Combinatoria: Variaciones, permutaciones y combinaciones. Fórmulas

 La combinatoria es mucho más divertida de lo que parece.

¿Qué es la combinatoria?

Son técnicas de recuento que están al alcance de cualquiera. La combinatoria es el arte de contar números. Algunas veces, durante una conversación surgen preguntas de este tipo:

• ¿Cuántas matrículas de coches son posibles en España?
• ¿Cuál es el número de quinielas de fútbol que hay que hacer para acertar 14 con seguridad?
• 

Pronto lo sabrás. Si quieres, claro.

En este artículo trataré de ofrecerte un esquema de combinatoria para que te quede todo más claro.

Tal vez hayas intentado resolver las primeras preguntas y no te acuerdes de cómo proceder. Es normal, lo que no se practica se olvida.

La combinatoria es una rama de las matemáticas con mucho potencial. En menos de un minuto es capaz de solucionar preguntas aparentemente complejas. Básicamente analiza las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Los problemas de combinatoria siempre han llamado la atención de los matemáticos. Uno de los más célebres es el problema de los cuadrados mágicos.  Igualmente es muy famoso el triángulo de Pascal, que además de tener unas propiedades impresionantes, la disposición de sus números coincide exactamente con los números combinatorios.

Pero fue el genial Leonhard Euler quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria.

Mi humilde intención es hacer un breve resumen de las técnicas de recuento y de conceptos sencillos, para que entindas bien todo el esquema de combinatoria, a través de algunos ejemplos sencillos.

Zarpamos!

Esquema de combinatoria. Técnicas de recuento

1. Principio de multiplicación

Se utiliza cuando tenemos n₁ opciones de escoger un objeto, n₂ opciones de escoger un segundo objeto, n₃ opciones de escoger un tercer objeto etc. Matemáticamente podemos representarlo así:                n₁·n₂·n₃· …n_n

Una marca de coches comercializa un modelo en tres versiones (3 puertas, 5 puertas y familiar). El motor puede ser de dos tipos (diésel o gasolina). Hay cuatro colores disponibles. ¿Cuántos tipos de coches diferentes se fabrican para este modelo?

Aplicando el principio de multiplicación tenemos que  3·2·4 = 24 coches diferentes

Fácil, ¿verdad?

Ahora ya estás en condiciones de responder a la primera pregunta del artículo. ¿Cuántas matrículas?  Te doy una pista. En cada cifra hay 10 opciones y en cada letra 19 (no se cuentan las vocales, ni la ñ, ni la q). Tenemos para muchos años ...

Me gustaría mucho saber cuantas posibilidades de matrículas de coche hay en tu país.

2.Variaciones ordinarias o sin repetición

En una carrera de atletismo participan ocho corredores. ¿De cuántas maneras se pueden asignar las tres medallas?

La medalla de oro la pueden obtener los ocho corredores (aunque haya favoritos), con la de plata nos quedan 7 posibilidades, y con el tercer puesto sólo 6.

Es decir, tenemos variaciones ordinarias de 8 elementos tomados de 3 en 3.

En general, llamamos  variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n≤m),  a los distintos grupos que se pueden formar con m elementos de tal forma que:

• En cada grupo entran n elementos diferentes
• Influye el orden de colocación

Generalizando, tenemos:

Ehhh, que aparece un signo de admiración y unos corchetes. Me pierdooo. Tranquilo, te explico un par de cosillas, para que puedas comprobar que la fórmula general se cumple siempre.

El factorial de un número (n!) es el producto de lo n primeros números naturales. Por ejemplo 5! = 5·4·3·2·1

En general:   

Esto es un número combinatorio:

3.Variaciones con repetición

¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

En este caso tenemos  que  m = 5   y    n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

Sí se repiten los elementos.

En general, llamamos  variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos grupos que se pueden formar con m elementos de manera que:

En el caso que nos ocupa,tenemos que   VR_5,3 = 5·5·5= 125  Fíjate que tenemos 3 factores

Con las 10 cifras de nuestro sistema decimal, cuantos números diferentes de 4 cifras (repetidas o no) se pueden formar?

4. Permutaciones ordinarias

Imagínate que vas al cine con 5 amigos. Os sentáis en seis butacas consecutivas de una fila. ¿De cuantas formas distintas os podéis sentar?

De 720 maneras diferentes! Sorprendente, no?

En el primer asiento se pueden sentar 6 personas, 5 en el segundo, 4 en el tercero, etc. Matemáticamente hay 6·5·4·3·2·1= 720 posibilidades. Esto se representa con el 6 factorial (6!)

En las permutaciones intervienen todos los elementos y sólo varía el orden de colocación.

Y ahora, ¿Sabrías decir de cuántas formas se pueden alinear 10 cartas de una baraja? No te asustes si te sale un número millonario

Un caso particular son las permutaciones circulares.

Después del cine, os vais a cenar, pero la mesa es circular. Ya no hay tantas posibilidades, es normal. De un plumazo nos cargamos 600 posibles opciones. Cómo me gustan los círculos!!

Cuando la permutación sea circular, reducimos en 1 el número de elementos. En este caso se reduce a 5!=5·4·3·2·1 = 120   En general, tenemos que:

Es bien sabido que la disposición de los comensales en una mesa puede plantear problemas más interesantes de lo que puede parecer a primera vista.

5. Permutaciones con repetición

Un jugador de ajedrez quiere ordenar en una fila 5 peones negros y 3 peones blancos. ¿De cuántas formas distintas podrá hacerlo?

En este caso los elementos están repetidos. Se trata de una permutación de 8 objetos donde 5 están repetidos, y tres están repetidos. En estas ocasiones podemos expresarlo así:

Si comprendes lo que te pide el problema, entenderás la fórmula anterior. Pero por si acaso, aquí tienes la fórmula general para resolver cualquier problema de permutaciones con repetición.

6. Combinaciones ordinarias. Combinatoria pura

Noticia! En las combinaciones no importa el orden!!

Por este motivo NO puedes decir “¿sabes la combinación del candado?”

Combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n≤m), son los distintos grupos que se pueden formar de tal forma que:

• En cada grupo entre n elementos distintos
• Dos grupos serán diferentes si difieren en algún elemento, pero no en el orden de colocación

Aquí ya aparecen los números combinatorios, los mismos que surgen en el fantástico triángulo de Pascal. En general, siempre se cumple que:

En una clase de 30 alumnos, queremos escoger una comisión de 5 alumnos. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer?

No son pocas. ¿Te salen 142506? Bien!!

7. Combinaciones con repetición

El último caso es similar al anterior. Pero ahora es posible repetir los elementos.

Por ejemplo: ¿Cuántos helados diferentes de dos bolas se pueden formar con los 10 sabores que hay en una heladería?

El orden no influye. Puede haber repeticiones (yo nunca repito ;-))

Se trata por tanto de combinaciones con repetición de 10 elementos tomados de 2 en 2.  Al haber repetición, en matemáticas se expresa de esta forma:

CR _{m , n} = C _{m+n-1 , n}          

En nuestro problema nos quedaría así:

Cómo no vamos a ser tan indecisos, si tenemos 55 helados diferentes para elegir …

Variaciones permutaciones y combinaciones

La combinatoria es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los diferentes arreglos y agrupaciones que se pueden hacer con un conjunto de elementos. Para esto, como acabamos de ver, se utilizan tres conceptos fundamentales: variaciones, permutaciones y combinaciones.

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de elementos tomados de un conjunto. Es decir, se toman algunos elementos y se ordenan de diferentes maneras. Por ejemplo, si tenemos los números 1, 2 y 3, las variaciones de 2 elementos serían (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) y (3, 2). La fórmula para calcular las variaciones es n!/(n-k)!, donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos que se toman.

Las permutaciones, por otro lado, son agrupaciones de elementos en las que el orden sí importa, pero se toman todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, si tenemos los números 1, 2 y 3, las permutaciones serían (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1). La fórmula para calcular las permutaciones es n!, donde n es el número total de elementos.

Por último, las combinaciones son agrupaciones en las que el orden no importa y se toman solo algunos elementos del conjunto. Por ejemplo, si tenemos los números 1, 2 y 3, las combinaciones de 2 elementos serían (1, 2), (1, 3) y (2, 3). La fórmula para calcular las combinaciones es n!/((n-k)!k!), donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos que se toman.

Estas fórmulas de combinaciones, permutaciones y variaciones son muy útiles para resolver problemas de probabilidad, estadística y análisis combinatorio. Además, nos permiten calcular de manera precisa la cantidad de posibilidades que existen al realizar diferentes arreglos y agrupaciones con un conjunto de elementos dado. Así, la combinatoria se convierte en una herramienta esencial en el estudio y desarrollo de diversas áreas de las matemáticas y la ciencia en general.

Tal vez te preguntes, que fórmula debo emplear en cada caso. Todo dependerá de cuál sea el enunciado. Cómo resumen, aquí te dejo un mapa mental para “descubrir” la solución a tu problema.

Esquema de combinatoria. Mapa mental

Espero que este esquema de combinatoria te haya sido útil, y que hayas podido recordar o aprender un poco de matemáticas.

Ahora ya puedes pensar, y preguntarte todo lo que quieras. Realmente la combinatoria no es tan dificil como las pintan. Las matemáticas siempre estarán ahí, con los brazos abiertos, para que encuentres la solución a tus preguntas.

Me gustaría mucho que aportaras tus dudas o comentarios, aprenderemos todos. ¡Un abrazo!