La combinatoria es mucho más divertida de lo que parece. Son técnicas de recuento que están al alcance de cualquiera. La combinatoria es el arte de contar números

Algunas veces, durante una conversación surgen preguntas de este tipo:

  • ¿Cuántas matrículas de coches son posibles en España?
  • ¿Cuál es el número de quinielas de fútbol que hay que hacer para acertar 14 con seguridad?

combinatoria en las matrículas de coches

combinatoria en quinielas

Pronto lo sabrás. Si quieres, claro.

En este artículo trataré de ofrecerte un esquema de combinatoria para que te quede todo más claro.

Tal vez hayas intentado resolver las primeras preguntas y no te acuerdes de cómo proceder. Es normal, lo que no se practica se olvida.

La combinatoria es una rama de las matemáticas con mucho potencial. En menos de un minuto es capaz de solucionar preguntas aparentemente complejas. Básicamente analiza las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Los problemas de combinatoria siempre han llamado la atención de los matemáticos. Uno de los más célebres es el problema de los cuadrados mágicos.  Igualmente es muy famoso el triángulo de Pascal, que además de tener unas propiedades impresionantes, la disposición de sus números coincide exactamente con los números combinatorios.

Pero fue el genial Leonhard Euler quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria.

Mi humilde intención es hacer un breve resumen de las técnicas de recuento y de conceptos sencillos, para que entindas bien todo el esquema de combinatoria, a través de algunos ejemplos sencillos.

Zarpamos!

Esquema de combinatoria. Técnicas de recuento

1. Principio de multiplicación

Se utiliza cuando tenemos n1 opciones de escoger un objeto, n2 opciones de escoger un segundo objeto, n3 opciones de escoger un tercer objeto etc. Matemáticamente podemos representarlo así:                n1·n2·n3· …nn

Una marca de coches comercializa un modelo en tres versiones (3 puertas, 5 puertas y familiar). El motor puede ser de dos tipos (diésel o gasolina). Hay cuatro colores disponibles. ¿Cuántos tipos de coches diferentes se fabrican para este modelo?

Aplicando el principio de multiplicación tenemos que  3·2·4 = 24 coches diferentes

Fácil, ¿verdad?

Ahora ya estás en condiciones de responder a la primera pregunta del artículo. ¿Cuántas matrículas?  Te doy una pista. En cada cifra hay 10 opciones y en cada letra 19 (no se cuentan las vocales, ni la ñ, ni la q). Tenemos para muchos años …

Me gustaría mucho saber cuantas posibilidades de matrículas de coche hay en tu país.

2.Variaciones ordinarias o sin repetición

En una carrera de atletismo participan ocho corredores. ¿De cuántas maneras se pueden asignar las tres medallas?

La medalla de oro la pueden obtener los ocho corredores (aunque haya favoritos), con la de plata nos quedan 7 posibilidades, y con el tercer puesto sólo 6.

combinatoria fórmula

Es decir, tenemos variaciones ordinarias de 8 elementos tomados de 3 en 3.

En general, llamamos  variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n≤m),  a los distintos grupos que se pueden formar con m elementos de tal forma que:

  • En cada grupo entran n elementos diferentes
  • Influye el orden de colocación

Generalizando, tenemos:

variaciones sin repeticion

Ehhh, que aparece un signo de admiración y unos corchetes. Me pierdooo. Tranquilo, te explico un par de cosillas, para que puedas comprobar que la fórmula general se cumple siempre.

El factorial de un número (n!) es el producto de lo n primeros números naturales. Por ejemplo 5! = 5·4·3·2·1

En general:   variaciones matematicas

Esto es un número combinatorio:

numero combinatorio

3.Variaciones con repetición

¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

En este caso tenemos  que  m = 5   y    n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

Sí se repiten los elementos.

En general, llamamos  variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos grupos que se pueden formar con m elementos de manera que:

variaciones con repeticion

En el caso que nos ocupa,tenemos que   VR5,3 = 5·5·5= 125  Fíjate que tenemos 3 factores

Con las 10 cifras de nuestro sistema decimal, cuantos números diferentes de 4 cifras (repetidas o no) se pueden formar?

4. Permutaciones ordinarias

Imagínate que vas al cine con 5 amigos. Os sentáis en seis butacas consecutivas de una fila. ¿De cuantas formas distintas os podéis sentar?

De 720 maneras diferentes! Sorprendente, no?

En el primer asiento se pueden sentar 6 personas, 5 en el segundo, 4 en el tercero, etc. Matemáticamente hay 6·5·4·3·2·1= 720 posibilidades. Esto se representa con el 6 factorial (6!)

En las permutaciones intervienen todos los elementos y sólo varía el orden de colocación.

permutaciones ordinarias

Y ahora, ¿Sabrías decir de cuántas formas se pueden alinear 10 cartas de una baraja? No te asustes si te sale un número millonario

Un caso particular son las permutaciones circulares.

Después del cine, os vais a cenar, pero la mesa es circular. Ya no hay tantas posibilidades, es normal. De un plumazo nos cargamos 600 posibles opciones. Cómo me gustan los círculos!!

Cuando la permutación sea circular, reducimos en 1 el número de elementos. En este caso se reduce a 5!=5·4·3·2·1 = 120   En general, tenemos que:

permutacion circular

Es bien sabido que la disposición de los comensales en una mesa puede plantear problemas más interesantes de lo que puede parecer a primera vista.

5. Permutaciones con repetición

Un jugador de ajedrez quiere ordenar en una fila 5 peones negros y 3 peones blancos. ¿De cuántas formas distintas podrá hacerlo?

En este caso los elementos están repetidos. Se trata de una permutación de 8 objetos donde 5 están repetidos, y tres están repetidos. En estas ocasiones podemos expresarlo así:

permutaciones con repeticion

Si comprendes lo que te pide el problema, entenderás la fórmula anterior. Pero por si acaso, aquí tienes la fórmula general para resolver cualquier problema de permutaciones con repetición.

permutaciones con repeticion formula

6. Combinaciones ordinarias. Combinatoria pura

Noticia! En las combinaciones no importa el orden!!

Por este motivo NO puedes decir “¿sabes la combinación del candado?”

Combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n≤m), son los distintos grupos que se pueden formar de tal forma que:

  • En cada grupo entre n elementos distintos
  • Dos grupos serán diferentes si difieren en algún elemento, pero no en el orden de colocación

Aquí ya aparecen los números combinatorios, los mismos que surgen en el fantástico triángulo de Pascal. En general, siempre se cumple que:

combinatoria ecuacion

En una clase de 30 alumnos, queremos escoger una comisión de 5 alumnos. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer?

No son pocas. ¿Te salen 142506? Bien!!

7. Combinaciones con repetición

El último caso es similar al anterior. Pero ahora es posible repetir los elementos.

Por ejemplo: ¿Cuántos helados diferentes de dos bolas se pueden formar con los 10 sabores que hay en una heladería?

El orden no influye. Puede haber repeticiones (yo nunca repito ;-))

Se trata por tanto de combinaciones con repetición de 10 elementos tomados de 2 en 2.  Al haber repetición, en matemáticas se expresa de esta forma:

CR m , n = C m+n-1 , n          

En nuestro problema nos quedaría así:

combinaciones con repeticion

Cómo no vamos a ser tan indecisos, si tenemos 55 helados diferentes para elegir …

Tal vez te preguntes, que fórmula debo emplear en cada caso. Todo dependerá de cuál sea el enunciado. Cómo resumen, aquí te dejo un mapa mental para “descubrir” la solución a tu problema.

Esquema de combinatoria. Mapa mental

esquema de la combinatoria

Espero que este esquema de combinatoria te haya sido útil, y que hayas podido recordar o aprender un poco de matemáticas.

Ahora ya puedes pensar, y preguntarte todo lo que quieras. Realmente la combinatoria no es tan dificil como las pintan. Las matemáticas siempre estarán ahí, con los brazos abiertos, para que encuentres la solución a tus preguntas.

Me gustaría mucho que aportaras tus dudas o comentarios, aprenderemos todos. ¡Un abrazo!

¿Te ha gustado? Comparte matemáticas. GRACIAS
Tweet about this on Twitter
Twitter
Share on Facebook
Facebook
Pin on Pinterest
Pinterest
Share on Reddit
Reddit
Email this to someone
email

¿Te imaginas que tu hijo no tuviera problemas con las matemáticas?

Tengo muchos años de experiencia y puedo resolverle cualquier duda. Podrá entender todas las matemáticas de secundaria. 

55 comentarios en “Combinatoria: Variaciones, permutaciones y combinaciones. Fórmulas”

  1. Hooa buenas, ¿me pueden ayudar con un problema? Por favor y gracias; dice así el problema: a Juan le regalan una coleccion de muñecos de plastico de superhéroes, entre los que se encuentran 3 hombres y 4 mujeres. Si él los quiere poner en su repisa en una fila, el número de maneras en que lo puede hacer de forma que haya un hombre y una mujer alternadamente es: A.144 (creo que esta es porque 4!3! da eso) B.64 C.72 D.121

  2. MANUEL GONZALEZ GARRIDO

    TENGO UN GRUPO DE 73 FICHAS QUE HAN DE TENER DURANTE 18 DIAS UN NUMERO DE UNA DETERMINADA ZONA (SON 10 ZONAS).

  3. Holaaaa me podrías ayudar con este:
    a) ¿Cuántas elecciones distintas de delegado(a) y subdelegado(a) se pueden
    realizar en una clase de 25 alumnos(as)?
    b) ¿Cuántas si de los 25 hay 15 alumnas y 10 alumnos e imponemos la
    condición de que delegado(a) y subdelegado(a) sean de distinto sexo?

  4. Melissa guzmán

    ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 4 varones y 3 mujeres en una banca de 7 asientos de tal forma que las mujeres siempre se sienten juntas?

  5. Melissa guzmán

    Álvaro y sus 5 amigos se sientan en una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar?

    1. Justo Fernández

      Se trata de una permutación circular, siendo PCn=(n-1)! En este caso, al ser 5 amigos sentado en la mesa circular, será 4!=24 maneras diferentes.

      Si lees con calma el artículo, podrás contestar las demás preguntas. O tal vez algún lector.
      Saludos!

  6. Melissa guzmán

    En una competencia de atletismo participan 9 atletas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los tres primeros lugares?

  7. En Colombia las placas de los carros están formadas por tres números y tres letras.
    eniendo en cuanta lo anterior, determinar:
    1. ¿Cuántas placas se pueden generar en estas
    condiciones?
    2. ¿en este experimento es válido hablar del orden en la muestra? ¿es válido hablar de
    la repetición en la muestra? Justificar la respuesta.
    3. En el caso que para una ciudad como Medellín se asignen solamente las placas cuya
    primera letra es M o N, ¿Cuántos automóviles pueden estar matriculados en Medellín?
    4. La medida del pico y placa ha sido una alternativa para solucionar el problema de sobre
    circulación de vehículos en las horas en las cuales el trafico es muy complicado.
    Suponiendo que el día miércoles tiene pico y placa todos los vehículos del país cuya
    placa termina en 1 y 2. ¿Cuántos vehículos podrían estar circulando este día?
    5. Con esta medida, ¿Cuántos vehículos circularían en Medellín el día miércoles?

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba