Altura de un triángulo

tres alturas de un triángulo

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La altura de un triángulo no existe. Porque no es una, son tres, y muchos alumnos no lo tienen claro. Por esto he querido hacer un artículo donde puedas entenderlo todo, paso a paso, como siempre. Sería más correcto hablar de las alturas de un triángulo.

Como un triángulo tiene tres vértices y tres lados, cada triángulo tiene tres alturas. ¿Qué importancia tienen? Se utilizan generalmente para calcular el área de un triángulo. Por lo tanto, la familiaridad con las propiedades y métodos para calcular las alturas de un triángulo es de gran importancia.

¿Qué es un triángulo?

Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta llamados lados.
Los lados suelen designarse por la misma letra minúscula que el vértice opuesto que se representa con mayúscula.
En la siguiente imagen los vértices son A, B y C; y los lados son a, b, y c.

Es decir, es un polígono de tres lados. A pesar de ser la figura bidimensional que menos lados tiene, es una figura geométrica de mucha importancia, porque cualquier polígono se puede triangulizar.

La siguiente imagen muestra un ejemplo de un triángulo equilátero.

triangulo_equilátero
En un triángulo equilátero, los lados, ángulos interiores, ángulos exteriores y las 3 alturas del triángulo miden lo mismo.

¿Cuáles son los elementos de un triángulo?

En matemáticas es muy importante que sepas definir bien los conceptos. Tienes que hacer ese esfuerzo mental con tus propias palabras.

  • Vértice: es el punto donde los dos lados de un triángulo se encuentran  (V)
  • Lado: segmento que conecta dos vértices (L)
  • Ángulo interior: ángulo formado entre dos lados adyacentes en el vértice  (AI) (Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un triángulo.siempre es de 180 grados).
  • Ángulo exterior : ángulo formado entre un lado y el lado adyacente. (AE)
  • Altura : segmento perpendicular al lado de un triángulo desde el vértice opuesto. (H)
elementos-de-un-triangulo
Elementos de un triángulo

La base y la altura de un triángulo son medidas que se usan comúnmente para calcular el área de un triángulo .

¿Cuáles son las 3 alturas de un triángulo?

La altura de un triángulo es una línea perpendicular al lado opuesto, trazada desde el vértice de un triángulo.

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Las tres alturas del triángulo, separadas por colores correspondientes a sus lados

Las 3 alturas de un triángulo pueden ser internas o externas. Esto dependerá de la amplitud del ángulo de sus vértices.

ortocentro

Se llama altura interna a la que se encuentra dentro de los lados del triángulo, en el área del mismo.

La altura externa de un triángulo es la altura que está fuera del perímetro del triángulo . Observa que una altura siempre es perpendicular al lado opuesto. En la imagen anterior, los guiones azules y rojos eran las alturas exteriores del triángulo.

Recuerda que todos los triángulos tienen tres alturas. Veamos cómo calcular la altura en diferentes tipos de triángulos.

La altura de un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados. Los lados adyacentes del ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se llama hipotenusa. ¿Te acuerdas del teorema de Pitágoras?

Fíjate que dos alturas del triángulo coinciden con los catetos del mismo. ¿Queda claro?

La tercera altura de este triángulo es interna. Esta altura es perpendicular a la hipotenusa del triángulo.

alturas en triángulo rectángulo
Date cuenta que dos alturas del triángulo rectángulo, coinciden con los catetos.

La altura de un triángulo equilátero

Aquí todos los lados son iguales. Puedes ver que las tres alturas son interiores y de igual longitud, y coinciden en un punto muy especial …

alturas-triángulo
Alturas de un triángulo equilátero

¡Atención!: En los triángulos equiláteros, la suma de las distancias verticales de cualquier punto dentro del triángulo, a los lados, es igual a la altura. Teorema de Viviani

Altura de un triángulo isósceles acutángulo

Recuerda que un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados y dos ángulos iguales. En este tipo de  triángulos, las tres alturas son internas.

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Alturas del triángulo isósceles (tres ángulos de menos de 90 grados)

¿Cómo se traza la altura de un triángulo?

La forma más adecuada de trazar la altura de un triángulo es emplear una escuadra o/y un cartabón. Ves con cuidado.Uno de los lados de la escuadra o del cartabón, debe coincidir con el lado del triángulo del que queramos conocer su altura.

colocación cartabón 1
Coloca la escuadra o el cartabón de forma adecuada

Coloca la base de la escuadra en la base del triángulo para dibujar la altura.Después de ajustar la ubicación, sólo tienes que trazar el segmento que va desde el vértice hasta la base de la escuadra (que coincide con la base del triángulo)

colocación cartabón 2
Dibuja la altura del triángulo

Asimismo, puedes obtener las otras dos alturas de este triángulo, procediendo de igual forma.

Altura de un triángulo con regla y compás

Es más complejo calcular así la altura de un triángulo, pero es un reto interesantePuedes dibujar estos gráficos utilizando un programa fabuloso del que ya te hablé, Geogebra. Para que te quede claro, te muestro los pasos a continuación:

Paso 1: dibuja un círculo en el centro del vértice opuesto a la base

Primero coloca la aguja del compás en el vértice C (frente a la base como la altura deseada). Luego, abre la abertura del compás, de tal forma que situes dos puntos de intersección en la base o su prolongación. En este caso puntos a,b

Altura-de-un-triangulo-con-regla-y-compas
El círculo dibujado desde el vértice C, interseca la base AB en los puntos a,b.
Paso 2: dibuja dos círculos con centro en los puntos de intersección

A continuación, situa la aguja del compás en el punto a. Abre el compás un poco más de la mitad de la línea ab y dibuja un círculo. Después dibuja un círculo con la aguja en el punto b,sin cambiar la obertura del compás. Marca el punto de intersección de estos dos círculos (c)

regla-y-compas-paso-2
Los dos círculos dibujados desde los puntos a y b, se cruzan en el punto c.
Paso 3: traza la altura del triángulo

Finalmente, dibuja con una regla el segmento que va desde el vértice C hasta el punto c. Este segmento interseca el lado AB en el punto D. ¡Lo tenemos!

El segmento CD es la altura medida desde la base AB del  triángulo.

regla-y-compas-paso-3
La altura del triángulo es el segmento CD

Nota : No es necesario dibujar círculos completos para realizar los pasos anteriores. Para evitar que los dibujos se abarroten, también es suficiente dibujar arcos circulares .

Altura-dibujada-en-el-triangulo.
Altura dibujada del triángulo

Cálculo de la altura de un triángulo, utilizando el área

En muchas ocasiones es habitual recurrir a la fórmula del área geométrica, para calcular la altura desconocida de cualquier triángulo.

Podemos calcular la altura de cualquier triángulo, mediante la fórmula:

         h=2Ab

  • A : Área del triángulo
  • b : una de las bases del triángulo
  • h : altura desde la base b

Seguro que te suena. Esto se deriva de la fórmula del área de cualquier triángulo.

Área de un triángulo

El punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Ortocentro

Las alturas de un triángulo o sus prolongaciones, siempre pasan por un punto común. Este punto se conoce como ortocentro. En la mayoría de los casos, la letra inglesa «H» se utiliza para indicar dónde se encuentran las alturas.

ortocentro
Comparación del punto de intersección de las tres alturas de un triángulo obtusángulo (izquierda) y acutángulo (derecha)

Observa que si el triángulo es acutángulo (ángulos menores de 90 grados), el punto común de las alturas está dentro del triángulo. Si el triángulo es obtusángulo (hay un ángulo mayor de 90 grados), la colisión de las alturas estará fuera del perímetro de los lados del triángulo.

La razón de las alturas de un triángulo.

Otra cosa sorprendente es esta. El producto de la distancia desde la intersección al vértice por  la distancia desde la intersección al pie de la altura en el triángulo es siempre un número fijo. Para comprender esta característica, fíjate bien en el triángulo acutángulo ABC.

razon-alturas-triángulo
Nombramos con letras mayúsculas los vértices y puntos de intersección

Un buen ejercicio es que compruebes que en cualquiet triángulo que dibujes, siempre se cumplirán estas igualdades:

       AH·HD=BH·HE=CH·HD

Espero que te haya quedado todo claro y veas su importancia. ¿Tienes alguna pregunta? Déjala en los comentarios y te responderemos lo antes posible. ¡Gracias por estar ahí!

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4 comentarios en “Altura de un triángulo”

  1. Rodolfo Rodríguez

    Si efectivamente,no nos enseñaron que se tenían tres alturas, es importante que los alumnos lo conozcan bien, me intereso mucho la información,que bueno que existan estos medios para difundir el conocimiento.

    1. Justo Fernández

      Te sorprenderías al saber la cantidad de alumnos, incluso algunos de abchillerato, que no lo tienen claro.
      Muchas gracias por sus palabras. Un abrazo directo para México.

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