🔎 Índice de contenidos
- ¿Qué es la regla de tres compuesta?
- Tipos de regla de tres compuesta
- Cómo saber si cada magnitud es directa o inversa
- Método 1: cómo resolver una regla de tres compuesta paso a paso (la tabla)
- Método 2: reducción a la unidad
- Método 3: resolverla como varias reglas de tres simples
- 🧮 Calculadora de regla de tres compuesta paso a paso
- 🧠 Flashcards para memorizar
- ⭐ Ejercicios de regla de tres compuesta resueltos
¿Te sale bien la regla de tres simple, pero te atascas cuando aparecen tres o más datos a la vez? Obreros, horas al día, días, metros… Tranquilo, es lo más normal. En esta guía entenderás la regla de tres compuesta paso a paso: cómo saber si cada magnitud es directa o inversa, tres métodos para resolverla y un truco para comprobar que el resultado está bien.
¿Qué es la regla de tres compuesta?
La regla de tres compuesta es un método para resolver problemas de proporcionalidad en los que intervienen tres o más magnitudes a la vez. Conozco todos los valores menos uno, la incógnita, que llamo \(x\).
La diferencia con la regla de tres simple es el número de magnitudes. En la simple relaciono dos (por ejemplo, kilos y precio); en la compuesta relaciono tres o más (por ejemplo, obreros, horas al día y días).
| Regla de tres simple | Regla de tres compuesta | |
|---|---|---|
| Magnitudes | 2 | 3 o más |
| Datos conocidos | 3 | 5 o más |
| Relaciones que analizo | Una | Una por cada magnitud, siempre con la incógnita |
| Ejemplo | Kilos y precio | Obreros, metros y días |
💡 Idea clave: una regla de tres compuesta no es más que varias reglas de tres simples encadenadas. Si sabes hacer la simple, ya tienes casi todo el trabajo hecho.
Tipos de regla de tres compuesta
Según cómo se relacione cada magnitud con la incógnita, la regla de tres compuesta puede ser de tres tipos:
| Tipo | Relación con la incógnita | Ejemplo |
|---|---|---|
| Directa | Todas las magnitudes son directas | Más máquinas y más horas → más piezas |
| Inversa | Todas las magnitudes son inversas | Más obreros y más horas al día → menos días |
| Mixta | Unas son directas y otras inversas | Más obreros → menos días, pero más metros → más días |
El tipo no cambia el método: en los tres casos resuelvo igual. Lo único que cambia es qué fracciones van "al derecho" y cuáles "al revés".
Cómo saber si cada magnitud es directa o inversa
Este es el paso donde más alumnos fallan. El truco es comparar cada magnitud con la incógnita por separado, imaginando que las demás no cambian. Yo lo llamo "tapar" el resto.
- Localizo la incógnita: es la magnitud que tiene la \(x\).
- Elijo una magnitud y tapo las demás.
- Hago la pregunta mágica: si esta magnitud aumenta, ¿la incógnita aumenta o disminuye? Si aumenta, es directa; si disminuye, es inversa.
- Repito con cada una de las magnitudes.
Ejemplo: 15 obreros construyen 300 m de muro en 12 días. ¿Cuántos días tardarán 10 obreros en construir 400 m?
- Obreros y días (tapo los metros): más obreros → menos días. Es inversa.
- Metros y días (tapo los obreros): más metros → más días. Es directa.
⚠️ El error número uno: comparar las magnitudes entre sí, por ejemplo obreros con metros. Eso no sirve para nada. Cada magnitud se compara siempre con la incógnita.
Método 1: cómo resolver una regla de tres compuesta paso a paso (la tabla)
Es el método más rápido y el que más se usa en los exámenes. Lo explico con el ejemplo anterior de los obreros y el muro.
Ejemplo paso a paso: 15 obreros construyen 300 m de muro en 12 días. ¿Cuántos días tardarán 10 obreros en construir 400 m?
- Organizo los datos en una tabla, con la incógnita en la última columna:\[\begin{array}{ccc} \text{Obreros} & \text{Metros} & \text{Días} \\ \hline 15 & 300 & 12 \\ 10 & 400 & x \end{array}\]
- Comparo cada magnitud con la incógnita: obreros es inversa y metros es directa.
- Monto la operación: el dato conocido (12) por una fracción por magnitud. Obreros es inversa, así que va conocido entre nuevo, \(\frac{15}{10}\). Metros es directa, así que va nuevo entre conocido, \(\frac{400}{300}\):\[x = 12\cdot\frac{15}{10}\cdot\frac{400}{300}\]
- Calculo:\[x = \frac{12\cdot 15\cdot 400}{10\cdot 300} = \frac{72\,000}{3000} = \boxed{24\ \text{días}}\]
💡 La forma de proporciones (la de muchos libros de texto): escribo la razón de la incógnita igual al producto de las demás razones, dando la vuelta a las inversas. Se llega al mismo resultado:\[\frac{12}{x} = \frac{10}{15}\cdot\frac{300}{400} = \frac{3000}{6000} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 24\]
💡 ¿La fracción tiene sentido? Hay menos obreros, así que tardarán más: la fracción de los obreros, \(\frac{15}{10}\), es mayor que 1 y hace crecer el resultado. Hay más metros, así que también tardarán más: \(\frac{400}{300}\) también es mayor que 1. Si una fracción te empuja en la dirección contraria al sentido común, está al revés.
Método 2: reducción a la unidad
La idea es calcular cuánto valdría la incógnita si todas las magnitudes valieran 1 y, después, llevarlas a sus nuevos valores. Es el método que mejor deja ver la lógica del problema.
Mismo ejemplo: 15 obreros, 300 m de muro, 12 días. ¿Y con 10 obreros y 400 m?
- Punto de partida: 15 obreros hacen 300 m en 12 días.
- Con 1 obrero tardarían 15 veces más (inversa, multiplico): \(12\cdot 15 = 180\) días.
- 1 obrero y 1 m de muro: 300 veces menos (directa, divido): \(180 : 300 = 0{,}6\) días.
- 10 obreros y 1 m: 10 veces menos (inversa, divido): \(0{,}6 : 10 = 0{,}06\) días.
- 10 obreros y 400 m: 400 veces más (directa, multiplico): \(0{,}06\cdot 400 = \boxed{24\ \text{días}}\).
💡 Mi opinión: es perfecto para entender qué está pasando, pero salen decimales por el camino. En el examen suelo usar la tabla.
Método 3: resolverla como varias reglas de tres simples
Cambio las magnitudes de una en una y mantengo fijas las demás. Cada cambio es una regla de tres simple, directa o inversa.
Mismo ejemplo, en dos pasos:
- Cambio los obreros (de 15 a 10) con los metros fijos en 300. Es inversa, así que multiplico en línea:\[\begin{array}{rcl} 15\ \text{obreros} & \longrightarrow & 12\ \text{días} \\ 10\ \text{obreros} & \longrightarrow & x_1 \end{array} \qquad x_1 = \frac{15\cdot 12}{10} = 18\ \text{días}\]
- Cambio los metros (de 300 a 400) con 10 obreros. Es directa, así que multiplico en cruz:\[\begin{array}{rcl} 300\ \text{m} & \longrightarrow & 18\ \text{días} \\ 400\ \text{m} & \longrightarrow & x \end{array} \qquad x = \frac{18\cdot 400}{300} = \boxed{24\ \text{días}}\]
Los tres métodos dan 24 días. No es casualidad: son tres formas de hacer la misma cuenta.
¿Qué método elegir?
| La tabla | Reducción a la unidad | Reglas simples | |
|---|---|---|---|
| Cómo funciona | Una fracción por magnitud | Paso todo a 1 y luego al nuevo valor | Cambio una magnitud cada vez |
| Operaciones | Una sola | Dos por magnitud | Una por magnitud |
| Ventaja | Es la más rápida | Se entiende la lógica | Usa lo que ya sabes |
| Inconveniente | Hay que acertar qué fracción se invierte | Salen decimales intermedios | Más pasos |
| Ideal para | Exámenes | Aprender | Comprobar |
El truco para comprobar el resultado
En toda regla de tres compuesta hay algo que no cambia entre las dos filas: si multiplico la incógnita por las magnitudes inversas y la divido entre las directas, sale el mismo número.
\[\frac{\text{incógnita}\cdot\text{inversas}}{\text{directas}} = \text{constante}\]En el ejemplo del muro: \(\frac{12\cdot 15}{300} = 0{,}6\) y \(\frac{24\cdot 10}{400} = 0{,}6\). ¡Cuadra!
💡 Ese número tiene significado: 0,6 son los días que tarda un obrero en hacer un metro de muro. Y en un problema con obreros, horas al día y días (todas inversas), el producto de las tres son las horas de trabajo totales, que tienen que ser las mismas en las dos filas.
Errores frecuentes en la regla de tres compuesta
⚠️ Errores que veo a menudo:
- Comparar las magnitudes entre sí en lugar de con la incógnita.
- Poner una fracción al revés. Directa: nuevo entre conocido. Inversa: conocido entre nuevo. En la forma de proporciones, el fallo típico es olvidarse de dar la vuelta a las inversas.
- Olvidar una magnitud. Si cada fila tiene tres datos además de la incógnita, la operación lleva tres fracciones.
- Confundir "horas al día" con "días". Son dos magnitudes distintas y cada una lleva su fracción.
- Mezclar unidades (horas con minutos, metros con kilómetros). Antes de empezar, lo paso todo a la misma unidad.
- No comprobar si el resultado tiene sentido. Si hay menos obreros y más trabajo, tienen que tardar más días.
🧮 Calculadora de regla de tres compuesta paso a paso
Escribe hasta tres magnitudes conocidas y la incógnita, elige el método y la calculadora te enseña la tabla, cada paso y la comprobación.
Regla de tres compuesta
🌍 Aplicaciones de la regla de tres compuesta
👷 ObrasObreros, horas al día y días para terminar un trabajo.
🏭 FábricasMáquinas, horas de funcionamiento y piezas fabricadas.
🐄 GranjasNúmero de animales, días y kilos de pienso.
🚰 DepósitosGrifos, horas abiertos y litros que se llenan.
🚚 TransporteKilómetros al día, días de viaje y litros de combustible.
🖨️ ImprentasImpresoras, horas y páginas impresas.
🧠 Flashcards para memorizar
Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.
¿Cuántas magnitudes tiene?
Tres o más.¿Con qué comparo cada magnitud?
Con la incógnita, una a una y tapando las demás.Fracción de una directa
\(\dfrac{\text{nuevo}}{\text{conocido}}\)Fracción de una inversa
\(\dfrac{\text{conocido}}{\text{nuevo}}\)¿Qué es una mixta?
La que mezcla magnitudes directas e inversas.¿Cómo la compruebo?
Incógnita por las inversas y entre las directas: debe salir lo mismo en las dos filas.⭐ Ejercicios de regla de tres compuesta resueltos
Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.
EJERCICIO 1Regla de tres compuesta directa
📝 Enunciado4 impresoras imprimen 2400 páginas en 5 horas. ¿Cuántas páginas imprimirán 6 impresoras en 3 horas?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla:\[\begin{array}{ccc} \text{Impresoras} & \text{Horas} & \text{Páginas} \\ \hline 4 & 5 & 2400 \\ 6 & 3 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más impresoras → más páginas: directa. Más horas → más páginas: directa.
- Paso 3. Las dos fracciones van nuevo entre conocido:\[x = 2400\cdot\frac{6}{4}\cdot\frac{3}{5} = \frac{2400\cdot 6\cdot 3}{4\cdot 5} = \frac{43\,200}{20} = 2160\]
✅ Resultado: 6 impresoras imprimirán 2160 páginas en 3 horas.
EJERCICIO 2Regla de tres compuesta inversa
📝 Enunciado8 grifos abiertos 6 horas al día tardan 5 días en llenar un depósito. ¿Cuántos días tardarán 12 grifos abiertos 10 horas al día?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla:\[\begin{array}{ccc} \text{Grifos} & \text{Horas al día} & \text{Días} \\ \hline 8 & 6 & 5 \\ 12 & 10 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más grifos → menos días: inversa. Más horas al día → menos días: inversa.
- Paso 3. Las dos fracciones van conocido entre nuevo:\[x = 5\cdot\frac{8}{12}\cdot\frac{6}{10} = \frac{5\cdot 8\cdot 6}{12\cdot 10} = \frac{240}{120} = 2\]
- Comprobación. Horas de grifo totales: \(8\cdot 6\cdot 5 = 240\) y \(12\cdot 10\cdot 2 = 240\). ✔️
✅ Resultado: 12 grifos tardarán 2 días.
EJERCICIO 3Regla de tres compuesta mixta
📝 Enunciado9 pintores pintan 600 m² de pared en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 6 pintores para pintar 480 m²?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla:\[\begin{array}{ccc} \text{Pintores} & \text{m}^2 & \text{Días} \\ \hline 9 & 600 & 10 \\ 6 & 480 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más pintores → menos días: inversa. Más m² → más días: directa.
- Paso 3.\[x = 10\cdot\frac{9}{6}\cdot\frac{480}{600} = \frac{10\cdot 9\cdot 480}{6\cdot 600} = \frac{43\,200}{3600} = 12\]
- Comprobación. \(\frac{10\cdot 9}{600} = 0{,}15\) y \(\frac{12\cdot 6}{480} = 0{,}15\). ✔️
✅ Resultado: 6 pintores necesitarán 12 días.
EJERCICIO 4Cuando la incógnita son los obreros
📝 Enunciado12 obreros hacen una zanja de 80 m en 10 días. ¿Cuántos obreros harán falta para hacer una zanja de 120 m en 6 días?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Ahora la incógnita son los obreros, así que van en la última columna:\[\begin{array}{ccc} \text{Metros} & \text{Días} & \text{Obreros} \\ \hline 80 & 10 & 12 \\ 120 & 6 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más metros → más obreros: directa. Más días → menos obreros: inversa.
- Paso 3.\[x = 12\cdot\frac{120}{80}\cdot\frac{10}{6} = \frac{12\cdot 120\cdot 10}{80\cdot 6} = \frac{14\,400}{480} = 30\]
✅ Resultado: Harán falta 30 obreros.
EJERCICIO 5Pienso para el ganado
📝 EnunciadoCon 900 kg de pienso se alimentan 12 vacas durante 15 días. ¿Cuántos kilos de pienso harán falta para 20 vacas durante 9 días?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla:\[\begin{array}{ccc} \text{Vacas} & \text{Días} & \text{Kg} \\ \hline 12 & 15 & 900 \\ 20 & 9 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más vacas → más pienso: directa. Más días → más pienso: directa.
- Paso 3.\[x = 900\cdot\frac{20}{12}\cdot\frac{9}{15} = \frac{900\cdot 20\cdot 9}{12\cdot 15} = \frac{162\,000}{180} = 900\]
- ¿Sale lo mismo? Sí: hay más vacas pero durante menos días, y los dos cambios se compensan justo.
✅ Resultado: Harán falta 900 kg de pienso, los mismos que antes.
EJERCICIO 6Consumo de combustible
📝 EnunciadoUn camión que recorre 250 km al día gasta 400 litros de gasóleo en 5 días. ¿Cuántos litros gastará en 8 días si recorre 300 km al día?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla:\[\begin{array}{ccc} \text{Km al día} & \text{Días} & \text{Litros} \\ \hline 250 & 5 & 400 \\ 300 & 8 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más kilómetros al día → más litros: directa. Más días → más litros: directa.
- Paso 3.\[x = 400\cdot\frac{300}{250}\cdot\frac{8}{5} = \frac{400\cdot 300\cdot 8}{250\cdot 5} = \frac{960\,000}{1250} = 768\]
✅ Resultado: Gastará 768 litros de gasóleo.
EJERCICIO 7Cuatro magnitudes: directa
📝 Enunciado10 máquinas, trabajando 8 horas al día, fabrican 2000 piezas en 5 días. ¿Cuántas piezas fabricarán 6 máquinas trabajando 10 horas al día durante 4 días?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla con tres magnitudes conocidas:\[\begin{array}{cccc} \text{Máquinas} & \text{Horas al día} & \text{Días} & \text{Piezas} \\ \hline 10 & 8 & 5 & 2000 \\ 6 & 10 & 4 & x \end{array}\]
- Paso 2. Las tres son directas: más máquinas, más horas o más días → más piezas.
- Paso 3.\[x = 2000\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac{10}{8}\cdot\frac{4}{5} = \frac{2000\cdot 6\cdot 10\cdot 4}{10\cdot 8\cdot 5} = \frac{480\,000}{400} = 1200\]
✅ Resultado: Fabricarán 1200 piezas.
EJERCICIO 8Cuatro magnitudes: mixta. Tú decides
📝 Enunciado6 obreros, trabajando 8 horas al día, construyen 120 m de muro en 15 días. ¿Cuántos días tardarán 10 obreros, trabajando 6 horas al día, en construir 200 m?
Ver solución paso a paso
- Paso 1. Tabla:\[\begin{array}{cccc} \text{Obreros} & \text{Horas al día} & \text{Metros} & \text{Días} \\ \hline 6 & 8 & 120 & 15 \\ 10 & 6 & 200 & x \end{array}\]
- Paso 2. Más obreros → menos días: inversa. Más horas al día → menos días: inversa. Más metros → más días: directa.
- Paso 3.\[x = 15\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac{8}{6}\cdot\frac{200}{120} = \frac{15\cdot 6\cdot 8\cdot 200}{10\cdot 6\cdot 120} = \frac{144\,000}{7200} = 20\]
- Comprobación. \(\frac{15\cdot 6\cdot 8}{120} = 6\) y \(\frac{20\cdot 10\cdot 6}{200} = 6\). ✔️
✅ Resultado: Tardarán 20 días.
❓ Preguntas frecuentes sobre la regla de tres compuesta
🤔 ¿Qué es la regla de tres compuesta?
Es un método para resolver problemas de proporcionalidad en los que intervienen tres o más magnitudes. Se conocen todos los valores menos uno, la incógnita, y se calcula comparando cada magnitud con ella.
🤔 ¿Cuál es la diferencia entre la regla de tres simple y la compuesta?
La simple relaciona dos magnitudes y la compuesta relaciona tres o más. En la compuesta hay que decidir si cada magnitud es directa o inversa respecto a la incógnita.
🤔 ¿Cómo se resuelve una regla de tres compuesta?
Se colocan los datos en una tabla, se compara cada magnitud con la incógnita y se multiplica el dato conocido de la incógnita por una fracción por cada magnitud: nuevo entre conocido si es directa, y conocido entre nuevo si es inversa.
🤔 ¿Cómo sé si una magnitud es directa o inversa?
Compárala con la incógnita imaginando que las demás magnitudes no cambian. Si al aumentar la magnitud la incógnita también aumenta, es directa; si disminuye, es inversa.
🤔 ¿Qué es una regla de tres compuesta mixta?
Es la que combina magnitudes directas e inversas respecto a la incógnita. Por ejemplo, con obreros, metros y días: los obreros son inversos y los metros directos.
🤔 ¿Qué es el método de reducción a la unidad?
Consiste en calcular cuánto valdría la incógnita si todas las magnitudes valieran 1 y, después, llevar cada magnitud a su nuevo valor multiplicando o dividiendo según sea directa o inversa.
🤔 ¿Se puede resolver con varias reglas de tres simples?
Sí. Se cambia una magnitud cada vez, manteniendo fijas las demás, y se resuelve cada paso como una regla de tres simple directa o inversa.
🤔 ¿Cómo compruebo el resultado de una regla de tres compuesta?
Multiplica la incógnita por las magnitudes inversas y divídela entre las directas en cada fila. Si el resultado es el mismo en las dos filas, la solución es correcta.
📚 Resumen final
- La regla de tres compuesta relaciona tres o más magnitudes proporcionales.
- Cada magnitud se compara con la incógnita, nunca entre sí: puede ser directa o inversa.
- Fórmula de la tabla: dato conocido por una fracción por magnitud, \(\frac{\text{nuevo}}{\text{conocido}}\) si es directa y \(\frac{\text{conocido}}{\text{nuevo}}\) si es inversa.
- También se resuelve por reducción a la unidad o con reglas de tres simples encadenadas.
- Comprueba siempre: incógnita por las inversas y entre las directas debe dar lo mismo en las dos filas.
Conclusión
Para simplificar una fracción solo tienes que encontrar un número que divida a la vez al numerador y al denominador, y repetir el proceso hasta que ya no puedas. Si usas el máximo común divisor, lo haces en un solo paso. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.
Sigue aprendiendo
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