Cálculo integral · Bachillerato
Integral definida y área bajo la curva: aprende a calcularla paso a paso
🔎 Índice de contenidos
- Integral definida y área bajo la curva: aprende a calcularla paso a paso
- ¿Qué es la integral definida?
- La regla de Barrow: la clave de todo
- Primitivas que necesitas tener a mano
- Propiedades de la integral definida
- Cuatro ejemplos resueltos de integral definida
- Cómo calcular el área bajo la curva
- Área entre dos curvas
- Practica: 12 ejercicios de menor a mayor dificultad
- Repaso rápido: 10 flashcards
La integral definida parece difícil, pero en realidad se reduce a dos cosas: encontrar una primitiva y restar. En esta guía te enseño el método que uso en clase para calcular integrales definidas y áreas bajo la curva sin caer en las trampas típicas del examen. Al final tienes ejercicios resueltos de menor a mayor dificultad para que compruebes que lo dominas.
¿Qué es la integral definida?
La integral definida de una función f(x) entre dos valores a y b se escribe así:
∫ab f(x) dx
Los números a y b son los límites de integración: a es el límite inferior y b el superior. A diferencia de la integral indefinida, que da como resultado una función (más la constante C), la integral definida da como resultado un número.
¿Y qué significa ese número? Si la función es positiva en el intervalo [a, b], la integral definida es exactamente el área encerrada entre la curva, el eje X y las rectas x = a y x = b. Por eso se dice que la integral definida mide el "área bajo la curva".
Antes de empezar: para calcular integrales definidas necesitas saber hallar primitivas. Si aún te cuestan, repasa primero las integrales inmediatas y las derivadas. Integrar es, simplemente, hacer el camino inverso de derivar.
La regla de Barrow: la clave de todo
La herramienta que vas a usar siempre es la regla de Barrow. Dice que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces:
∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) − F(a)
1. Calcula la primitiva
Integra f(x) como si fuera una integral indefinida, pero sin escribir la constante C: al restar se cancela.
2. Sustituye los límites
Calcula F(b) sustituyendo el límite superior y F(a) sustituyendo el inferior. Usa paréntesis con los negativos.
3. Resta en el orden correcto
Siempre superior menos inferior: F(b) − F(a). Cambiar el orden cambia el signo del resultado.
Mira cómo funciona con un ejemplo sencillo:
∫02 x2 dx = [x3/3]02 = 8/3 − 0 = 8/3
Primitivas que necesitas tener a mano
Te aconsejo aprender esta tabla de memoria. Con ella resolverás la mayoría de integrales definidas de Bachillerato.
| Función f(x) | Primitiva F(x) | Ejemplo |
|---|---|---|
| k (constante) | k · x | ∫ 5 dx = 5x |
| xn (n ≠ −1) | xn+1 / (n + 1) | ∫ x3 dx = x4/4 |
| √x = x1/2 | (2/3) · x3/2 | ∫ √x dx = (2/3)x√x |
| 1/x | ln |x| | ∫ 3/x dx = 3 ln |x| |
| ex | ex | ∫ 2ex dx = 2ex |
| sen x | −cos x | ∫ sen x dx = −cos x |
| cos x | sen x | ∫ cos x dx = sen x |
Propiedades de la integral definida
Estas propiedades te ahorran cálculos y te ayudan a detectar errores:
| Propiedad | Qué dice |
|---|---|
| Límites iguales | ∫aa f(x) dx = 0 |
| Cambio de límites | ∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx |
| Suma de funciones | ∫ab [f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx |
| Constante fuera | ∫ab k · f(x) dx = k · ∫ab f(x) dx |
| Dividir el intervalo | ∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx |
Cuatro ejemplos resueltos de integral definida
Calcula ∫13 (2x + 1) dx
Primitiva: x2 + x. Barrow: (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.
Calcula ∫02 (3x2 − 2x) dx
Primitiva: x3 − x2. Barrow: (8 − 4) − (0 − 0) = 4.
Calcula ∫0π sen x dx
Primitiva: −cos x. Barrow: −cos π − (−cos 0) = −(−1) + 1 = 2.
Calcula ∫1e 2/x dx
Primitiva: 2 ln |x|. Barrow: 2 ln e − 2 ln 1 = 2 · 1 − 2 · 0 = 2.
Cómo calcular el área bajo la curva
Aquí está la trampa que más puntos quita en los exámenes: la integral definida y el área no siempre coinciden. Cuando la función está por debajo del eje X, la integral sale negativa, pero un área nunca puede ser negativa.
1. Busca los cortes con el eje X
Resuelve f(x) = 0 y quédate con las soluciones que estén dentro del intervalo [a, b].
2. Divide el intervalo
Los cortes separan tramos donde la función es positiva y tramos donde es negativa. Integra cada tramo por separado.
3. Suma en valor absoluto
El área total es la suma de los valores absolutos de cada integral. Así los tramos negativos cuentan como positivos.
Ejemplo: calcula el área entre f(x) = x2 − 4, el eje X y las rectas x = 0 y x = 3.
Cortes con el eje X
x2 − 4 = 0 → x = 2 o x = −2. Solo x = 2 está dentro de [0, 3].
Primer tramo [0, 2]
[x3/3 − 4x]02 = (8/3 − 8) − 0 = −16/3. Es negativo: la curva está por debajo del eje.Segundo tramo [2, 3]
[x3/3 − 4x]23 = (9 − 12) − (8/3 − 8) = −3 + 16/3 = 7/3.Suma los valores absolutos
Área = 16/3 + 7/3 = 23/3 u2. Si hubieras integrado directamente de 0 a 3 te habría salido −3, que es incorrecto como área.
Área entre dos curvas
Si tienes dos funciones, el área encerrada entre ellas se calcula integrando la de arriba menos la de abajo entre sus puntos de corte:
Área = ∫ab [f(x) − g(x)] dx, con f(x) ≥ g(x)
Ejemplo: calcula el área entre f(x) = 4 − x2 y g(x) = x + 2.
Puntos de corte
4 − x2 = x + 2 → x2 + x − 2 = 0 → x = −2 y x = 1.
¿Qué función va arriba?
Pruebo con x = 0, que está entre −2 y 1: f(0) = 4 y g(0) = 2. La parábola está por encima.
Plantea la integral
∫−21 [(4 − x2) − (x + 2)] dx = ∫−21 (2 − x − x2) dx.
Aplica Barrow
[2x − x2/2 − x3/3]−21 = 7/6 − (−10/3) = 7/6 + 20/6 = 9/2 u2.
Los errores más frecuentes (y cómo evitarlos)
Restar al revés
Es F(b) − F(a), nunca F(a) − F(b). Primero el límite de arriba.
Olvidar los paréntesis
Al sustituir un límite negativo, escribe siempre paréntesis: (−2)2 = 4, pero −22 = −4.
Confundir integral y área
Si te piden un área, busca primero los cortes con el eje X. Un área negativa es siempre un error.
Calcular mal F(0)
F(0) no siempre es 0. Con ex o cos x, en x = 0 vale 1.
Practica: 12 ejercicios de menor a mayor dificultad
Coge papel y resuelve cada uno antes de mirar la solución. Empiezan muy sencillos y terminan con problemas de área tipo examen.
Nivel básico
1. Calcula ∫03 2 dx.
Primitiva: 2x. Barrow: 2 · 3 − 2 · 0 = 6. Es el área de un rectángulo de base 3 y altura 2.
Nivel básico
2. Calcula ∫02 x dx.
Primitiva: x2/2. Barrow: 4/2 − 0 = 2. Es el área de un triángulo de base 2 y altura 2.
Nivel básico
3. Calcula ∫12 3x2 dx.
Primitiva: x3. Barrow: 23 − 13 = 8 − 1 = 7.
Nivel medio
4. Calcula ∫−12 (x2 + 1) dx.
Primitiva: x3/3 + x. F(2) = 8/3 + 2 = 14/3. F(−1) = −1/3 − 1 = −4/3. Resultado: 14/3 − (−4/3) = 18/3 = 6.
Nivel medio
5. Calcula ∫14 √x dx.
√x = x1/2, primitiva: (2/3)x3/2. F(4) = (2/3) · 8 = 16/3. F(1) = 2/3. Resultado: 16/3 − 2/3 = 14/3.
Nivel medio
6. Calcula ∫01 ex dx.
Primitiva: ex. Barrow: e1 − e0 = e − 1 ≈ 1,718. Cuidado: e0 = 1, no 0.
Nivel medio
7. Calcula ∫0π/2 cos x dx.
Primitiva: sen x. Barrow: sen(π/2) − sen 0 = 1 − 0 = 1.
Nivel medio
8. Calcula ∫12 1/x2 dx.
1/x2 = x−2, primitiva: x−1/(−1) = −1/x. Barrow: (−1/2) − (−1/1) = −1/2 + 1 = 1/2.
Nivel avanzado
9. Calcula ∫01 (ex + 2x) dx.
Primitiva: ex + x2. F(1) = e + 1. F(0) = 1 + 0 = 1. Resultado: (e + 1) − 1 = e ≈ 2,718.
Nivel avanzado
10. Calcula el área encerrada entre f(x) = x2 − 2x y el eje X.
Cortes: x(x − 2) = 0 → x = 0 y x = 2. Integral: [x3/3 − x2]02 = 8/3 − 4 = −4/3. Sale negativa porque la curva está por debajo del eje. Área = 4/3 u2.
Nivel avanzado
11. Calcula el área entre f(x) = x2 − 1, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.
Corte dentro de [0, 2]: x = 1. Tramo [0, 1]: [x3/3 − x]01 = 1/3 − 1 = −2/3. Tramo [1, 2]: (8/3 − 2) − (1/3 − 1) = 2/3 + 2/3 = 4/3. Área = 2/3 + 4/3 = 2 u2.
Nivel examen
12. Calcula el área encerrada entre f(x) = 6 − x2 y g(x) = x.
Cortes: 6 − x2 = x → x2 + x − 6 = 0 → x = −3 y x = 2. En x = 0, f(0) = 6 > g(0) = 0, así que la parábola va arriba. Área = ∫−32 (6 − x − x2) dx = [6x − x2/2 − x3/3]−32. F(2) = 12 − 2 − 8/3 = 22/3. F(−3) = −18 − 9/2 + 9 = −27/2. Área = 22/3 + 27/2 = 44/6 + 81/6 = 125/6 u2 ≈ 20,83 u2.
Repaso rápido: 10 flashcards
Haz clic o pulsa Enter sobre una tarjeta para darle la vuelta.
¿Qué da como resultado una integral definida?
Un número, no una función.
Regla de Barrow
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
¿Por qué no se pone la constante C?
Porque al restar F(b) − F(a) se cancela.
∫aa f(x) dx
Siempre vale 0.
¿Qué pasa si cambio el orden de los límites?
El resultado cambia de signo.
Primitiva de xn
xn+1 / (n + 1), si n ≠ −1
Primitiva de 1/x
ln |x|
¿Integral negativa?
La curva está por debajo del eje X en ese tramo.
Primer paso para calcular un área
Buscar los cortes de la función con el eje X.
Área entre dos curvas
Integral de (la de arriba − la de abajo) entre los puntos de corte.
Preguntas frecuentes sobre la integral definida
¿Qué diferencia hay entre integral definida e indefinida?
La integral indefinida da como resultado una familia de funciones, F(x) + C. La integral definida tiene límites de integración y da como resultado un número, que se calcula con la regla de Barrow.
¿Por qué no se pone la constante C en la integral definida?
Porque al calcular F(b) − F(a), la constante aparece sumando en los dos términos y se cancela. Puedes ponerla, pero no cambia el resultado.
¿Puede una integral definida dar un resultado negativo?
Sí. Ocurre cuando la función está por debajo del eje X en el intervalo, o cuando hay más zona por debajo que por encima. Lo que nunca puede ser negativo es un área.
¿La integral definida siempre es igual al área bajo la curva?
Solo si la función es positiva en todo el intervalo. Si corta al eje X, hay que dividir el intervalo en los puntos de corte y sumar los valores absolutos de cada integral.
¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?
Se hallan los puntos de corte igualando las funciones, se comprueba cuál va por encima y se integra la de arriba menos la de abajo entre esos puntos.
¿Cómo puedo comprobar que mi primitiva es correcta?
Derívala. Si al derivar obtienes la función que estabas integrando, la primitiva es correcta. Hazlo siempre antes de sustituir los límites.
Conclusión: dos pasos y mucha práctica
Como has visto, calcular una integral definida se reduce a hallar una primitiva y aplicar la regla de Barrow. Lo que marca la diferencia en el examen es tener cuidado con los signos, los paréntesis y, sobre todo, recordar que integral y área no son lo mismo cuando la función corta al eje X. Haz los ejercicios en orden, repasa las flashcards y verás cómo en pocos días lo resuelves con total seguridad.
Guía completa: integrales por partes paso a paso
Tabla de derivadas.Guía Completa con Ejercicios P...Espero que te haya gustado este artículo sobre Integral definida: fórmula, regla de Barrow y ejercicios resueltos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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