ejercicios de integrales inmediatas

Ejercicios interactivos de integrales inmediatas

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 2 días · Actualizado hace 9 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es una integral inmediata? 🤔
  2. Tabla de integrales inmediatas básicas 📜
  3. Cómo reconocer y resolver una integral compuesta 🪜
  4. Integrales potenciales simples
  5. Integrales potenciales compuestas
  6. Descargar ejercicios de integrales inmediatas en PDF
  7. Integrales logarítmicas
  8. Integrales exponenciales de base $e$
  9. Integrales exponenciales de base $a$
  10. Integrales de seno y coseno
  11. Integrales que dan tangente
  12. Integrales que dan arcoseno
  13. Integrales que dan arcotangente
  14. Integrales racionales con ajuste de constante
  15. Ejercicios mixtos y definidas de repaso

📘 2º de Bachillerato · Selectividad / EBAU

30 ejercicios de integrales inmediatas

Ejercicios interactivos organizados: potenciales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, arcoseno, arcotangente y ejercicios mixtos. Soluciones paso a paso. 🚀

∫ f'(x)·g(f(x)) dx
➜reconocer el patrón
G(f(x)) + C

⚡ Respuesta rápida

Una integral inmediata es la que se resuelve reconociendo directamente que es la derivada "deshecha" de una función conocida, sin necesidad de técnicas más avanzadas (partes, sustitución compleja, fracciones parciales):

\[ \int f'(x) \, dx = f(x) + C \]

La clave está en identificar cuál de las 9 reglas básicas encaja, y comprobar si la derivada de la función "interior" aparece multiplicando (si no aparece exacta, casi siempre se puede ajustar con una constante). Este banco cubre las 30 variantes más frecuentes.

¿Qué es una integral inmediata? 🤔

Una integral inmediata es aquella que se resuelve "deshaciendo" directamente una regla de derivación conocida, sin necesidad de técnicas más elaboradas. Si sabes que la derivada de \(F(x)\) es \(f(x)\), entonces ya sabes que \( \int f(x)\,dx = F(x)+C \): integrar es, literalmente, recorrer la derivada al revés.

La dificultad no suele estar en la fórmula en sí, sino en reconocer qué regla encaja con cada integral, sobre todo cuando aparece una función compuesta. Por eso este banco está organizado por tipo de regla: cuanto más practiques identificando el patrón, más rápido lo verás en un examen.

💡 Integrar es "deshacer" la derivada

Piensa en cada fórmula de integración como su ficha de derivada leída al revés. Si memorizas bien las derivadas de \(x^n\), \(\ln x\), \(e^x\), \(\operatorname{sen} x\), \(\cos x\), \(\operatorname{tg} x\), \(\operatorname{arcsen} x\) y \(\operatorname{arctg} x\), ya tienes memorizadas casi todas las integrales inmediatas.

Tabla de integrales inmediatas básicas 📜

TipoForma simpleForma compuesta
Potencial\(\displaystyle\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)\(\displaystyle\int f' f^n dx = \dfrac{f^{n+1}}{n+1}+C\)
Logarítmica\(\displaystyle\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x|+C\)\(\displaystyle\int \dfrac{f'}{f} dx = \ln|f|+C\)
Exponencial (\(e\))\(\displaystyle\int e^x dx = e^x+C\)\(\displaystyle\int f' e^{f} dx = e^{f}+C\)
Exponencial (\(a\))\(\displaystyle\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a}+C\)\(\displaystyle\int f' a^{f} dx = \dfrac{a^{f}}{\ln a}+C\)
Seno\(\displaystyle\int \operatorname{sen}x\,dx = -\cos x+C\)\(\displaystyle\int f'\operatorname{sen}(f)dx = -\cos(f)+C\)
Coseno\(\displaystyle\int \cos x\,dx = \operatorname{sen}x+C\)\(\displaystyle\int f'\cos(f)dx = \operatorname{sen}(f)+C\)
Tangente\(\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x} dx = \operatorname{tg}x+C\)\(\displaystyle\int \dfrac{f'}{\cos^2(f)} dx = \operatorname{tg}(f)+C\)
Arcoseno\(\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \operatorname{arcsen}x+C\)\(\displaystyle\int \dfrac{f'}{\sqrt{1-f^2}} dx = \operatorname{arcsen}(f)+C\)
Arcotangente\(\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2} dx = \operatorname{arctg}x+C\)\(\displaystyle\int \dfrac{f'}{1+f^2} dx = \operatorname{arctg}(f)+C\)
⚠️ No olvides el valor absoluto ni la constante

En las integrales logarítmicas, el argumento del logaritmo lleva valor absoluto (\(\ln|f(x)|\)), salvo que sepas con certeza que esa expresión siempre es positiva. Y ninguna integral indefinida está completa sin su \(+C\) final: representa que existen infinitas primitivas, todas ellas desplazadas verticalmente.

Cómo reconocer y resolver una integral compuesta 🪜

1

Comprueba si el integrando tiene la forma de una de las 9 reglas básicas de la tabla.
2

Busca dentro una función "interior" \(f(x)\) (la que está elevada, dentro de la raíz, en el exponente…) y calcula su derivada \(f'(x)\).
3

Comprueba si \(f'(x)\) aparece multiplicando en el integrando. Si aparece exacta, aplica la fórmula compuesta directamente.
4

Si aparece "parecida" pero le falta una constante, multiplica y divide por esa constante para completarla.
5

Si ni ajustando una constante consigues que aparezca \(f'(x)\), no es una integral inmediata: hace falta otra técnica (sustitución, por partes…).
💡 El truco de multiplicar y dividir

Si necesitas un factor 3 y no lo tienes, escribe la integral como \( \dfrac{1}{3}\displaystyle\int 3 \cdot (\ldots) \, dx \): multiplicas dentro por 3 y divides fuera por 3, así que la integral no cambia de valor, pero ahora sí encaja la fórmula.

Integrales potenciales simples

La regla más básica: aumenta el exponente en 1 y divide entre el nuevo exponente. Es la integral "inversa" de la regla de la potencia al derivar.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Calcula \( \displaystyle\int x^5 \, dx \).

\[ \int x^5 \, dx \]
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Paso 1: Aplicamos la regla de la potencia: sumamos 1 al exponente y dividimos entre el nuevo exponente.
Paso 2: \( \dfrac{x^{5+1}}{5+1} = \dfrac{x^6}{6} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int x^5 \, dx = \dfrac{x^6}{6} + C \)
🟢 Básico

Ejercicio 2. Calcula \( \displaystyle\int \sqrt{x} \, dx \).

\[ \int \sqrt{x} \, dx \]
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Paso 1: Escribimos la raíz como potencia: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \).
Paso 2: Aplicamos la regla de la potencia: \( \dfrac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \sqrt{x} \, dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C \)
🟢 Básico

Ejercicio 3. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x^3} \, dx \).

\[ \int \dfrac{1}{x^3} \, dx \]
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Paso 1: Escribimos la fracción como potencia negativa: \( \dfrac{1}{x^3} = x^{-3} \).
Paso 2: Aplicamos la regla de la potencia: \( \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} = \dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2x^2} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x^3} \, dx = -\dfrac{1}{2x^2} + C \)
Ejercicios de integrales inmediatas

Integrales potenciales compuestas

Cuando dentro de la potencia hay una función \(f(x)\) y su derivada \(f'(x)\) aparece multiplicando, se aplica la misma regla pero sobre \(f(x)\).

🟡 Medio

Ejercicio 4. Calcula \( \displaystyle\int 2x(x^2+1)^4 \, dx \).

\[ \int 2x(x^2+1)^4 \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^2+1\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\), que aparece multiplicando exactamente.
Paso 2: Aplicamos la regla de la potencia compuesta: \( \dfrac{f(x)^{4+1}}{4+1} = \dfrac{(x^2+1)^5}{5} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int 2x(x^2+1)^4 \, dx = \dfrac{(x^2+1)^5}{5} + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 5. Calcula \( \displaystyle\int 3x^2(x^3-2)^7 \, dx \).

\[ \int 3x^2(x^3-2)^7 \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^3-2\), cuya derivada es \(f'(x)=3x^2\), que aparece multiplicando exactamente.
Paso 2: Aplicamos la regla de la potencia compuesta: \( \dfrac{(x^3-2)^{7+1}}{7+1} = \dfrac{(x^3-2)^8}{8} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int 3x^2(x^3-2)^7 \, dx = \dfrac{(x^3-2)^8}{8} + C \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Calcula \( \displaystyle\int x(x^2+3)^3 \, dx \).

\[ \int x(x^2+3)^3 \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^2+3\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\). Pero solo tenemos \(x\), no \(2x\): falta un factor 2.
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 2 para completar la derivada: \( \dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2x(x^2+3)^3 \, dx \).
Paso 3: Ahora sí encaja la regla: \( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(x^2+3)^4}{4} = \dfrac{(x^2+3)^4}{8} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int x(x^2+3)^3 \, dx = \dfrac{(x^2+3)^4}{8} + C \)

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Si quieres practicar sin conexión o imprimir los ejercicios, puedes descargar esta ficha de
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Integrales logarítmicas

Cuando el numerador es (o se puede ajustar para ser) la derivada exacta del denominador, la integral da un logaritmo neperiano.

🟢 Básico

Ejercicio 7. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x} \, dx \).

\[ \int \dfrac{1}{x} \, dx \]
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Paso 1: Es la integral logarítmica más directa: la derivada de \(\ln|x|\) es \(1/x\).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 8. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2+1} \, dx \).

\[ \int \dfrac{2x}{x^2+1} \, dx \]
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Paso 1: El denominador es \(f(x)=x^2+1\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\): coincide exactamente con el numerador.
Paso 2: Aplicamos la regla logarítmica compuesta: \( \ln|f(x)| = \ln(x^2+1) \) (positivo siempre, no hace falta valor absoluto).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2+1} \, dx = \ln(x^2+1) + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 9. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+4} \, dx \).

\[ \int \dfrac{x}{x^2+4} \, dx \]
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Paso 1: El denominador es \(f(x)=x^2+4\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\). Solo tenemos \(x\): falta un factor 2.
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 2: \( \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2+4} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+4) \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+4} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+4) + C \)

Integrales exponenciales de base $e$

La función \(e^x\) es su propia derivada, así que también es su propia integral inmediata. En la forma compuesta, hace falta que \(f'(x)\) acompañe a \(e^{f(x)}\).

🟢 Básico

Ejercicio 10. Calcula \( \displaystyle\int e^x \, dx \).

\[ \int e^x \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(e^x\) es ella misma, así que su integral también lo es.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int e^x \, dx = e^x + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 11. Calcula \( \displaystyle\int 2x \, e^{x^2} \, dx \).

\[ \int 2x \, e^{x^2} \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^2\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\): coincide exactamente.
Paso 2: Aplicamos la regla exponencial compuesta: \( e^{f(x)} = e^{x^2} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int 2x \, e^{x^2} \, dx = e^{x^2} + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 12. Calcula \( \displaystyle\int e^{3x} \, dx \).

\[ \int e^{3x} \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=3x\), cuya derivada es \(f'(x)=3\), una constante que no está multiplicando.
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 3: \( \dfrac{1}{3}\displaystyle\int 3\,e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C \)

Integrales exponenciales de base $a$

Para una base distinta de \(e\), aparece un factor extra \(\ln a\) dividiendo, porque la derivada de \(a^x\) es \(a^x \ln a\).

🟢 Básico

Ejercicio 13. Calcula \( \displaystyle\int 2^x \, dx \).

\[ \int 2^x \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(2^x\) es \(2^x \ln 2\), así que la integral lleva \(\ln 2\) dividiendo para compensar.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int 2^x \, dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 14. Calcula \( \displaystyle\int 2x \cdot 5^{x^2} \, dx \).

\[ \int 2x \cdot 5^{x^2} \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^2\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\): coincide exactamente.
Paso 2: Aplicamos la regla exponencial compuesta de base \(a\): \( \dfrac{a^{f(x)}}{\ln a} = \dfrac{5^{x^2}}{\ln 5} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int 2x \cdot 5^{x^2} \, dx = \dfrac{5^{x^2}}{\ln 5} + C \)

Integrales de seno y coseno

Dos reglas que hay que memorizar bien porque cambian de signo: la integral del seno lleva un signo menos, la del coseno no.

🟢 Básico

Ejercicio 15. Calcula \( \displaystyle\int \operatorname{sen} x \, dx \).

\[ \int \operatorname{sen} x \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(-\cos x\) es \(\operatorname{sen} x\), así que esa es su integral.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \operatorname{sen} x \, dx = -\cos x + C \)
🟢 Básico

Ejercicio 16. Calcula \( \displaystyle\int \cos x \, dx \).

\[ \int \cos x \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(\operatorname{sen} x\) es \(\cos x\), así que esa es su integral.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \cos x \, dx = \operatorname{sen} x + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 17. Calcula \( \displaystyle\int 2x \cos(x^2) \, dx \).

\[ \int 2x \cos(x^2) \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^2\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\): coincide exactamente.
Paso 2: Aplicamos la regla del coseno compuesta: \( \operatorname{sen}(f(x)) = \operatorname{sen}(x^2) \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int 2x \cos(x^2) \, dx = \operatorname{sen}(x^2) + C \)

Integrales que dan tangente

Cuando el integrando es \(1/\cos^2 x\) (la secante al cuadrado), la integral da la tangente: es la derivada de la tangente al revés.

🟡 Medio

Ejercicio 18. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx \).

\[ \int \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(\operatorname{tg} x\) es \(1/\cos^2 x\), así que esa es su integral.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx = \operatorname{tg} x + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 19. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)} \, dx \).

\[ \int \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)} \, dx \]
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Paso 1: Identificamos \(f(x)=x^2\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\): coincide exactamente.
Paso 2: Aplicamos la regla de la tangente compuesta: \( \operatorname{tg}(f(x)) = \operatorname{tg}(x^2) \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{2x}{\cos^2(x^2)} \, dx = \operatorname{tg}(x^2) + C \)

Integrales que dan arcoseno

Cuando aparece una raíz de la forma \(\sqrt{1-f(x)^2}\) en el denominador y \(f'(x)\) multiplicando arriba, la integral da un arcoseno.

🟡 Medio

Ejercicio 20. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \).

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(\operatorname{arcsen} x\) es \(1/\sqrt{1-x^2}\), así que esa es su integral.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \operatorname{arcsen} x + C \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 21. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \, dx \).

\[ \int \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \, dx \]
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Paso 1: Escribimos \(1-x^4 = 1-(x^2)^2\): identificamos \(f(x)=x^2\), cuya derivada es \(f'(x)=2x\), que coincide exactamente arriba.
Paso 2: Aplicamos la regla del arcoseno compuesta: \( \operatorname{arcsen}(f(x)) = \operatorname{arcsen}(x^2) \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \, dx = \operatorname{arcsen}(x^2) + C \)

Integrales que dan arcotangente

Cuando el denominador tiene la forma \(1+f(x)^2\) y \(f'(x)\) multiplica arriba, la integral da un arcotangente.

🟢 Básico

Ejercicio 22. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx \).

\[ \int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx \]
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Paso 1: La derivada de \(\operatorname{arctg} x\) es \(1/(1+x^2)\), así que esa es su integral.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \operatorname{arctg} x + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 23. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{3x^2}{1+x^6} \, dx \).

\[ \int \dfrac{3x^2}{1+x^6} \, dx \]
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Paso 1: Escribimos \(1+x^6=1+(x^3)^2\): identificamos \(f(x)=x^3\), cuya derivada \(f'(x)=3x^2\) coincide exactamente arriba.
Paso 2: Aplicamos la regla del arcotangente compuesta: \( \operatorname{arctg}(f(x)) = \operatorname{arctg}(x^3) \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{3x^2}{1+x^6} \, dx = \operatorname{arctg}(x^3) + C \)
🟡 Medio

Ejercicio 24. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{5}{1+25x^2} \, dx \).

\[ \int \dfrac{5}{1+25x^2} \, dx \]
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Paso 1: Escribimos \(25x^2=(5x)^2\): identificamos \(f(x)=5x\), cuya derivada \(f'(x)=5\) coincide exactamente arriba.
Paso 2: Aplicamos la regla del arcotangente compuesta: \( \operatorname{arctg}(f(x)) = \operatorname{arctg}(5x) \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{5}{1+25x^2} \, dx = \operatorname{arctg}(5x) + C \)

Integrales racionales con ajuste de constante

Casos algo más elaborados donde hay que reconocer la estructura (logarítmica o arcotangente) antes de ajustar constantes.

🔴 Avanzado

Ejercicio 25. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{x^2}{x^3+5} \, dx \).

\[ \int \dfrac{x^2}{x^3+5} \, dx \]
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Paso 1: El denominador es \(f(x)=x^3+5\), cuya derivada es \(f'(x)=3x^2\). Solo tenemos \(x^2\): falta un factor 3.
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 3: \( \dfrac{1}{3}\displaystyle\int \dfrac{3x^2}{x^3+5} \, dx = \dfrac{1}{3}\ln|x^3+5| \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{x^2}{x^3+5} \, dx = \dfrac{1}{3}\ln|x^3+5| + C \)
🔴 Avanzado

Ejercicio 26. Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{4}{x^2+9} \, dx \).

\[ \int \dfrac{4}{x^2+9} \, dx \]
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Paso 1: Sacamos el 9 factor común en el denominador: \( x^2+9 = 9\left(\dfrac{x^2}{9}+1\right) \), y usamos la fórmula general \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx = \dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a} \) con \(a=3\).
Paso 2: Aplicamos la fórmula: \( 4 \cdot \dfrac{1}{3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3} = \dfrac{4}{3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3} \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \dfrac{4}{x^2+9} \, dx = \dfrac{4}{3}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{3} + C \)

Ejercicios mixtos y definidas de repaso

Practica combinando varias reglas en una misma integral, y aplicando la regla de Barrow para calcular integrales definidas.

🟡 Medio

Ejercicio 27. Calcula \( \displaystyle\int \left(3x^2 - \dfrac{2}{x} + e^x\right) dx \).

\[ \int \left(3x^2 - \dfrac{2}{x} + e^x\right) dx \]
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Paso 1: Usamos la linealidad de la integral: integramos cada término por separado.
Paso 2: \( \displaystyle\int 3x^2\,dx = x^3 \); \( \displaystyle\int \dfrac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| \); \( \displaystyle\int e^x\,dx = e^x \).
Paso 3: Sumamos los tres resultados, con el signo de cada término original.
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \left(3x^2 - \dfrac{2}{x} + e^x\right) dx = x^3 - 2\ln|x| + e^x + C \)
🟢 Básico

Ejercicio 28. Calcula la integral definida \( \displaystyle\int_0^1 (2x+1) \, dx \).

\[ \int_0^1 (2x+1) \, dx \]
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Paso 1: Hallamos la integral indefinida (primitiva): \( \displaystyle\int (2x+1)\,dx = x^2+x \).
Paso 2: Aplicamos la regla de Barrow: evaluamos la primitiva en los extremos y restamos, \( F(1)-F(0) \).
Paso 3: \( (1^2+1) - (0^2+0) = 2 - 0 \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int_0^1 (2x+1) \, dx = 2 \)
🟡 Medio

Ejercicio 29. Calcula \( \displaystyle\int \left(\operatorname{sen} x + \dfrac{1}{1+x^2}\right) dx \).

\[ \int \left(\operatorname{sen} x + \dfrac{1}{1+x^2}\right) dx \]
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Paso 1: Usamos la linealidad: integramos cada término por separado.
Paso 2: \( \displaystyle\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x \); \( \displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx = \operatorname{arctg} x \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int \left(\operatorname{sen} x + \dfrac{1}{1+x^2}\right) dx = -\cos x + \operatorname{arctg} x + C \)
🟢 Básico

Ejercicio 30. Calcula la integral definida \( \displaystyle\int_1^2 3x^2 \, dx \).

\[ \int_1^2 3x^2 \, dx \]
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Paso 1: Hallamos la primitiva: \( \displaystyle\int 3x^2\,dx = x^3 \).
Paso 2: Aplicamos la regla de Barrow: \( F(2)-F(1) \).
Paso 3: \( 2^3 - 1^3 = 8 - 1 \).
✅ Resultado: \( \displaystyle\int_1^2 3x^2 \, dx = 7 \)

Errores más comunes ⚠️

❌ Olvidar la constante de integración \(+C\)
Toda integral indefinida tiene infinitas primitivas, todas ellas iguales salvo una constante: sin el \(+C\) la respuesta está incompleta.
❌ Olvidar el valor absoluto en el logaritmo
La integral de \(1/x\) es \(\ln|x|\), no \(\ln x\): el logaritmo de un número negativo no existe, pero \(1/x\) sí está definido para \(x \lt 0\).
❌ Aplicar una fórmula sin comprobar que \(f'(x)\) aparece de verdad
No basta con "ver" una función compuesta: hay que confirmar que su derivada está multiplicando (al menos salvo una constante) antes de aplicar la regla.
❌ Olvidar ajustar la constante que falta
Si el factor que acompaña a la función interior no coincide exactamente con su derivada, hay que multiplicar y dividir por la constante que falte, no ignorar la diferencia.
❌ Confundir el signo de la integral del seno
\( \displaystyle\int \operatorname{sen} x \, dx = -\cos x + C \), con signo menos: es un error clásico olvidarlo u ponerlo en la integral del coseno por error.
❌ Olvidar el \(\ln a\) en exponenciales de base distinta de \(e\)
\( \displaystyle\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a}+C \): ese denominador desaparece solo cuando \(a=e\), porque \(\ln e = 1\).

Comprobación numérica 🧮

Una integral definida se puede aproximar sumando muchos rectángulos estrechos bajo la curva (suma de Riemann). Cuantos más rectángulos uses, más se acerca esa suma al valor exacto que da la primitiva.

Verificación del Ejercicio 1 (\(\int_0^2 x^5\,dx\), valor exacto \(32/3 \approx 10{,}667\))
Rectángulos (n)Aproximación
1010,534
10010,665
1.00010,6666
10.00010,6667 ✅

✅ Al aumentar el número de rectángulos, la aproximación converge a \(32/3 \approx 10{,}667\), el valor que da la primitiva \(x^6/6\) del Ejercicio 1.

Verificación del Ejercicio 7 (\(\int_1^3 1/x\,dx\), valor exacto \(\ln 3 \approx 1{,}0986\))
Rectángulos (n)Aproximación
101,0971
1001,0986
1.0001,09861
10.0001,09861 ✅

✅ La aproximación converge a \(\ln 3 \approx 1{,}0986\), confirmando que \(\ln|x|\) es la primitiva de \(1/x\) del Ejercicio 7.

Verificación del Ejercicio 16 (\(\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx\), valor exacto \(1\))
Rectángulos (n)Aproximación
101,00103
1001,00001
1.0001,00000
10.0001,00000 ✅

✅ La aproximación converge exactamente a 1, confirmando que \(\operatorname{sen}x\) es la primitiva de \(\cos x\) del Ejercicio 16.

Tabla resumen 📋

TipoFórmulaEjemplo
Potencial\(\dfrac{f^{n+1}}{n+1}+C\)Ej. 1
Potencial compuestaajustar constante si faltaEj. 6
Logarítmica\(\ln|f|+C\)Ej. 7
Exponencial \(e\)\(e^{f}+C\)Ej. 10
Exponencial \(a\)\(a^{f}/\ln a+C\)Ej. 13
Seno / coseno\(-\cos(f)+C\) / \(\operatorname{sen}(f)+C\)Ej. 15, 16
Tangente\(\operatorname{tg}(f)+C\)Ej. 18
Arcoseno\(\operatorname{arcsen}(f)+C\)Ej. 20
Arcotangente\(\operatorname{arctg}(f)+C\)Ej. 22
Integral definidaRegla de Barrow: \(F(b)-F(a)\)Ej. 28

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué diferencia hay entre una integral inmediata y una que necesita sustitución?

En una integral inmediata reconoces directamente la fórmula (a veces ajustando una constante). Cuando eso no basta —por ejemplo, si la función interior no aparece multiplicando de ninguna forma sencilla—, hace falta un cambio de variable explícito u otra técnica más elaborada.

¿Por qué hay que añadir siempre \(+C\)?

Porque la derivada de cualquier constante es 0: si \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\), también lo es \(F(x)+C\) para cualquier número \(C\). La integral indefinida representa a todas esas primitivas a la vez.

¿Cómo sé qué "f(x)" elegir en una integral compuesta?

Suele ser la expresión que está "dentro" de otra: dentro de una potencia, de una raíz, de un exponente, o como argumento de un seno, coseno, logaritmo, etc. Una vez la identificas, calcula su derivada y comprueba si aparece en el resto del integrando.

¿Qué hago si el factor no coincide exactamente con \(f'(x)\)?

Si la diferencia es solo una constante multiplicativa, multiplica y divide por ella para ajustarla. Si la diferencia es más que una constante (por ejemplo, falta una \(x\) entera), probablemente no sea una integral inmediata.

¿Por qué el logaritmo lleva valor absoluto?

Porque \(1/x\) está definida tanto para \(x \gt 0\) como para \(x \lt 0\), pero \(\ln x\) sin valor absoluto solo existe para \(x \gt 0\). Usando \(\ln|x|\) la primitiva es válida en todo el dominio de \(1/x\).

¿Las integrales definidas también son "inmediatas"?

Sí: primero se calcula la primitiva de forma inmediata, igual que en una indefinida, y después se aplica la regla de Barrow evaluándola en los dos extremos del intervalo y restando.

¿Aparecen en Selectividad/EBAU?

Sí, las integrales inmediatas son la base de todo el bloque de cálculo integral: suelen aparecer solas en ejercicios cortos, o como el último paso dentro de un problema de áreas o de cálculo de una función a partir de su derivada.

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Consulta también:
Tabla completa de integrales inmediatas,
Integrales racionales
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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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