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Polígonos que permiten cubrir el plano

De niños, todos hemos hecho garabatos en una clase aburrida, como mecanismo de defensa de nuestras neuronas, ante palabras vacías de contenido y emoción.

Hoy, siendo un niño mayor, me gustaría contarte diferentes formas de cubrir el plano con polígonos, sin dejar el más mínimo hueco entre ellos. A esto se le llama teselar el plano.

¿De cuántas maneras diferentes puedes cubrir el plano utilizando un mismo polígono convexo?

Será un buen ejercicio que te pongas a garabatear para ver si te quedas cerca de la respuesta …

Te recuerdo que en un polígono convexo todos los vértices “señalan” hacia el exterior del polígono. En el siguiente ejemplo queda bastante claro:

polígonos

 

Con polígonos cóncavos las posibilidades de cubrir el plano son infinitas. Hoy sólo «jugaremos» con los polígonos más bonitos.

¿Cogiste papel y lápiz? ¿o dedo y tablet? Venga,ahora te hago otra pregunta más fácil:

¿Qué polígonos regulares tienen la propiedad de poder teselar el plano?

Sólo tres tienen esa gran virtud!  El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Aquí los tienes:

formas de cubrir el plano1024px-Tiling_Regular_4-4_Square.svgteselado hexágonos

Si te preguntas porqué las abejas construyen su panal con hexágonos regulares, tal vez quieras saber más sobre los números perfectos.

Prueba con el pentágono regular a ver que ocurre …

Pero, ¿qué sucede con los polígonos que no son regulares?

A los triángulos y a los cuadriláteros no les importa lo más mínimo la nobleza de su carácter. Da igual que sean o no regulares. Todos son capaces de teselar el plano, son unos artistas, son polígonos que permiten cubrir el plano sin dejar huecos.


Ni uno, ni dos, tres tipos de hexágonos no regulares pueden hacer esta “hazaña”.
¿Alguien te dijo en clase que también hay hexágonos irregulares capaces de teselar el plano?

Si los quieres conocerlos bien,  puedes entrar en esta web, o en esta otra. Además te volverás a encontrar con Geogebra , una herramienta excelente para «tocar las matemáticas»

Otra forma de cubrir el plano. El curioso caso de los pentágonos irregulares

Llegamos al pentágono, una figura rodeada de grandes enigmas, una leyenda en cubrir el plano de muchas formas. Hoy en día, todavía no se conoce una clasificación íntegra de cuantos tipos de pentágonos pueden teselar el plano.

Si me conoces un poco, ya sabes que me gustan mucho los acertijos matemáticos.

¿Cuántos? 15 pentágonos irregulares pueden cubrir el plano sin dejar huecos. Wow!  (Hasta hoy. Sigue siendo un problema abierto)

Sin ir más lejos, hace “cuatro días” se descubrió la última “especie” pentagonal capaz de no dejar el más mínimo hueco entre sus compañeros de piso.

Hace casi cien años, en 1918 el matemático Karl Reinhardt reveló 5 tipos de pentágonos que cubrían el plano.

Tuvo que pasar medio siglo para que R.B.Kershner encontrara 3 clases más.

Y cerca de los años 80, Marjorice Rice, una matemática aficionada inspirada en las lecturas de Martin Gardner sorprendió al mundo encontrando 4 tipos más utilizando su propio método.

El penúltimo pentágono “capacitado” lo descubrió Rolf Stein en 1985.

El mes pasado – han tenido que pasar 30 años más – ,un grupo de matemáticos de la universidad de Washington Bothell descubrieron el pentágono número 15 capaz de cubrir el plano magistralmente. Eso sí, gracias a la ayuda de potentes ordenadores.

¿Quieres conocer a la última criatura pentagonal con poderes mágicos? Te la presento

 

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Ilustración: Casey Mann

 

El solito es capaz de hacer cosas como estas:

poligonos que permiten cubrir el plano
Con los colores puedes ver que se juntan en grupos idénticos de tres pentágonos. Foto: Casey Mann

 

En la próxima imagen se resume un siglo de fascinantes descubrimientos de virtuosos pentágonos irregulares.

 

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Los 15 pentágonos descubiertos capaces de teselar el plano. Fotografía:Ed Pegg/Wikipedia

 

¿Ya no hay más?   De momento no, hasta un próximo/lejano descubrimiento, ya los hemos visto todos.

Los polígonos de 7 o más lados no tienen la virtud de teselar el plano; tienen demasiados lados a repartir y los problemas se incrementan.

Teselados semirregulares

Pero ya sabes que la unión hace la fuerza.

Son aquellos que sólo contienen polígonos regulares en su formación. En este caso el patrón debe ser el mismo en todos los vértices! 

Sólo hace falta unirse con buenos compañeros para cubrir el plano, dotándole de una belleza singular. Pero aquí está todo mucho más claro, porque sólo existen ocho teselados semirregulares. Puedes verlos bajo estas líneas.

teselado semirregular 1  teselado semirregular 2

teselado semirregular 3  teselado semirregular 4

Espero que te haya gustado o que hayas aprendido algo. Anímate a crear tus propios mosaicos, es muy divertido. Me gustaría leer tus comentarios. ¿Conoces a Escher, el gran maestro de las teselaciones?

 

¿Te ha gustado? Comparte matemáticas. GRACIAS
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¿Te imaginas que tu hijo no tuviera problemas con las matemáticas?

Tengo muchos años de experiencia y puedo resolverle cualquier duda. Podrá entender todas las matemáticas de secundaria. 

16 comentarios en “Formas de cubrir el plano con un mismo polígono (sin dejar huecos)”

  1. Pingback: Tema 1: Teselaciones del plano | Pearltrees

  2. me encanta esta breve explicación siempre te seguiré ya que se me hace muy fácil tu manera de hacer la información y te deseo lo mjor , ya que yo estudio y veo como ahora se hace.. 🙂

    1. Justo Fernández

      Que bueno poder leer estos comentarios. Me alegra poder ayudar a la gente como tú.

      Felices matemáticas!

  3. wow me sorprendio muy bueno y excelente trabajo me encanta este blog de clases de matematicas , yo ,lo estoy viendo y me alegra haber aprendido mas e investigar para hacer mejor mis trabajos, espero y sigas haciendo en este tiempo , te deseo exito Justo …..pues felicidades y siempre te seguire..

    1. Justo Fernández

      Muchísimas gracias por tus palabras.

      Apenas tengo tiempo para escribir ahora, estoy preparando oposiciones. Un abrazo!

  4. Wow, marvelous weblog structure! How lengthy have
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    1. Justo Fernández

      Thank you for your words. I’ve been blogging for two and a half years. I’m very happy that you like the aesthetics and content of the articles. Greetings!

  5. porque pensas que los hexagonos regulares pueden cubrir todo el panal

    te parece que las abejas podrian hacer su panal con pentagonos regulares. y con cuadros y con triangulos equilateros?

  6. GABRIEL TELLO

    BUENOS DIAS GRACIAS POR LA CATEDRA ES MUY IMPORTANTE COMO LA MANEJA DE UNA FORMA DE FACIL APRENDIZAJE Y COMO SI ESTUVIERAMOS JUGANDO MUY BIEN EXPLICADO FELICIDADES AYUDA MUCHO A QUE SE ENTIENDA EL TEMA ABSTRACTO DEL CASO

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias por tu comentario Gabriel. Me has cargado las pilas de energía de buena mañana.
      Un abrazo 🙂

  7. ¡Maravillosa cátedra!, como siempre he quedado «supersatisfechísimo».
    Ya hacia tiempo que no recibía un email y este ha llegado como el agua de abril
    Gracias, Gracias

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