Áreas de figuras planas: fórmulas y ejercicios resueltos ✨

hace 3 meses · Actualizado hace 3 meses

🔎 Índice de contenidos

📐 Áreas de Figuras Planas
🔍 ¿Qué es el área de una figura plana?
⬜ Cuadriláteros
△ Triángulos
⬡ Polígonos regulares y hexágono
● Figuras circulares: círculo, sector y corona
📊 Tabla resumen de todas las fórmulas
⚙️ Estrategia para calcular áreas de figuras planas
🎯 Ejercicios resueltos interactivos
❓ Preguntas frecuentes sobre áreas de figuras planas

📐 Áreas de Figuras Planas

Guía completa para ESO · 9 figuras con dibujo y fórmula · Perímetros · Figuras compuestas · Ejercicios interactivos paso a paso

▭ Rectángulo
△ Triángulo
⬡ Polígonos
● Círculo y sectores

🔍 ¿Qué es el área de una figura plana?

El área de una figura plana es la medida de la superficie que ocupa esa figura. Mientras que el perímetro mide la longitud del contorno (en unidades lineales: cm, m…), el área mide la extensión interior (en unidades cuadradas: cm², m²…).

Perímetro

Es la longitud total del borde de la figura. Se mide en unidades lineales (cm, m, dm…). Es la suma de todos los lados.

Área

Es la extensión de la superficie interior. Se mide en unidades cuadradas (cm², m², dm²…). Cuántos cuadraditos de 1×1 caben dentro de la figura.

📏 Unidades de área y sus equivalencias más útiles

\[1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 = 1\,000\,000\text{ mm}^2\]

Al convertir unidades de área, hay que multiplicar o dividir por 100 dos veces (no una sola), porque el área tiene dos dimensiones.

⚠️El error más clásico de conversión: Para pasar de m² a cm² no se multiplica por 100, sino por 10.000 (porque 1 m = 100 cm, y el área = lado × lado, por lo que 1 m² = 100 × 100 cm² = 10.000 cm²).

⬜ Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados. Son las figuras más frecuentes en los exámenes de ESO:

Cuadrado

Área

\[ A = l^2 \]

Perímetro

\( P = 4l \)

l = longitud del lado. Todos los lados iguales, todos los ángulos 90°.

Rectángulo

Área

\[ A = b \cdot h \]

Perímetro

\( P = 2b + 2h \)

b = base, h = altura. Lados opuestos iguales, todos los ángulos 90°.

Paralelogramo (romboide)

Área

\[ A = b \cdot h \]

Perímetro

\( P = 2b + 2c \)

b = base, h = altura perpendicular a la base (no el lado oblicuo c). Lados opuestos paralelos e iguales.

Rombo

Área

\[ A = \dfrac{D \cdot d}{2} \]

Perímetro

\( P = 4l \)

D = diagonal mayor, d = diagonal menor. Las diagonales se cortan perpendicularmente en el centro. l = √[(D/2)²+(d/2)²]

Trapecio

Área

\[ A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2} \]

Perímetro

\( P = B + b + c_1 + c_2 \)

B = base mayor, b = base menor, h = altura perpendicular entre las bases. c₁, c₂ = lados no paralelos (brazos).

🎯Truco para el trapecio: el área del trapecio es el producto de la media de las dos bases por la altura: \(A = \dfrac{B+b}{2}\cdot h\). Recuerda que si ambas bases son iguales obtienes el paralelogramo, y si una base vale 0 obtienes el triángulo.

△ Triángulos

El área de cualquier triángulo se calcula con la misma fórmula base-altura, pero cada tipo tiene particularidades que simplifican el cálculo:

Triángulo (cualquier tipo)

Área

\[ A = \dfrac{b \cdot h}{2} \]

Perímetro

\( P = a + b + c \)

b = base (cualquier lado), h = altura correspondiente a esa base (perpendicular desde el vértice opuesto a la base).

Triángulo equilátero (3 lados iguales)

Área

\[ A = \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

Perímetro

\( P = 3l \)

l = longitud de cada lado. La altura h = l√3/2 se obtiene del teorema de Pitágoras.

🧮 Fórmula de Herón — área si se conocen los tres lados

\[A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]donde \(s = \dfrac{a+b+c}{2}\) es el semiperímetro. Útil cuando se conocen los tres lados pero no la altura.

📐La altura en un triángulo rectángulo: En un triángulo rectángulo, los dos catetos son base y altura el uno del otro. Por eso \(A = \dfrac{a \cdot b}{2}\) donde \(a\) y \(b\) son los dos catetos.

⬡ Polígonos regulares y hexágono

Un polígono regular tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Su área se puede calcular siempre con la fórmula del semiperímetro por la apotema:

\[ A_{\text{polígono regular}} = \dfrac{P \cdot a}{2} = \dfrac{n \cdot l \cdot a}{2} \]

\(P\) = perímetro, \(a\) = apotema, \(n\) = número de lados, \(l\) = longitud del lado

Hexágono regular (6 lados)

Área

\[ A = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2 \approx 2{,}598\,l^2 \]

Perímetro

\( P = 6l \)

l = longitud del lado. La apotema a = l√3/2. El hexágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros.

📌 Apotema de los polígonos regulares más frecuentes

Polígono	Apotema en función de l	Área
Triángulo equilátero (n=3)	\(a = \dfrac{l}{2\sqrt{3}} = \dfrac{l\sqrt{3}}{6}\)	\(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\)
Cuadrado (n=4)	\(a = \dfrac{l}{2}\)	\(l^2\)
Hexágono regular (n=6)	\(a = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}\)

● Figuras circulares: círculo, sector y corona

Las figuras circulares involucran el número \(\pi \approx 3{,}14159\). Siempre que puedas, deja el resultado en términos de \(\pi\) para mayor exactitud:

Círculo

Área

\[ A = \pi r^2 \]

Perímetro

\( C = 2\pi r \) (circunferencia)

r = radio, C = longitud de la circunferencia (≠ área). Si te dan el diámetro: r = d/2.

Sector circular

Área

\[ A = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 = \dfrac{l \cdot r}{2} \]

Perímetro

\( P = 2r + l \) con \(l = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r\)

α = ángulo central en grados, l = longitud del arco, r = radio. Un semicírculo tiene α = 180°.

Corona circular (anillo)

Área

\[ A = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r) \]

Perímetro

\( P = 2\pi R + 2\pi r \)

R = radio exterior, r = radio interior. Es la diferencia entre el área del círculo grande y el pequeño.

🎯Truco para el sector circular: El sector es una "porción de pizza". Si el ángulo central es \(\alpha\) grados, el sector ocupa la fracción \(\dfrac{\alpha}{360°}\) del círculo completo. Para un semicírculo (\(\alpha = 180°\)): \(A = \dfrac{\pi r^2}{2}\).

📊 Tabla resumen de todas las fórmulas

Figura	Fórmula del área	Perímetro	Datos necesarios
Cuadrado	\(l^2\)	\(4l\)	lado \(l\)
Rectángulo	\(b \cdot h\)	\(2b+2h\)	base \(b\) y altura \(h\)
Paralelogramo	\(b \cdot h\)	\(2b+2c\)	base \(b\) y altura perpendicular \(h\)
Rombo	\(\dfrac{D\cdot d}{2}\)	\(4l\)	diagonales \(D\) y \(d\)
Trapecio	\(\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\)	\(B+b+c_1+c_2\)	bases \(B\), \(b\) y altura \(h\)
Triángulo	\(\dfrac{b \cdot h}{2}\)	\(a+b+c\)	cualquier base \(b\) y su altura \(h\)
Triángulo equilátero	\(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\)	\(3l\)	lado \(l\)
Polígono regular	\(\dfrac{n\cdot l \cdot a}{2}\)	\(n\cdot l\)	n lados, lado \(l\), apotema \(a\)
Hexágono regular	\(\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}\)	\(6l\)	lado \(l\)
Círculo	\(\pi r^2\)	\(2\pi r\)	radio \(r\)
Sector circular	\(\dfrac{\alpha}{360°}\cdot\pi r^2\)	\(2r + \dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r\)	radio \(r\) y ángulo \(\alpha\)
Corona circular	\(\pi(R^2-r^2)\)	\(2\pi(R+r)\)	radios \(R\) (ext.) y \(r\) (int.)

🧩 Figuras compuestas

Muchos problemas de áreas de figuras planas están formados por la combinación de varias figuras básicas. La estrategia es siempre la misma: descomponer y sumar (o restar) áreas.

➕ Sumar áreas

Cuando la figura se puede descomponer en partes que juntas forman la figura completa.

Ejemplo: un pentágono = rectángulo + triángulo encima.
\(A_{\text{total}} = A_{\text{rect}} + A_{\text{tri}}\)

➖ Restar áreas

Cuando hay un "hueco" o se recorta una figura de otra.

Ejemplo: un cuadrado con un agujero circular.
\(A_{\text{total}} = A_{\text{cuad}} - A_{\text{círculo}}\)

🧮 Ejemplo resuelto: figura en L

Una figura en forma de L tiene las dimensiones indicadas. Calcula su área.

Método 1 — Suma: Divide en dos rectángulos:
\[A = A_1 + A_2 = (6 \times 2) + (4 \times 3) = 12 + 12 = 24 \text{ cm}^2\]Método 2 — Resta: Completa el rectángulo grande y resta el hueco:
\[A = A_{\text{grande}} - A_{\text{hueco}} = (6\times 5) - (4\times 2) = 30 - 8 = 22 \text{ cm}^2\](Ambos métodos deben dar el mismo resultado si las dimensiones son correctas.)

⚙️ Estrategia para calcular áreas de figuras planas

Identifica la figura: ¿Es un cuadrilátero, triángulo, círculo o figura compuesta? Nombra la figura antes de buscar su fórmula.

Selecciona los datos necesarios: Cada fórmula necesita datos concretos (base, altura, diagonal, radio…). Si no tienes algún dato, quizás debas calcularlo con Pitágoras u otras fórmulas.

Comprueba las unidades: Todos los datos deben estar en las mismas unidades. Convierte si es necesario antes de operar.

Aplica la fórmula: Sustituye los valores en la fórmula correspondiente. Para figuras compuestas, aplica la fórmula a cada parte.

Suma o resta las partes (si es compuesta): Añade las áreas si las partes forman la figura, o réstalas si hay un hueco.

Escribe el resultado con unidades cuadradas: El área siempre en cm², m², dm²… Nunca sin unidades.

🏆Consejo clave: Dibuja siempre la figura y marca las medidas conocidas. Si el problema no da un dibujo, hazlo tú. El 80% de los errores se evitan con un buen esquema previo.

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlo tú primero! 💪

01
Área de un rectángulo
►

📝 Calcula el área de un rectángulo de base \(b = 12\) cm y altura \(h = 7\) cm.

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Identifica la figura: rectángulo.

②Fórmula: \(A = b \cdot h\)

③Sustituye:
\(A = 12 \times 7 = 84\) cm²

✅ \(A = 84\) cm²

02
Área de un triángulo — hallar la altura
►

📝 Calcula el área de un triángulo con base \(b = 10\) cm e hipotenusa \(c = 13\) cm y sabiendo que es rectángulo en el vértice izquierdo.

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Identifica los catetos: en un triángulo rectángulo los dos catetos son base y altura.
El cateto base es \(b = 10\) cm. Hay que hallar el otro cateto (la altura).

②Aplica el teorema de Pitágoras:
\(h = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{169 - 100} = \sqrt{69} \approx 8{,}31\) cm

③Calcula el área:
\(A = \dfrac{b \cdot h}{2} = \dfrac{10 \times \sqrt{69}}{2} = 5\sqrt{69} \approx 41{,}53\) cm²

✅ \(A = 5\sqrt{69} \approx 41{,}53\) cm²

03
Área de un trapecio
►

📝 Calcula el área de un trapecio con base mayor \(B = 15\) cm, base menor \(b = 9\) cm y altura \(h = 6\) cm.

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①Fórmula del trapecio:
\(A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}\)

②Sustituye los datos:
\(A = \dfrac{(15 + 9) \times 6}{2} = \dfrac{24 \times 6}{2} = \dfrac{144}{2} = 72\) cm²

✅ \(A = 72\) cm²

04
Área de un rombo conocidas las diagonales
►

📝 Un rombo tiene diagonal mayor \(D = 20\) cm y diagonal menor \(d = 14\) cm. Calcula su área y el perímetro.

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①Área del rombo:
\(A = \dfrac{D \cdot d}{2} = \dfrac{20 \times 14}{2} = \dfrac{280}{2} = 140\) cm²

②Para el perímetro necesitamos el lado. Las diagonales se cortan perpendicularmente en el centro:
\(l = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{149} \approx 12{,}21\) cm

③Perímetro:
\(P = 4l = 4\sqrt{149} \approx 48{,}83\) cm

✅ \(A = 140\) cm² · \(P \approx 48{,}83\) cm

05
Área de un círculo y un sector circular
►

📝 Calcula el área de un sector circular de radio \(r = 6\) cm y ángulo central \(\alpha = 120°\).

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①Fórmula del sector:
\(A = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2\)

②Sustituye los datos:
\(A = \dfrac{120°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2 = \dfrac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi\) cm²

③Valor numérico:
\(A = 12\pi \approx 37{,}70\) cm²

✅ \(A = 12\pi \approx 37{,}70\) cm²

06
Área de un hexágono regularAVANZADO
►

📝 Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de lado \(l = 5\) cm.

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Fórmula del hexágono regular:
\(A = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}\)

②Sustituye:
\(A = \dfrac{3 \times 25\sqrt{3}}{2} = \dfrac{75\sqrt{3}}{2} \approx \dfrac{75 \times 1{,}732}{2} \approx \dfrac{129{,}9}{2} \approx 64{,}95\) cm²

③Perímetro:
\(P = 6l = 6 \times 5 = 30\) cm

✅ \(A = \dfrac{75\sqrt{3}}{2} \approx 64{,}95\) cm² · \(P = 30\) cm

07
Figura compuesta: rectángulo + semicírculo
►

📝 Calcula el área de una figura formada por un rectángulo de \(10 \times 6\) cm con un semicírculo adosado a uno de los lados cortos (radio \(r = 3\) cm).

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①Área del rectángulo:
\(A_{\text{rect}} = 10 \times 6 = 60\) cm²

②Área del semicírculo (radio = mitad del lado corto = 3 cm):
\(A_{\text{semi}} = \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{\pi \cdot 9}{2} = \dfrac{9\pi}{2} \approx 14{,}14\) cm²

③Área total:
\(A = 60 + \dfrac{9\pi}{2} = 60 + 4{,}5\pi \approx 74{,}14\) cm²

✅ \(A = 60 + \dfrac{9\pi}{2} \approx 74{,}14\) cm²

08
Área sombreada: cuadrado con agujero circularAVANZADO
►

📝 Halla el área sombreada de un cuadrado de lado \(l = 10\) cm con un círculo de radio \(r = 4\) cm recortado en el centro.

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①Área del cuadrado:
\(A_{\text{cuad}} = 10^2 = 100\) cm²

②Área del círculo recortado:
\(A_{\text{círc}} = \pi r^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi \approx 50{,}27\) cm²

③Área sombreada (resta):
\(A = 100 - 16\pi \approx 100 - 50{,}27 = 49{,}73\) cm²

✅ \(A = 100 - 16\pi \approx 49{,}73\) cm²

Calcula fácilmente el área de figuras planas - Geometría

🚫 Errores más frecuentes

Estos son los fallos que más penalizan en los exámenes de ESO:

❌

Error 1 — Confundir la altura con el lado en triángulos y trapecios
Incorrecto: En un triángulo con base 8 y lado oblicuo 5, usar A = 8·5/2 = 20
Correcto: La altura es la perpendicular desde el vértice a la base, no el lado oblicuo. Calcular h con Pitágoras si es necesario.
👉 La altura SIEMPRE es perpendicular a la base. El lado oblicuo no es la altura.

❌

Error 2 — Usar el radio en lugar del diámetro (o al revés)
Incorrecto: Si d = 10 cm, calcular A = π·10² = 100π cm²
Correcto: Si d = 10 cm → r = 5 cm → A = π·5² = 25π cm²
👉 La fórmula del círculo usa el radio r, no el diámetro. Divide entre 2 si te dan el diámetro.

❌

Error 3 — En el trapecio, multiplicar ambas bases sin sumarlas primero
Incorrecto: A = B·b·h/2 = 15·9·6/2 = 405
Correcto: A = (B+b)·h/2 = (15+9)·6/2 = 72 cm²
👉 La fórmula del trapecio suma las dos bases ANTES de multiplicar por la altura. No las multiplica.

❌

Error 4 — Confundir perímetro con área
Incorrecto: Para el triángulo equilátero de lado 6: escribir A = 3·6 = 18 cm² (esto es el perímetro)
Correcto: A = l²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 ≈ 15,59 cm²
👉 El perímetro mide el borde (unidades lineales). El área mide la superficie (unidades cuadradas).

❌

Error 5 — Olvidad las unidades o mezclar unidades distintas
Incorrecto: Base en cm y altura en m, calcular directamente sin convertir
Correcto: Convertir todo a las mismas unidades antes de calcular. El resultado estará en las unidades de esas medidas al cuadrado.
👉 Verifica siempre que base y altura estén en las mismas unidades. 1 m = 100 cm, pero 1 m² = 10.000 cm².

❓ Preguntas frecuentes sobre áreas de figuras planas

¿Cuál es la diferencia entre área y superficie? ▼

En geometría plana, área y superficie significan lo mismo: la medida de la extensión interior de una figura. En geometría espacial (3D), la "superficie" de un sólido se refiere a toda la cobertura exterior (por ejemplo, la superficie de una esfera = 4πr²), mientras que el "área" puede referirse a la de una sección plana. En ESO se usan indistintamente para figuras planas.

¿Por qué la altura del triángulo puede quedar fuera del triángulo? ▼

En los triángulos obtusángulos (con un ángulo mayor de 90°), la altura correspondiente a algunos lados cae fuera del triángulo. En ese caso hay que prolongar la base y trazar la perpendicular hasta el vértice opuesto. La fórmula \(A = b \cdot h / 2\) sigue siendo válida, pero la altura se mide desde el vértice hasta la prolongación de la base.

¿Cuándo debo usar la fórmula deHerón? ▼

La fórmula de Herón (\(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)) es útil cuando conoces los tres lados del triángulo pero no tienes la altura. Calcula primero el semiperímetro \(s = (a+b+c)/2\) y luego aplica la fórmula. Es especialmente útil en triángulos escalenos donde calcular la altura sería complejo.

¿Cómo calculo el área de un polígono irregular? ▼

Para polígonos irregulares, la estrategia es dividir en figuras simples (triángulos, rectángulos, trapecios) y sumar sus áreas. Otra opción es la fórmula de Gauss (o del lazo), que funciona con las coordenadas de los vértices: \(A = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_n)+x_2(y_3-y_1)+\cdots+x_n(y_1-y_{n-1})|\).

¿Cuántos cm² hay en 1 m²? ▼

1 m² = 10.000 cm² (no 100 cm², que sería el error más frecuente). La razón: 1 m = 100 cm, y el área es bidimensional, así que 1 m² = (100 cm) × (100 cm) = 10.000 cm². Del mismo modo: 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 100 dm², 1 km² = 1.000.000 m².

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 8 fórmulas imprescindibles de áreas

Cuadrado: \(A = l^2\)
Rectángulo / Paralelogramo: \(A = b \cdot h\) — altura ⊥ base
Triángulo: \(A = \dfrac{b \cdot h}{2}\)
Rombo: \(A = \dfrac{D \cdot d}{2}\) — producto de diagonales entre 2
Trapecio: \(A = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\) — media de bases × altura
Círculo: \(A = \pi r^2\) — perímetro (circunferencia): \(C = 2\pi r\)
Sector circular: \(A = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot\pi r^2\)
Figuras compuestas: suma o resta de áreas simples según el caso

🚀 ¿Quieres seguir practicando geometría?

Consulta también:
Propiedades del triángulo isósceles
y
Teorema de Pitágoras.
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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...