Ejemplo visual de maximos y minimos de una función

Máximos y mínimos de una función📈:cómo calcularlos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 3 días · Actualizado hace 3 días

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué son los máximos y mínimos de una función? 🔍
  2. ¿Dónde suelen aparecer?
  3. Método en 4 pasos
  4. Criterio de la primera derivada 📈
  5. Criterio de la segunda derivada 📉
  6. Ejemplo guiado paso a paso
  7. Ejercicios resueltos 💪
  8. Tabla resumen 📌
📘 Secundaria y Bachillerato

Máximos y mínimos de una función: cómo los encuentro paso a paso
Cuando me preguntan para qué sirve derivar, yo pienso enseguida en detectar picos y valles. Ahí aparecen los máximos y mínimos de una función. En este artículo voy a enseñarte mi método para encontrarlos de forma clara, sin liarte y con ejemplos que sí se parecen a los que salen en clase.
Derivo
→
Busco puntos críticos
→
Compruebo el tipo
⚡ Respuesta rápida

Yo encuentro los máximos y mínimos de una función localizando primero los puntos críticos, es decir, los puntos donde la derivada vale cero o no existe. Después compruebo si la función pasa de crecer a decrecer, o de decrecer a crecer, para saber si tengo un máximo, un mínimo o ningún extremo.

Si además uso la segunda derivada, puedo clasificar muchos ejercicios todavía más rápido.

¿Qué son los máximos y mínimos de una función? 🔍

Yo llamo máximo local a un punto donde la función tiene un valor más alto que los valores cercanos. Del mismo modo, llamo mínimo local a un punto donde la función tiene un valor más bajo que los de alrededor.

También existen los extremos absolutos. Un máximo absoluto es el valor más grande de toda la función en un intervalo, y un mínimo absoluto es el más pequeño. Esta diferencia aparece muchísimo en exámenes, así que conviene no mezclarla.

Curva con un máximo local y un mínimo local señalados

Yo lo visualizo así: un pico marca un máximo local y un valle marca un mínimo local.

💡 Idea clave

Si una función crece y justo después empieza a decrecer, en medio aparece un máximo. Si decrece y luego empieza a crecer, en medio aparece un mínimo.

¿Dónde suelen aparecer?

En funciones derivables, los máximos y mínimos suelen aparecer en los llamados puntos críticos. Son los puntos donde la derivada es cero o no existe. Yo siempre empiezo por ellos porque son los candidatos naturales.

  • Si \(f'(x)=0\), tengo un candidato.
  • Si \(f'(x)\) no existe, también debo revisar ese punto.
  • Si el ejercicio está en un intervalo cerrado, además reviso los extremos del intervalo.

Método en 4 pasos

Para no perderme, sigo siempre el mismo orden. Esa rutina me ayuda a evitar errores y a justificar bien la respuesta.

1

Derivo la función. Así descubro cómo cambia y dónde puede detenerse.
2

Busco los puntos críticos. Igualo la derivada a cero y anoto los puntos donde no existe.
3

Compruebo el tipo de punto. Puedo usar el cambio de signo de \(f'(x)\) o el criterio de la segunda derivada.
4

Evalúo la función. No me quedo solo con la \(x\); escribo el punto completo \((x,f(x))\).
Ejemplo visual de maximos y minimos de una función

Criterio de la primera derivada 📈

Este criterio me gusta porque es muy visual. Solo tengo que mirar si la derivada cambia de signo alrededor del punto crítico.

Antes del puntoDespués del puntoConclusión
\(+\)\(-\)Máximo local
\(-\)\(+\)Mínimo local
\(+\)\(+\)No hay extremo
\(-\)\(-\)No hay extremo
✅ Mi consejo

Si te cuesta imaginar la gráfica, haz una tabla de signos pequeña. En dos líneas puedes ver si la función sube, baja o no cambia de comportamiento.

Criterio de la segunda derivada 📉

Cuando la segunda derivada existe y me sale un signo claro, ahorro mucho tiempo. Si \(f''(x_0)<0\), la función es cóncava hacia abajo en ese punto y tengo un máximo local. Si \(f''(x_0)>0\), la función es cóncava hacia arriba y tengo un mínimo local.

Comparación clara entre concavidad hacia abajo y concavidad hacia arriba

Para mí, esta es la lectura rápida: segunda derivada negativa, máximo; segunda derivada positiva, mínimo.

⚠️ Importante

Si \(f''(x_0)=0\), no puedo decidir solo con este criterio. En ese caso vuelvo al estudio del signo de la primera derivada.

Ejemplo guiado paso a paso

Voy a estudiar la función \(f(x)=-x^2+4x+1\). Es un ejemplo perfecto para empezar porque se ve muy bien qué está pasando.

  1. Derivo: \(f'(x)=-2x+4\).
  2. Igualo a cero: \(-2x+4=0\Rightarrow x=2\).
  3. Calculo la segunda derivada: \(f''(x)=-2\), que es negativa.
  4. Evalúo la función: \(f(2)=5\).

Conclusión: en \(x=2\) tengo un máximo local y el punto es \((2,5)\).

Ejercicios resueltos 💪

Ahora voy con varios ejercicios de dificultad creciente. Mi objetivo no es solo darte la respuesta, sino mostrarte cómo pienso cada paso.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Halla el máximo de \(f(x)=-x^2+4x+1\).

Función cuadrática con un único extremo.
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Paso 1: Derivo: \(f'(x)=-2x+4\).
Paso 2: Igualo a cero: \(x=2\).
Paso 3: Como \(f''(x)=-2<0\), sé que es un máximo.
Paso 4: Evalúo: \(f(2)=5\).
✅ Máximo local en \((2,5)\)
🟢 Básico

Ejercicio 2. Estudia los extremos de \(g(x)=x^3-6x^2+9x+2\).

Aquí aparecen dos puntos críticos.
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Paso 1: \(g'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\).
Paso 2: Los puntos críticos son \(x=1\) y \(x=3\).
Paso 3: \(g''(x)=6x-12\). Entonces \(g''(1)=-6<0\) y \(g''(3)=6>0\).
✅ Máximo local en \(x=1\) y mínimo local en \(x=3\)
🟡 Medio

Ejercicio 3. Estudia \(h(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

Aquí practico derivada de cociente y clasificación de extremos.
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Paso 1: \(h'(x)=\dfrac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
Paso 2: Igualo a cero: \(1-x^2=0\Rightarrow x=\pm1\).
Paso 3: El signo de la derivada muestra que en \(x=-1\) hay mínimo y en \(x=1\) hay máximo.
✅ Mínimo local en \(x=-1\) y máximo local en \(x=1\)
🟡 Medio

Ejercicio 4. Un rectángulo tiene perímetro 40 m. ¿Cuándo su área es máxima?

Este es un problema clásico de optimización.
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Paso 1: Si los lados son \(x\) e \(y\), entonces \(2x+2y=40\), así que \(x+y=20\).
Paso 2: Sustituyo \(y=20-x\) en el área: \(A(x)=20x-x^2\).
Paso 3: \(A'(x)=20-2x\Rightarrow x=10\).
Paso 4: El otro lado también vale 10.
✅ El área máxima se alcanza cuando el rectángulo es un cuadrado de lado 10 m
🔴 Avanzado

Ejercicio 5. Halla y clasifica los extremos de \(p(x)=x^4-4x^2\).

Aquí aparecen tres puntos críticos.
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Paso 1: \(p'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)\).
Paso 2: Los puntos críticos son \(x=0\) y \(x=\pm\sqrt2\).
Paso 3: \(p''(x)=12x^2-8\). Entonces \(p''(0)=-8<0\) y \(p''(\pm\sqrt2)=16>0\).
✅ Máximo local en \((0,0)\) y mínimos locales en \((\pm\sqrt2,-4)\)
🔴 Avanzado

Ejercicio 6. Comprueba con una aproximación numérica la derivada de \(q(x)=(x^2+1)^3\) en \(x=1\).

Me sirve para revisar si los cálculos teóricos van bien.
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Paso 1: Derivo: \(q'(x)=6x(x^2+1)^2\).
Paso 2: Evalúo en \(x=1\): \(q'(1)=24\).
Paso 3: Comparo con una aproximación numérica y veo que se acerca al mismo valor.
✅ La comprobación numérica confirma que la derivada vale 24 en \(x=1\)

Errores más comunes ⚠️

❌ Pensar que todo punto con derivada cero es un extremo.
No siempre. Puede ser un punto donde la función se aplana pero no cambia de crecer a decrecer.
❌ Olvidar los extremos del intervalo.
Si el ejercicio pide máximos o mínimos absolutos en un intervalo cerrado, yo reviso también los extremos.
❌ Dar solo la coordenada x.
La respuesta completa suele ser el punto, así que también calculo \(f(x)\).
❌ Confiar siempre en la segunda derivada.
Si sale cero, no basta. En ese caso vuelvo al criterio de signos de la primera derivada.

Comprobación numérica 🧮

A mí me gusta revisar algún resultado con números. No sustituye al razonamiento, pero sirve como control rápido.

Tabla de aproximación para \(q'(1)\)
\(h\)Aproximación
0.124.61000000
0.0124.06010000
0.00124.00600100
0.000124.00060001

Las aproximaciones se acercan a 24, que es justo el valor teórico de la derivada.

Tabla resumen 📌

ConceptoQué significaQué hago yo
Máximo localLa función pasa de subir a bajarCompruebo signo \(+\) a \(-\)
Mínimo localLa función pasa de bajar a subirCompruebo signo \(-\) a \(+\)
Punto crítico\(f'(x)=0\) o no existeLo anoto como candidato
Segunda derivada negativaConcavidad hacia abajoPienso en máximo local
Segunda derivada positivaConcavidad hacia arribaPienso en mínimo local

Preguntas frecuentes ❓

¿Qué diferencia hay entre extremo local y absoluto?

El local solo compara con los puntos cercanos. El absoluto gana frente a todos los valores del intervalo.

¿Qué pasa si la derivada no existe?

Ese punto puede seguir siendo crítico. Yo no lo descarto: lo reviso igual que cualquier otro candidato.

¿Siempre tengo que usar la segunda derivada?

No. Puedes resolver muchos ejercicios solo con el signo de la primera derivada. La segunda derivada es un atajo útil, no una obligación.

¿Para qué sirve esto en la vida real?

Sirve para optimizar costes, maximizar beneficios, diseñar dimensiones eficientes o estudiar el mejor rendimiento de un sistema.

¿Cómo empiezo un ejercicio si me bloqueo?

Yo empiezo siempre igual: derivo, saco candidatos, hago una tabla de signos o miro la segunda derivada y luego calculo el punto completo.

🚀 ¿Seguimos practicando álgebra juntos?

Consulta también:
Problemas de optimización
Estudio de una función.
y
Tabla de derivadas y ejercicios.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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