🔎 Índice de contenidos
- ¿Qué es la regla de L'Hôpital? 🤔
- Enunciado matemático y condiciones de aplicación 📜
- ¿Cuándo se puede aplicar? Tipos de indeterminación 🎯
- Cómo aplicar la regla de L'Hôpital paso a paso 🪜
- Transformar indeterminaciones indirectas 🔄
- Ejercicios resueltos de la regla de L'Hôpital 💪
- ¿Cuándo NO funciona la regla de L'Hôpital? 🚫
- Compruébalo tú mismo: calculadora numérica interactiva 🧮
- Tabla resumen: límites notables 📋
📘 2º de Bachillerato · Selectividad / EBAU
Regla de L'Hôpital: la técnica definitiva para resolver límites indeterminados
Seguro que has llegado hasta aquí porque un límite te ha dejado con un 0/0 en las manos. Tranquilo: en esta guía vas a entender de verdad por qué funciona la regla, no solo a copiarla, y vas a practicar hasta dominarla. 🚀
00
➜derivando
f '(a)g '(a)
⚡ Respuesta rápida
La regla de L'Hôpital permite calcular límites indeterminados del tipo \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \) sustituyendo el numerador y el denominador por sus derivadas, cada una por separado:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
Se puede aplicar tantas veces como haga falta mientras la indeterminación persista, y siempre que \(f\) y \(g\) sean derivables cerca de \(a\).
¿Qué es la regla de L'Hôpital? 🤔
Seguro que te ha pasado: estás calculando un límite, sustituyes el valor de x y te encuentras con algo como \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \). Eso no es un error de cálculo tuyo: es una indeterminación, y significa que, con la información que tienes ahora mismo, todavía no puedes saber cuánto vale realmente el límite.
La regla de L'Hôpital es un teorema de cálculo diferencial que te permite «destapar» el valor real de esos límites usando una herramienta que ya conoces perfectamente: la derivada.
💡 Piénsalo así
Imagina dos corredores, \(f(x)\) y \(g(x)\), que llegan juntos a la meta (ambos valen 0, o ambos se disparan a infinito). En lugar de mirar dónde están en ese instante —lo cual no te dice nada, porque están empatados—, L'Hôpital te propone mirar su velocidad justo en ese punto, es decir, su derivada. Comparar velocidades sí te dice quién «va ganando» la carrera hacia el 0 o hacia el infinito, y ese cociente de velocidades es, precisamente, el valor del límite.
Dicho de forma rigurosa: si al derivar numerador y denominador por separado el nuevo límite existe, ese nuevo límite coincide exactamente con el original. Esa es toda la magia. Vamos a verlo con precisión matemática.
Enunciado matemático y condiciones de aplicación 📜
Para aplicar la regla con seguridad —y justificarla correctamente en un examen— deben cumplirse estas condiciones:
Derivabilidad: \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones derivables en un entorno del punto \(a\) (salvo, quizás, en el propio \(a\)).
Indeterminación real: \( \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0\), o bien ambos límites son \(\pm\infty\).
Denominador no nulo: \(g'(x) \neq 0\) en ese entorno de \(a\) (excepto, quizás, en \(a\)).
El nuevo límite existe: \( \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existe (o es infinito).
Si las cuatro se cumplen, entonces:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
⚠️ Ojo con esto
Derivas el numerador y el denominador por separado. NO es la derivada del cociente \(\left(\frac{f}{g}\right)'\), que sería una expresión mucho más complicada con la regla del cociente. Este es, con diferencia, el error más frecuente entre los alumnos.
La regla también es válida cuando \(a\) es \(+\infty\) o \(-\infty\), y funciona igual de bien con límites laterales (\(x \to a^+\) o \(x \to a^-\)).
¿Cuándo se puede aplicar? Tipos de indeterminación 🎯
Existen siete indeterminaciones clásicas. Solo dos se pueden atacar directamente con L'Hôpital; las otras cinco hay que transformarlas antes (lo vemos en el siguiente apartado):
| Tipo | Ejemplo | ¿Aplicable directamente? |
|---|---|---|
| \( \frac{0}{0} \) | \( \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \) | ✅ Sí |
| \( \frac{\infty}{\infty} \) | \( \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x} \) | ✅ Sí |
| \( 0\cdot\infty \) | \( \lim_{x\to 0^+} x\ln x \) | 🔄 Hay que transformarla |
| \( \infty-\infty \) | \( \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right) \) | 🔄 Hay que transformarla |
| \( 1^{\infty} \) | \( \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} \) | 🔄 Logaritmos primero |
| \( 0^{0} \) | \( \lim_{x\to 0^+} x^{x} \) | 🔄 Logaritmos primero |
| \( \infty^{0} \) | \( \lim_{x\to \infty} x^{1/x} \) | 🔄 Logaritmos primero |
🚫 No confundas indeterminación con «resultado raro»
Expresiones como \( \frac{0}{\infty} \), \( \frac{k}{0} \) (con \(k\neq 0\)) o \( \infty+\infty \) NO son indeterminaciones: tienen un valor perfectamente definido (0, \(\infty\) e \(\infty\), respectivamente). Si aplicas L'Hôpital ahí, estás calculando algo que no hacía falta calcular... y probablemente te equivocarás.
Cómo aplicar la regla de L'Hôpital paso a paso 🪜
1
🔍 Sustituye \(x=a\) en la función y comprueba que obtienes \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \). Si no es así, no apliques la regla todavía.
2
✂️ Deriva el numerador y el denominador por separado: obtén \(f'(x)\) y \(g'(x)\).
3
🔁 Vuelve a calcular el límite del nuevo cociente \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \).
4
🔄 Si sigue siendo indeterminado, repite el proceso derivando de nuevo, tantas veces como haga falta.
5
✅ En cuanto deje de ser indeterminado, ese valor es el resultado final del límite.
💡 Truco de examen
Simplifica la expresión resultante después de cada derivada, antes de comprobar si sigue habiendo indeterminación. Te ahorrará derivadas innecesarias y errores de cálculo.
Transformar indeterminaciones indirectas 🔄
Las indeterminaciones \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^{\infty}\), \(0^{0}\) y \(\infty^{0}\) no se pueden atacar directamente: primero hay que convertirlas en \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \).
Para \(0\cdot\infty\)
Si tienes \(f(x)\cdot g(x)\) con \(f\to 0\) y \(g\to\infty\), pasa uno de los factores al denominador como inverso:
\[ f(x)\cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} \]
Y ya tienes una forma \( \frac{0}{0} \) lista para L'Hôpital.
Para \(\infty-\infty\)
Reduce a común denominador o multiplica y divide por el conjugado hasta conseguir una única fracción, que quedará en forma \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \).
Para \(1^{\infty}\), \(0^{0}\) y \(\infty^{0}\)
Estas tres son potencias del tipo \(f(x)^{g(x)}\). El truco es tomar logaritmos neperianos a ambos lados. Si \(y = f(x)^{g(x)}\):
\[ \ln y = g(x)\cdot \ln f(x) \]
Ahora \(\ln y\) tiene una indeterminación \(0\cdot\infty\) (¡la que ya sabes resolver!). Calculas ese límite, al que llamamos \(L\), y deshaces el cambio con la exponencial:
\[ \lim y = e^{L} \]
🔗 Todo está conectado
Fíjate en la cadena: una indeterminación exponencial se convierte en \(0\cdot\infty\), y un \(0\cdot\infty\) se convierte en \( \frac{0}{0} \) o \( \frac{\infty}{\infty} \). Con solo dos transformaciones, dominas las siete indeterminaciones. Lo verás en las fichas 6 y 7 de la siguiente sección, una detrás de otra.
Ejercicios resueltos de la regla de L'Hôpital 💪
Practica con estas fichas ordenadas por dificultad. Lee el enunciado, intenta resolverlo tú antes de mirar, y pulsa el botón para comprobar la solución paso a paso.
🟢 Básico
Ejercicio 1. Calcula el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]
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Paso 1 — Comprobar la indeterminación: sustituimos \(x=0\): \( \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}\). Indeterminación confirmada.
Paso 2 — Derivar por separado: \((\sin x)' = \cos x\) y \((x)' = 1\).
Paso 3 — Nuevo límite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \]
Paso 4 — Sustituir: \( \frac{\cos 0}{1} = \frac{1}{1} = 1\).
✅ Resultado: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
🟢 Básico
Ejercicio 2. Calcula el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: sustituimos \(x=0\): \( \frac{e^0-1}{0} = \frac{0}{0}\). Indeterminación confirmada.
Paso 2: derivamos: \((e^x-1)' = e^x\) y \((x)' = 1\).
Paso 3: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1} \]
Paso 4: sustituimos: \(e^0 = 1\).
✅ Resultado: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1 \)
🟡 Medio
Ejercicio 3. Calcula el siguiente límite (indeterminación \(\infty/\infty\)):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \]
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Paso 1: cuando \(x\to\infty\), tanto \(\ln x\) como \(x\) tienden a \(\infty\): indeterminación \( \frac{\infty}{\infty}\).
Paso 2: derivamos: \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) y \((x)' = 1\).
Paso 3: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \]
Paso 4: cuando \(x\to\infty\), \( \frac{1}{x}\to 0\).
✅ Resultado: \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \)
🟡 Medio
Ejercicio 4. Calcula el siguiente límite (requiere aplicar la regla dos veces):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} \]
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Paso 1: sustituimos \(x=0\): \( \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}\). Indeterminación confirmada.
Paso 2 (1ª derivada): \((1-\cos x)' = \sin x\) y \((x^2)' = 2x\), así que pasamos a \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} \]
Paso 3: sustituimos de nuevo: \( \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}\). ¡Sigue indeterminado! Repetimos la regla.
Paso 4 (2ª derivada): \((\sin x)' = \cos x\) y \((2x)' = 2\), así que pasamos a \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2} \]
✅ Resultado: \( \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2} \)
🔴 Avanzado
Ejercicio 5. Calcula el siguiente límite (requiere aplicar la regla tres veces):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \]
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Paso 1: \(x=0\) da \( \frac{0}{0}\). Derivamos: \((x-\sin x)' = 1-\cos x\), \((x^3)' = 3x^2\).
Paso 2: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^{2}} \] Sustituyendo, de nuevo \( \frac{0}{0}\). Repetimos.
Paso 3: derivamos otra vez: \((1-\cos x)' = \sin x\), \((3x^2)' = 6x\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} \] Sustituyendo, otra vez \( \frac{0}{0}\). Repetimos una vez más.
Paso 4: derivamos por tercera vez: \((\sin x)' = \cos x\), \((6x)' = 6\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6} \]
✅ Resultado: \( \lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}} = \frac{1}{6} \)
🔴 Avanzado
Ejercicio 6. Calcula el siguiente límite (indeterminación \(0\cdot\infty\)):
\[ \lim_{x \to 0^{+}} x\ln x \]
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Paso 1 — Identificar el tipo: cuando \(x\to 0^+\), \(x\to 0\) y \(\ln x\to -\infty\): indeterminación \(0\cdot(-\infty)\). No es directamente aplicable.
Paso 2 — Transformar: reescribimos \(x\) como \( \frac{1}{1/x}\): \[ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{1/x} \] Ahora es \( \frac{-\infty}{\infty}\), sí aplicable.
Paso 3 — Derivar: \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((1/x)' = -\frac{1}{x^{2}}\): \[ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim_{x \to 0^{+}} (-x) \]
Paso 4: cuando \(x\to 0^+\), \(-x\to 0\).
✅ Resultado: \( \lim_{x \to 0^{+}} x\ln x = 0 \)
🔴 Avanzado
Ejercicio 7. Calcula el siguiente límite (indeterminación \(0^{0}\)):
\[ \lim_{x \to 0^{+}} x^{x} \]
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1 — Tomar logaritmos: llamamos \(y = x^{x}\) y tomamos \(\ln\) en ambos lados: \[ \ln y = x\ln x \]
Paso 2 — ¡Ya lo hemos resuelto!: \( \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0\) es exactamente el resultado del ejercicio anterior.
Paso 3 — Deshacer el logaritmo: si \( \lim \ln y = 0\), entonces \[ \lim y = e^{0} = 1 \]
✅ Resultado: \( \lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1 \)
Errores más comunes al aplicar la regla de L'Hôpital ⚠️
❌ Derivar el cociente en vez de derivar por separado.
L'Hôpital no es la regla de derivación de un cociente. Se deriva \(f\) y se deriva \(g\), cada una de forma independiente, y se forma un cociente nuevo con esas dos derivadas.
L'Hôpital no es la regla de derivación de un cociente. Se deriva \(f\) y se deriva \(g\), cada una de forma independiente, y se forma un cociente nuevo con esas dos derivadas.
❌ Aplicar la regla sin comprobar antes la indeterminación.
Si al sustituir no obtienes \( \frac{0}{0}\) ni \( \frac{\infty}{\infty}\), derivar te dará un resultado incorrecto. Comprueba siempre el paso 1 antes de derivar.
Si al sustituir no obtienes \( \frac{0}{0}\) ni \( \frac{\infty}{\infty}\), derivar te dará un resultado incorrecto. Comprueba siempre el paso 1 antes de derivar.
❌ Parar demasiado pronto.
Si tras derivar sigues teniendo una indeterminación, hay que repetir el proceso. Puedes necesitar dos, tres o más derivadas sucesivas (como en el ejercicio 5).
Si tras derivar sigues teniendo una indeterminación, hay que repetir el proceso. Puedes necesitar dos, tres o más derivadas sucesivas (como en el ejercicio 5).
❌ No simplificar entre cada derivada.
Arrastrar una expresión sin simplificar complica innecesariamente los cálculos y multiplica la probabilidad de cometer un error.
Arrastrar una expresión sin simplificar complica innecesariamente los cálculos y multiplica la probabilidad de cometer un error.
❌ Usarla directamente en indeterminaciones indirectas.
\(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^{\infty}\), \(0^{0}\) y \(\infty^{0}\) hay que transformarlas antes en \( \frac{0}{0}\) o \( \frac{\infty}{\infty}\).
\(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^{\infty}\), \(0^{0}\) y \(\infty^{0}\) hay que transformarlas antes en \( \frac{0}{0}\) o \( \frac{\infty}{\infty}\).
¿Cuándo NO funciona la regla de L'Hôpital? 🚫
La regla es muy potente, pero no es infalible. Observa este límite:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin x}{x} \]
Es una indeterminación \( \frac{\infty}{\infty}\), así que en teoría podríamos aplicar L'Hôpital. Si derivamos numerador y denominador:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1+\cos x}{1} \]
Pero \(\cos x\) oscila para siempre entre \(-1\) y \(1\) sin acercarse a ningún valor concreto: ese límite no existe. ¿Significa eso que el límite original tampoco existe? No. Si lo resolvemos sin L'Hôpital, simplificando directamente:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{\sin x}{x}\right) = 1+0 = 1 \]
El límite sí existe y vale 1. Lo que ocurre es que una de las condiciones de la regla —que exista el límite de \( \frac{f'}{g'}\)— no se cumple, así que L'Hôpital simplemente no era aplicable aquí, no que el límite no exista.
🎓 Moraleja
La regla dice: «SI el límite de \(\frac{f'}{g'}\) existe, ENTONCES coincide con el límite original». No dice lo contrario. Si al derivar te topas con un límite que no existe (por ejemplo, porque oscila), no puedes concluir nada sobre el límite original: prueba con otro método.
Compruébalo tú mismo: calculadora numérica interactiva 🧮
¿Quieres ver con tus propios ojos cómo el valor de la función se acerca al resultado que hemos calculado con L'Hôpital? Elige uno de estos límites y observa la tabla de valores reales:
sin(x) / x, x → 0
| x | f(x) |
|---|---|
| 0.5 | 0.958851 |
| 0.1 | 0.998334 |
| 0.01 | 0.999983 |
| 0.001 | 0.999999833 |
| 0.0001 | 0.999999998 |
✅ A medida que x se acerca a 0, f(x) se acerca a 1. Justo lo que predice la regla de L'Hôpital.
(eˣ − 1) / x, x → 0
| x | f(x) |
|---|---|
| 0.5 | 1.297443 |
| 0.1 | 1.051709 |
| 0.01 | 1.005017 |
| 0.001 | 1.000500 |
| 0.0001 | 1.000050 |
✅ A medida que x se acerca a 0, f(x) se acerca a 1. Justo lo que predice la regla de L'Hôpital.
ln(x) / (x − 1), x → 1
| x | f(x) |
|---|---|
| 1.5 | 0.810930 |
| 1.1 | 0.953102 |
| 1.01 | 0.995033 |
| 1.001 | 0.999500 |
| 1.0001 | 0.999950 |
✅ A medida que x se acerca a 1, f(x) se acerca a 1. Justo lo que predice la regla de L'Hôpital.
ln(x) / x, x → ∞
| x | f(x) |
|---|---|
| 10 | 0.230259 |
| 100 | 0.046052 |
| 1 000 | 0.006908 |
| 10 000 | 0.000921 |
| 100 000 | 0.000115 |
✅ A medida que x crece hacia infinito, f(x) se acerca a 0. Justo lo que predice la regla de L'Hôpital.
Tabla resumen: límites notables 📋
Estos límites aparecen tantas veces que merece la pena tenerlos memorizados. Todos se demuestran con la regla de L'Hôpital:
| Límite | Valor |
|---|---|
| \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) | 1 |
| \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \) | 1 |
| \( \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} \) | \( \frac{1}{2} \) |
| \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} \) | 1 |
| \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \) | 1 |
| \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} \) | \(e\) |
| \( \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{x} \) | \(e^{k}\) |
| \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \) | 0 |
| \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{e^{x}} \) | 0 |
| \( \lim_{x \to 0^{+}} x^{x} \) | 1 |
Preguntas frecuentes sobre la regla de L'Hôpital ❓
¿Puedo aplicar la regla de L'Hôpital varias veces seguidas en el mismo límite?
Sí, sin ningún problema. Mientras cada nueva sustitución siga dando \( \frac{0}{0}\) o \( \frac{\infty}{\infty}\), puedes volver a derivar numerador y denominador tantas veces como haga falta. Lo has visto en el ejercicio 5, donde se aplicó tres veces seguidas.
¿Qué hago si después de aplicar L'Hôpital sigo obteniendo 0/0 o ∞/∞?
Vuelves a comprobar que se cumplen las condiciones y aplicas la regla otra vez sobre el nuevo cociente de derivadas. Repite el proceso hasta que la indeterminación desaparezca.
¿Funciona la regla de L'Hôpital con límites laterales?
Sí. Se aplica exactamente igual cuando \(x \to a^{+}\) o \(x \to a^{-}\), como has visto en los ejercicios 6 y 7, donde \(x \to 0^{+}\).
¿Quién inventó realmente la regla de L'Hôpital?
Lleva el nombre del matemático francés Guillaume de L'Hôpital, que la publicó en 1696 en el primer libro de cálculo diferencial de la historia. Sin embargo, se sabe que fue en realidad su profesor, Johann Bernoulli, quien la desarrolló y demostró, a cambio de un pago acordado entre ambos.
¿Debo usar siempre L'Hôpital en vez de simplificar o usar límites notables?
No siempre es la opción más rápida. Si un límite se resuelve fácilmente factorizando, multiplicando por el conjugado o usando un límite notable ya conocido, esos métodos suelen ser más cortos. L'Hôpital es especialmente útil cuando esas técnicas no funcionan o se complican demasiado.
¿Es la regla de L'Hôpital tema de examen en Selectividad/EBAU?
Sí, es uno de los contenidos habituales del bloque de análisis en 2º de Bachillerato de Ciencias, y aparece con frecuencia en los exámenes de Selectividad/EBAU, normalmente combinada con el estudio de asíntotas o discontinuidades evitables.
🚀 ¿Quieres seguir con derivadas y límites?
Consulta también:
Tabla de derivadas,
Indeterminación 0/0
y
Propiedades de los límites.
Espero que te haya gustado este artículo sobre Regla de L'Hôpital: cuándo usarla, ejemplos y ejercicios. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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