Regla de Ruffini paso a paso.Ejercicios resueltos

¿Estás buscando una manera sencilla de dividir un polinomio entre un binomio? Necesitas aprender cómo funciona la regla de Ruffini.

Es posible que quieras hacer el método de Ruffini, y no lo recuerdes bien. Tal vez lo ha explicado tu profesor en clase, pero ahora no sabes cómo utilizar este método correctamente.

Tranquilo, en esta entrada te lo explicaré todo. El método de Ruffini mola y es más sencillo de lo que parece. ¡Vamos!

¿Para qué sirve la regla o método de Ruffini? ¿Cuándo se emplea?

• La regla de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio, siendo este de la forma \(x + a\) ó \(x - a\)
• Es un método muy rápido y sencillo para resolver ecuaciones de tercer o mayor grado. Es decir, te permitirá calcular las raíces o soluciones de grado mayor o igual a 3
•  También sirve para factorizar polinomios de \(3^\text{º}\), \(4^\text{º}\), \(5^\text{º}\) grado o más; y esto es muy importante dominarlo.

Las ecuaciones de primer grado y segundo grado se resuelven con métodos diferentes. Cuando quieras resolver ecuaciones de tercer grado o superiores tendrás que usar la regla de Ruffini.

Método de Ruffini para dividir un polinomio entre un binomio

Si no te apetece leer ahora, te dejo un vídeo ilustrativo, para que veas varios ejemplos resueltos de estas divisiones de polinomios usando la regla de Ruffini:

Sigue leyendo, si prefieres ir despacio y entenderlo todo. Ahora verás como se resuelve un ejercicio, explicado con todo detalle, para que no te pierdas.

Método de Ruffini paso a paso

Vamos a resolver esta división: \(\mathbf{(x^{4}-8x^{2}+3x-1) \div (x-2)} =\)

1) Identifica los coeficientes de cada término. Recuerda que son los números que van delante de cada incógnita.

2) Trazamos dos líneas perpendiculares tal como muestra la siguiente imagen:

Observa que los coeficientes se colocan ordenados por su grado, de mayor o menor. A cada grado le corresponde una posición. Como el grado 3 no aparece, ponemos un cero.
3) En la esquina, tienes que poner el número del binomio cambiado de signo. En este caso, un 2

4) Ahora "bajas" el primer coeficiente (el uno en este caso). Después tienes que multiplicarlo por el número del binomio (el dos)

5) El resultado del producto (2·1=2), tienes que situarlo debajo del próximo coeficiente.

6) Seguidamente, sumas la nueva vertical (0+2=2) y situas el resultado debajo de la línea.

7) Finalmente, tienes que repetir todos los pasos. (2·2=4) y situo el 4 debajo del -8, y así sucesivamente. Te debe quedar esto al final:

Para indicar el resultado de la división, te recomiendo que empiezes por la derecha. El número que aparece en la "cajita" , el -11 es el resto de la división. El primer número por la derecha (el -5) será el término independiente y para los demás sólo tienes que ir subiendo de uno en uno los grados. Te quedará esto:

Aplicando la regla de Ruffini, la división de polinomios entre binomios, es mucho más rápida que si aplicamos el método general. El resultado final de la división es este:

\(\mathbf{(x^{4}-8x^{2}+3x-1):(x-2) \Rightarrow C=x^{3}+2x^{2}-4x-5,\ \text{Resto}=-11}\)

Regla de Ruffini para factorizar ecuaciones

Con este método también podrás resolver ecuaciones, siempre y cuando las soluciones sean enteras. Es decir, si las soluciones de la ecuación son números complejos o reales, este método no es válido.

Vamos a factorizar y resolver esta ecuación: \(\mathbf{x^{2}+2x-8}=0\)

Aquí la clave está en encontrar un número que "nos devuelva" un resto cero, al aplicar el método de Ruffini. Hay infinitos números, pero nuestros candidatos solamente pueden salir de los divisores del resto. En nuestro ejemplo \(D(8) = \pm1, \pm2, \pm4, \pm8\). Aquí no cabe otra que practicar mucho y acertar.

No quiero extenderme, pero esto es así debido al teorema del factor. Al loro:

Volviendo a nuestra ecuación, verás que si en la cajita ponemos un 2, nos devuelve un cero. Por tanto, podemos factorizar el polinomio.

Uno de los factores será (x-2), ¡recuerda que tienes que cambiar el signo! Y el otro factor, será lo que nos quede. Como puedes observar es (x+4). El resultado de la factorización es este:

\(x^{^{2}}+2x-8=(x-2)(x+4)=0\)

Regla de Ruffini para resolver ecuaciones

Es posible resolver ecuaciones rápidamente utilizando este método. En primer lugar deberás factorizar el polinomio, como hemos vista anteriormente. Despues ya será pan comido ...

Siguiendo con el ejemplo anterior, \(x^{^{2}}+2x-8=(x-2)(x+4)=0\) , para que la mutiplicación resulte cero, sólo tenemos dos opciones:

Si \(x - 2 = 0\), entonces \(x = 2\). Si \(x + 4 = 0\), entonces \(x = -4\). Por tanto, las soluciones o raíces de esta ecuación serán \(2\) y \(-4\).

Era un ejemplo sencillo, cierto, pero ahora te toca practicar a tí con ecuaciones de mayor grado. Recuerda que sólo se aprende matemáticas haciendo matemáticas.

Ya irás cogiendo agilidad para encontrar las raíces del polinomio. No te preocupes, que todo llega.

Si quieres comprobar si dominas la regla de Ruffini, te dejo algunos ejercicios con sus respuestas. ¿Te atreves a comprobar las soluciones?

1. \(\mathbf{(x^{3}-3x^{2}-6):(x-4) \Rightarrow C=x^{2}+x+4,\ \text{Resto}=10}\)
   
2. \(\mathbf{(2x - 6x + 8):(x + 2) \Rightarrow C = 2x - 10,\ \text{Resto} = 28}\)
3. \(\mathbf{(3x^{3}+10x^{2}-12):(x+4) \Rightarrow C = 3x^{2} - 2x + 8,\ \text{Resto} = -44}\)

Espero que te haya quedado todo claro. Cualquier duda me la puedes hacer llegar en los comentarios.

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