Formas de cubrir el plano con un polígono (sin dejar huecos)

Polígonos que permiten cubrir el plano

De niños, todos hemos hecho garabatos en una clase aburrida, como mecanismo de defensa de nuestras neuronas, ante palabras vacías de contenido y emoción.

Hoy, siendo un niño mayor, me gustaría contarte diferentes formas de cubrir el plano con polígonos, sin dejar el más mínimo hueco entre ellos. A esto se le llama teselar el plano.

¿De cuántas maneras diferentes puedes cubrir el plano utilizando un mismo polígono convexo?

Será un buen ejercicio que te pongas a garabatear para ver si te quedas cerca de la respuesta …

Te recuerdo que en un polígono convexo todos los vértices “señalan” hacia el exterior del polígono. En el siguiente ejemplo queda bastante claro:

Con polígonos cóncavos las posibilidades de cubrir el plano son infinitas. Hoy sólo "jugaremos" con los polígonos más bonitos.

¿Cogiste papel y lápiz? ¿o dedo y tablet? Venga,ahora te hago otra pregunta más fácil:

¿Qué polígonos regulares tienen la propiedad de poder teselar el plano?

Sólo tres tienen esa gran virtud!  El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Aquí los tienes:

Si te preguntas porqué las abejas construyen su panal con hexágonos regulares, tal vez quieras saber más sobre los números perfectos.

Prueba con el pentágono regular a ver que ocurre …

Pero, ¿qué sucede con los polígonos que no son regulares?

A los triángulos y a los cuadriláteros no les importa lo más mínimo la nobleza de su carácter. Da igual que sean o no regulares. Todos son capaces de teselar el plano, son unos artistas, son polígonos que permiten cubrir el plano sin dejar huecos.

Ni uno, ni dos, tres tipos de hexágonos no regulares pueden hacer esta “hazaña”.¿Alguien te dijo en clase que también hay hexágonos irregulares capaces de teselar el plano?

Si los quieres conocerlos bien,  puedes entrar en esta web, o en esta otra. Además te volverás a encontrar con Geogebra , una herramienta excelente para "tocar las matemáticas"

Otra forma de cubrir el plano. El curioso caso de los pentágonos irregulares

Llegamos al pentágono, una figura rodeada de grandes enigmas, una leyenda en cubrir el plano de muchas formas. Hoy en día, todavía no se conoce una clasificación íntegra de cuantos tipos de pentágonos pueden teselar el plano.

Si me conoces un poco, ya sabes que me gustan mucho los acertijos matemáticos.

¿Cuántos? 15 pentágonos irregulares pueden cubrir el plano sin dejar huecos. Wow!  (Hasta hoy. Sigue siendo un problema abierto)

Sin ir más lejos, hace “cuatro días” se descubrió la última “especie” pentagonal capaz de no dejar el más mínimo hueco entre sus compañeros de piso.

Hace casi cien años, en 1918 el matemático Karl Reinhardt reveló 5 tipos de pentágonos que cubrían el plano.

Tuvo que pasar medio siglo para que R.B.Kershner encontrara 3 clases más.

Y cerca de los años 80, Marjorice Rice, una matemática aficionada inspirada en las lecturas de Martin Gardner sorprendió al mundo encontrando 4 tipos más utilizando su propio método.

El penúltimo pentágono “capacitado” lo descubrió Rolf Stein en 1985.

El mes pasado – han tenido que pasar 30 años más – ,un grupo de matemáticos de la universidad de Washington Bothell descubrieron el pentágono número 15 capaz de cubrir el plano magistralmente. Eso sí, gracias a la ayuda de potentes ordenadores.

¿Quieres conocer a la última criatura pentagonal con poderes mágicos? Te la presento

El solito es capaz de hacer cosas como estas:

En la próxima imagen se resume un siglo de fascinantes descubrimientos de virtuosos pentágonos irregulares.

¿Ya no hay más?   De momento no, hasta un próximo/lejano descubrimiento, ya los hemos visto todos.

Los polígonos de 7 o más lados no tienen la virtud de teselar el plano; tienen demasiados lados a repartir y los problemas se incrementan.

Teselados semirregulares

Pero ya sabes que la unión hace la fuerza.

Son aquellos que sólo contienen polígonos regulares en su formación. En este caso el patrón debe ser el mismo en todos los vértices! 

Sólo hace falta unirse con buenos compañeros para cubrir el plano, dotándole de una belleza singular. Pero aquí está todo mucho más claro, porque sólo existen ocho teselados semirregulares. Puedes verlos bajo estas líneas.

Espero que te haya gustado o que hayas aprendido algo. Anímate a crear tus propios mosaicos, es muy divertido. Me gustaría leer tus comentarios. ¿Conoces a Escher, el gran maestro de las teselaciones?