Fracción generatriz: paso a paso, ejemplos y ejercicios 😊

hace 2 meses · Actualizado hace 2 meses

🔎 Índice de contenidos

🔍 ¿Qué es la fracción generatriz?
📊 Tipos de decimales
🔬 Partes de un decimal periódico: período y anteperíodo
✅ Fracción generatriz de un decimal exacto
🔁 Fracción generatriz de un periódico puro
🔀 Fracción generatriz de un periódico mixto
📊 Tabla resumen del método
🎯 Ejercicios resueltos interactivos

🔢 Fracción Generatriz

Guía completa para ESO y Bachillerato · Decimales exactos, periódicos puros y mixtos · Método completo · Fórmula directa · Ejercicios interactivos

0,333… = 1/3
Periódico puro
Periódico mixto
Fórmula directa

🔍 ¿Qué es la fracción generatriz?

La fracción generatriz de un número decimal es la fracción (cociente de dos enteros) que, al dividir, genera exactamente ese decimal. Es decir, si $f = p/q$, entonces $p \div q = $ el decimal dado.

Encontrar la fracción generatriz es el proceso inverso a la división: en vez de pasar de fracción a decimal, pasamos de decimal a fracción. El objetivo es siempre obtener la fracción en su forma irreducible (el mcd del numerador y del denominador es 1).

\[ \text{decimal} \xrightarrow{\text{fracción generatriz}} \frac{p}{q} \]

donde $p,\,q \in \mathbb{Z}$ y $\text{mcd}(p,q)=1$ (fracción irreducible)

💡 ¿Para qué sirve la fracción generatriz?

La fracción generatriz es imprescindible para demostrar que un decimal periódico es un número racional, para simplificar operaciones aritméticas y para resolver problemas de la vida real (recetas, proporciones, medidas). Aparece en todos los exámenes de 3.º y 4.º ESO y en las pruebas de acceso a FP.

📊 Tipos de decimales

Antes de calcular la fracción generatriz, tienes que saber qué tipo de decimal tienes, porque el método cambia según el tipo:

✅ Decimal exacto

Tiene un número finito de cifras decimales. Termina.

Ejemplos: 0,5 · 1,25 · 3,125

🔁 Periódico puro

El período empieza justo después de la coma, sin anteperíodo.

Ejemplos: 0,3̄ · 1,272727…

🔀 Periódico mixto

Hay cifras no periódicas (anteperíodo) antes del período.

Ejemplos: 0,1666… · 0,2333…

🔬 Partes de un decimal periódico: período y anteperíodo

Para aplicar el método correctamente, identifica primero las partes del decimal:

El anteperíodo

Son las cifras decimales que no se repiten, situadas entre la coma y el inicio del período. En el ejemplo 2,3472727…, el anteperíodo es 34 (2 cifras).

En un periódico puro, el anteperíodo tiene 0 cifras.

El período

Son las cifras decimales que sí se repiten indefinidamente. Se indica con una barra superior (diacrítico) o con tres puntos. En el ejemplo 2,3472727…, el período es 72 (2 cifras).

El número de cifras del período se llama longitud del período.

🎯Cómo identificar el período: busca el primer grupo de cifras que se repite. Para 0,142857142857…, el período es 142857 (6 cifras). Para 0,3333…, el período es 3 (1 cifra).

✅ Fracción generatriz de un decimal exacto

Los decimales exactos son el caso más sencillo: se convierten directamente escribiendo las cifras como numerador y la potencia de 10 correspondiente como denominador.

\[ 0{,}xyz\ldots = \frac{xyz\ldots}{10^{\text{n.º cifras decimales}}} \]

🧮 Ejemplos de decimales exactos

\[0{,}5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\]\[0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\]\[1{,}375 = \frac{1375}{1000} = \frac{11}{8}\]\[0{,}625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}\]

📐Regla del denominador para decimales exactos: 1 cifra decimal → denominador 10; 2 cifras → 100; 3 cifras → 1.000; n cifras → 10ⁿ. Después simplifica la fracción con el mcd.

🔁 Fracción generatriz de un periódico puro

Un decimal periódico puro tiene el período empezando justo después de la coma. El método consiste en plantear dos ecuaciones y restar para eliminar el período infinito:

Algoritmo general para periódico puro

Llama x al decimal periódico: Escribe: $x = 0{,}\overline{p_1p_2\ldots p_n}$

Multiplica por 10ⁿ (n = número de cifras del período): $10^n \cdot x = p_1p_2\ldots p_n{,}\overline{p_1p_2\ldots p_n}$

Resta la ecuación original: $10^n x - x = p_1p_2\ldots p_n$ (la parte decimal se cancela)

Despeja x y simplifica: $(10^n-1)x = p_1p_2\ldots p_n \Rightarrow x = \dfrac{p_1p_2\ldots p_n}{10^n-1}$

\[ x = \frac{\text{período}}{{\underbrace{99\ldots9}_{n \text{ nueves}}}} \]

El denominador tiene tantos 9 como cifras tiene el período

🧮 Ejemplos de periódicos puros

\[0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]\[0{,}\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}\]\[0{,}\overline{142857} = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}\]\[1{,}\overline{6} = 1 + \frac{6}{9} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\]

🔀 Fracción generatriz de un periódico mixto

En el periódico mixto hay un anteperíodo (cifras no repetidas) antes del período. El método usa dos multiplicaciones distintas para eliminar el período en la resta:

Algoritmo general para periódico mixto

Identifica la longitud del anteperíodo (n) y del período (m): Ejemplo: 0,1666… → n=1 (anteperíodo "1"), m=1 (período "6")

Primera multiplicación: por 10^(n+m): $10^{n+m}\cdot x$ desplaza n+m cifras a la izquierda, dejando el período alineado

Segunda multiplicación: por 10^n: $10^n\cdot x$ desplaza n cifras, dejando solo la parte periódica

Resta ambas ecuaciones: La parte periódica (infinita) se cancela: $(10^{n+m}-10^n)\cdot x = \text{número entero}$

Despeja x y simplifica con el mcd: Divide numerador y denominador por su mcd para obtener la fracción irreducible

\[ x = \frac{\text{número completo} - \text{parte no periódica}}{{\underbrace{99\ldots9}_{m}\underbrace{00\ldots0}_{n}}} \]

m = cifras del período (nueves) · n = cifras del anteperíodo (ceros)

🧮 Más ejemplos de periódicos mixtos

\[0{,}1\overline{6} = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}\]\[0{,}2\overline{3} = \frac{23-2}{90} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}\]\[0{,}08\overline{3} = \frac{083-08}{900} = \frac{75}{900} = \frac{1}{12}\]\[1{,}4\overline{27} = \frac{1427-14}{990} = \frac{1413}{990} = \frac{157}{110}\]

⚡ Fórmula directa (método rápido)

Una vez que entiendes el método, puedes aplicar esta fórmula directamente sin plantear las ecuaciones:

Cómo calcular el numerador

Escribe el número completo sin coma y réstale la parte que está antes del período (también sin coma).

Ejemplo: 0,1666… → 16 − 1 = 15

Cómo calcular el denominador

Escribe tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo.

Ejemplo: 0,1666… → período=1, anteperíodo=1 → denominador = 90

🏆La fórmula directa en tres pasos: (1) Identifica anteperíodo y período. (2) Numerador = número completo sin coma − número antes del período sin coma. (3) Denominador = 9s (uno por cada cifra del período) + 0s (uno por cada cifra del anteperíodo).

📋 Tabla de denominadores según el tipo de decimal

🎯Regla mnemotécnica para los denominadores: "Tantos 9 como cifras del período, tantos 0 como cifras del anteperíodo." Para 0,142857̄142857̄ (período = 6 cifras, anteperíodo = 0): denominador = 999999.

$fracción generatriz$

✔️ Cómo verificar el resultado

Siempre debes verificar que tu fracción generatriz es correcta. Hay dos métodos:

Método 1: división larga

Divide el numerador entre el denominador y comprueba que el resultado coincide con el decimal original. Es el método más riguroso.

Método 2: simplificar al máximo

Calcula el mcd del numerador y el denominador y divide ambos por él. Si la fracción ya no se puede simplificar más, es irreducible y es la fracción generatriz definitiva.

📊 Tabla resumen del método

Tipo de decimal	Ejemplo	Numerador	Denominador	Resultado
Exacto	0,75	75 (cifras después de la coma)	100 (= 10²)	75/100 = 3/4
Periódico puro (n cif.)	0,272727…	27 (cifras del período)	99 (dos 9: período = 2 cif.)	27/99 = 3/11
Periódico mixto (ant.=n, per.=m)	0,1666…	16 − 1 = 15	90 (un 9, un 0)	15/90 = 1/6
Periódico mixto (ant.=2, per.=1)	0,083333…	083 − 08 = 75	900 (un 9, dos 0s)	75/900 = 1/12
Periódico mixto (ant.=1, per.=2)	0,14̄2̄7̄	1427 − 14 = 1413	9900 (dos 9s, dos 0s)	1413/9900 = 157/1100

🎯Regla de oro: Numerador = número completo − parte fija · Denominador = 9s(período) + 0s(anteperíodo). Aplícala siempre: ahorra tiempo en los exámenes.

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlo tú primero! 💪

01
Decimal exacto: fracción generatriz de 0,75
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $0{,}75$.

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①Tipo: decimal exacto (2 cifras decimales)

②Escribe directamente:
$0{,}75 = \dfrac{75}{100}$

③Simplifica: mcd(75, 100) = 25
$\dfrac{75}{100} \div \dfrac{25}{25} = \dfrac{3}{4}$

④Verificación: $3 \div 4 = 0{,}75$ ✅

✅ $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$

02
Periódico puro: fracción generatriz de 0,272727…
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $0{,}\overline{27}$ (= 0,272727…).

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①Tipo: periódico puro. Período = "27" (2 cifras)

②Aplica la fórmula directa:
Numerador = período = 27
Denominador = 99 (dos 9, porque el período tiene 2 cifras)

③Fracción:
$\dfrac{27}{99}$

④Simplifica: mcd(27, 99) = 9
$\dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$

⑤Verificación: $3 \div 11 = 0{,}272727\ldots$ ✅

✅ $0{,}\overline{27} = \dfrac{3}{11}$

03
Periódico mixto básico: fracción generatriz de 0,2333…
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $0{,}2\overline{3}$ (= 0,2333…).

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①Tipo: periódico mixto. Anteperíodo = "2" (1 cifra). Período = "3" (1 cifra)

②Numerador: número completo − parte fija
$23 - 2 = 21$

③Denominador: un 9 (período=1 cifra) + un 0 (anteperíodo=1 cifra) = 90

④Fracción:
$\dfrac{21}{90}$

⑤Simplifica: mcd(21, 90) = 3
$\dfrac{21}{90} = \dfrac{7}{30}$

⑥Verificación: $7 \div 30 = 0{,}2333\ldots$ ✅

✅ $0{,}2\overline{3} = \dfrac{7}{30}$

04
Periódico puro con parte entera: fracción generatriz de 3,444…
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $3{,}\overline{4}$ (= 3,4444…).

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①Método 1 — Directamente:
Número completo (sin coma): 34 · Parte fija (antes del período): 3
Numerador = 34 − 3 = 31 · Denominador = 9 (período = 1 cifra)
$\dfrac{31}{9}$

②Método 2 — Separando la parte entera:
$3{,}\overline{4} = 3 + 0{,}\overline{4} = 3 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{27}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{31}{9}$

③Verificación: $31 \div 9 = 3{,}4444\ldots$ ✅

✅ $3{,}\overline{4} = \dfrac{31}{9}$

05
Periódico mixto con 2 cifras de anteperíodo: 0,0833…AVANZADO
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $0{,}08\overline{3}$ (= 0,08333…).

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①Tipo: periódico mixto. Anteperíodo = "08" (2 cifras). Período = "3" (1 cifra)

②Numerador:
Número completo = 083 · Parte no periódica = 08
$083 - 08 = 75$

③Denominador: un 9 (período=1 cifra) + dos 0s (anteperíodo=2 cifras) = 900

④Fracción:
$\dfrac{75}{900}$

⑤Simplifica: mcd(75, 900) = 75
$\dfrac{75}{900} = \dfrac{1}{12}$

⑥Verificación: $1 \div 12 = 0{,}08333\ldots$ ✅

✅ $0{,}08\overline{3} = \dfrac{1}{12}$

06
Periódico puro de 3 cifras: 0,142857…AVANZADO
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $0{,}\overline{142857}$ (= 0,142857142857…).

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①Tipo: periódico puro. Período = "142857" (6 cifras)

②Numerador: 142857
Denominador: 999999 (seis 9s)

③Fracción:
$\dfrac{142857}{999999}$

④Simplifica: mcd(142857, 999999) = 142857
$\dfrac{142857}{999999} = \dfrac{1}{7}$

⑤Verificación: $1 \div 7 = 0{,}142857142857\ldots$ ✅

✅ $0{,}\overline{142857} = \dfrac{1}{7}$

07
Periódico mixto con período de 2 cifras: 1,4272727…AVANZADO
►

📝 Calcula la fracción generatriz de $1{,}4\overline{27}$ (= 1,4272727…).

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①Tipo: periódico mixto. Anteperíodo = "4" (1 cifra). Período = "27" (2 cifras)

②Numerador:
Número completo (sin coma): 1427 · Parte no periódica (sin coma): 14
$1427 - 14 = 1413$

③Denominador: 99 (período=2 cifras) + 0 (anteperíodo=1 cifra) = 990

④Fracción:
$\dfrac{1413}{990}$

⑤Simplifica: mcd(1413, 990) = 9
$\dfrac{1413}{990} = \dfrac{157}{110}$

⑥Verificación: $157 \div 110 = 1{,}4272727\ldots$ ✅

✅ $1{,}4\overline{27} = \dfrac{157}{110}$

08
Demostrar que 0,9999… = 1SELECTIVIDAD
►

📝 Demuestra usando la fracción generatriz que $0{,}\overline{9} = 1$.

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①Tipo: periódico puro. Período = "9" (1 cifra)

②Aplica la fórmula:
Numerador = 9 · Denominador = 9 (un solo 9)

③Fracción:
$\dfrac{9}{9} = 1$

④Confirmación algebraica:
Sea $x = 0{,}9999\ldots$
$10x = 9{,}9999\ldots$
$10x - x = 9 \Rightarrow 9x = 9 \Rightarrow x = 1$ ✅

⑤Conclusión: No son distintos. $0{,}9999\ldots$ y $1$ son exactamente el mismo número, solo con representaciones distintas.

✅ $0{,}\overline{9} = 1$ — ¡Exactamente igual!

🚫 Errores más frecuentes

❌

Error 1 — Confundir cuántos 9s y cuántos 0s tiene el denominador
Incorrecto: Para 0,1666…: poner denominador 90 con el 9 y el 0 intercambiados (09)
Correcto: El denominador siempre es: 9s primero (uno por cada cifra del PERÍODO), luego 0s (uno por cada cifra del ANTEPERÍODO). Para 0,1666…: período=1, anteperíodo=1 → 90
👉 Regla: "Noventa es fácil de recordar — 9 primero (período), 0 después (anteperíodo)."

❌

Error 2 — Olvidar restar la parte no periódica en el numerador
Incorrecto: Para 0,2333…: escribir directamente 23/90 sin restar
Correcto: Numerador = número completo − parte no periódica = 23 − 2 = 21, por tanto 21/90 = 7/30
👉 El numerador siempre es una resta: número completo sin coma MENOS parte fija sin coma.

❌

Error 3 — No simplificar la fracción al mínimo
Incorrecto: Dar 27/99 como fracción generatriz de 0,2727…
Correcto: 27/99 se simplifica: mcd(27,99)=9 → 27/99 = 3/11
👉 La fracción generatriz debe estar en forma IRREDUCIBLE. Calcula siempre el mcd y simplifica.

❌

Error 4 — Identificar mal las partes del decimal
Incorrecto: Para 0,142857142857…: decir que el período es "1428" (solo 4 cifras)
Correcto: El período completo es "142857" (6 cifras): 0,142857|142857|142857…
👉 Escribe varios períodos seguidos para identificar el mínimo grupo que se repite exactamente.

❌

Error 5 — Aplicar el método del periódico puro a un mixto
Incorrecto: Para 0,1666…: poner denominador 9 (un solo 9, como si fuera puro)
Correcto: 0,1666… es mixto (anteperíodo "1", período "6") → denominador = 90, no 9
👉 Comprueba siempre si hay cifras entre la coma y el inicio del período (= anteperíodo). Si las hay, es mixto.

❓ Preguntas frecuentes sobre la fracción generatriz

¿Por qué el denominador lleva 9s y 0s exactamente? ▼

Porque el método algebraico (plantear ecuaciones y restar) produce exactamente esos números. Al multiplicar por 10ⁿ⁺ᵐ y restar 10ⁿ obtienes 10ⁿ⁺ᵐ − 10ⁿ como denominador. Este número siempre tiene la forma m-nueves seguidos de n-ceros: 10² − 10¹ = 100 − 10 = 90 (un 9, un 0); 10³ − 10¹ = 1000 − 10 = 990 (dos 9s, un 0). La fórmula es una consecuencia directa.

¿Todos los decimales periódicos tienen fracción generatriz? ▼

Sí. Todo número decimal periódico (puro o mixto) es un número racional, es decir, puede expresarse como cociente de dos enteros. Esta es precisamente la razón por la que se estudia la fracción generatriz: para demostrar que esos decimales "infinitos" son en realidad números racionales exactos. Los números irracionales (como π, √2, e) no tienen fracción generatriz porque sus decimales ni terminan ni se repiten.

¿Es posible que 0,9999… = 1 exactamente? ▼

Sí, y es una de las demostraciones más sorprendentes de las matemáticas elementales. 0,9999… no es "casi 1" ni "infinitamente cerca de 1": es exactamente igual a 1. La fracción generatriz lo demuestra: 0,\overline{9} = 9/9 = 1. También se puede demostrar con la suma de la serie geométrica: 0,9999… = 9/10 + 9/100 + … = (9/10)/(1-1/10) = 1.

¿Cómo sé si tengo la fracción correcta sin dividir? ▼

Puedes verificarla usando la multiplicación: si la fracción es p/q, entonces p = q × (parte entera) + q × (parte decimal) debe darte el numerador correcto. También puedes usar la regla: el denominador de la fracción generatriz de un decimal periódico puro de n cifras SIEMPRE divide a 10ⁿ − 1. Por ejemplo, 1/7: 7 divide a 999999 = 10⁶ − 1 ✓.

¿Qué diferencia hay entre fracción generatriz y fracción equivalente? ▼

La fracción generatriz es la fracción (irreducible) que genera un decimal concreto. Las fracciones equivalentes son múltiples fracciones que representan el mismo número (por ejemplo, 1/2 = 2/4 = 3/6…). La fracción generatriz es ÚNICA (siempre la irreducible); las fracciones equivalentes son infinitas. Al calcular la generatriz, siempre simplificamos hasta la irreducible.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 5 claves de la fracción generatriz

Decimal exacto: cifras decimales / potencia de 10 → simplifica
Periódico puro: numerador = período · denominador = tantos 9 como cifras del período
Periódico mixto: numerador = número completo − parte fija · denominador = 9s (período) + 0s (anteperíodo)
Simplifica siempre: divide numerador y denominador por su mcd hasta obtener la fracción irreducible
Verifica: divide numerador ÷ denominador y comprueba que recuperas el decimal original

🚀 ¿Quieres seguir aprendiendo?

Consulta también:
Pasar de decimal a fracción,
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Números irracionales.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...