Números complejos: definición, operaciones y ejemplos

$$
\mathbb{C} = \{\, a + bi \;:\; a, b \in \mathbb{R},\; i^2 = -1 \,\}
$$

Ejemplos de números complejos: $ 3 + 4i $ , $ -2 + 7i $ , $ 5 $ (real puro), $ 9i $ (imaginario puro).

• Parte real ( $ a $ ): el número «normal» de toda la vida.
• Parte imaginaria ( $ b $ ): el coeficiente que acompaña a $ i $ .
• Unidad imaginaria ( $ i $ ): el número tal que $ i^2 = -1 $ .

$$
i^0 = 1 \qquad i^1 = i \qquad i^2 = -1 \qquad i^3 = -i \qquad i^4 = 1
$$

…y el ciclo se repite indefinidamente cada 4 potencias.

Para calcular $ i^n $ con un exponente grande, divide $ n $ entre 4 y fíjate solo en el resto: si el resto es 0 → resultado 1; si es 1 → resultado $ i $ ; si es 2 → resultado $ -1 $ ; si es 3 → resultado $ -i $ .

Dividimos 23 entre 4:

$$
23 = 4 \cdot 5 + 3
$$

El resto es 3, así que:

$$
i^{23} = i^3 = -i
$$

Representación de \(z = 3 + 4i\) en el plano complejo

La parte real (3) se mide en horizontal, la parte imaginaria (4) en vertical.

$$
= (5+2) + (3-7)i = 7 - 4i
$$

$$
= 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i - 12(-1) = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i
$$

Nunca dividas parte real entre parte real y parte imaginaria entre parte imaginaria por separado. Es un error muy habitual: siempre hay que multiplicar por el conjugado.

• $ z \cdot \bar{z} = a^2+b^2 = |z|^2 $ → el producto de un complejo por su conjugado es siempre real.
• $ \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} $ → el conjugado respeta la suma.
• $ \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} $ → y también el producto.
• $ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $ → el módulo es multiplicativo.
• $ z + \bar{z} = 2a $ y $ z - \bar{z} = 2bi $

Conjugado:

$$
\bar{z} = 3 - 4i
$$

Módulo:

$$
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$

Argumento:

$$
\theta = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ
$$

Comprobación:

$$
z \cdot \bar{z} = (3+4i)(3-4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2 \;\checkmark
$$

$$
r = \sqrt{a^2+b^2}, \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)
$$

De polar a binómica:

$$
a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta
$$

La calculadora siempre devuelve el arcotangente entre $ -90^\circ $ y $ 90^\circ $ . Si el complejo está en el segundo o tercer cuadrante (parte real negativa), debes sumar $ 180^\circ $ al resultado. Es el error número 1 en los exámenes de forma polar.

Módulo:

$$
r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}
$$

Argumento: la calculadora da $ \arctan(-1) = -45^\circ $ , pero $ z $ está en el segundo cuadrante, así que sumamos $ 180^\circ $ :

$$
\theta = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ
$$

Resultado:

$$
z = \sqrt{2}_{\,135^\circ} = \sqrt{2}\,e^{i\,3\pi/4}
$$

$$
r_\alpha \cdot s_\beta = (r\cdot s)_{\,\alpha+\beta}
$$

Cociente:

$$
\frac{r_\alpha}{s_\beta} = \left(\frac{r}{s}\right)_{\alpha-\beta}
$$

$$
\left(r_\theta\right)^n = \left(r^n\right)_{\,n\theta}
$$

Raíces $ n $ -ésimas:

$$
\sqrt[n]{r_\theta} = \left(\sqrt[n]{r}\right)_{\frac{\theta + 360^\circ k}{n}}, \qquad k = 0, 1, \ldots, n-1
$$

Paso 1. Pasamos a polar: $ r = \sqrt{2} $ , $ \theta = 45^\circ $ .

$$
1 + i = \sqrt{2}_{\,45^\circ}
$$

Paso 2. Aplicamos De Moivre:

$$
\left(\sqrt{2}_{\,45^\circ}\right)^8 = \left(\left(\sqrt{2}\right)^8\right)_{\,360^\circ} = 16_{\,0^\circ}
$$

Paso 3. Volvemos a binómica:

$$
(1+i)^8 = 16
$$

Las 6 raíces sextas de la unidad

Las raíces están separadas exactamente \(360°/6 = 60°\) entre sí.

• Ingeniería eléctrica: la impedancia de un circuito en corriente alterna es un número complejo. Resistencia (real) + reactancia (imaginaria).
• Procesamiento de señales: la transformada de Fourier, base del MP3, JPEG y el WiFi, se define con exponenciales complejas.
• Mecánica cuántica: la función de onda de Schrödinger toma valores complejos. No es una comodidad: es esencial.
• Aerodinámica: el flujo de aire alrededor de un ala se modela con funciones complejas.
• Fractales: el conjunto de Mandelbrot vive en el plano complejo.

La identidad de Euler conecta los cinco números más importantes de las matemáticas en una sola expresión:

$$
e^{i\pi} + 1 = 0
$$

Aparecen $ e $ , $ i $ , $ \pi $ , $ 1 $ y $ 0 $ . El físico Richard Feynman la llamó «la joya más notable de las matemáticas».

Despejamos:

$$
x^2 = -9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{-9} = \pm 3i
$$

Las soluciones son $ x_1 = 3i $ y $ x_2 = -3i $ : dos raíces conjugadas.

Aplicamos la fórmula general:

$$
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2}
$$

$$
= \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i
$$

Soluciones: $ x_1 = 2 + 3i $ y $ x_2 = 2 - 3i $ .

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

$$
\frac{(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{6+4i+3i+2i^2}{9+4}
$$

$$
= \frac{6+7i-2}{13} = \frac{4+7i}{13} = \frac{4}{13} + \frac{7}{13}i
$$

En polar, $ 8 = 8_{\,0^\circ} $ . Aplicamos la fórmula de raíces con $ n = 3 $ :

$$
\sqrt[3]{8_{\,0^\circ}} = 2_{\,\frac{0^\circ + 360^\circ k}{3}}, \quad k = 0, 1, 2
$$

Obtenemos:

$$
z_0 = 2_{\,0^\circ} = 2
$$

$$
z_1 = 2_{\,120^\circ} = -1 + \sqrt{3}\,i
$$

$$
z_2 = 2_{\,240^\circ} = -1 - \sqrt{3}\,i
$$

Tres raíces formando un triángulo equilátero de radio 2.

Dividimos cada exponente entre 4 y nos quedamos con el resto:

\[ 47 = 4 \cdot 11 + 3 \quad \Rightarrow \quad i^{47} = i^3 = -i \]\[ 100 = 4 \cdot 25 + 0 \quad \Rightarrow \quad i^{100} = i^0 = 1 \]

Sumamos los resultados:

\[ i^{47} + i^{100} = -i + 1 = 1 - i \]

Se usan en ingeniería eléctrica (análisis de circuitos de corriente alterna), procesamiento de señales (audio, imagen, telecomunicaciones), mecánica cuántica, aerodinámica y gráficos fractales, entre muchas otras aplicaciones.

Un número imaginario es un caso particular de número complejo en el que la parte real es cero (por ejemplo, \(5i\)). Todo número imaginario es complejo, pero no todo complejo es imaginario puro.

La raíz cuadrada de -4 es \(2i\), porque \(\sqrt{-4} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{-1} = 2i\). Se comprueba fácilmente: \((2i)^2 = 4i^2 = -4\).

Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador. Así el denominador se convierte en un número real (\(a^2+b^2\)) y la división se resuelve fácilmente.

Las potencias de \(i\) se repiten cíclicamente cada 4: \(i^0=1\), \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\). Para calcular \(i^n\), se divide \(n\) entre 4 y se usa el resto obtenido.

Siempre tiene exactamente \(n\) raíces distintas, que se distribuyen equiespaciadas sobre una circunferencia formando los vértices de un polígono regular de \(n\) lados.

🚀 ¿Seguimos con números complejos?

Consulta también:
Identidad de Euler
Forma polar de números complejos
Operaciones con números complejos.
y
Fórmula de Moivre