?Cuadros mágicos: Cómo hacer cuadrados mágicos fácilmente.
cuadro magico

Las matemáticas recreativas son una buena manera de aprender disfrutando. Con los cuadrados mágicos podrás pasarlo bien mientras le das al coco.

Hablaremos en este artículo de los cuadrados o cuadros mágicos, tal como se llaman en latinoamérica.

 ¿Qué es un cuadrado mágico?

Es una tabla donde se colocan números enteros en sus casillas. Cumple las siguientes condiciones:

  • La suma de los números de cualquier línea (horizontal, vertical o diagonal) será siempre la misma (constante mágica)
  • Los números de un cuadrado mágico deben ser todos diferentes.
  • Cualquier cuadrado mágico se puede construir por números que formen una progresión aritmética.

Al  número de casillas de una línea se le denomina orden o módulo del cuadrado. Puedes comprobar que no existen cuadrados mágicos de orden 2.

Un poco de historia. ¿Cuál es el origen de los cuadros mágicos?

Cuenta una leyenda china que alrededor del año 2100 a. C. el emperador Yu vió emerger del río a una tortuga. En su caparazón tenía unas marcas, que puedes ver simbolizadas en el primer dibujo. Después tienes la representación numérica. Es de orden 3 y su constante mágica es el número 15.

cuadros mágicos

¡ Se trata del primer cuadrado mágico conocido! Se le atribuyeron propiedades mágicas y religiosas. Posiblemente fueron los chinos los primeros en descubrir las  peculiaridades matemáticas de estos cuadrados.

 En Occidente los cuadrados mágicos surgen por primera vez  en el año 130 d.C. Se han encontrado en documentos del astrónomo griego Teón de Esmirna.

Muchos matemáticos y astrónomos de la Edad Media creían en la importancia de estos arreglos numéricos.  Atribuían a ciertos números propiedades misteriosas o  cabalísticas. Los  cuadrados mágicos se utilizaron para predecir el futuro y curar enfermedades.

La superstición era muy común entonces y creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de protección. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, era un amuleto que evitaba el contagio de la peste negra. En el Renacimiento, se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras, entre ellos Durero.

Alberto Durero (1471-1528) En su grabado Melancolía, este gran matemático incluyó uno de los cuadrados mágicos más conocidos y fascinantes. Es de orden 4 y su constante mágica es 34. Aquí lo tienes:

cuadro melancolía

 

La característica más visible es que en su parte inferior aparece 1.514, el año en que fue grabado. Todas sus columnas, filas y diagonales; sus cuatro esquinas, el cuadrado central, y sus cuatro cuadrantes suman 34.Durante siglos se ha pensado que el cuadrado mágico de Durero es un “arquetipo lleno de significado y misticismo”.

El matemático Cornelio Agripa (1486 – 1535) construyó cuadrados mágicos con los módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que representaban simbólicamente los siete planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y la Luna. Para Cornelio el cuadrado con una casilla con el número 1, simbolizaba la unidad y la eternidad de Dios. El no poder construir un cuadrado con 4 casillas, lo atribuía a la imperfección de los cuatro elementos: aire, tierra, agua y fuego. Agripa, fue acusado de ejercer hechicería y le condenaron a un año de prisión.

Benjamín Franklin (1706-1790) dedicó mucho tiempo a estudiar y crear cuadrados mágicos.

Genios matemáticos como Fermat , Euler, Pascal y  Leibnitz, hicieron admirables estudios sobre cuadrados mágicos.

Hemos avanzado mucho desde aquellos simples cuadrados mágicos 3 x 3 que recibieron la veneración de distintas civilizaciones de todas las épocas y continentes, desde los mayas hasta los hausa africanos. Los matemáticos actuales estudian estos objetos mágicos en dimensiones superiores, por ejemplo bajo la forma de hipercubos de cuatro dimensiones que suman un mismo resultado en todas las direcciones posibles.

Ya has podido darte cuenta que hablar de cuadrados mágicos es hacerlo de una de las maravillas numérico-matemáticas más interesantes que pueda haber, remontándose su historia a más de 4 mil años, habiéndose utilizado desde un punto de vista mágico-místico en culturas como la china, la egipcia (predecían con ellos el futuro), la india, la griega, la árabe, etc. Además, los cuadrados mágicos también han servido para la resolución de importantes teoremas matemáticos, aparte de inspirar trabajos arquitectónicos y diseños industriales.

¿Cómo se hacen los cuadros mágicos?

Hay varias maneras sobre cómo hacer cuadros magicos, pero quiero mostrarte estrategias sencillas para crear cuadrados mágicos.

 

Cuadro mágico de orden impar

El ejemplo más sencillo es un cuadrado de orden 3, el más pequeño posible. Usaremos los números del 1 al 9. Empieza dibujando el esqueleto de tu cuadrado. Después añade casillas en todos los laterales, hasta formar un rombo. De esta forma:

como hacer cuadros magicos

 

Ahora, empieza en el extremo superior con el 1 y coloca todas las cifras siguiendo las diagonales alternas formadas en el rombo. Observa que quedan casillas en blanco.

cuadro magico
Sólo te falta completar el cuadrado mágico. ¿De qué forma?. Tienes que “colocar” los números que están en las casillas exteriores del cuadrado, al lugar que les corresponde. Dentro!

¿Cómo? Utilizando simetría!

Primero usamos una simetría horizontal. Las celdas externas de la parte superior pasan a completar la parte inferior, como si lo doblásemos. Y las de la parte inferior pasan a la parte superior. De la misma forma usamos después una simetría vertical.

Con una imagen se entiende mejor. El cuadrado quedaría así. ¿Te suena?


cuadrado magico

 

¿Te atreves ahora a hacer un cuadrado mágico de orden 3 usando sólo números impares?

Aquí tienes otro ejemplo; un cuadrado de orden 5 y constante 65. No es difícil. Seguro que tú también puedes hacerlo con los números que quieras y sorprender a tus amigos. Recuerda las condiciones para hacer magia!

como hacer un cuadrado magico

 

ejemplos de cuadrados magicos

Cuadro mágico de orden par

Creo que ya estás en condiciones de hacer un cuadrangular de orden 4. Sitúa el número 1 (o la primera cifra de una serie) en el extremo superior izquierda. Ahora desplazándote cómo si escribieras, anota solamente las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.

como hacer los cuadros magicos

 

Por último, sitúate en la última celda en blanco (casilla 15). Aquí pones el número 2 (o la 2ª cifra de la serie). Ahora te desplazas de derecha a izquierda y hacia arriba para ir completando los números que faltan por orden.

Una imagen te aclarará tus posibles dudas. ¡Nuestro cuadrado ya está resuelto!

cuadro magico de 4x4

 

Si prestas atención, podrás comprobar que este cuadrado es completamente simétrico al de Durero. de hecho si aplicamos el método situando la cifra 1 en el extremo inferior derecho y lo hacemos todo a la inversa ¡¡obtendremos el cuadrado mágico de Durero!!

De la misma forma, podrás hacer un cuadrado mágico con cualquier progresión aritmética. Tienes infinitas posibilidades …

Cuadrados mágicos diabólicos

Son aquellos que continúan siendo mágicos cuando transportamos una columna o una línea de un lado a otro. Este además también se puede descomponer en varios cuadrados mágicos (es hipermágico)

como se hace un cuadrado magico

Cuadrados mágicos fascinantes

Finalmente, te muestro 3 cuadrados mágicos interesantes y curiosos. Pequeñas obras de arte creadas por Blai Figueras.

Cuadrado mágico “Satánico”

Es de orden 6. Está compuesto exclusivamente por múltiplos de 6. Su constante mágica es 666. No lo mires demasiado tiempo, por si acaso.Menos mal que no estamos en la Edad Media …

cuadros magicos ejemplos

Cuadrado mágico “en un tablero de ajedrez”

En este caso es de orden 8, formado por los números del 1 al 64.

  • Suma de filas,columnas y diagonales = 260
  • Suma de las 4 esquinas y los 4 números centrales= 1040
  • Suma casillas blancas=suma casillas negras= 1040   Por si no lo sabías, ¡me encanta el ajedrez!

cuadros magicos matematicas

Cuadrado mágico doble

Existen cuadrados mágicos que pueden tener la notable propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior. Aquí tienes uno de orden 5, que contiene otro de orden 3 en su interior.

La constante del cuadrado mayor es igual a 75. El cuadrado verde más pequeño juega al 45.

cuadros matematicos

Como has podido ver las posibilidades que ofrecen los cuadrados mágicos son enormes. Espero que te haya resultado interesante.

Cuéntame, ¿Has aprendido a construirlos? 

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71 comentarios en “Cuadros mágicos: Cómo hacer cuadrados mágicos fácilmente”

  1. Mauricio Omaña

    Cordial saludo. Intente hacer un cuadrado mágico 6×6 siguiendo el ejemplo suyo del 4×4 pero no me funcionó, en cambio el de los cuadrados impares si me funciono con el 5×5. Gracias.

    1. Justo Fernández

      Gracias por comentar. Me alegro que hayas jugado con las matemáticas y hayas descubierto más patrones.
      Un abrazo!

    1. Justo Fernández

      Buena pregunta David. Debería investigar un poco para responderte. No estoy seguro, pero creo que no se puede.
      Saludos!

    1. Mariros López

      Hola, necesito un ejemplo sobre como resolver este cuadro:
      Es un cuadro de 3 casillas, de izquierda a derecha en la primera esta: a+b a-(b+c) a+c
      2da. a-(b-c) a a+(b-c)
      3ra. a-c a+b+c a-b

      Gracias.

    2. Joaquín nava

      Soy docente, he trabajado los cuadrados mágicos y considero que el verdaderamente magico es de 4×4 . Obtienes el mismo resultado en 32 combinaciones de numeros aqui es tlax mexico

      1. Justo Fernández

        Muchas gracias por tu aportación Joaquín.
        El mundo de los cuadrados mágicos es muy amplio y divertido.
        Saludos para tierras mexicanas.

  2. Hola, me pueden ayudar con un cuadro 3×3 con los números-6,-5,1,2,3,5,7,9 Y 11 sólo las columnas y filas deben sumar lo mismo

    1. Justo Fernández

      El resultado debe ser -9. Si sigues las indicaciones del artículo llegarás a este cuadrado
      -4 1 -6
      -5 -3 -1
      0 -7 -2
      Saludos!

  3. Mireya iñiguez

    Hola me podrias ayudar con un cuadro magico q de como resultado -3/2 con estas cifras -5,1/2,-7,12/3,-6,-0.5,-3/2,6,20/4 te agradeceria mucho la ayuda

  4. Karla Nazarit

    Por favor me ayudas con un cuandro magico de 3×3
    Estos son los numeros 0,1 0,3 0,5 0,6 0,8 0,9 0,22 0,40 0,70
    Quede 1,5
    por favor lo necisito

    1. Justo Fernández

      Hola Karla. Los números que me indicas no siguen una progresión aritmética. Se puede obtener pero lleva un tiempo y ahora no lo tengo.
      Saludos!

  5. Hice en 20 minutos un cuadro mágico 4×4 que suma 88 según el 88 es cabalístico
    también hice un cuadro mágico de vocales y encontré muchos nombres abreviadas como IOA jusús alfa y omega.

    1. Justo Fernández

      No es fácil solo con estos datos Cesar. ¿Alguna pista más? ¿Te dicen qué numeros intervienen?
      Saludos.

  6. Me ayudaría con esto por favor:
    Formar un cuadrado mágico de 4×4, colocando en cada casilla del cuadrado un número de 4 cifras que esté formado sólo por cincos y/o sietes.

    1. Justo Fernández

      Hola Jhon,
      No parece sencillo. No encuentro la solución. A ver si algún lector puede ayudarnos…

      Saludos

    2. Por favor me ayudan con un cuadro 3x 3 con los números del 1 al 4 positivos y negativos (0,1-1,2,-2,3,-3,4,-4)

      1. Justo Fernández

        Elizabeth, debes seguirlos mismos pasos que te indica el artículo. Aquí no puedo hacerte el dibujo.
        Es un cuadrado mágico muy chulo, poque no vale nada 😉 En cualquier línea, su suma es cero. Saludos!
        -1 4 -3
        -2 0 2
        3 -4 1

  7. Pingback: Juegos matemáticos – Recursos4Mates

  8. Hola! mañana tengo que comenzar a hacer un proyecto de matemáticas y decidí hacerlo de cuadrados mágicos que sean de dificultad media y difíciles tengo 11 años me puedes ayudar por favor

    1. Justo Fernández

      Hola Fernanda,

      La verdad es que no he investigado más. En internet encontrarás mucha información. Por ejemplo, esta página está bastante bien:

      Saludos!!

    1. Justo Fernández

      Hola Eduardo. Para que sea un cuadrado mágico, tiene que incluir 4,9, 16, 25 … números
      Con las condiciones que me dices, no es posible.

      Saludos!

    1. Yimy Hercules

      No sé si aún te sirva, pero, tendría que ser con los siguientes números. En el orden de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

      6.4 – 14.4 – 3.2
      4.8 – 8.0 – 11.2
      12.8 – 1.6 – 9.6

      1. Justo Fernández

        Tómate tu tiempo. Ya verás que no es tan difícil. ¿Has cogido lápiz y papel?
        Ánimo. Saludos

  9. Si quieren calcular cual es la suma de un cuadrado, usen esta fórmula:
    S(nxn) = (n+n^3) / 2
    Donde “n” es el numero de casillas:
    ejemplo:
    Suma de 3×3 = (3+3^3)/2 = (3 + 37)/2 = 30/2 = 15
    Suma de 5×5 = (5+5^3)/2 = (5 + 125)/2 = 130/2 = 65
    Suma de 4×4 = (4+4^3)/2 = (4 + 64)/2 = 68/2 = 34
    Saludos!!

    1. Santiago Villas Lardiés

      El 3×3 es (3+27)/2 NO 37

      Estoy haciendo el cuadrado de 1000 x 1000 o sea 1 millón de cuadros.

      Suma de 1000×1000 = (1000+1000^3) = (1000+1000.000.000)/2 = 500.000.500

      Un saludo para todos

      Santiago

  10. Santiago Villas Lardiés

    301 614 277 590 253 566 229 542 205 518 181 494 157 470 133 446 109 422 85 398 61 374 37 350 13
    14 302 615 278 591 254 567 230 543 206 519 182 495 158 471 134 447 110 423 86 399 62 375 38 326
    327 15 303 616 279 592 255 568 231 544 207 520 183 496 159 472 135 448 111 424 87 400 63 351 39
    40 328 16 304 617 280 593 256 569 232 545 208 521 184 497 160 473 136 449 112 425 88 376 64 352
    353 41 329 17 305 618 281 594 257 570 233 546 209 522 185 498 161 474 137 450 113 401 89 377 65
    66 354 42 330 18 306 619 282 595 258 571 234 547 210 523 186 499 162 475 138 426 114 402 90 378
    379 67 355 43 331 19 307 620 283 596 259 572 235 548 211 524 187 500 163 451 139 427 115 403 91
    92 380 68 356 44 332 20 308 621 284 597 260 573 236 549 212 525 188 476 164 452 140 428 116 404
    405 93 381 69 357 45 333 21 309 622 285 598 261 574 237 550 213 501 189 477 165 453 141 429 117
    118 406 94 382 70 358 46 334 22 310 623 286 599 262 575 238 526 214 502 190 478 166 454 142 430
    431 119 407 95 383 71 359 47 335 23 311 624 287 600 263 551 239 527 215 503 191 479 167 455 143
    144 432 120 408 96 384 72 360 48 336 24 312 625 288 576 264 552 240 528 216 504 192 480 168 456
    457 145 433 121 409 97 385 73 361 49 337 25 313 601 289 577 265 553 241 529 217 505 193 481 169
    170 458 146 434 122 410 98 386 74 362 50 338 1 314 602 290 578 266 554 242 530 218 506 194 482
    483 171 459 147 435 123 411 99 387 75 363 26 339 2 315 603 291 579 267 555 243 531 219 507 195
    196 484 172 460 148 436 124 412 100 388 51 364 27 340 3 316 604 292 580 268 556 244 532 220 508
    509 197 485 173 461 149 437 125 413 76 389 52 365 28 341 4 317 605 293 581 269 557 245 533 221
    222 510 198 486 174 462 150 438 101 414 77 390 53 366 29 342 5 318 606 294 582 270 558 246 534
    535 223 511 199 487 175 463 126 439 102 415 78 391 54 367 30 343 6 319 607 295 583 271 559 247
    248 536 224 512 200 488 151 464 127 440 103 416 79 392 55 368 31 344 7 320 608 296 584 272 560
    561 249 537 225 513 176 489 152 465 128 441 104 417 80 393 56 369 32 345 8 321 609 297 585 273
    274 562 250 538 201 514 177 490 153 466 129 442 105 418 81 394 57 370 33 346 9 322 610 298 586
    587 275 563 226 539 202 515 178 491 154 467 130 443 106 419 82 395 58 371 34 347 10 323 611 299
    300 588 251 564 227 540 203 516 179 492 155 468 131 444 107 420 83 396 59 372 35 348 11 324 612
    613 276 589 252 565 228 541 204 517 180 493 156 469 132 445 108 421 84 397 60 373 36 349 12 325

    ESTE ES EL IMPRESIONANTE CUADRADO DE 25 POR 25, CADA FILA HORIZONTAL O VERTICAL SUMA 7825

    Un abrazo para todos

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias por este enorme cuadrado mágico. No había visto nunca uno tan grande …
      Te habrá costado lo tuyo escribir todos los números!

      Un abrazo Santiago!

      1. Santiago Villas Lardies

        Otro día pondré el de 32 por 32, en vez de 625 números, serán 1024 y será cuadrado par (múltiplo de 4) y no impar como el 25 por 25.. Así será más grande

  11. Santiago Villas Lardiés

    El del ajedrez hay unas equivocaciones, ¿dónde están el 39, el 47 y el 53? El 9 de la 1ª fila, es el 39; el 3 de la 3ª fila es el 53 y el 4 de la 7ª fila es el 47. Como podemos ver el 3, 4 y 9 están repetidos. Las 4 esquinas y los 4 números centrales, suman 260 y no 1040. Un saludo.
    Santiago Villas
    El mejor cuadro del ajedrez es este:
    1 63 62 4 5 59 58 8
    56 10 11 53 52 14 15 49
    48 18 19 45 44 22 23 41
    25 39 38 28 29 35 34 32
    33 31 30 36 37 27 26 40
    24 42 43 21 20 46 47 17
    16 50 51 13 12 54 55 9
    57 7 6 60 61 3 2 64
    CADA FILA CUATRO NÚMEROS ESTÁN EN SU SITIO CORRESPONDIENTE Y SI EMPEZAMOS A CONTAR POR ABAJO LOS RESTANTES TAMBIEN ESTAN EN SU SITIO.

    1. Justo Fernández

      Tienes toda la razón Santiago. No me había dado cuenta. Las casillas a5 y h6 en casillas negras se han desplazado.

      Muchas gracias por compartir “tu cuadrado mágico” con los lectores.

      Un abrazo!

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias Estíbaliz.

      Cierto, pero tienen que ser todos los números positivos o todos negativos.

      Saludos!

      1. Técnicamente hice uno con -1 0 1 2 3 4 5 6 7. Y da su resultado correspondiente… 9

        2_7_0
        1_3_5
        6_-1_4

  12. hola me podria ayudar con el cuadro magico de numeros enteros, o sea negativos y positivos en un solo cuadro mezclado. Gracias

    1. Justo Fernández

      Hola Nicoll. Me parece una excelente opción para pensar un rato y jugar con los números. Pero no puedo ayudarte en una resolución genérica de este tipo de cuadrados.

      Si consigo información relevante te la haré llegar. Saludos!

    1. Justo Fernández

      Gracias! La verdad es que lo desconozco. Como la mayoría de las cosas, habrá que echarle tiempo y ganas. Saludos 😉

      1. Wendy Rodriguez

        Hola, se pueden construir en lugar de sumas con productos y si es así como se construyen

      2. Justo Fernández

        Buena pregunta Wendy. Sólo se puede,en parte, con algunas líneas.Deberías poner en cada línea los mismos factores primos.
        Pero teniendo en cuanta todas las consideracines que exige el cuadrado mágico, es imposible.
        Saludos!

  13. Buenas Tardes, estoy poniendo en práctica el procedimiento de los cuadrados mágicos, con el primero de 4X4 no hubo problema, con el de cinco tampoco, pero donde no me resulta es en el de 6X6. Sigo la secuencia mencionada en la página pero no me sale. Podrías ayudarme.

      1. Agradezco tus indicaciones, seguire en el intento ya que esto me parecio atractivo.

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