multiplicación de matrices

Cómo multiplicar matrices de forma fácil y rápida

La multiplicación de matrices es una operación matemática que combina dos matrices para obtener una tercera. Para multiplicar matrices,es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. El resultado se puede encontrar multiplicando ordenadamente los elementos de una fila de la primera matriz con los elementos de una columna de la segunda matriz. La multiplicación de matrices es muy útil en álgebra, cálculo y otras áreas de las matemáticas. En este artículo, aprenderás a multiplicar matrices mediante ejemplos y explicaciones sencillas.

Como multiplicar matrices
🔎 Índice
  1. ¿Qué son las matrices?
  2. Cómo multiplicar matrices
  3. Propiedades de la multiplicación de matrices
  4. Sistemas de ecuaciones lineales y determinantes

¿Qué son las matrices?

Las matrices son una herramienta fundamental en matemáticas que consisten en una "tabla" rectangular de números, llamados elementos, organizados en filas y columnas. Cada fila corresponde a un conjunto de datos relacionados entre sí y cada columna corresponde a distintas variables que pueden afectar a los datos de la fila. Las matrices se utilizan en diversas áreas como la física, la economía, la informática y la geometría. En ocasiones, también pueden ser cuadrados mágicos.

Definición y elementos de una matriz

Una matriz es un conjunto de números (elementos), de forma cuadrada o rectangular, ordenados en filas y columnas, siendo una fila cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna cada una de las líneas verticales.

Los elementos de una matriz se suelen nombrar usando subíndices, de forma que la notación mij representa el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j. Además, los elementos de una matriz también pueden ser letras o expresiones algebraicas, como ecuaciones o funciones polinómicas.

Tipos de matrices

Existen diversos tipos de matrices, según su forma y propiedades:

  • Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas y columnas.    \(\begin{pmatrix}
    1 &2 \\
    3& 4
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz columna: consta de una sola columna. \(\begin{pmatrix}-2\\0\\-3\end{pmatrix}\)
  • Matriz fila: consta de una sola fila. \(\begin{pmatrix}
    0 &1 &2 &3
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz nula o matriz cero: todos sus elementos son cero. \(\begin{pmatrix}
    0 & 0 &0 \\
    0&0 & 0\\
    0& 0 &0
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz diagonal: todos sus elementos fuera de la diagonal principal son cero. \(\begin{pmatrix}
    7 & 0 &0 \\
    0&5 & 0\\
    0& 0 &8
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz triangular superior: por encima de la diagonal principal todos sus elementos valen cero. \(\begin{pmatrix}
    3 & 0 &0 \\
    8&2 & 0\\
    7& 1 &8
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz triangular inferior: por debajo de la diagonal principal todos sus elementos son cero. \(\begin{pmatrix}
    1 & 6 &5 \\
    0&5 & 7\\
    0& 0 &9
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz invertible o matriz regular: es una matriz cuadrada que tiene inversa (se puede invertir), siendo su determinante distinto de cero. Un ejemplo: \(\begin{pmatrix}
    3 &5 \\
    1 & 2
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz singular o matriz no invertible: es una matriz cuadrada que no tiene inversa (no se puede invertir), siendo su determinante igual a cero. Un ejemplo: \(\begin{pmatrix}
    -3 &6 \\
    1 & -2
    \end{pmatrix}\)

Cómo multiplicar matrices

La multiplicación de matrices puede parecer complicada, pero en realidad es una operación muy útil en diversas áreas de las matemáticas. Veamos un ejemplo práctico para que puedas multiplicar matrices correctamente.

Ejemplo de cómo multiplicar dos matrices

Un ejemplo sencillo de multiplicación de matrices sería el siguiente:      \(\)

  • Matriz A = \(\begin{pmatrix}
    1& 2 & 3\\
    4& 5 & 6
    \end{pmatrix}\)
  • Matriz B = \(\begin{pmatrix}
    7 &8 \\
    9&10 \\
    11& 12
    \end{pmatrix}\)

Para calcular el resultado de la multiplicación AxB, se sigue la regla del producto:

  • c11=(1*7)+(2*9)+(3*11)=58
  • c12=(1*8)+(2*10)+(3*12)=64
  • c21=(4*7)+(5*9)+(6*11)=139
  • c22=(4*8)+(5*10)+(6*12)=154

Por lo tanto, la matriz resultante C sería:

  • Matriz C =\(\begin{pmatrix}
    c_{11} &c_{12} \\
    c_{21} & c_{22}
    \end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix}
    58 &64 \\
    139 & 154
    \end{pmatrix}\)

Multiplicar matrices por un solo número

La multiplicación escalar es el proceso de multiplicar una matriz por un solo número. Para hacerlo, se multiplican todos los elementos de la matriz por ese número. Por ejemplo, para multiplicar una matriz A de 2x3 por el número 2, el resultado sería una matriz B de 2x3. Los elementos se calcularían de la siguiente manera:

  • b11=2*A11        b12=2*A12          b13=2*A13
  • b21=2*A21       b22=2*A22         b23=2*A23

Regla del producto

Para multiplicar dos matrices, se utiliza la regla del producto, que establece que cada elemento de la matriz resultante se obtiene de multiplicar los elementos de una fila de la primera matriz por los elementos de una columna de la segunda matriz y sumarlos. Por ejemplo, para multiplicar una matriz A de 2x3 con una matriz B de 3x2, el resultado sería una matriz C de 2x2. Los elementos se calcularían de la siguiente manera:

  • c11=A11*B11+A12*B21+A13*B31                         c12=A11*B12+A12*B22+A13*B32
  • c21=A21*B11+A22*B21+A23*B31                       c22=A21*B12+A22*B22+A23*B32

Filas, columnas y dimensiones de una matriz

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. Asimismo, el tamaño de una matriz se puede determinar a partir del número de filas y columnas que tiene. Por ejemplo, para indicar una matriz de 3 filas y 4 columnas se escribe 3x4. También es importante tener en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que significa que cambiar el orden de multiplicación puede dar un resultado diferente.

Propiedades de la multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices no solo es un proceso matemático útil, sino que también cuenta con varias propiedades relevantes. Las propiedades más importantes son la asociativa y la distributiva.

Asociativa y Distributiva

Las propiedades de la multiplicación de matrices dictan que la multiplicación de matrices es asociativa, lo que significa que el orden en que se multiplican las matrices no afecta al resultado final. Es decir, si se tienen tres matrices, A, B y C, el resultado de multiplicar A por B y ese resultado por C, es el mismo que el resultado de multiplicar B por C y después ese resultado por A. Además, la propiedad distributiva nos dice que al multiplicar una matriz A por la suma de dos matrices B y C, es igual a la suma de la multiplicación de A por B y la multiplicación de A por C.

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como multiplicar matrices de diferente tamaño

Matriz identidad

Otra propiedad importante es la matriz identidad, que es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0.Suele representarse con la letra I. El producto de cualquier matriz A por la matriz identidad I es igual a la matriz A misma. Es decir, cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad queda igual.

\(I=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0& 0 & 1
\end{pmatrix}\)

Multiplicación escalar y multiplicación de matrices

Otras propiedades relevantes de la multiplicación de matrices incluyen la multiplicación escalar, que es cuando se multiplica la matriz por un solo número, y la multiplicación de matrices, que es el resultado de hacer el producto de filas y columnas. En la multiplicación de matrices, es importante que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz para poder multiplicarlas.

Sistemas de ecuaciones lineales y determinantes

Los sistemas de ecuaciones lineales son un conjunto de ecuaciones, cuyas soluciones se deben resolver simultáneamente. La multiplicación de matrices es una forma de resolver este tipo de sistemas. En esta entrada te cuento cómo encontrar el resultado usando la multiplicación de matrices.

Cómo encontrar el resultado de la multiplicación de matrices en sistemas de ecuaciones lineales

La multiplicación de matrices se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones de la forma Ax=B, donde A es una matriz conocida, B es un vector conocido y x es el vector que se debe encontrar. El resultado de la multiplicación de matrices de A por x debe ser igual a B. Para resolver el sistema de ecuaciones, se debe encontrar x, que se puede hacer utilizando la operación inversa de la multiplicación de matrices, conocida como la matriz inversa. Si A tiene una inversa, se puede encontrar x multiplicando ambos lados de la ecuación por la inversa de A.

Cálculo del determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un número que se puede calcular utilizando la matriz original. Es un número importante en la multiplicación de matrices ya que es utilizado para encontrar la inversa de la matriz. El cálculo del determinante depende del tamaño de la matriz, para matrices de tamaño 2x2 se calcula como el producto de las diagonales menos el producto de las diagonales inversas. Para matrices más grandes, existe un método llamado el método de Sarrus.

  • Para calcular el determinante de una matriz 3x3 utilizando el método de Sarrus, se dibujan dos copias de la matriz al lado de la original, de tal forma que los elementos que están conectados diagonalmente formen una 'X'.
  • Se suman los productos de las diagonales descendientes y se restan los productos de las diagonales ascendentes. El resultado es el determinante de la matriz.

Ejemplo para calcular el determinante de una matriz

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4& 5 & 6\\
7& 8 &9
\end{vmatrix}=(1\cdot 5\cdot 9)+(2\cdot 6\cdot 7)+(4\cdot 8\cdot 3)-(7\cdot 5\cdot 3)-(1\cdot 6\cdot 8)-(4\cdot 2\cdot 9)\)    \(=45+84+96-105-48-72=0\)

El determinante de esta matriz es igual a 0, lo que significa que no tiene una matriz inversa y no se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Matriz inversa

Dadas dos matrices A y B (cuadradas de orden n) se dice que son inversa una de la otra si se verifica que  \(A\cdot B=B\cdot A=I\)

Ejercicios resueltos

Los ejercicios de multiplicación de matrices pueden ser difíciles, especialmente si no has practicado lo suficiente. Sin embargo, resolver ejercicios y problemas es la mejor manera de aprender y asegurarte que lo dominas. Ahora te muestro cómo resolver problemas de multiplicación de matrices paso a paso.

Pasos para multiplicar matrices

Para resolver problemas de multiplicación de matrices, es importante seguir los pasos correctamente. Aquí tienes unos pasos que te ayudarán a resolver los problemas de multiplicación de matrices de manera efectiva:

  • Paso 1: Identifica las matrices que deben multiplicarse y comprueba que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
  • Paso 2: Realiza el producto punto de la primera fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda matriz. Multiplica cada número en la primera fila por el número en la primera columna y suma los resultados. Este será el primer número de la matriz resultante.
  • Paso 3: Repite el paso 2 con la primera fila de la primera matriz y la segunda columna de la segunda matriz. Este será el segundo número de la matriz resultante.
  • Paso 4: Continúa repitiendo el Paso 2 y Paso 3 para todas las filas y columnas de las matrices originales.
  • Paso 5: Asegúrate de que la matriz resultante tenga el número correcto de filas y columnas. Si la primera matriz tiene m filas y la segunda matriz tiene n columnas, la matriz resultante tendrá m filas y n columnas.

Ejercicios resueltos de multiplicación de matrices

Veamos dos ejemplos de multiplicación de matrices. ¡Importante! Intenta resolverlas tú mismo, antes de ver la solución.

  • \(A=\begin{pmatrix}
    11 &3 \\
    7 & 11
    \end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}
    8 &0 &1 \\
    0&3 &5
    \end{pmatrix}\)
  • \(A\cdot B=\begin{pmatrix}
    88 &9 &26 \\
    56&33 &62
    \end{pmatrix}\)
  • \(C=\begin{pmatrix}
    0 &1 &1 \\
    2 &3 &1
    \end{pmatrix}D=\begin{pmatrix}
    0 &1 &0 \\
    2&5 &0 \\
    1&2 &4
    \end{pmatrix}\)
  • \(C\cdot D=\begin{pmatrix}
    3 &7 &4 \\7
    &19 &4
    \end{pmatrix}\)

¿Te han salido bien? Espero haberte ayudado y que domines mejor como multiplicar matrices, sólo hace falta practicar y disfrutar con los números. Si quieres más, también puedes aprender a calcular el determinates de una matriz.

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