíntotas verticales de \(f(x) = \dfrac{3}{x+5}\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Dominio: iguala el denominador a cero:
\(x+5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
\(\text{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{-5\}\)

②Comprueba que el numerador no se anula en \(x=-5\):
\(P(-5) = 3 \neq 0\) ✅ → hay asíntota vertical en \(x = -5\)

③Límites laterales para determinar el signo:
Cuando \(x \to -5^+\): denominador positivo pequeño → \(f(x) \to +\infty\)
Cuando \(x \to -5^-\): denominador negativo pequeño → \(f(x) \to -\infty\)

✅ Dom\((f) = \mathbb{R}\setminus\{-5\}\) · Asíntota vertical: \(x = -5\)

02
Asíntota horizontal — grados iguales
►

📝 Halla las asíntotas de \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\)

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①Asíntota vertical:
\(x-3=0 \Rightarrow x=3\). El numerador en \(x=3\): \(2(3)+1=7\neq 0\) ✅
Asíntota vertical: \(x=3\)

②Asíntota horizontal (grados iguales, ambos grado 1):
Cociente de coeficientes líderes: \(\dfrac{2}{1} = 2\)

③Verificación con el límite:
\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x-3} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{2+1/x}{1-3/x} = \dfrac{2}{1} = 2\) ✅

✅ Asíntotas: \(x = 3\) (vertical) y \(y = 2\) (horizontal)

03
Asíntota horizontal y = 0 — grado numerador menor
►

📝 Halla las asíntotas de \(f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-4}\)

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①Dominio y asíntotas verticales:
\(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2\)
Numerador en \(x=2\): \(3\neq 0\) ✅ · En \(x=-2\): \(-1\neq 0\) ✅
Dos asíntotas verticales: \(x=-2\) y \(x=2\)

②Asíntota horizontal (grado 1 numerador < grado 2 denominador):
\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x^2-4} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x+1/x^2}{1-4/x^2} = \dfrac{0}{1} = 0\)

✅ Asíntotas verticales: \(x=-2\) y \(x=2\) · Asíntota horizontal: \(y=0\)

04
Asíntota oblicua — división de polinomios
►

📝 Halla las asíntotas de \(f(x) = \dfrac{x^2+2x}{x-1}\)

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①Asíntota vertical:
\(x-1=0 \Rightarrow x=1\). Numerador en \(x=1\): \(1+2=3\neq 0\) ✅
Asíntota vertical: \(x=1\)

②Comparar grados: numerador grado 2, denominador grado 1.
\(\deg P = \deg Q + 1\) → hay asíntota oblicua (no horizontal)

③División entera \(x^2+2x\) entre \(x-1\):
\(x^2+2x = (x-1)(x+3) + 3\)
Cociente: \(x+3\), resto: \(3\)

④La asíntota oblicua es el cociente:
\(y = x+3\)
Verificación: \(f(x) - (x+3) = \dfrac{3}{x-1} \to 0\) cuando \(x\to\infty\) ✅

✅ Asíntota vertical: \(x=1\) · Asíntota oblicua: \(y=x+3\)

05
Cortes con los ejes
►

📝 Halla los cortes con los ejes de \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x+2}\)

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①Dominio: \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\). Dom\((f)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\)

②Cortes con el eje X (iguala el numerador a cero):
\(x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1\) y \(x=-1\)
Ambos están en el dominio ✅
Cortes: \((1,\,0)\) y \((-1,\,0)\)

③Corte con el eje Y (evalúa en \(x=0\)):
\(f(0) = \dfrac{0-1}{0+2} = \dfrac{-1}{2}\)
Corte: \(\left(0,\,-\dfrac{1}{2}\right)\)

✅ Cortes eje X: \((1,0)\) y \((-1,0)\) · Corte eje Y: \((0,-\tfrac{1}{2})\)

06
Agujero (discontinuidad evitable)AVANZADO
►

📝 Estudia si hay asíntota vertical o agujero en \(f(x) = \dfrac{x^2-9}{x-3}\)

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①Denominador = 0: \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)

②Numerador en \(x=3\):
\(P(3) = 9-9 = 0\) ← ¡el numerador también se anula!
Esto indica una discontinuidad evitable, no una asíntota.

③Simplifica factorizando:
\(x^2-9 = (x-3)(x+3)\)
\(f(x) = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3\) para \(x\neq 3\)

④Hay un agujero en \(x=3\):
\(\lim_{x\to 3} f(x) = 3+3 = 6\) (límite finito)
La gráfica es la recta \(y=x+3\) con un hueco en el punto \((3,6)\)

✅ No hay asíntota vertical. Hay un agujero en el punto \((3, 6\))

07
Estudio completo y gráficaSELECTIVIDAD
►

📝 Realiza el estudio completo de \(f(x) = \dfrac{x}{x^2-1}\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Dominio: \(x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1\)
Dom\((f) = \mathbb{R}\setminus\{-1, 1\}\)

②Simetría: \(f(-x) = \dfrac{-x}{x^2-1} = -f(x)\) → función impar (simétrica respecto al origen)

③Corte eje X: \(P(x)=x=0\) → \((0,0)\)
Corte eje Y: \(f(0)=0\) → \((0,0)\)
Solo hay un punto de corte: el origen.

④Asíntotas verticales: \(x=-1\) y \(x=1\)
(el numerador no se anula en ninguno de esos puntos)

⑤Asíntota horizontal (grado 1 < grado 2):
\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2-1} = 0\) → \(y=0\)

⑥Tabla de signos:
En \((-\infty,-1)\): negativo · En \((-1,0)\): positivo
En \((0,1)\): negativo · En \((1,+\infty)\): positivo

✅ Dom: \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) · AV: \(x=\pm 1\) · AH: \(y=0\) · Impar · Pasa por \((0,0\))

08
Función racional con dos asíntotas verticales y oblicuaAVANZADO
►

📝 Halla todas las asíntotas de \(f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-4}\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Asíntotas verticales:
\(x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2\)
Numerador: \((\pm 2)^3 = \pm 8 \neq 0\) ✅ → AV en \(x=-2\) y \(x=2\)

②¿Horizontal u oblicua?
Grado numerador = 3, grado denominador = 2. Como \(3 = 2+1\) → asíntota oblicua.

③División: \(x^3 \div (x^2-4)\):
\(x^3 = (x^2-4)\cdot x + 4x\)
Cociente: \(x\), resto: \(4x\)

④Asíntota oblicua: \(y = x\)
Verificación: \(f(x)-x = \dfrac{x^3}{x^2-4}-x = \dfrac{x^3 - x(x^2-4)}{x^2-4} = \dfrac{4x}{x^2-4} \to 0\) ✅

✅ Asíntotas: \(x=-2\), \(x=2\) (verticales) y \(y=x\) (oblicua)

🚫 Errores más frecuentes en funciones racionales

Estos son los fallos más penalizados en los exámenes de Bachillerato y selectividad:

❌

Error 1 — Confundir agujero con asíntota vertical
Incorrecto: En \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) escribir asíntota vertical en \(x=1\)
Correcto: Como \(P(1)=0\) también, hay que simplificar: \(f(x)=x+1\) con agujero en \(x=1\)
👉 Antes de concluir que hay asíntota vertical, comprueba siempre si el numerador también se anula en ese punto.

❌

Error 2 — Olvidar la asíntota oblicua cuando el grado del numerador es mayor
Incorrecto: En \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\) escribir "no hay asíntota horizontal ni oblicua"
Correcto: Como \(\deg P = \deg Q +1\), hay asíntota oblicua: dividir \(x^2\div(x-1)\) → \(y=x+1\)
👉 Cuando el grado del numerador supera en 1 al del denominador, siempre hay asíntota oblicua. ¡No la ignores!

❌

Error 3 — Calcular mal la asíntota horizontal cuando los grados son iguales
Incorrecto: En \(f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-5}\) escribir \(y=1\) o \(y=3\)
Correcto: \(y = \dfrac{3}{2}\) (cociente de los coeficientes líderes de numerador y denominador)
👉 La asíntota horizontal cuando los grados son iguales es el cociente de los coeficientes del término de mayor grado, no solo el coeficiente del numerador.

❌

Error 4 — No comprobar el signo de los límites laterales
Incorrecto: Escribir la asíntota vertical pero no indicar si la curva va a +∞ o −∞
Correcto: Estudiar el signo de la función a cada lado de la asíntota para dibujar correctamente la curva
👉 En Bachillerato y selectividad se exige indicar la posición de la curva respecto a cada asíntota. Los límites laterales (+∞ o −∞) son obligatorios.

❌

Error 5 — Intentar cortar el eje X en puntos fuera del dominio
Incorrecto: Decir que hay corte en \(x=2\) cuando ese punto no está en el dominio
Correcto: Comprobar siempre que los cortes calculados pertenecen al dominio de la función
👉 Los valores que anulan tanto numerador como denominador no son cortes con el eje X; pueden ser agujeros, pero no puntos de la gráfica.

❓ Preguntas frecuentes sobre funciones racionales

¿Puede una función racional tener más de una asíntota oblicua? ▼

No. Una función racional puede tener como máximo una asíntota oblicua (la misma tanto cuando \(x\to+\infty\) como cuando \(x\to-\infty\), aunque se puede estudiar la posición de la curva a cada lado). Esto es porque el cociente de la división siempre da una única recta.

¿Puede la gráfica de una función racional cruzar su propia asíntota horizontal? ▼

Sí, la gráfica puede cruzar la asíntota horizontal para valores finitos de \(x\), aunque a medida que \(x\to\pm\infty\) se aproxima a ella sin cruzarla. Las asíntotas horizontales describen el comportamiento en el infinito, no una barrera que la curva no puede traspasar. Ejemplo: \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) cruza la asíntota \(y=0\) en \(x=0\).

¿Cómo sé si una función racional tiene o no asíntota oblicua? ▼

Compara los grados de numerador (\(n\)) y denominador (\(m\)):

\(n < m\): asíntota horizontal \(y=0\)
\(n = m\): asíntota horizontal \(y=a_n/b_m\)
\(n = m+1\): asíntota oblicua (divide los polinomios)
\(n \geq m+2\): ni horizontal ni oblicua

¿Qué es una discontinuidad evitable y cómo se representa? ▼

Una discontinuidad evitable (o "agujero") se produce cuando un valor \(x=a\) anula tanto el numerador como el denominador. Tras simplificar la fracción, la función queda definida para todos los demás valores, pero en \(x=a\) hay un "hueco". En la gráfica se representa con un círculo abierto (∘) en ese punto. El límite de la función en ese punto existe y es finito.

¿Puede una función racional ser par o impar? ▼

Sí. Una función racional \(f(x)=P(x)/Q(x)\) es par si ambos polinomios son pares o ambos impares (cociente par). Es impar si uno de los dos polinomios es par y el otro impar (cociente impar). Para verificarlo: calcula \(f(-x)\) y compara con \(f(x)\) y con \(-f(x)\). Ejemplo: \(\dfrac{x}{x^2-1}\) es impar porque \(f(-x)=\dfrac{-x}{x^2-1}=-f(x)\).

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 7 claves de las funciones racionales

Dominio: todos los reales excepto las raíces del denominador
Asíntota vertical: raíces del denominador que no anulan el numerador
Agujero: si el punto anula también el numerador → simplifica → hueco, no asíntota
Asíntota horizontal: depende de los grados: \(n<m\to y=0\), \(n=m\to y=a_n/b_m\), \(n>m\to\) no hay
Asíntota oblicua: solo cuando \(\deg P = \deg Q+1\) → divide los polinomios
Cortes: eje X → numerador = 0 (y dentro del dominio); eje Y → evalúa en \(x=0\)
Siempre estudia los límites laterales en las asíntotas verticales para saber el signo

🚀 ¿Quieres profundizar más?

Consulta también: Tipos de discontinuidades,
Derivada de una fracción, Integración de funciones racionales.
¡Se aprende matemáticas haciendo matemáticas! 🏆

Funciones definidas a trozos

Problemas de optimización 📈: máximos, mínimo...

Espero que te haya gustado este artículo sobre Funciones racionales 📉: dominio, asíntotas y ejercicios resueltos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...