Indeterminación 1 elevado a infinito: cómo resolverla ✍️

hace 6 meses · Actualizado hace 6 meses

🔎 Índice de contenidos

🔢 ¿Qué es la Indeterminación \(1^{\infty}\)?
🤔 ¿Por qué 1 elevado a infinito es Indeterminado? Intuición
🔬 El Número e y su Papel Central en la Indeterminación \(1^\infty\)
📐 Método 1: La Fórmula Directa (el más rápido)
🔄 Método 2: Usando la Definición del Número e
📊 Método 3: Usando el Logaritmo (el más versátil)
🗺️ ¿Cuándo usar cada método?
⭐ Ejercicios Resueltos Paso a Paso
🏆 Ejercicios Tipo Selectividad (EBAU)
❓ Preguntas Frecuentes sobre la Indeterminación \(1^\infty\)

La indeterminación 1 elevado a infinito suele asustar a primera vista, pero si entiendes la fórmula es sencilla. Todo se reduce a identificar dos partes y aplicar un truco elegante que involucra al número más famoso del cálculo: el número \(e\).

Aquí encontrarás la teoría explicada desde cero, los tres métodos de resolución con sus ventajas y desventajas, y siete ejercicios resueltos con todos los pasos detallados.

🔢 ¿Qué es la Indeterminación \(1^{\infty}\)?

La indeterminación \(1^\infty\) aparece en el cálculo de límites cuando la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito simultáneamente. Se escribe formalmente como:
\[ \lim_{x \to A} [f(x)]^{g(x)} \quad \text{con} \quad \lim f(x) = 1 \;\text{ y }\; \lim g(x) = +\infty \]Se llama indeterminación porque el resultado no puede calcularse de manera directa: distintos límites con esta apariencia dan resultados completamente distintos.

📌 Ejemplos que muestran que \(1^\infty\) es indeterminado
Estos tres límites tienen aspecto \(1^\infty\), pero su resultado es completamente diferente:
\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}718\ldots \]\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x = e^2 \approx 7{,}389\ldots \]\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = +\infty \]\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x} = e^0 = 1 \]El mismo aspecto, cuatro resultados distintos. Por eso es una indeterminación: el valor depende de la "velocidad" con que la base se acerca a 1 y el exponente a infinito.

🤔 ¿Por qué 1 elevado a infinito es Indeterminado? Intuición

El conflicto en \(1^\infty\) es un pulso entre dos fuerzas opuestas:

⬇️

Fuerza que "tira hacia 1"

La base tiende a 1. Si multiplicamos \(1\) por sí mismo muchas veces, el resultado siempre es 1. Esta fuerza quiere que el resultado sea 1.

⬆️

Fuerza que "tira hacia ∞"

El exponente tiende a infinito. Si elevamos cualquier número mayor que 1 a una potencia enorme, tiende a infinito. Esta fuerza quiere que el resultado sea grande.

💡 Analogía: Es como un tira y afloja. La base empieza a estar casi en 1, pero no exactamente. Ese pequeño "extra" sobre 1 se acumula cuando se multiplica infinitas veces. El resultado final depende de exactamente qué tan rápido la base se acerca a 1 en comparación con qué tan rápido crece el exponente. Si la base se acerca a 1 "demasiado rápido", el resultado es 1. Si el exponente crece "demasiado rápido", el resultado es \(\infty\). Si el equilibrio es perfecto, el resultado es algún número entre 1 e \(\infty\), como \(e\).

Forma aparente	¿Es indeterminada?	Razón
\(1^n\) (con \(n\) fijo)	No ❌	\(1^n = 1\) siempre, para cualquier \(n\) fijo.
\(c^\infty\) (con \(c > 1\))	No ❌	Si \(c > 1\), entonces \(c^\infty = +\infty\). Determinado.
\(1^\infty\)	Sí ✅	El resultado puede ser cualquier número positivo. Depende de la función concreta.
\(0^\infty\)	No ❌	Si la base tiende a 0 (con \(0 < \text{base} < 1\)), \(0^\infty = 0\). Determinado.

Indeterminacion 1 elevado a infinito

🔬 El Número e y su Papel Central en la Indeterminación \(1^\infty\)

El número \(e\) (número de Euler) es el protagonista absoluto de la indeterminación \(1^\infty\). Su definición misma es un límite con esta indeterminación:

🔑 Definición del número e mediante un límite
\[ e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} \approx 2{,}71828\ldots \]Este límite tiene la forma \(1^\infty\) y su resultado es el número trascendente \(e\).

📊 Aproximación numérica de e

Para \(n\) grandes, \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) se acerca a \(e\):

\(n=1\): \(2^1 = 2\)
\(n=10\): \((1{,}1)^{10} \approx 2{,}5937\)
\(n=100\): \((1{,}01)^{100} \approx 2{,}7048\)
\(n=1000\): \((1{,}001)^{1000} \approx 2{,}7169\)
\(n\to\infty\): \(\to e \approx 2{,}71828\)

🔗 Generalización clave

Si \(\alpha(x) \to 0\) cuando \(x \to A\), entonces:

\[ \lim_{x\to A}(1+\alpha(x))^{1/\alpha(x)} = e \]

Esta es la forma general que sirve de base para todos los métodos.

🧠 La clave intuitiva: la "velocidad" perfecta de equilibrio
Cuando la base se acerca a 1 exactamente a la misma velocidad que el exponente se va a infinito (es decir, el "extra" sobre 1 es del orden de \(1/n\)), el resultado es \(e\). Si el extra sobre 1 es \(k/n\), el resultado es \(e^k\). Esta es la idea que hay detrás de todos los métodos de resolución.

📐 Método 1: La Fórmula Directa (el más rápido)

Este es el método más utilizado en Bachillerato y Selectividad porque es directo y rápido. Se basa en la siguiente propiedad fundamental:

⭐ Fórmula Principal para la Indeterminación \(1^\infty\)
\[ \lim_{x\to A}[f(x)]^{g(x)} = e^{\displaystyle\lim_{x\to A} g(x)\cdot[f(x)-1]} \]válida cuando \(\lim f(x) = 1\) y \(\lim g(x) = \pm\infty\)

🔍 Demostración intuitiva de la fórmula
Partimos de la definición del número \(e\): si \(\alpha = f(x)-1 \to 0\), entonces \((1+\alpha)^{1/\alpha} \to e\).Como \(f(x) = 1 + \alpha\), podemos escribir:
\[ [f(x)]^{g(x)} = (1+\alpha)^{g(x)} = \left[(1+\alpha)^{1/\alpha}\right]^{\alpha \cdot g(x)} \]Tomando límites y usando que la exponencial es continua:
\[ \lim [f(x)]^{g(x)} = \lim\left[(1+\alpha)^{1/\alpha}\right]^{\alpha g(x)} = e^{\lim \alpha g(x)} = e^{\lim [f(x)-1]\cdot g(x)} \]

📋 Pasos para aplicar la fórmula

Verifica que es una indeterminación \(1^\infty\): comprueba que \(\lim f(x) = 1\) y \(\lim g(x) = \infty\).

Identifica \(f(x)\) y \(g(x)\): la base es \(f(x)\) y el exponente es \(g(x)\).

Calcula el exponente del resultado: \(L = \lim_{x\to A} g(x)\cdot[f(x)-1]\)

El resultado es \(e^L\). Si \(L=0\) → resultado \(e^0 = 1\). Si \(L=1\) → resultado \(e\). Si \(L=k\) → resultado \(e^k\).

⚠️ Atención: El límite del exponente \(L = \lim g(x)\cdot[f(x)-1]\) puede ser una indeterminación del tipo \(\infty \cdot 0\). Cuando esto pasa, hay que resolver esa indeterminación secundaria (convirtiendo en \(0/0\) o \(\infty/\infty\) y aplicando L'Hôpital si es necesario).

🔄 Método 2: Usando la Definición del Número e

Este método es especialmente elegante cuando el límite puede manipularse para adoptar exactamente la forma \(\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\). Se basa en sumar y restar 1 dentro de la base para "fabricar" la definición de \(e\).

📋 Esquema del método: sumar y restar 1
Si la base es \(f(x)\), escribimos:
\[ [f(x)]^{g(x)} = [1 + (f(x)-1)]^{g(x)} \]Sea \(t = \dfrac{1}{f(x)-1}\) (que tiende a \(\pm\infty\) porque \(f(x)-1\to 0\)). Entonces:
\[ = \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{g(x)\cdot(f(x)-1)} \]Tomando límites: el corchete interior tiende a \(e\), y el exponente externo tiende a \(L = \lim g(x)(f(x)-1)\):
\[ \Rightarrow \lim [f(x)]^{g(x)} = e^L \]Este método confirma que ambos métodos son equivalentes.

💡 Casos especiales directos
Algunos límites se resuelven por simple reconocimiento de la forma estándar:
\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k \quad \forall k \in \mathbb{R} \]\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km} \quad \forall k,m \in \mathbb{R} \]\[ \lim_{x\to 0}(1+kx)^{m/x} = e^{km} \quad \forall k,m \in \mathbb{R} \]Cuando reconozcas estas formas, puedes aplicar el resultado directamente sin desarrollar todos los pasos.

📊 Método 3: Usando el Logaritmo (el más versátil)

El método del logaritmo es el más general y potente: funciona siempre, incluso cuando los otros métodos son difíciles de aplicar. La idea es tomar logaritmo para convertir la potencia en un producto, resolver la nueva indeterminación (que pasa a ser \(\infty\cdot 0\) o \(0/0\)) y después "deshacer" el logaritmo.

📋 Pasos del método del logaritmo

Sea \(y = [f(x)]^{g(x)}\). Tomamos logaritmo natural: \(\ln y = g(x)\cdot\ln[f(x)]\)

Calculamos \(\lim \ln y = \lim g(x)\cdot \ln[f(x)]\). Como \(f(x)\to 1\), tenemos \(\ln[f(x)]\to 0\), con lo que la indeterminación pasa a ser \(\infty\cdot 0\).

Convertimos a \(\dfrac{0}{0}\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\): \(\lim \dfrac{\ln[f(x)]}{1/g(x)}\) o \(\lim \dfrac{g(x)}{1/\ln[f(x)]}\). Aplicamos L'Hôpital si es necesario.

Si \(\lim \ln y = L\), entonces \(\lim y = e^L\). ¡Resultado!

🔗 Esquema resumido del Método 3
\[ \lim [f(x)]^{g(x)} = y \iff \lim g(x)\cdot\ln f(x) = \ln y \]\[ \lim [f(x)]^{g(x)} = e^{\,\displaystyle\lim g(x)\cdot\ln f(x)} \]

🗺️ ¿Cuándo usar cada método?

Método	Mejor para…	Ventaja	Cuidado con…
Fórmula directa	Límites racionales/polinómicos a ∞	Muy rápido, pocos pasos	Puede aparecer otra indeterminación en el exponente
Definición de e	Cuando la base tiene la forma \((1+k/x)\)	Muy elegante cuando se "ve" la forma	No siempre es fácil manipular a esa forma
Logaritmo	Funciones con raíces, exponenciales, casos difíciles	Siempre funciona; permite usar L'Hôpital	Más pasos; requiere saber derivar

🧠 Consejo para el examen
En Selectividad puedes usar cualquiera de los tres métodos. El Método 1 (fórmula directa) es el más valorado por su eficiencia. Si no ves cómo aplicarlo, usa el Método 3 (logaritmo) que siempre funciona. Lo que nunca debes hacer es substituir directamente \(1^\infty\) y decir que el resultado "es 1" o "es infinito": eso es incorrecto.

Indeterminación 1 elevado a infinito (sin fórmula)

⭐ Ejercicios Resueltos Paso a Paso

¿Sabes resolver la indeterminación 1 elevado a infinito? ¿Seguro? Intenta resolverlo antes de ver la solución.

EJERCICIO 1 Límite clásico con la fórmula directa

📝 Enunciado — Método 1
Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+3}{x+1}\right)^x\)

Verificar la indeterminación:
\(\lim \dfrac{x+3}{x+1} = 1\) ✅ y el exponente \(x \to \infty\) ✅ → Indeterminación \(1^\infty\)

Aplicar la fórmula — calcular \(L = \lim g(x)\cdot[f(x)-1]\):
\[ L = \lim_{x\to\infty} x\cdot\left(\frac{x+3}{x+1} - 1\right) = \lim_{x\to\infty} x\cdot\frac{x+3-(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to\infty} x\cdot\frac{2}{x+1} \]

Resolver el límite del exponente:
\[ L = \lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{1+1/x} = 2 \]

Resultado final:
\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x+1}\right)^x = e^L = e^2 \approx 7{,}389 \]

✅ Resultado: \(\boldsymbol{e^2}\)
El "extra" sobre 1 en la base era \(2/(x+1)\), que al multiplicarse por el exponente \(x\) da 2.

EJERCICIO 2 Reconocer la forma de e directamente

📝 Enunciado — Método 2
Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}\)

Reconocer la forma estándar:
Tenemos la forma \(\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{mx}\) con \(k=3\) y \(m=2\).

Aplicar la fórmula directa (Método 1) o reconocimiento:
\[ L = \lim_{x\to\infty} 2x\cdot\frac{3}{x} = 6 \]O también: reescribir como \(\left[\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^{6}\to e^6\).

✅ Resultado: \(\boldsymbol{e^6}\)
La fórmula general \(\left(1+k/x\right)^{mx} \to e^{km}\) con \(k=3,\,m=2\) da \(e^{3\cdot2}=e^6\).

EJERCICIO 3 Exponente en el numerador y denominador

📝 Enunciado — Método 1
Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x^2+x-1}{2x^2-x+3}\right)^{x}\)

Verificar \(1^\infty\):
\(\lim \dfrac{2x^2+x-1}{2x^2-x+3} = \dfrac{2}{2} = 1\) ✅ y exponente \(x\to\infty\) ✅

Calcular \(f(x)-1\):
\[ f(x)-1 = \frac{2x^2+x-1}{2x^2-x+3} - 1 = \frac{(2x^2+x-1)-(2x^2-x+3)}{2x^2-x+3} = \frac{2x-4}{2x^2-x+3} \]

Calcular \(L = \lim x \cdot (f(x)-1)\):
\[ L = \lim_{x\to\infty} x \cdot \frac{2x-4}{2x^2-x+3} = \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-4x}{2x^2-x+3} \]Cociente de polinomios de mismo grado → dividimos coeficientes líderes:
\[ L = \frac{2}{2} = 1 \]

✅ Resultado: \(\boldsymbol{e^1 = e}\)

EJERCICIO 4 Límite cuando \(x \to 0\)

📝 Enunciado — Método 1
Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+\sin x)^{3/x}\)

Verificar \(1^\infty\):
\(\lim_{x\to 0}(1+\sin x) = 1+0 = 1\) ✅ y \(\lim_{x\to 0} 3/x = \infty\) ✅

Calcular \(L = \lim g(x)\cdot[f(x)-1]\):
\[ L = \lim_{x\to 0}\frac{3}{x}\cdot[(1+\sin x)-1] = \lim_{x\to 0}\frac{3\sin x}{x} \]

Usar el límite fundamental \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\):
\[ L = 3 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 3 \cdot 1 = 3 \]

✅ Resultado: \(\boldsymbol{e^3}\)
El límite fundamental del seno \(\lim_{x\to 0}(\sin x)/x = 1\) simplifica enormemente el cálculo.

EJERCICIO 5 Con función exponencial — Método del logaritmo

📝 Enunciado — Método 3
Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+2}{x^2-1}\right)^{x^2}\)

Verificar y aplicar fórmula directa:
\[ f(x)-1 = \frac{x^2+2}{x^2-1} - 1 = \frac{x^2+2-x^2+1}{x^2-1} = \frac{3}{x^2-1} \]

Calcular \(L\):
\[ L = \lim_{x\to\infty} x^2 \cdot \frac{3}{x^2-1} = \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{x^2-1} = 3 \cdot\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2-1} = 3\cdot 1 = 3 \]

✅ Resultado: \(\boldsymbol{e^3}\)

🏆 Ejercicios Tipo Selectividad (EBAU)

SELECTIVIDAD 1 Indeterminación con parámetro \(a\)

📝 Enunciado
Halla el valor de \(a\) para que: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+a}{x-2}\right)^x = e^5\)

Calcular \(f(x)-1\):
\[ \frac{x+a}{x-2} - 1 = \frac{x+a-(x-2)}{x-2} = \frac{a+2}{x-2} \]

Calcular \(L\) en función de \(a\):
\[ L = \lim_{x\to\infty} x\cdot\frac{a+2}{x-2} = \lim_{x\to\infty}\frac{(a+2)x}{x-2} = a+2 \]

Igualar al resultado dado:
\[ e^{a+2} = e^5 \implies a+2 = 5 \implies \boxed{a = 3} \]

✅ Resultado: \(\boldsymbol{a = 3}\)

SELECTIVIDAD 2 Límite con cociente de polinomios de grado 2

📝 Enunciado
Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{3x^2-1}{3x^2+x}\right)^{x^3}\)

Verificar \(1^\infty\):
\(\lim \dfrac{3x^2-1}{3x^2+x} = \dfrac{3}{3} = 1\) ✅ y \(x^3\to\infty\) ✅

Calcular \(f(x)-1\):
\[ \frac{3x^2-1}{3x^2+x} - 1 = \frac{(3x^2-1)-(3x^2+x)}{3x^2+x} = \frac{-x-1}{3x^2+x} \]

Calcular \(L\):
\[ L = \lim_{x\to\infty} x^3 \cdot\frac{-x-1}{3x^2+x} = \lim_{x\to\infty}\frac{-x^4-x^3}{3x^2+x} \]El grado del numerador (4) es mayor que el del denominador (2) → el límite es \(-\infty\).

✅ Resultado: \(\boldsymbol{e^{-\infty} = 0}\)
Cuando el exponente tiende a \(-\infty\), la exponencial tiende a 0.

❓ Preguntas Frecuentes sobre la Indeterminación \(1^\infty\)

🤔 ¿Cuántas indeterminaciones existen en el cálculo de límites?

En total hay 7 indeterminaciones clásicas: \(\dfrac{0}{0}\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^\infty\), \(0^0\) e \(\infty^0\). Las tres últimas son formas exponenciales indeterminadas y comparten el enfoque del logaritmo para resolverse. La indeterminación \(1^\infty\) es especial porque su resolución siempre pasa por el número \(e\).

🤔 ¿Puede el resultado de \(1^\infty\) ser un número cualquiera?

Sí. El resultado puede ser cualquier número positivo, incluyendo 0 (cuando \(L=-\infty\)) e incluso \(+\infty\) (cuando \(L=+\infty\)). Todo depende del valor del exponente \(L = \lim g(x)\cdot[f(x)-1]\). Si \(L=1\), el resultado es \(e\); si \(L=2\), es \(e^2\); si \(L=-1\), es \(1/e\), etc.

🤔 ¿Por qué no se puede sustituir directamente \(1^\infty = 1\)?

Porque la base nunca es exactamente 1, sino que tiende a 1. La pequeña diferencia entre la base y 1, multiplicada un número infinito de veces, puede acumularse hasta un valor finito y no trivial. Es el mismo principio por el que \(\lim(1+1/n)^n = e \neq 1\), aunque la base \((1+1/n)\) esté más cerca de 1 cuanto más crece \(n\).

🤔 ¿Qué diferencia hay entre \(1^\infty\) e \(\infty^0\)?

\(1^\infty\): base tiende a 1, exponente tiende a \(\infty\). Se resuelve con la fórmula \(e^{\lim g(x)(f(x)-1)}\).
\(\infty^0\): base tiende a \(\infty\), exponente tiende a 0. Para resolver esta, se toma logaritmo y el límite se convierte en \(\lim g(x)\cdot\ln f(x)\), que es de tipo \(0\cdot\infty\) y se convierte en \(0/0\) o \(\infty/\infty\) para aplicar L'Hôpital.

🤔 ¿Qué pasa si \(L\) resulta una nueva indeterminación al calcular \(\lim g(x)(f(x)-1)\)?

Es frecuente que \(L = \lim g(x)\cdot(f(x)-1)\) tenga la forma \(\infty \cdot 0\). En ese caso, hay que convertirla en \(0/0\) o \(\infty/\infty\) poniendo uno de los factores en el denominador como su inverso, y resolver con L'Hôpital o álgebra. El resultado de esa segunda indeterminación es el valor de \(L\), y el resultado del límite original es \(e^L\).

📚 Resumen: lo esencial de la indeterminación \(1^\infty\)

🔢 Aparece cuando \(\lim f(x) = 1\) y \(\lim g(x) = \infty\) simultáneamente.
⭐ Fórmula directa: \(\lim[f(x)]^{g(x)} = e^{\lim g(x)\cdot[f(x)-1]}\).
🔬 La definición del número \(e = \lim(1+1/n)^n\) es el caso más famoso de \(1^\infty\).
🗺️ Si el exponente \(L\) resulta otra indeterminación \(\infty\cdot 0\), conviértela y aplica L'Hôpital.
📊 El método del logaritmo siempre funciona: \(\lim[f]^g = e^{\lim g\cdot\ln f}\).
🚫 Nunca sustituyas directamente \(1^\infty = 1\). Siempre aplica el método correcto.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...