Descomposición factorial: método, ejemplos y calculadora

hace 3 horas · Actualizado hace 3 horas

Aritmética esencial · guía práctica

Descomposición factorial: convierte cualquier número en un producto de primos

🔎 Índice de contenidos

Descomposición factorial: convierte cualquier número en un producto de primos
¿Qué es la descomposición factorial?
Los primos que vas a usar casi siempre
El método paso a paso (con la "escalera" de divisiones)
Cuatro ejemplos resueltos
¿Para qué sirve la descomposición factorial?
Practica: 10 ejercicios interactivos
Repaso rápido: 10 flashcards
Calculadora de descomposición factorial

Todo número compuesto esconde una "receta" única de números primos. Aprender la descomposición factorial (también llamada factorización en números primos) te da esa receta y, con ella, el MCD, el mcm y la simplificación de fracciones dejan de ser un misterio. Te enseño el método que uso en clase para que no falles ni un paso.

¿Qué es la descomposición factorial?

Descomponer un número en factores primos consiste en escribirlo como una multiplicación en la que todos los factores son números primos. Por ejemplo, 60 no es primo, pero puedo escribirlo como 60 = 2 · 2 · 3 · 5, o de forma abreviada con potencias: 60 = 2² · 3 · 5.

Lo mejor de todo es que esa descomposición es única: da igual el orden en que dividas, siempre llegarás a los mismos primos con los mismos exponentes. Esta garantía se conoce como teorema fundamental de la aritmética.

Recuerda: un número primo solo tiene dos divisores, él mismo y el 1. El 1 no se considera primo, así que nunca aparece en una descomposición factorial. Y el 2 es el único primo par.

Los primos que vas a usar casi siempre

Para factorizar los números que aparecen en secundaria te bastan estos primos. Te aconsejo aprenderlos de memoria: ahorran muchísimo tiempo.

Primos menores que 50	Cómo detectarlos rápido
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47	Aplica los criterios de divisibilidad: si un número no es divisible entre 2, 3, 5 ni 7, y es menor que 121, ya es primo.

El método paso a paso (con la "escalera" de divisiones)

1. Empieza por el primo más pequeño

Pregúntate: ¿es divisible entre 2? Si lo es, divide y anota el 2 a la derecha. Repite mientras el resultado siga siendo par.

2. Sube al siguiente primo

Cuando ya no puedas dividir entre 2, prueba con 3, luego 5, 7, 11… Siempre en orden y sin saltarte ninguno.

3. Termina cuando llegues a 1

Cuando el cociente sea 1, has acabado. Agrupa los primos repetidos en potencias y escribe el producto final.

Así queda la escalera para el número 180:

1802902453153551

180 = 2² · 3² · 5

Ejemplo de descomposición factorial en números primos

Cuatro ejemplos resueltos

Descompón 60
60 ÷ 2 = 30; 30 ÷ 2 = 15; 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Resultado: 60 = 2² · 3 · 5.
Descompón 315
Es impar, así que salto el 2. La suma de cifras es 9, luego es divisible entre 3: 315 ÷ 3 = 105; 105 ÷ 3 = 35; 35 ÷ 5 = 7; 7 ÷ 7 = 1. Resultado: 315 = 3² · 5 · 7.
Descompón 1 001
No es divisible entre 2, 3 ni 5. Pruebo con 7: 1 001 ÷ 7 = 143; 143 ÷ 11 = 13; 13 es primo. Resultado: 1 001 = 7 · 11 · 13.
Descompón 144
144 ÷ 2 = 72; 72 ÷ 2 = 36; 36 ÷ 2 = 18; 18 ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. Resultado: 144 = 2⁴ · 3².

¿Para qué sirve la descomposición factorial?

No es un ejercicio de relleno: es la herramienta con la que se calculan el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Con 72 = 2³ · 3² y 120 = 2³ · 3 · 5:

Cálculo	Regla	Resultado
MCD(72, 120)	Primos comunes con el menor exponente	2³ · 3 = 24
mcm(72, 120)	Todos los primos con el mayor exponente	2³ · 3² · 5 = 360
Simplificar 72/120	Divide numerador y denominador entre el MCD	72/120 = 3/5

También te ayuda a calcular raíces exactas: como 144 = 2⁴ · 3², su raíz cuadrada es 2² · 3 = 12.

Practica: 10 ejercicios interactivos

Coge papel, haz tu escalera y después comprueba. Si te equivocas, fíjate en qué primo se te escapó.

1. Descompón 36 en factores primos.

2. Descompón 48.

3. Descompón 90.

4. Descompón 126.

5. Descompón 200.

6. Descompón 275.

7. Descompón 360.

8. Descompón 441.

9. Descompón 1 024.

10. Descompón 1 155.

Repaso rápido: 10 flashcards

Haz clic o pulsa Enter sobre una tarjeta para darle la vuelta.

¿Qué es descomponer en factores primos?

Escribir un número como producto de números primos.

¿Qué es un número primo?

El que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo.

¿El 1 es primo?

No. Nunca aparece en una descomposición factorial.

¿Por qué primo empiezo?

Por el 2, y después 3, 5, 7, 11… siempre en orden.

¿Cuándo termino la escalera?

Cuando el cociente llega a 1.

Teorema fundamental de la aritmética

La descomposición en primos de cada número es única (salvo el orden).

¿Cuál es el único primo par?

El 2.

MCD a partir de los factores

Primos comunes elevados al menor exponente.

mcm a partir de los factores

Todos los primos, comunes y no comunes, al mayor exponente.

2 · 2 · 3 · 5 · 5

Se escribe 2² · 3 · 5² = 300.

Calculadora de descomposición factorial

Escribe un número natural mayor que 1 y te lo devuelvo en factores primos.

Preguntas frecuentes sobre la descomposición factorial

¿Qué pasa si el número ya es primo?

Su descomposición factorial es él mismo. Por ejemplo, 13 = 13. No hay nada que dividir.

¿Puedo dividir entre un primo que no sea el más pequeño?

Sí, el resultado final será el mismo porque la descomposición es única. Pero ir en orden evita que te olvides de algún factor.

¿Cómo sé que ya no puedo seguir dividiendo?

Cuando el cociente es 1. Si tienes dudas sobre si un cociente es primo, prueba los criterios de divisibilidad del 2, 3, 5 y 7.

¿Cómo se escribe el resultado con potencias?

Cada primo que se repite se escribe una sola vez con un exponente igual al número de veces que aparece: 2 · 2 · 2 · 3 se escribe 2³ · 3.

¿Para qué se usa la descomposición factorial?

Para calcular el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo, simplificar fracciones y obtener raíces exactas.

¿Se pueden descomponer números negativos o decimales?

En secundaria se trabaja con números naturales. Un negativo se factoriza igual y se añade el signo delante; los decimales no se descomponen en primos.

Conclusión: la receta secreta de cada número

Con la escalera de divisiones y los primos pequeños bien memorizados, la descomposición factorial se convierte en algo casi automático. Y una vez que la dominas, el MCD, el mcm y la simplificación de fracciones pasan a ser trámites de un minuto. Practica con los ejercicios, repasa las flashcards y usa la calculadora para comprobar tus resultados.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...