Formulario de probabilidad

Formulario de probabilidad para problemas de azar 🎲

Imagina poder predecir el futuro... al menos matemáticamente. En este artículo, podrás ver y entender el formulario de probabilidad, porque te daré las herramientas para que puedas adivinar lo que puede ocurrir en un suceso determinado. Es lo que tiene el azar.

La probabilidad es una herramienta fundamental en el análisis de eventos aleatorios. En este artículo vamos a explorar los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el espacio muestral y los sucesos. También veremos las fórmulas clave utilizadas en el cálculo de la probabilidad, como la regla de Laplace. Además, abordaremos la probabilidad condicionada y los eventos independientes, así como la aplicación del teorema de Bayes. ¿Cómo se resuelven los problemas de probabilidad? Lo verás con ejemplos y ejercicios resueltos.

🔎 Índice
  1. Conceptos básicos de probabilidad
  2. Eventos de probabilidad independientes
  3. Formulario Probabilidad
  4. Descargar el formulario de probabilidad en pdf
  5. Probabilidad total y teorema de Bayes
  6. Distribuciones de probabilidad
  7. Resolución de problemas de probabilidad

Conceptos básicos de probabilidad

En este apartado quiero que entiendas los fundamentos esenciales de la teoría de la probabilidad. Comenzaremos con dos conceptos clave: el espacio muestral y los sucesos.

Espacio muestral y sucesos

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Por ejemplo, si lanzamos un dado, los resultados posibles serían los números del 1 al 6. Cada uno de estos resultados se llama punto muestral.

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Representa un resultado o una combinación de resultados que nos interesa analizar. Por ejemplo, podemos estar interesados en el suceso "obtener un número par al lanzar un dado".

Fórmulas de probabilidad dados

Formulario de probabilidad. Fórmulas fundamentales

Para calcular la probabilidad de un suceso, se utilizan diversas fórmulas y conceptos:

Regla de Laplace

La Regla de Laplace establece que la probabilidad de un suceso es igual al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, siempre y cuando todos los casos sean igualmente probables. Matemáticamente, se expresa como:

\[ P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}} \]

Para calcular la probabilidad de un suceso contrario, utilizamos la fórmula:

\[ P(A') = 1 - P(A) \]

Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada se refiere a la probabilidad de que ocurra un suceso \(A\) dado que otro suceso \(B\) ha ocurrido previamente. Se calcula utilizando la fórmula:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Donde \(P(A \cap B)\) representa la probabilidad de que ocurran simultáneamente los sucesos \(A\) y \(B\), y \(P(B)\) es la probabilidad de que ocurra el suceso \(B\).

Ejercicio resuelto de Probabilidad Condicionada

En una baraja estándar de 52 cartas, se extrae una carta al azar. Si sabemos que la carta extraída es un as (\(A\)), ¿cuál es la probabilidad de que también sea un corazón (\(C\))?

Resolución:
Denotemos los eventos de la siguiente manera:
- \(A\): La carta extraída es un as.
- \(C\): La carta extraída es un corazón.

La probabilidad condicionada de que la carta sea un corazón dado que es un as (\(P(C|A)\)) se calcula utilizando la fórmula de probabilidad condicionada:

\( P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)} \)

Donde:
- \(P(C \cap A)\): Probabilidad de que la carta sea tanto un corazón como un as.
- \(P(A)\): Probabilidad de que la carta sea un as.

Sabemos que \(P(A)\) es la probabilidad de sacar un as, que es \(\frac{4}{52}\) (hay 4 ases en una baraja estándar de 52 cartas). Además, \(P(C \cap A)\) es la probabilidad de sacar un as que también sea un corazón, y esto es \(\frac{1}{52}\) (hay un as de corazones).

\( P(C|A) = \frac{\frac{1}{52}}{\frac{4}{52}} = \frac{1}{4} \)

Por lo tanto, la probabilidad de que la carta sea un corazón dado que es un as es \(\frac{1}{4}\). Esto significa que si ya sabemos que la carta es un as, hay una probabilidad del 25% de que también sea un corazón.

Unión y diferencia de sucesos

La unión de sucesos se refiere a la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos sucesos. La fórmula para calcular la unión de sucesos es:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

La diferencia de sucesos se refiere a la probabilidad de que ocurra un suceso \(A\) pero no ocurra otro suceso \(B\). Se calcula utilizando la fórmula:

\[ P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) \]

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos se refiere a la probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos. La fórmula para calcular la intersección de sucesos es:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

Con estos conceptos y fórmulas básicas de probabilidad, estaremos preparados para adentrarnos en el fascinante mundo de los cálculos probabilísticos.

Eventos de probabilidad independientes

Los eventos independientes son aquellos sucesos en los que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Es decir, la probabilidad de que ambos eventos sucedan es igual al producto de las probabilidades individuales de cada evento.

Concepto de sucesos independientes

En el contexto de la probabilidad, dos eventos \( A \) y \( B \) son considerados independientes si cumplen con la siguiente condición:

  • \[ P(\text{A} \cap \text{B}) = P(\text{A}) \cdot P(\text{B}) \]

Esto significa que la probabilidad conjunta de que ambos eventos ocurran se calcula multiplicando las probabilidades individuales de cada evento.

Cálculo de la probabilidad de eventos independientes

Para calcular la probabilidad de eventos independientes en un escenario dado, se siguen los siguientes pasos:

Aprende más sobre ... Ecuaciones racionales 1 bachillerato. Ejemplos prácticos para aprender Ecuaciones racionales 1 bachillerato. Ejemplos prÃ...
  1. Identificar los eventos \( A \) y \( B \) considerados independientes.
  2. Calcular las probabilidades individuales de cada evento, es decir, \( P(\text{A}) \) y \( P(\text{B}) \).
  3. Aplicar la fórmula de eventos independientes: \( P(\text{A} \cap \text{B}) = P(\text{A}) \cdot P(\text{B}) \).
  4. Evaluar el resultado obtenido según el contexto del problema y expresar la probabilidad obtenida de manera adecuada.

A través de este cálculo, es posible determinar la probabilidad conjunta de que ambos eventos \( A \) y \( B \) ocurran de forma independiente.

Es importante tener en cuenta que la independencia de eventos puede variar en diferentes situaciones. Se deben considerar las condiciones y circunstancias específicas en cada problema para determinar si los eventos son o no independientes.

Formulario de probabilidad

Formulario Probabilidad

\(\scriptsize
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{1. Probabilidad de un evento:} & P(A) \\
\hline
\text{2. Probabilidad complementaria:} & P(\overline{A}) = 1 - P(A) \\
\hline
\text{3. Regla de adición (suma):} & P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\
\hline
\text{4. Regla de adición para eventos mutuamente excluyentes:} & P(A \cup B) = P(A) + P(B) \\
\hline
\text{5. Probabilidad condicional:} & P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\
\hline
\text{6. Regla del producto:} & P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B) \\
\hline
\text{7. Regla de Bayes:} & P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} \\
\hline
\text{8. Regla de la suma total:} & P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B | A_i) \\
\hline
\text{9. Regla del producto total:} & P(A_i \cap B) = P(A_i) \cdot P(B | A_i) \\
\hline
\end{array}
\normalsize
\)

Descargar el formulario de probabilidad en pdf

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Probabilidad total y teorema de Bayes

La probabilidad total es un concepto fundamental en el cálculo de probabilidades. Permite calcular la probabilidad de un evento considerando la suma de las probabilidades condicionadas de ese evento dados distintos eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos.

Cálculo de la probabilidad total

Para calcular la probabilidad total, se utiliza la fórmula del teorema de la probabilidad total:
\[ P(A) = \sum P(A|B_i) \cdot P(B_i) \]

Donde \( P(A) \) es la probabilidad de que ocurra el evento \( A \), \( P(A|B_i) \) es la probabilidad condicionada de que ocurra el evento \( A \) dado que ha ocurrido el evento \( B_i \), y \( P(B_i) \) es la probabilidad de que ocurra el evento \( B_i \). Se realiza la suma de todas las probabilidades condicionadas multiplicadas por las probabilidades de los eventos correspondientes.

Aplicación del teorema de Bayes

\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{\sum P(A|B_j) \cdot P(B_j)} \]

El teorema de Bayes es una herramienta fundamental para actualizar la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido previamente. Se utiliza la siguiente fórmula:
\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{\sum P(A|B_j) \cdot P(B_j)} \]

Donde \( P(B_i|A) \) es la probabilidad de que ocurra el evento \( B_i \) dado que ha ocurrido el evento \( A \), \( P(A|B_i) \) es la probabilidad condicionada de que ocurra el evento \( A \) dado que ha ocurrido el evento \( B_i \), \( P(B_i) \) es la probabilidad de que ocurra el evento \( B_i \), y el denominador es la probabilidad total de que ocurra el evento \( A \). Esta fórmula permite actualizar la probabilidad inicial de un evento en función de nueva evidencia.

Distribuciones de probabilidad

En el contexto del azar y la aletoriedad, son herramientas estadísticas utilizadas para describir y analizar el comportamiento de variables aleatorias. Dos de las distribuciones más comunes y ampliamente utilizadas son la distribución normal y la distribución binomial. Tal vez te hagan falta en tu formulario de probabilidad.

Distribución normal

\[ P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

La distribución normal, también conocida como distribución de Gauss, es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en la teoría estadística. Se caracteriza por tener una forma de campana simétrica y una media y desviación estándar que determinan su ubicación y dispersión. Tal vez no te haga falta en tu formulario de probabilidad, por ahora.

Esta distribución es ampliamente aplicada en diversos campos, ya que muchos fenómenos naturales y sociales tienden a seguir un patrón de distribución normal. Sus propiedades permiten calcular probabilidades, realizar inferencias y realizar pruebas de hipótesis de manera eficiente.

Distribución binomial

\[ P(x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \]

La distribución binomial es una distribución discreta que se utiliza para modelar experimentos que involucran dos resultados posibles, generalmente denominados "éxito" y "fracaso". Este tipo de distribución es muy útil en el análisis de eventos binarios o sucesos independientes con una tasa de éxito constante.

Se caracteriza por tener dos parámetros principales: el número de ensayos (\(n\)) y la probabilidad de éxito en cada ensayo (\(p\)). La función de probabilidad de la distribución binomial se expresa mediante la fórmula:
\[ P(x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \]

Donde \(\binom{n}{x}\) representa el coeficiente binomial, que indica el número de formas posibles de seleccionar \(x\) éxitos entre \(n\) ensayos.

La distribución binomial es ampliamente utilizada en experimentos de conteo y en el análisis de muestras binarias. Permite calcular probabilidades de ocurrencia exactas y estimar intervalos de confianza para las proporciones poblacionales.

Resolución de problemas de probabilidad

La resolución de problemas de probabilidad es fundamental para aplicar los conceptos y fórmulas aprendidas previamente. Antes, es bueno que domines el formulario de probabilidad. A través de ejemplos y ejercicios resueltos, se puede comprender y practicar cómo calcular probabilidades en diferentes situaciones.

Ejemplos y ejercicios resueltos

Para comprender mejor la resolución de problemas de probabilidad, a continuación se presentan algunos ejemplos ilustrativos con sus respectivas soluciones:

Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado

Calcular la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado de seis caras.

  • Identificación del espacio muestral: Los posibles resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
  • Identificación del suceso: Obtener un número par.
  • Cálculo de la probabilidad: Hay tres números pares en el dado (2, 4, 6), por lo que la probabilidad de obtener un número par es de \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). \(P(\text{Número par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Ejemplo 2: Probabilidad condicionada

Se extrae una carta al azar de una baraja de 52 cartas. Calcular la probabilidad de que sea una carta negra dado que es un 8.

  • Identificación del espacio muestral: Hay 52 cartas en la baraja. \(S = 52\)
  • Identificación del suceso: Obtener un 8.
  • Cálculo de la probabilidad condicionada: Hay 4 cartas negras que son 8 (picas y tréboles), por lo que la probabilidad de que sea una carta negra dado que es un 8 es de \(\frac{4}{52} = \frac{1}{13}\). \(P(\text{Carta Negra}|\text{Es un 8}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)

Ejemplo 3: Unión de sucesos compatibles

Probabilidad de Sacar una Roja o una Jota de una Baraja de 52 Cartas. Denotemos los eventos de la siguiente manera:

- \(R\): La carta es roja.
- \(J\): La carta es una jota.

La probabilidad de sacar una carta que sea roja o una jota (\(P(R \cup J)\)) se calcula utilizando la fórmula de la unión de sucesos:

\( P(R \cup J) = P(R) + P(J) - P(R \cap J) \)

Donde:
- \(P(R)\): Probabilidad de que la carta sea roja.
- \(P(J)\): Probabilidad de que la carta sea una jota.
- \(P(R \cap J)\): Probabilidad de que la carta sea tanto roja como una jota.

Sabemos que:
- Hay dos colores de cartas rojas (corazones y diamantes), cada uno con 26 cartas, por lo que \(P(R) = \frac{26}{52}\).
- Hay cuatro jotas en la baraja, dos rojas (corazones y diamantes) y dos negras (picas y tréboles), por lo que \(P(J) = \frac{4}{52}\).
- La intersección de ser roja y ser una jota son las dos jotas rojas, por lo que \(P(R \cap J) = \frac{2}{52}\).

Sustituimos estos valores en la fórmula:

\( P(R \cup J) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13} \)

Por lo tanto, la probabilidad de sacar una carta que sea roja o una jota es \(\frac{7}{13}\).

Espero que este formulario de probabilidad y sus ejemplos te hayan ayudado a entender y resolver problemas de diversas situaciones. Practicar con ejercicios similares te ayudará a afianzar los conocimientos y habilidades en resolución de problemas de probabilidad.

Aprende más sobre ... Resolviendo el Binomio al Cubo: Fórmulas y Ejemplos Resolviendo el Binomio al Cubo: Fórmulas y Ejempl...

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    2 lectores opinan:

  1. Avatar Kalel dice:

    Muy completo, me ha servido para lo que buscaba.

    1. Justo Fernández Justo Fernández dice:

      Gracias Kalel, me alegro.
      Un abrazo!

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