¿Entiendes bien qué es el dominio de una función? Suele causar problemas a los estudiantes.
Tienes que saber que el dominio de una función es fundamental en el estudio de representaciones gráficas.
Cómo hallar el dominio de una función
En este artículo te lo explico con todo detalle, para que no tengas ninguna duda.
Conceptos básicos de funciones
Las relaciones entre magnitudes son descritas de forma elegante y práctica mediante el lenguaje de las funciones. Hay muchos tipos de funciones (lineales,cuadráticas,exponenciales…) que nos ayudan a estudiar una variedad infinita de situaciones reales. Aunque no te lo creas, todos los días utilizas funciones. Sin lugar a dudas el concepto más importante de todas las matemáticas es el de función. Las funciones pueden venir dadas de varias formas: por su gráfica, mediante una tabla de valores, por una fórmula o a través de una descripción verbal.
Siempre me he imaginado una función como una máquina donde entran unos números y salen otros. Aunque no siempre es así 😉
Una función liga dos variables numéricas, habitualmente llamadas x e y
x es la variable independiente (la que entra), y es la variable dependiente (la que sale)
Nuestra máquina de hacer números o función se suele denotar por y=f(x). Relaciona cada valor de x con un único valor de y:
En la siguiente imagen puedes ves un ejemplo sencillo, de como varia f(x) según los valores de x.
Pero debes estar atento. En muchas ocasiones para un valor determinado de x, no le corresponde ningún valor de f(x).
Entonces, ¿qué pasa si no le corresponde ningún valor de f(x)? Muy sencillo, para ese valor de x, la función f(x) no existirá. Dicho de otra forma, “la máquina se rompe”
Por ejemplo, a la función \(y=frac { 2 }{ x }\), no podemos asignarle el valor cero, porque es imposible dividir entre cero. Es decir, para x=0 esta función no existe
Antes de ver en que casos puedes encontrarte estas situaciones, es coveniente que sepas identificar fácilmente el dominio viendo la gráfica de la función.
¿Cómo puedo identificar el dominio de una función en una gráfica?
Esto es muy sencillo, no te preocupes. Además hoy en día hay herramientas fabulosas como Desmos, que te permiten representar funciones fácilmente.
En los siguientes ejemplos lo verás fácilmente. La función viene representada en color azul y el dominio en color verde. Se aprecia con claridad que el dominio de una función son todos los valores de la variable x que tienen una imagen, es decir, en su misma vertical aparece un valor de la función representada, f(x) existe.
Ten en cuenta que para ver el dominio siempre debes mirar en el eje X. Enseguida podrás ver si hay algún valor que no pertenezca al dominio de función. Te pongo dos ejemplos:
Dominio de una función. Ejemplos
Se llama dominio de una función f, escrito \(Domf\) , al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x).
Buscar valores que no pertenezcan al dominio. Cuándo la función no existe
Siempre resulta interesante encontrar (si los hay) estos casos. Debes ser capaz de ver que operaciones tienes que hacer para encontrar los valores que no tienen imagen, que hacen que la función no exista. Estos son los casos más comunes:
1. Es imposible dividir entre cero
Es una operación prohibida en matemáticas. ¿Cómo puedes dividir 10€ entre nadie? Nunca podrás dividir entre cero.
Por ejemplo, si \(y=frac { 5{ x }^{ 2 }-3 }{ x }\) , esta función no está definida para x=0
2. El radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo
\(sqrt { -7 } rightarrow\) no existe \(sqrt [ 4 ]{ -5 } rightarrow\) existe3. El logaritmo de cero o de un número negativo no existe
\(log(0)rightarrow\) no existe \(log(-7)rightarrow\)no existeEs muy importante que sepas buscar los valores para los cuales una función no existe. Veamos dos ejemplos prácticos:
#Hallar el dominio de \(y=frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-2x-8 }\)
Enseguida te debes dar cuenta que el denominador no puede ser cero. Por tanto, hay que buscar los valores malditos que rompen la máquina. ¡A por ellos!
\({ x }^{ 2 }-2x-8=0quad rightarrow quad x=frac { 2pm sqrt { 4+32 } }{ 2 } =frac { 2pm 6 }{ 2 } =4quad yquad -2\)Por tanto, acabas de ver que los valores x=–2 y x=4 anulan el denominador, por lo que no pertenecen al dominio de definición. En este caso \(Domquad f=Re -left{ -2,4 right}\)
# Hallar el dominio de \(y=sqrt { x+3 }\)
¿Y ahora qué? La raíz no puede ser negativa.
Es decir \(x+3ge 0quad rightarrow quad xge -3\)
En la gráfica puedes observar que el dominio existe desde –3 hasta el infinito, esto lo expresamos así: \(Domquad f=left[ -3,+infty right)\)
El concepto de dominio de función no resulta fácil de entender para algunos alumnos, pero es más fácil de lo que parece. La clave principal es encontrar los valores para los cuales la función no existe. Ya que todos los demás valores pertenecerán al dominio de la función.
Aprende más sobre ...Lo más conveniente es estudiar el dominio de las funciones más importantes que te puedes encontrar. Pero antes puedes ver a las funciones bailando en el siguiente video. Mola.
Cómo hallar el dominio de las funciones más importantes.
* Dominio de una función polinómica
Suelen ser las favoritas de cualquier estudiante porque no dan ningún problema. Su dominio es el valor de todos los números reales. En ellas no te encontrarás raíces ni denominadores que te compliquen la vida. Ejemplo:
\(f(x)={ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }-1\)
Dicho de otro modo, en las funciones polinómicas no hay valores de x para los cuales no exista f(x), es decir, la función siempre existirá. Decimos entonces que su dominio es el conjunto de todos los números reales:
\(Domquad f=Re\)* Dominio de una función racional
El dominio de estas funciones será R, excepto los valores que anulan el denominador. En estos casos, para obtener el dominio de una función racional, tienes que buscar el valor o los valores que hacen cero el denominador. Estos valores no pertenecerán al dominio. Antes has podido ver un ejercicio resuelto. Te muestro un ejemplo más:
\(f(x)=frac { 3 }{ x-7 }\) \(Domquad f=left{ Re -7 right}\)
Es decir, la función existirá siempre que x sea distinto de 7, por tanto el dominio es el conjunto de todos los reales menos el número primo 7
* Calcular el dominio de una función irracional
¿Qué es una función irracional? Es aquella en la que aparece una raíz. Porque las raíces no pueden ponerse en forma racional o de fracción. El mismísimo Pitágoras lo pasó muy mal con esto.
Aquí resulta preciso distinguir entre dos casos diferenciados.
- Raíces de índice impar. Siempre existen. Su dominio es R
- Raíces de índice par. Existirán siempre que su radicando sea igual o mayor que cero
Ejemplos:
\(f(x)=sqrt { x-5 }\) Como es una raíz de índice par, existirá siempre que su radicando sea mayor o igual que cero. Entonces:
\(x-5>0quad rightarrow x>5\)\(Domquad f=left[ 5,+infty right)\)\(f(x)=sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 2 }+5 }\)
En este caso puedes ver que la raíz es de índice impar, por tanto siempre existirá. Su dominio de función será \(Domquad f=Re\)
* Dominio de una función logarítmica
Recuerda que las funciones logarítmicas son las que contienen a la x dentro de un logaritmo.
Estas funciones siempre existirán cuando el logaritmo sea mayor que 0. Esto es lo que tienes que buscar. Los otros valores, serán los que hacen que el logaritmo sea cero o negativo. Y estos valores los que tienes que excluir del dominio de la función. Veamos:
\(f(x)=log { left( x-9 right) }\)Siempre y cuando el logaritmo sea mayor que cero, esta función existirá:
\(x-9>0quad rightarrow quad x>9\)Entonces queda claro que la función existirá cuando x sea mayor que 9. Es decir, su dominio será:
\(Domquad f=(9,infty )\)El paréntesis indica que 9 no pertenece al dominio, porque si x=9, obtenemos logaritmo de cero, y esto no existe.
* Como calcular el dominio de una función exponencial
Las funciones exponenciales son las que tienen la x en el exponente. Como base puedes tener cualquier número real mayor que 0 y distinto de 1. Lo expresamos de esta forma:
\(f(x)={ a }^{ x }quad conquad aneq 1quad yquad a>0\)Ejemplos de estas funciones tan particulares hay infinitos. El numero e suele jugar un papel importante.
\(f(x)={ 3 }^{ x }quad quad quad quad f(x)={ e }^{ { x }^{ 2 }+5x }\)
Y ahora te pregunto, ¿ves algún valor de x que haga que estas funciones no existan? Yo tampoco. En consecuencia, el dominio de estas funciones será el conjunto de todos los números reales. Esta función, como las polinómicas, siempre existe.
\(Domquad f=Re\)Si lo prefieres, puedes ver el siguiente vídeo para consolidar lo aprendido.
Ejercicios de dominios de funciones
¿Te atreves con estos ejercicios? Ahora te toca a tí encontrar el dominio de las siguientes funciones, algunas sencillas y otras más complejas. En el aprendizaje de las matemáticas es muy importante razonar y practicar mucho, esa es la clave del éxito. A ver si eres capaz de resolver estos ejercicios:
1) \(f(x)=frac { 2 }{ 2x+4 }\)
2) \(f(x)=frac { 1-x }{ { x }^{ 2 }-x-6 }\)
3) \(f(x)=sqrt { -{ x }^{ 2 }+2x+3 }\)
4) \(log { ({ x }^{ 2 }+6x) }\)
Soluciones
1) \(Domf=left{ Re -left( -2 right) right}\)
2) \(Domf=left{ Re -left( -2,3 right) right}\)
3) \(Domf=left[ -1,3 right]\)
4) \(Domf=left( -infty ,-6 right) cup left( 0,+infty right)\)
¿Te ha gustado la entrada? Espero que te haya podido ayudar. Es importante que no te dominen las funciones ;-)Si te has quedado con dudas, puedes ver el vídeo con los ejercicios de dominio de funciones resueltos. No dejes de explorar tus dominios
Aprende más sobre ...Te agradecería mucho que me comentaras cualquier inquietud o sugerencia. Si ienes alguna duda, indícalo en los comentarios y te ayudaremos.
Como encontrar el dominio de una funcion
Tipo de Función | Descripción | Consideraciones para el Dominio |
---|---|---|
Funciones Polinómicas | Funciones definidas por un polinomio de la forma (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0). | El dominio es todos los números reales ((mathbb{R})), ya que se pueden evaluar en cualquier valor real de (x). |
Funciones Racionales | Funciones que son el cociente de dos polinomios, de la forma (frac{p(x)}{q(x)}), donde (q(x) neq 0). | El dominio excluye los valores que hacen que el denominador sea cero. Se deben encontrar las raíces de (q(x)) y excluirlos del dominio. |
Funciones Radicales | Funciones que contienen una raíz cuadrada, cúbica, etc., de la forma (sqrt[n]{f(x)}). | Para raíces pares, el argumento debe ser mayor o igual a cero ((f(x) geq 0)). Para raíces impares, el argumento puede ser cualquier número real. |
Funciones Logarítmicas | Funciones de la forma ( log_{b}(f(x)) ), donde ( b > 0 ) y ( b neq 1 ). | El argumento (f(x)) debe ser estrictamente positivo ((f(x) > 0)). Se deben encontrar los valores de (x) para los cuales (f(x) > 0). |
Funciones Exponenciales | Funciones de la forma ( b^{f(x)} ), donde ( b > 0 ) y ( b neq 1 ). | El dominio es todos los números reales ((mathbb{R})), ya que se pueden evaluar para cualquier valor real de (x). |
Funciones Trigonométricas | Funciones como ( sin(x) ), ( cos(x) ), ( tan(x) ), etc. | Para ( sin(x) ) y ( cos(x) ), el dominio es todos los números reales. Para ( tan(x) ), se excluyen los valores donde ( cos(x) = 0 ) (por ejemplo, (x neq frac{pi}{2} + kpi), donde (k) es un entero). |
Funciones con Valor Absoluto | Funciones de la forma ( |f(x)| ). | El dominio es todos los números reales ((mathbb{R})), ya que el valor absoluto está definido para cualquier número real. |
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Muchas gracias por la ayuda... nos ha sido muy util.
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deberías explicarlo mejor detallado
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Gracias por tu comentario Fany. En cuanto puedo trataré de revisarlo y entrar en más detalles.
Saludos
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Muy buen articulo. Gracias por compartirlo.
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Gracias Karol, me alegro que te haya gustado
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Ta chido el blog. Lo añadiré a favoritos
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Muchas gracias Julio. Un enorme saludo para México lindo
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Gracias, muy buenos aportes para los docentes, padres de familia y estudiantes. Hacen ver muy agradable el aprendizaje y comprensión de las matemáticas.
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Muchas gracias Martha. Estos comentarios son gasolina emocional para seguir divulgando las matemáticas.
¡Un abrazo!
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Hola muy buenas,
muy buena explicación pero no se abren las soluciones de los ejercicios. Lo cual no puedo corregirlos, me las podéis mandar por mensaje?
Muchas gracias.-
Gracias Pablo. Igual es problema de tu navegador. Te las mando por aquí. Saludos!
1) Domf={R−(−2)}
2) Domf={R−(−2,3)}
3) Domf=[−1,3]
4) Domf=(−∞,−6)∪(0,+∞)
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Hola,
¿Qué conocimientos previos de operaciones matemáticas crees necesarios para poder encontar los dominios?
O dicho de otra forma, ¿Qué nivel de matemáticas consideras oportuno?
Gracias,-
Hola Israel, gracias por tu acertada pregunta.
En principio el estudiante debe tener claros conceptos básicos de aritmética, fracciones y potencias. También de álgebra, para poder resolver ecuaciones.
Aunque a veces se introduce el concepto en el tercer curso de secundaria, el concepto de dominio se suele abordar en 4º de secundaria, y se profundiza en el calculando cualquier tipo de dominio, de funciones complicadas, en primero de bachillerato.
Saludos!
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HOLA MUY BUENO EL VÍDEO, MUY DIDÁCTICO. ENTRETENIDO PARA LOS ALUMNOS.
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Muchas gracias Carlos. Siempre hay que intentar hacer las matemáticas amenas para los alumnos.
Saludos
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