🔎 Índice de contenidos
En esta guía encontrarás todas las operaciones con fracciones explicadas paso a paso.
Las fracciones representan partes de un todo y se escriben como \( \dfrac{a}{b} \), donde \( a \) es el numerador (las partes que tomamos) y \( b \) el denominador (las partes totales en que se divide la unidad). Saber sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones es una de las destrezas más importantes de las matemáticas escolares, porque aparece después en álgebra, ecuaciones, proporciones y probabilidad.
En esta guía verás las cuatro operaciones explicadas paso a paso, con reglas claras, ejemplos resueltos, errores frecuentes y ejercicios interactivos tipo flash card para practicar al instante.
Las 4 operaciones de un vistazo
Suma: \( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \)
Resta: \( \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad - bc}{bd} \)
Multiplicación: \( \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} \)
División: \( \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc} \)
Sumar y restar exigen igualar denominadores. Multiplicar y dividir, no.
¿Qué es una fracción?
Una fracción expresa una división no realizada. Por ejemplo, \( \dfrac{3}{4} \) significa "3 de 4 partes iguales", y también equivale a la división \( 3 \div 4 = 0{,}75 \).
Representación de \( \dfrac{3}{4} \)
3 partes coloreadas de 4 totales
Tipos de fracciones
| Tipo | Característica | Ejemplo |
|---|---|---|
| Propia | Numerador menor que denominador | \( \dfrac{2}{5} \) |
| Impropia | Numerador mayor o igual | \( \dfrac{7}{3} \) |
| Mixta | Entero + fracción propia | \( 2\dfrac{1}{3} \) |
| Equivalentes | Representan el mismo valor | \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \) |
| Irreducible | No se puede simplificar más | \( \dfrac{3}{7} \) |
Suma de fracciones
Caso 1: mismo denominador
Se suman los numeradores y se mantiene el denominador:
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \]
Ejemplo 1
\( \dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{2+3}{7} = \dfrac{5}{7} \)
Caso 2: distinto denominador
Hay que igualar los denominadores calculando el mínimo común múltiplo (m.c.m.). Después se convierte cada fracción en su equivalente y se suman los numeradores. Otra opción (que a mí me gusta más) es ver a qué numero pueden llegar los dos denominadores, normalmente un múltiplo del mayor. En este caso, 3 y 4 pueden llegar al número 12.
Método en 4 pasos: \( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} \)
Paso 1. Calcular el m.c.m. de los denominadores: \( \text{m.c.m.}(4,3) = 12 \)
Paso 2. Dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicar por el numerador:
\( 12 \div 4 = 3 \Rightarrow 3 \times 1 = 3 \) | \( 12 \div 3 = 4 \Rightarrow 4 \times 2 = 8 \)
Paso 3. Escribir las fracciones equivalentes:
\( \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12} \) | \( \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12} \)
Paso 4. Sumar los numeradores:
\( \dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12} \)
Resultado final: \( \dfrac{11}{12} \) (ya es irreducible)
Truco rápido: multiplicación en cruz
Si solo hay dos fracciones, puedes aplicar directamente:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \]
Ejemplo 2
\( \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 + 4 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \dfrac{3+8}{12} = \dfrac{11}{12} \)
Ojo: este método puede dar números grandes que luego habrá que simplificar. Es mejor saber lo que estás haciendo.
Si quieres profundizar con más casos y ejercicios, consulta la guía completa de suma de fracciones.
Resta de fracciones
Funciona exactamente igual que la suma, pero restando los numeradores. El denominador común se obtiene del mismo modo.
\[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} \]
Ejemplo 3
\( \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} \)
m.c.m.\( (6,4) = 12 \)
\( \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} \) | \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12} \)
\( \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \)
⚠️ Cuidado con los signos
Cuando restas una fracción negativa, los signos se invierten: \( \dfrac{3}{5} - \left(-\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} \)
Multiplicación de fracciones
Es la operación más sencilla: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. No hace falta denominador común.
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
Ejemplo 4
\( \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \dfrac{6}{35} \)
Simplificar antes de multiplicar
Si un numerador y un denominador comparten factor, puedes cancelarlos antes para trabajar con números más pequeños:
Simplificación cruzada: \( \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} \)
Sin simplificar: \( \dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6} \)
Simplificando antes:
El 4 y el 8 se dividen entre 4: \( 4 \to 1 \), \( 8 \to 2 \)
El 3 y el 9 se dividen entre 3: \( 3 \to 1 \), \( 9 \to 3 \)
Queda: \( \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \)
Mismo resultado, pero con cálculos mucho más fáciles.
Si quieres profundizar y ver más ejemplos y ejercicios resueltos, consulta la guía completa de multiplicación de fracciones.
División de fracciones
Dividir fracciones es multiplicar por la inversa de la segunda fracción. Popularmente se conoce como el método de "multiplicar en cruz" o "invertir y multiplicar".
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
Ejemplo 5
\( \dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} \)
Invertimos la segunda: \( \dfrac{2}{5} \to \dfrac{5}{2} \)
\( \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8} \)
💡 Regla práctica
Multiplica los extremos (primer numerador × segundo denominador) para el numerador, y los medios (primer denominador × segundo numerador) para el denominador.
Tabla comparativa de las 4 operaciones
| Operación | ¿Denominador común? | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Suma | Sí, obligatorio | \( \dfrac{ad+bc}{bd} \) | \( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \) |
| Resta | Sí, obligatorio | \( \dfrac{ad-bc}{bd} \) | \( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6} \) |
| Multiplicación | No | \( \dfrac{ac}{bd} \) | \( \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6} \) |
| División | No | \( \dfrac{ad}{bc} \) | \( \dfrac{1}{2}\div\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{2} \) |
Cómo simplificar el resultado
Toda fracción debe entregarse irreducible. Para ello se divide numerador y denominador entre su máximo común divisor (M.C.D.).
Ejemplo 6
Simplificar \( \dfrac{18}{24} \)
M.C.D.\( (18,24) = 6 \)
\( \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4} \)
Operaciones combinadas con fracciones
Cuando aparecen varias operaciones juntas, se respeta la jerarquía: primero paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y por último sumas y restas.
Ejercicio resuelto: \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \)
Paso 1. Primero la multiplicación:
\( \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} \)
Paso 2. Ahora la suma:
\( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} \)
Paso 3. Simplificar:
\( \dfrac{2}{2} = 1 \)
Resultado: \( 1 \)
Si quieres profundizar con más ejercicios resueltos, consulta la guía completa de operaciones combinadas con fracciones
Ejercicios interactivos: flash cards
Practica con estas tarjetas. Haz clic en cada una para girarla y ver la solución paso a paso.
Tarjeta 1 · Suma
\( \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} \)
Toca para ver la solución
Mismo denominador: sumamos numeradores.
\( \dfrac{3+1}{8} = \dfrac{4}{8} \)
Simplificamos entre 4:
\( \dfrac{1}{2} \)
Tarjeta 2 · Suma
\( \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5} \)
Toca para ver la solución
m.c.m.(3,5) = 15
\( \dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15} \), \( \dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15} \)
\( \dfrac{10+3}{15} \)
\( \dfrac{13}{15} \)
Tarjeta 3 · Resta
\( \dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{9} \)
Toca para ver la solución
Mismo denominador: restamos numeradores.
\( \dfrac{7-2}{9} \)
Ya es irreducible.
\( \dfrac{5}{9} \)
Tarjeta 4 · Resta
\( \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} \)
Toca para ver la solución
m.c.m.(4,6) = 12
\( \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12} \), \( \dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{12} \)
\( \dfrac{9-2}{12} \)
\( \dfrac{7}{12} \)
Tarjeta 5 · Multiplicación
\( \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} \)
Toca para ver la solución
Multiplicamos en línea:
\( \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \dfrac{6}{20} \)
Simplificamos entre 2:
\( \dfrac{3}{10} \)
Tarjeta 6 · Multiplicación
\( \dfrac{5}{6} \times \dfrac{12}{25} \)
Toca para ver la solución
Simplificamos antes: 5 y 25 entre 5; 12 y 6 entre 6.
\( \dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{5} \)
\( \dfrac{2}{5} \)
Tarjeta 7 · División
\( \dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{5} \)
Toca para ver la solución
Invertimos la segunda y multiplicamos:
\( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{5}{6} \)
Tarjeta 8 · División
\( \dfrac{4}{9} \div \dfrac{2}{3} \)
Toca para ver la solución
\( \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{18} \)
Simplificamos entre 6:
\( \dfrac{2}{3} \)
Tarjeta 9 · Combinada
\( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} \)
Toca para ver la solución
Primero la multiplicación: \( \dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5} \)
Luego: \( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5} \), m.c.m. = 15
\( \dfrac{5+3}{15} \)
\( \dfrac{8}{15} \)
Tarjeta 10 · Combinada
\( \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{1}{8} \)
Toca para ver la solución
Paréntesis: \( \dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{4} \)
División: \( \dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{1} = \dfrac{8}{4} \)
\( 2 \)
Tarjeta 11 · Problema
Se comen \( \dfrac{2}{5} \) de una tarta y luego \( \dfrac{1}{4} \). ¿Cuánto queda?
Toca para ver la solución
Comido: \( \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8+5}{20}=\dfrac{13}{20} \)
Queda: \( 1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{20-13}{20} \)
\( \dfrac{7}{20} \)
Tarjeta 12 · Problema
Un depósito de \( \dfrac{3}{4} \) de litro se reparte en vasos de \( \dfrac{1}{8} \) L. ¿Cuántos vasos salen?
Toca para ver la solución
\( \dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{1} \)
\( = \dfrac{24}{4} \)
6 vasos
Errores más frecuentes al operar con fracciones
| Error | Incorrecto ❌ | Correcto ✅ |
|---|---|---|
| Sumar denominadores | \( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5} \) | \( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \) |
| Buscar m.c.m. al multiplicar | Igualar denominadores | Multiplicar directamente |
| Invertir la primera fracción al dividir | \( \dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{5} \) | \( \dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{3} \) |
| No simplificar el resultado | \( \dfrac{6}{8} \) | \( \dfrac{3}{4} \) |
| Olvidar la jerarquía | Sumar antes de multiplicar | Multiplicar primero |
Preguntas frecuentes sobre fracciones
¿Por qué hay que igualar denominadores para sumar pero no para multiplicar?
Porque sumar significa juntar partes, y solo se pueden juntar directamente si son del mismo tamaño. Al multiplicar, en cambio, estás tomando "una parte de otra parte", una operación que no requiere que las piezas sean iguales.
¿Se puede dividir entre una fracción y obtener un número mayor?
Sí. Al dividir entre una fracción menor que 1, el resultado siempre es mayor que el dividendo: \( 2 \div \dfrac{1}{4} = 8 \).
¿Cómo se suman fracciones con números mixtos?
Primero se convierten a fracción impropia: \( 2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3} \), y después se opera normalmente.
¿Qué pasa si el denominador es 0?
La fracción no existe. La división entre cero no está definida en matemáticas.
¿Cuál es la forma más rápida de encontrar el denominador común?
Calcular el m.c.m. descomponiendo en factores primos. Si los denominadores son pequeños, multiplicarlos entre sí también funciona, aunque luego habrá que simplificar.
Resumen final
✔️ Suma y resta: igualar denominadores con el m.c.m.
✔️ Multiplicación: numerador por numerador, denominador por denominador.
✔️ División: invertir la segunda fracción y multiplicar.
✔️ Siempre: simplificar el resultado hasta dejarlo irreducible.
Notación científica: qué es, cómo se hace y ej...
Polinomios: qué son, tipos, elementos y operacion...Espero que te haya gustado este artículo sobre Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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