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📘 3º y 4º de ESO / Bachillerato
Ortocentro de un triángulo: definición, propiedades y ejercicios resueltos
Si ya conoces el circuncentro y el incentro, te falta uno de los puntos más curiosos del triángulo: el ortocentro. Nace de las alturas, se comporta de forma parecida al circuncentro... y además guarda una relación secreta con sus "hermanos" que a mí me pareció fascinante descubrir 🎯
📐 Alturas
→
⭐ Ortocentro (H)
→
📏 Recta de Euler
⚡ Respuesta rápida
El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres alturas (las rectas perpendiculares a cada lado que pasan por el vértice opuesto). Yo lo llamo \(H\), y su posición depende del tipo de triángulo: dentro si es acutángulo, en el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y fuera si es obtusángulo.
Además, el ortocentro está alineado con el baricentro y el circuncentro en la famosa recta de Euler.
¿Qué es el ortocentro de un triángulo? 🤔
El ortocentro (\(H\)) es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Recuerda que la altura relativa a un lado es la recta perpendicular a ese lado que pasa por el vértice opuesto. Si trazas las tres alturas de cualquier triángulo, comprobarás que, sorprendentemente, siempre se cruzan en un único punto.
💡 Lo que hace distinto al ortocentro
A diferencia del circuncentro (que equidista de los vértices) y del incentro (que equidista de los lados), el ortocentro no tiene una propiedad de distancia tan directa. Su gracia está en la perpendicularidad: cada altura forma un ángulo de \(90^\circ\) con el lado al que corresponde.
Posición del ortocentro según el tipo de triángulo 🔍
Aquí es donde el ortocentro se parece mucho al circuncentro: su posición varía completamente según los ángulos del triángulo.
| Tipo de triángulo | Posición del ortocentro |
|---|---|
| Acutángulo (los 3 ángulos < 90°) | Interior al triángulo |
| Rectángulo (un ángulo = 90°) | Coincide exactamente con el vértice del ángulo recto |
| Obtusángulo (un ángulo > 90°) | Exterior al triángulo |
💡 El caso más fácil de recordar
Si tu triángulo es rectángulo, ni siquiera necesitas trazar ninguna altura: el ortocentro es, literalmente, el vértice donde se forma el ángulo de 90°. Lo comprobé yo mismo con un triángulo 3-4-5: el ortocentro cae exactamente en ese vértice.
La recta de Euler: el secreto que conecta los tres puntos notables 📏
Esta es, para mí, la propiedad más bonita de toda la geometría del triángulo: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están siempre alineados en una recta llamada recta de Euler, y además guardan una proporción fija entre ellos.
\[ \overrightarrow{GH} = 2\cdot\overrightarrow{OG} \]
⚠️ El baricentro siempre está "en medio", pero no en el punto medio
El baricentro divide el segmento \(OH\) en la proporción \(1:2\): está tres veces más cerca del circuncentro que del ortocentro, no justo en el centro.
💡 Fórmula directa del ortocentro
Gracias a esta relación, si ya conoces el circuncentro \(O\) y los vértices, puedes calcular el ortocentro directamente sin trazar ninguna altura: \[ H = A+B+C-2O \]
Ejercicios resueltos sobre el ortocentro 💪
Practica el método paso a paso. Intenta resolver cada ejercicio antes de pulsar "Ver solución".
🟢 Básico
Ejercicio 1. Un triángulo rectángulo tiene su ángulo recto en el vértice \(A(0,0)\). ¿Cuáles son las coordenadas de su ortocentro?
Ángulo recto en A(0,0)
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Paso 1: En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide siempre con el vértice del ángulo recto.
✅ Resultado: ortocentro H(0, 0)
🟢 Básico
Ejercicio 2. El circuncentro de un triángulo es \(O(3,2)\) y su baricentro es \(G(4,3)\). Calcula el ortocentro usando la proporción de la recta de Euler.
O(3,2), G(4,3)
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Paso 1: Calculamos el vector \( \overrightarrow{OG}=G-O=(4-3,3-2)=(1,1) \).
Paso 2: Aplicamos \( \overrightarrow{GH}=2\cdot\overrightarrow{OG}=(2,2) \).
Paso 3: \( H=G+\overrightarrow{GH}=(4+2,3+2) \).
✅ Resultado: ortocentro H(6, 5)
🟡 Medio
Ejercicio 3. Halla el ortocentro del triángulo con vértices \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) y \(C(2,5)\), trazando dos alturas.
A(0,0), B(6,0), C(2,5)
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Paso 1: Altura desde A, perpendicular a BC: la dirección de BC es \((2-6,5-0)=(-4,5)\), así que la altura tiene dirección perpendicular \((5,4)\) y pasa por A(0,0): \( y=\frac{4}{5}x \).
Paso 2: Altura desde B, perpendicular a AC: dirección de AC es \((2,5)\), perpendicular \((5,-2)\), pasando por B(6,0): parametrizamos como \( (6+5t,\ -2t) \).
Paso 3: Sustituyendo en la primera recta y resolviendo el sistema, obtenemos la intersección de ambas alturas.
✅ Resultado: ortocentro H(2, 1,6)
🟡 Medio
Ejercicio 4. Con el triángulo del Ejercicio 3 (A(0,0), B(6,0), C(2,5)), su circuncentro es \(O(3, 1{,}7)\). Calcula el ortocentro usando la fórmula directa \(H=A+B+C-2O\) y comprueba que coincide con el resultado anterior.
A(0,0), B(6,0), C(2,5), O(3, 1,7)
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: Sumamos los vértices: \( A+B+C=(0+6+2,\ 0+0+5)=(8,5) \).
Paso 2: Calculamos \( 2O=(6,\ 3{,}4) \).
Paso 3: \( H=(8-6,\ 5-3{,}4)=(2,\ 1{,}6) \).
✅ Resultado: H(2, 1,6), idéntico al obtenido con las alturas
🔴 Avanzado
Ejercicio 5. Con el mismo triángulo (A(0,0), B(6,0), C(2,5)), el baricentro es \(G\left(\frac{8}{3},\frac{5}{3}\right)\). Comprueba que H, G y O están alineados (recta de Euler) y que \(\overrightarrow{GH}=2\cdot\overrightarrow{OG}\).
H(2, 1,6), G(8/3, 5/3), O(3, 1,7)
👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución
Paso 1: \( \overrightarrow{OG}=G-O=(8/3-3,\ 5/3-1{,}7)=(-1/3,\ -0{,}0333) \).
Paso 2: \( \overrightarrow{GH}=H-G=(2-8/3,\ 1{,}6-5/3)=(-2/3,\ -0{,}0667) \).
Paso 3: Comparamos: \( 2\cdot\overrightarrow{OG}=(-2/3,\ -0{,}0667) \), que coincide exactamente con \( \overrightarrow{GH} \).
✅ Resultado: se cumple GH = 2·OG, confirmando que H, G y O están en la recta de Euler
Errores más comunes ⚠️
❌ Confundir altura con mediatriz
La altura es perpendicular al lado y pasa por el vértice opuesto; la mediana une el vértice con el punto medio del lado opuesto (sin ser necesariamente perpendicular); la mediatriz es perpendicular al lado pero pasa por su punto medio, no por el vértice.
La altura es perpendicular al lado y pasa por el vértice opuesto; la mediana une el vértice con el punto medio del lado opuesto (sin ser necesariamente perpendicular); la mediatriz es perpendicular al lado pero pasa por su punto medio, no por el vértice.
❌ Pensar que el ortocentro siempre está dentro del triángulo
Solo ocurre en los acutángulos. En los rectángulos coincide con un vértice, y en los obtusángulos queda completamente fuera.
Solo ocurre en los acutángulos. En los rectángulos coincide con un vértice, y en los obtusángulos queda completamente fuera.
❌ Olvidar que la recta de Euler no pasa por el incentro
El incentro NO forma parte de la recta de Euler (salvo en triángulos equiláteros, donde los cuatro puntos notables coinciden en uno solo).
El incentro NO forma parte de la recta de Euler (salvo en triángulos equiláteros, donde los cuatro puntos notables coinciden en uno solo).
❌ Invertir la proporción 1:2 de la recta de Euler
Es \(GH=2\cdot OG\) (el ortocentro está más lejos del baricentro que el circuncentro), no al revés.
Es \(GH=2\cdot OG\) (el ortocentro está más lejos del baricentro que el circuncentro), no al revés.
❌ Usar la pendiente del lado en vez de la perpendicular al trazar la altura
La altura tiene la pendiente inversa y opuesta a la del lado al que es perpendicular, igual que ocurre con las mediatrices.
La altura tiene la pendiente inversa y opuesta a la del lado al que es perpendicular, igual que ocurre con las mediatrices.
Comprobación numérica 🧮
Verifica con las coordenadas del triángulo de los ejercicios que todo es coherente:
Verificación de la recta de Euler con A(0,0), B(6,0), C(2,5)
| Punto notable | Coordenadas |
|---|---|
| Circuncentro O | (3, 1,7) |
| Baricentro G | (2,667, 1,667) |
| Ortocentro H | (2, 1,6) |
| Vector OG | (-0,333, -0,033) |
| Vector GH | (-0,667, -0,067) |
| ¿GH = 2·OG? | Sí ✅ |
✅ Los tres puntos están alineados y cumplen exactamente la proporción de la recta de Euler.
Verificación del ortocentro con la tercera altura
| Comprobación | Resultado |
|---|---|
| H obtenido con altura desde A y desde B | (2, 1,6) |
| ¿H pertenece también a la altura desde C? | Sí, verificado ✅ |
✅ Las tres alturas se cortan exactamente en el mismo punto, confirmando que H es el ortocentro correcto.
Tabla resumen del ortocentro 📋
| Concepto | Definición / Fórmula |
|---|---|
| Ortocentro | Intersección de las 3 alturas |
| Fórmula con circuncentro | \( H=A+B+C-2O \) |
| Triángulo acutángulo | Ortocentro interior |
| Triángulo rectángulo | Ortocentro = vértice del ángulo recto |
| Triángulo obtusángulo | Ortocentro exterior |
| Recta de Euler | H, G y O alineados, con \( GH=2\cdot OG \) |
Preguntas frecuentes ❓
¿Qué diferencia hay entre el ortocentro y el circuncentro?
El ortocentro es la intersección de las alturas (perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos). El circuncentro es la intersección de las mediatrices (perpendiculares a los lados por su punto medio) y equidista de los vértices.
¿El ortocentro puede coincidir con otro punto notable?
Sí, en un triángulo equilátero, el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro coinciden todos en el mismo punto.
¿Qué es exactamente la recta de Euler?
Es la recta que siempre contiene al ortocentro, al baricentro y al circuncentro de cualquier triángulo (no equilátero), con el baricentro dividiendo el segmento OH en la proporción 1:2.
¿Por qué el incentro no está en la recta de Euler?
Porque el incentro depende de las bisectrices de los ángulos, una construcción distinta a las alturas, mediatrices y medianas, que sí guardan esa relación lineal entre sí.
¿Cómo se calcula el ortocentro sin usar el circuncentro?
Trazando dos alturas cualesquiera (rectas perpendiculares a un lado que pasan por el vértice opuesto) y resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas rectas.
🚀 ¿Completamos los puntos notables del triángulo?
Consulta también:
Teorema de Pitágoras,
Geometría de secundaria
y
Circuncentro de un triángulo.
Espero que te haya gustado este artículo sobre Ortocentro de un triángulo: cómo calcularlo. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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