Ejemplo de la Regla de Cramer

Regla de Cramer: cómo resolver sistemas de ecuaciones con determinantes

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 22 segundos · Actualizado hace 16 segundos

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales y cómo se escribe con matrices?
  2. Determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus)
  3. La regla de Cramer: fórmula y condiciones
  4. Regla de Cramer paso a paso (ejemplos 2×2 y 3×3)
  5. Teorema de Rouché-Frobenius: ¿cuántas soluciones tiene el sistema?
  6. Cómo calcular el rango de una matriz
  7. Ejemplos de Rouché-Frobenius: SCD, SCI y SI
  8. Discutir un sistema con un parámetro (ejercicio típico de EBAU)
  9. Interpretación geométrica: rectas y planos
  10. ¿Qué método elegir: Cramer o Gauss?
  11. Errores frecuentes con Cramer y Rouché-Frobenius
  12. 🧮 Calculadora de la regla de Cramer y de Rouché-Frobenius
  13. 🧠 Flashcards para memorizar
  14. ⭐ Ejercicios de regla de Cramer y Rouché-Frobenius resueltos

¿Te piden resolver un sistema con determinantes y no sabes qué hacer cuando el determinante sale 0? Es lo más normal al principio, a mí también me pasaba. En esta guía te enseño la regla de Cramer paso a paso y, sobre todo, cuándo no funciona, que es justo donde entra el teorema de Rouché-Frobenius. Con las dos herramientas juntas podrás resolver y discutir cualquier sistema de ecuaciones lineales de Bachillerato: sabrás si tiene solución, cuántas y cuáles son.

⚡ Regla de Cramer y Rouché-Frobenius en 30 segundos
Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y \(\det(A)\neq 0\), cada incógnita es un cociente de dos determinantes:
\[x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}\]
\(A_i\) es la matriz \(A\) con la columna \(i\) sustituida por la de los términos independientes. Por ejemplo, con dos incógnitas:
\[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}\]
Si \(\det(A)=0\), o el sistema no es cuadrado, uso el teorema de Rouché-Frobenius: comparo \(\operatorname{rg}(A)\), \(\operatorname{rg}(A^*)\) y el número de incógnitas \(n\).

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales y cómo se escribe con matrices?

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones en las que las incógnitas solo aparecen multiplicadas por números: nada de \(x^2\), ni \(xy\), ni raíces. Resolverlo es encontrar los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones a la vez.

Lo bueno es que cualquier sistema se puede escribir de forma compacta con tres matrices: la de coeficientes \(A\), la de incógnitas \(X\) y la de términos independientes \(B\). Fíjate en este ejemplo:

\(2x+3y=8\)\(x-y=-1\)\(\Longleftrightarrow\)\(2\)\(3\)\(1\)\(-1\)\(x\)\(y\)\(=\)\(8\)\(-1\)
El producto \(A\cdot X=B\) reproduce las ecuaciones del sistema, fila por fila.

También voy a necesitar la matriz ampliada \(A^*\): es la matriz \(A\) con una columna más, la de los términos independientes. La resalto en amarillo.

\(A^*=\)\(2\)\(3\)\(8\)\(1\)\(-1\)\(-1\)

Según cuántas soluciones tenga, un sistema se clasifica en una de estas tres familias. Las siglas te las vas a encontrar en todos los exámenes:

Tipo de sistemaSiglasNúmero de soluciones
Compatible determinadoSCDUna sola
Compatible indeterminadoSCIInfinitas
IncompatibleSINinguna
💡 Idea clave: «compatible» significa que tiene solución. «Determinado» quiere decir que es una sola, e «indeterminado», que hay infinitas.

Determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus)

La regla de Cramer se apoya por completo en los determinantes, así que empiezo por ahí. Un determinante es un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada, y lo escribo con barras verticales en lugar de corchetes.

Determinante de orden 2

\(\det(A)=\)\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)\(=a\cdot d-b\cdot c\)
Multiplico la diagonal principal y le resto el producto de la diagonal secundaria.

Por ejemplo, para la matriz del sistema anterior:

\(\det(A)=\)\(2\)\(3\)\(1\)\(-1\)
\[\det(A)=2\cdot (-1)-3\cdot 1=-2-3=-5\]

Determinante de orden 3: regla de Sarrus

Para una matriz de orden 3 uso la regla de Sarrus. Hay seis productos de tres elementos, uno de cada fila y de cada columna: tres suman y tres restan. Aquí los tienes marcados:

Los tres productos que suman (en verde)
\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)\(+\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)\(+\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)
Los tres productos que restan (en rojo)
\(-\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)\(-\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)\(-\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)
\[\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\]
Ejemplo paso a paso: calcula el determinante de \(1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)
  1. Productos que suman (la diagonal principal y sus dos paralelas):\[1\cdot (-1)\cdot (-1)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 2=1+1+4=6\]
  2. Productos que restan (la diagonal secundaria y sus dos paralelas), cada uno con su signo:\[1\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 2\cdot (-1)=-1+2-2=-1\]
  3. Resto los dos resultados:\[\det(A)=6-(-1)=\boxed{7}\]
⚠️ Solo para orden 3: la regla de Sarrus no sirve para determinantes de orden 4 o mayor. Y cuidado con los signos: los tres productos de la diagonal secundaria se restan, aunque dentro ya haya números negativos.
💡 Cuándo un determinante vale 0: si tiene una fila (o columna) de ceros, si tiene dos filas (o columnas) iguales o proporcionales, o si una fila es suma o combinación de las otras. Mirar esto antes de calcular me ahorra mucho tiempo.
Ejemplo de la Regla de Cramer

La regla de Cramer: fórmula y condiciones

La regla de Cramer la publicó en 1750 el matemático suizo Gabriel Cramer. Dice que, si un sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y su determinante no es cero, cada incógnita se obtiene dividiendo dos determinantes, sin tener que despejar nada.

\[x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}\qquad (i=1,2,\dots,n)\]Donde \(A_i\) es la matriz que resulta de sustituir la columna \(i\) de \(A\) por la columna \(B\) de términos independientes.

Para un sistema de tres incógnitas, esto es lo que cambio en cada caso. La columna sustituida va en amarillo:

\(D=\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)
\(D_x=\)\(b_1\)\(a_{12}\)\(a_{13}\)\(b_2\)\(a_{22}\)\(a_{23}\)\(b_3\)\(a_{32}\)\(a_{33}\)\(D_y=\)\(a_{11}\)\(b_1\)\(a_{13}\)\(a_{21}\)\(b_2\)\(a_{23}\)\(a_{31}\)\(b_3\)\(a_{33}\)\(D_z=\)\(a_{11}\)\(a_{12}\)\(b_1\)\(a_{21}\)\(a_{22}\)\(b_2\)\(a_{31}\)\(a_{32}\)\(b_3\)
\[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D}\]
⚠️ Dos condiciones obligatorias:
  • El sistema debe ser cuadrado: el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
  • El determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de 0, porque si no tendría que dividir entre 0.
Si falla alguna, no puedo usar Cramer tal cual y paso al teorema de Rouché-Frobenius.
💡 ¿Por qué funciona? Si \(\det(A)\neq 0\), la matriz \(A\) tiene inversa y la solución del sistema es \(X=A^{-1}B\). La regla de Cramer es esa misma solución escrita con determinantes.

Regla de Cramer paso a paso (ejemplos 2×2 y 3×3)

Este es el método que sigo siempre, tanto en un sistema de dos incógnitas como en uno de tres:

  1. Ordeno el sistema: las incógnitas a la izquierda, en el mismo orden, y los números a la derecha. Si falta una incógnita, su coeficiente es 0.
  2. Calculo \(D=\det(A)\). Si \(D=0\), paro: no puedo usar Cramer.
  3. Calculo \(D_x\), \(D_y\)... sustituyendo en cada caso la columna de la incógnita por la de los términos independientes.
  4. Divido: \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\)...
  5. Compruebo la solución en las ecuaciones originales.

Ejemplo 1: sistema de dos ecuaciones

Ejemplo paso a paso: resuelve \(2x+3y=8\)\(x-y=-1\)
  1. Calculo \(D\).
    \(D=\)\(2\)\(3\)\(1\)\(-1\)
    \[D=2\cdot (-1)-3\cdot 1=-2-3=-5\]Como \(D\neq 0\), puedo aplicar Cramer.
  2. Calculo \(D_x\) cambiando la columna de la \(x\) por la de los términos independientes:
    \(D_x=\)\(8\)\(3\)\(-1\)\(-1\)
    \[D_x=8\cdot (-1)-3\cdot (-1)=-8-(-3)=-5\]
  3. Calculo \(D_y\) cambiando la columna de la \(y\):
    \(D_y=\)\(2\)\(8\)\(1\)\(-1\)
    \[D_y=2\cdot (-1)-8\cdot 1=-2-8=-10\]
  4. Divido:\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{-5}{-5}=1\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-10}{-5}=2\]
  5. Compruebo: \(2\cdot 1+3\cdot 2=8\) ✔ y \(1-2=-1\) ✔. Resultado: \[\boxed{x=1,\ y=2}\]

Ejemplo 2: sistema de tres ecuaciones

Ejemplo paso a paso: resuelve \(x+y+z=6\)\(2x-y+z=3\)\(x+2y-z=2\)
  1. Escribo las matrices:
    \(A=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(\qquad B=\)\(6\)\(3\)\(2\)
  2. Calculo \(D\) con Sarrus:
    \(D=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)
    \[D=1\cdot (-1)\cdot (-1)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 2-1\cdot (-1)\cdot 1-1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 2\cdot (-1)=1+1+4-(-1)-2-(-2)=7\]Como \(D\neq 0\), puedo continuar.
  3. Calculo \(D_x\):
    \(D_x=\)\(6\)\(1\)\(1\)\(3\)\(-1\)\(1\)\(2\)\(2\)\(-1\)
    \[D_x=6\cdot (-1)\cdot (-1)+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 3\cdot 2-1\cdot (-1)\cdot 2-6\cdot 1\cdot 2-1\cdot 3\cdot (-1)=6+2+6-(-2)-12-(-3)=7\]
  4. Calculo \(D_y\):
    \(D_y=\)\(1\)\(6\)\(1\)\(2\)\(3\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)
    \[D_y=1\cdot 3\cdot (-1)+6\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 2-1\cdot 3\cdot 1-1\cdot 1\cdot 2-6\cdot 2\cdot (-1)=-3+6+4-3-2-(-12)=14\]
  5. Calculo \(D_z\):
    \(D_z=\)\(1\)\(1\)\(6\)\(2\)\(-1\)\(3\)\(1\)\(2\)\(2\)
    \[D_z=1\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot 3\cdot 1+6\cdot 2\cdot 2-6\cdot (-1)\cdot 1-1\cdot 3\cdot 2-1\cdot 2\cdot 2=-2+3+24-(-6)-6-4=21\]
  6. Divido:\[x=\frac{7}{7}=1,\qquad y=\frac{14}{7}=2,\qquad z=\frac{21}{7}=3\]
  7. Compruebo: \(1+2+3=6\) ✔, \(2\cdot 1-2+3=3\) ✔ y \(1+2\cdot 2-3=2\) ✔. Resultado:\[\boxed{x=1,\ y=2,\ z=3}\]
💡 Atajo: si solo me piden una incógnita, por ejemplo la \(y\), me basta con calcular \(D\) y \(D_y\). No hace falta resolver el sistema entero.

Teorema de Rouché-Frobenius: ¿cuántas soluciones tiene el sistema?

La regla de Cramer tiene un límite claro: solo funciona si \(\det(A)\neq 0\). Pero ¿qué hago si el determinante vale 0, o si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas (o al revés)? Para eso está el teorema de Rouché-Frobenius, que me dice cuántas soluciones tiene un sistema sin resolverlo. Solo compara rangos. En algunos países lo llaman teorema de Rouché-Capelli.

Un sistema \(AX=B\) es compatible (tiene solución) si y solo si\[\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)\]

Y si además llamo \(n\) al número de incógnitas, el resultado completo es este:

CondiciónClasificaciónSoluciones
\(\operatorname{rg}(A)\neq\operatorname{rg}(A^*)\)SI: incompatibleNinguna
\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=n\)SCD: compatible determinadoUna única
\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)\lt n\)SCI: compatible indeterminadoInfinitas, con \(n-\operatorname{rg}(A)\) parámetros
💡 Mi truco para recordarlo: primero comparo los dos rangos para saber si hay solución. Solo si coinciden, comparo ese rango con \(n\) para saber si es una o son infinitas.

La idea que hay detrás

Resolver \(AX=B\) es buscar números \(x,y,z\) que combinen las columnas de \(A\) para formar la columna \(B\). Si \(B\) es combinación de las columnas de \(A\), añadirla no aumenta el rango y los dos rangos coinciden: hay solución. Si \(B\) no lo es, la matriz ampliada tiene un rango más y el sistema es incompatible.

⚠️ Dos detalles que se olvidan:
  • \(n\) es el número de incógnitas, no el de ecuaciones.
  • Siempre se cumple \(\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{rg}(A^*)\leq\operatorname{rg}(A)+1\), porque \(A^*\) solo tiene una columna más. Por eso los rangos o son iguales o se diferencian en 1.

Cómo calcular el rango de una matriz

El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de 0. Un menor es el determinante de una submatriz cuadrada que obtengo quitando filas y columnas. Para calcularlo sigo estos pasos:

  1. Si todos los elementos son 0, el rango es 0. Si hay alguno distinto de 0, el rango es al menos 1.
  2. Busco un menor de orden 2 distinto de 0. Si existe, el rango es al menos 2.
  3. Si la matriz es de orden 3 o más, miro los menores de orden 3: si alguno es distinto de 0, el rango es 3. Y así sucesivamente.
  4. Me paro cuando todos los menores del orden siguiente valen 0 (o ya no existen).
Ejemplo paso a paso: calcula el rango de \(1\)\(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(2\)\(0\)\(2\)
  1. Miro el determinante de orden 3:
    \(\det(A)=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(2\)\(0\)\(2\)
    \[\det(A)=1\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 1\cdot 0-1\cdot (-1)\cdot 2-1\cdot 1\cdot 0-1\cdot 1\cdot 2=-2+2+0-(-2)-0-2=0\]Es 0, así que el rango es menor que 3.
  2. Busco un menor de orden 2 distinto de 0. Con las dos primeras filas y columnas:
    \(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(=-1-1=-2\neq 0\)
  3. Conclusión: hay un menor de orden 2 distinto de 0 y el único de orden 3 vale 0, así que \(\operatorname{rg}(A)=2\). Lo confirmo con un vistazo: la tercera fila es la suma de las dos primeras.
💡 Para el rango de \(A^*\): sé que \(\operatorname{rg}(A^*)\) vale como mucho \(\operatorname{rg}(A)+1\). Por eso, cuando ya tengo \(\operatorname{rg}(A)=r\), solo tengo que mirar los menores de orden \(r+1\) que incluyan la columna \(B\). Si alguno es distinto de 0, \(\operatorname{rg}(A^*)=r+1\) y el sistema es incompatible.

También se puede calcular el rango por el método de Gauss (escalonando la matriz y contando las filas que no son todo ceros). Tienes la explicación completa en el enlace sobre el rango de una matriz que te dejo al final del artículo.

Ejemplos de Rouché-Frobenius: SCD, SCI y SI

Voy a usar la misma matriz de coeficientes con dos términos independientes distintos. Verás cómo un solo número cambia el tipo de sistema.

Ejemplo A: sistema compatible indeterminado (SCI)

Ejemplo paso a paso: discute y resuelve \(x+y+z=6\)\(x-y+z=2\)\(2x+2z=8\)
  1. Escribo \(A\) y \(A^*\):
    \(A=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(2\)\(0\)\(2\)\(\qquad A^*=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(6\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(2\)\(2\)\(0\)\(2\)\(8\)
  2. Rango de \(A\). Su determinante vale 0 (la tercera fila es la suma de las dos primeras) y el menor
    \(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(=-2\neq 0\)
    así que \(\operatorname{rg}(A)=2\).
  3. Rango de \(A^*\). En \(A^*\) también ocurre que la tercera fila es la suma de las dos primeras (\(2=1+1\), \(0=1-1\), \(2=1+1\) y \(8=6+2\)). Todos los menores de orden 3 valen 0 y \(\operatorname{rg}(A^*)=2\).
  4. Comparo: \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt 3=n\). Es un SCI con \(3-2=1\) parámetro.
  5. Resuelvo con Cramer. La tercera ecuación sobra. Llamo \(z=\lambda\), la paso al segundo miembro y me queda un sistema 2×2:
    \(x+y=6-\lambda\)\(x-y=2-\lambda\)
    \(D=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)
    \[D=-1-1=-2\]
    \(D_x=\)\(6-\lambda\)\(1\)\(2-\lambda\)\(-1\)
    \[D_x=(6-\lambda)\cdot(-1)-1\cdot(2-\lambda)=-8+2\lambda\]
    \(D_y=\)\(1\)\(6-\lambda\)\(1\)\(2-\lambda\)
    \[D_y=1\cdot(2-\lambda)-1\cdot(6-\lambda)=-4\]\[x=\frac{-8+2\lambda}{-2}=4-\lambda,\qquad y=\frac{-4}{-2}=2,\qquad z=\lambda\]
  6. Solución:\[\boxed{(x,y,z)=(4-\lambda,\ 2,\ \lambda)\quad\text{con }\lambda\in\mathbb{R}}\]
💡 Truco del parámetro: en un SCI sigo usando Cramer. Elijo un menor distinto de 0, paso las incógnitas que sobran al segundo miembro como parámetros y aplico la regla al sistema pequeño que queda.

Ejemplo B: sistema incompatible (SI)

Ejemplo paso a paso: discute \(x+y+z=6\)\(x-y+z=2\)\(2x+2z=9\)
  1. Rango de \(A\): es la misma matriz de antes, así que \(\operatorname{rg}(A)=2\).
  2. Rango de \(A^*\). Busco un menor de orden 3 que incluya la columna \(B\):
    \(\Delta=\)\(1\)\(1\)\(6\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(2\)\(0\)\(9\)
    \[\Delta=1\cdot (-1)\cdot 9+1\cdot 2\cdot 2+6\cdot 1\cdot 0-6\cdot (-1)\cdot 2-1\cdot 2\cdot 0-1\cdot 1\cdot 9=-9+4+0-(-12)-0-9=-2\]Es distinto de 0, así que \(\operatorname{rg}(A^*)=3\).
  3. Comparo: \(\operatorname{rg}(A)=2\neq 3=\operatorname{rg}(A^*)\). El sistema es incompatible (SI).
  4. Lo compruebo a ojo: si sumo las dos primeras ecuaciones obtengo \(2x+2z=8\), pero la tercera dice \(2x+2z=9\). Es una contradicción: no hay solución.

Ejemplo C: sistema compatible determinado con más ecuaciones que incógnitas

Ejemplo paso a paso: discute y resuelve \(x+y=3\)\(x-y=1\)\(2x+y=5\)
  1. Rango de \(A\) (matriz de 3 filas y 2 columnas): el menor
    \(1\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(=-2\neq 0\)
    da \(\operatorname{rg}(A)=2\), el máximo posible.
  2. Rango de \(A^*\) (3 filas y 3 columnas). Su único menor de orden 3 es:
    \(\Delta=\)\(1\)\(1\)\(3\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(2\)\(1\)\(5\)
    \[\Delta=1\cdot (-1)\cdot 5+1\cdot 1\cdot 2+3\cdot 1\cdot 1-3\cdot (-1)\cdot 2-1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 5=-5+2+3-(-6)-1-5=0\]Vale 0, así que \(\operatorname{rg}(A^*)=2\).
  3. Comparo: \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2=n\). Es un SCD.
  4. Resuelvo. No puedo aplicar Cramer al sistema entero (no es cuadrado), pero sí a las dos primeras ecuaciones:
    \(D=-2\)\(D_x=3\cdot(-1)-1\cdot 1=-4\)\(D_y=1\cdot 1-3\cdot 1=-2\)
    \[x=\frac{-4}{-2}=2,\qquad y=\frac{-2}{-2}=1\]La tercera ecuación se cumple: \(2\cdot 2+1=5\) ✔. Solución: \(\boxed{x=2,\ y=1}\)
Sistema\(\operatorname{rg}(A)\)\(\operatorname{rg}(A^*)\)\(n\)Tipo
Ejemplo A223SCI
Ejemplo B233SI
Ejemplo C222SCD

Discutir un sistema con un parámetro (ejercicio típico de EBAU)

Este es el ejercicio que más cae en los exámenes: me dan un sistema con un parámetro \(m\) y me piden discutirlo, es decir, decir para cada valor de \(m\) si es SCD, SCI o SI. La clave es que \(\det(A)\) depende de \(m\), y los valores que lo anulan son los casos especiales.

Ejemplo paso a paso: discute, según los valores de \(m\), el sistema \(mx+y+z=1\)\(x+my+z=m\)\(x+y+mz=m^2\)
  1. Calculo \(\det(A)\) en función de \(m\) con Sarrus:
    \(\det(A)=\)\(m\)\(1\)\(1\)\(1\)\(m\)\(1\)\(1\)\(1\)\(m\)
    \[\det(A)=m\cdot m\cdot m+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot m\cdot 1-m\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot m=m^3-3m+2\]
  2. Busco cuándo vale 0. Pruebo \(m=1\): \(1-3+2=0\), es raíz. Divido entre \((m-1)\) y me queda \(m^2+m-2=(m-1)(m+2)\). Por tanto\[\det(A)=(m-1)^2(m+2)\]que vale 0 solo para \(m=1\) y para \(m=-2\).
  3. Caso \(m\neq 1\) y \(m\neq -2\). Entonces \(\det(A)\neq 0\), luego \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=n\) y el sistema es SCD. Calculo los determinantes con Sarrus y obtengo\[D_x=-(m+1)(m-1)^2,\qquad D_y=(m-1)^2,\qquad D_z=(m+1)^2(m-1)^2\]Dividiendo entre \(D=(m-1)^2(m+2)\):\[x=-\frac{m+1}{m+2},\qquad y=\frac{1}{m+2},\qquad z=\frac{(m+1)^2}{m+2}\]
  4. Caso \(m=1\). Las tres ecuaciones quedan iguales: \(x+y+z=1\). Entonces \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=1\lt 3\) y es un SCI con 2 parámetros:\[(x,y,z)=(1-\lambda-\mu,\ \lambda,\ \mu)\]
  5. Caso \(m=-2\). Ahora el sistema es \(-2x+y+z=1\)\(x-2y+z=-2\)\(x+y-2z=4\)El menor
    \(-2\)\(1\)\(1\)\(-2\)\(=3\neq 0\)
    da \(\operatorname{rg}(A)=2\). Para \(A^*\) tomo un menor de orden 3 con la columna \(B\):
    \(\Delta=\)\(-2\)\(1\)\(1\)\(1\)\(-2\)\(-2\)\(1\)\(1\)\(4\)
    \[\Delta=(-2)\cdot (-2)\cdot 4+1\cdot (-2)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot (-2)\cdot 1-(-2)\cdot (-2)\cdot 1-1\cdot 1\cdot 4=16-2+1-(-2)-4-4=9\]Es distinto de 0, así que \(\operatorname{rg}(A^*)=3\neq 2\) y el sistema es SI. Se ve a ojo: si sumo las tres ecuaciones obtengo \(0=3\).
Valor de \(m\)\(\operatorname{rg}(A)\)\(\operatorname{rg}(A^*)\)\(n\)Clasificación
\(m\neq 1\) y \(m\neq -2\)333SCD
\(m=1\)113SCI (2 parámetros)
\(m=-2\)233SI
⚠️ No me olvido de los casos especiales. Muchos alumnos calculan \(\det(A)\), resuelven el caso general y se quedan ahí. Los valores que anulan el determinante hay que estudiarlos uno por uno sustituyendo el parámetro y calculando los dos rangos.

Interpretación geométrica: rectas y planos

Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta en el plano, y resolver el sistema es buscar los puntos que están en todas a la vez. Solo hay tres posibilidades, y coinciden exactamente con SCD, SI y SCI:

Interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: rectas que se cortan en un punto (SCD), rectas paralelas (SI) y rectas coincidentes (SCI)

Con tres incógnitas, cada ecuación es un plano en el espacio. Las posiciones posibles son más variadas, pero la idea es la misma:

Posición de los planosCómo lo imaginoClasificación
Se cortan en un puntoLa esquina de una habitaciónSCD
Se cortan en una rectaLas hojas de un libro abiertoSCI (1 parámetro)
Son el mismo planoTres folios uno encima de otroSCI (2 parámetros)
No tienen ningún punto comúnPlanos paralelos o un prisma triangularSI
💡 Fíjate: cuando \(\det(A)\neq 0\) los planos se cortan en un único punto, y la regla de Cramer te da justo las coordenadas de ese punto.

¿Qué método elegir: Cramer o Gauss?

Los dos resuelven sistemas lineales, pero no sirven para lo mismo. Esta tabla es mi resumen:

Regla de CramerMétodo de Gauss
Qué sistemas resuelveCuadrados con \(\det(A)\neq 0\) (SCD)Cualquiera: cuadrados o no, SCD, SCI o SI
Cómo trabajaCalcula determinantes y divideEscalona la matriz y despeja hacia arriba
Cuándo lo uso2×2 y 3×3, o cuando hay parámetrosSistemas grandes o no cuadrados
VentajaFórmula directa para cada incógnitaMucho más rápido cuando crece el sistema
InconvenienteCon muchas incógnitas hay que calcular demasiados determinantesCon parámetros hay que vigilar las divisiones
💡 Mi consejo: en un sistema 2×2 o 3×3 con determinante distinto de 0, uso Cramer. Si el sistema es grande o no es cuadrado, uso Gauss. Y para discutir (decir si es SCD, SCI o SI), siempre Rouché-Frobenius.

Errores frecuentes con Cramer y Rouché-Frobenius

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Aplicar Cramer sin mirar \(D\). Si \(\det(A)=0\), no se puede dividir y la regla no vale.
  • Pensar que \(D=0\) significa «sin solución». Puede ser un SCI o un SI. Hay que calcular los rangos.
  • No ordenar el sistema. Las incógnitas deben estar en el mismo orden en todas las ecuaciones, con un 0 donde falte alguna.
  • Cambiar la columna equivocada. En \(D_x\) sustituyo la columna de la \(x\), no otra.
  • Olvidar los signos en Sarrus. Los tres productos de la diagonal secundaria se restan.
  • Comparar con el número de ecuaciones. En Rouché-Frobenius, \(n\) es el número de incógnitas.
  • Calcular solo \(\operatorname{rg}(A)\). Hay que calcular también \(\operatorname{rg}(A^*)\) y compararlos.
  • Dejar los casos especiales de un parámetro sin estudiar. Cada valor que anula \(\det(A)\) es un caso aparte.
  • No comprobar. Sustituir la solución en las ecuaciones tarda diez segundos y detecta casi todos los fallos.

🧮 Calculadora de la regla de Cramer y de Rouché-Frobenius

En la primera pestaña resuelvo tu sistema con la regla de Cramer, mostrando todos los determinantes. Si el determinante sale 0, paso automáticamente a discutirlo. En la segunda pestaña puedes discutir cualquier sistema (incluso con más ecuaciones que incógnitas) con el teorema de Rouché-Frobenius.

x +y =
x +y =

Escribe números enteros de hasta 3 cifras. Si en una ecuación falta una letra, escribe 0 en su casilla.

🌍 Sistemas de ecuaciones en la vida real

🎟️ Entradas y preciosSaber cuántas entradas de cada tipo se han vendido a partir del total y de la recaudación.
🧪 MezclasCalcular cuánto de cada producto hay que mezclar para obtener cierto precio o concentración.
⚡ Circuitos eléctricosLas leyes de Kirchhoff dan un sistema lineal para calcular las corrientes.
⚗️ QuímicaAjustar una reacción química lleva a resolver un sistema lineal.
📈 EconomíaEl equilibrio entre oferta y demanda de varios productos es un sistema de ecuaciones.
🥗 NutriciónCombinar alimentos para alcanzar unas cantidades de proteínas, grasas e hidratos.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Fórmula de Cramer\(x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\), donde \(A_i\) es \(A\) con la columna \(i\) cambiada por \(B\).
¿Cuándo uso Cramer?Cuando el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y \(\det(A)\neq 0\).
Si \(\det(A)=0\)No puedo usar Cramer. Discuto con Rouché-Frobenius: puede ser SCI o SI.
Rouché-FrobeniusEl sistema es compatible si y solo si \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)\).
SCD\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=n\): una única solución.
SCI\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)\lt n\): infinitas soluciones, con \(n-\operatorname{rg}(A)\) parámetros.
SI\(\operatorname{rg}(A)\neq\operatorname{rg}(A^*)\): no tiene solución.
Regla de SarrusTres productos suman, tres restan. Solo vale para determinantes de orden 3.

⭐ Ejercicios de regla de Cramer y Rouché-Frobenius resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Cramer 2×2: nivel básico
📝 EnunciadoResuelve con la regla de Cramer \(3x+2y=7\)\(x-y=4\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Calculo \(D\):
    \(D=\)\(3\)\(2\)\(1\)\(-1\)
    \[D=3\cdot (-1)-2\cdot 1=-3-2=-5\]
  2. Paso 2. Calculo \(D_x\) y \(D_y\):
    \(D_x=\)\(7\)\(2\)\(4\)\(-1\)
    \[D_x=7\cdot (-1)-2\cdot 4=-7-8=-15\]
    \(D_y=\)\(3\)\(7\)\(1\)\(4\)
    \[D_y=3\cdot 4-7\cdot 1=12-7=5\]
  3. Paso 3. Divido:\[x=\frac{-15}{-5}=3\qquad y=\frac{5}{-5}=-1\]
  4. Comprobación. \(3\cdot 3+2\cdot(-1)=7\) ✔ y \(3-(-1)=4\) ✔.
✅ Resultado: \(x=3,\ y=-1\).
EJERCICIO 2Cramer 2×2 con solución fraccionaria
📝 EnunciadoResuelve \(2x+5y=1\)\(3x+4y=-1\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Calculo \(D\):
    \(D=\)\(2\)\(5\)\(3\)\(4\)
    \[D=2\cdot 4-5\cdot 3=8-15=-7\]
  2. Paso 2. Calculo \(D_x\) y \(D_y\):
    \(D_x=\)\(1\)\(5\)\(-1\)\(4\)
    \[D_x=1\cdot 4-5\cdot (-1)=4-(-5)=9\]
    \(D_y=\)\(2\)\(1\)\(3\)\(-1\)
    \[D_y=2\cdot (-1)-1\cdot 3=-2-3=-5\]
  3. Paso 3. Divido:\[x=\frac{9}{-7}=-\frac{9}{7}\qquad y=\frac{-5}{-7}=\frac{5}{7}\]
  4. Comprobación. \(2\cdot\left(-\frac{9}{7}\right)+5\cdot\frac{5}{7}=\frac{-18+25}{7}=1\) ✔ y \(3\cdot\left(-\frac{9}{7}\right)+4\cdot\frac{5}{7}=\frac{-27+20}{7}=-1\) ✔.
✅ Resultado: \(x=-\dfrac{9}{7},\ y=\dfrac{5}{7}\). Que la solución sea una fracción no significa que me haya equivocado.
EJERCICIO 3Determinante de orden 3 con Sarrus
📝 EnunciadoCalcula el determinante de \(2\)\(0\)\(1\)\(1\)\(3\)\(-1\)\(4\)\(2\)\(5\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Productos que suman:\[2\cdot 3\cdot 5+0\cdot(-1)\cdot 4+1\cdot 1\cdot 2=30+0+2=32\]
  2. Paso 2. Productos que restan:\[1\cdot 3\cdot 4+2\cdot(-1)\cdot 2+0\cdot 1\cdot 5=12-4+0=8\]
  3. Paso 3. Resto: \(32-8=24\).
✅ Resultado: \(\det(A)=24\). Como es distinto de 0, un sistema con esta matriz de coeficientes se podría resolver con Cramer.
EJERCICIO 4Cramer 3×3
📝 EnunciadoResuelve \(2x+y-z=0\)\(x-y+2z=9\)\(3x+2y+z=7\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Calculo \(D\):
    \(D=\)\(2\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(3\)\(2\)\(1\)
    \[D=2\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3+(-1)\cdot 1\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2-1\cdot 1\cdot 1=-2+6-2-3-8-1=-10\]
  2. Paso 2. Calculo \(D_x\), \(D_y\) y \(D_z\):
    \(D_x=\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(9\)\(-1\)\(2\)\(7\)\(2\)\(1\)
    \[D_x=0\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 2\cdot 7+(-1)\cdot 9\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\cdot 7-0\cdot 2\cdot 2-1\cdot 9\cdot 1=0+14-18-7-0-9=-20\]
    \(D_y=\)\(2\)\(0\)\(-1\)\(1\)\(9\)\(2\)\(3\)\(7\)\(1\)
    \[D_y=2\cdot 9\cdot 1+0\cdot 2\cdot 3+(-1)\cdot 1\cdot 7-(-1)\cdot 9\cdot 3-2\cdot 2\cdot 7-0\cdot 1\cdot 1=18+0-7-(-27)-28-0=10\]
    \(D_z=\)\(2\)\(1\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(9\)\(3\)\(2\)\(7\)
    \[D_z=2\cdot (-1)\cdot 7+1\cdot 9\cdot 3+0\cdot 1\cdot 2-0\cdot (-1)\cdot 3-2\cdot 9\cdot 2-1\cdot 1\cdot 7=-14+27+0-0-36-7=-30\]
  3. Paso 3. Divido:\[x=\frac{-20}{-10}=2,\qquad y=\frac{10}{-10}=-1,\qquad z=\frac{-30}{-10}=3\]
  4. Comprobación. \(2\cdot 2-1-3=0\) ✔, \(2+1+6=9\) ✔ y \(6-2+3=7\) ✔.
✅ Resultado: \(x=2,\ y=-1,\ z=3\).
EJERCICIO 5Rouché-Frobenius: ¿cuántas soluciones tiene?
📝 EnunciadoClasifica el sistema \(x+y+z=2\)\(2x-y+z=1\)\(3x+2z=4\)sin resolverlo.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Calculo \(\det(A)\):
    \(\det(A)=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(1\)\(3\)\(0\)\(2\)
    \[\det(A)=1\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 0-1\cdot (-1)\cdot 3-1\cdot 1\cdot 0-1\cdot 2\cdot 2=-2+3+0-(-3)-0-4=0\]Es 0, así que \(\operatorname{rg}(A)\lt 3\). El menor
    \(1\)\(1\)\(2\)\(-1\)\(=-1-2=-3\neq 0\)
    da \(\operatorname{rg}(A)=2\).
  2. Paso 2. Para \(A^*\) busco un menor de orden 3 que incluya \(B\):
    \(\Delta=\)\(1\)\(1\)\(2\)\(2\)\(-1\)\(1\)\(3\)\(0\)\(4\)
    \[\Delta=1\cdot (-1)\cdot 4+1\cdot 1\cdot 3+2\cdot 2\cdot 0-2\cdot (-1)\cdot 3-1\cdot 1\cdot 0-1\cdot 2\cdot 4=-4+3+0-(-6)-0-8=-3\]Es distinto de 0, luego \(\operatorname{rg}(A^*)=3\).
  3. Paso 3. \(\operatorname{rg}(A)=2\neq 3=\operatorname{rg}(A^*)\), así que no hay solución.
  4. Lo veo a ojo. Al sumar las dos primeras ecuaciones sale \(3x+2z=3\), pero la tercera dice \(3x+2z=4\).
✅ Resultado: El sistema es incompatible (SI).
EJERCICIO 6Menos ecuaciones que incógnitas
📝 EnunciadoDiscute y resuelve \(x+2y-z=3\)\(2x+y+z=0\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El menor
    \(1\)\(2\)\(2\)\(1\)\(=1-4=-3\neq 0\)
    da \(\operatorname{rg}(A)=2\), que es el máximo con solo 2 filas. Como \(A^*\) también tiene 2 filas y \(\operatorname{rg}(A^*)\geq\operatorname{rg}(A)\), entonces \(\operatorname{rg}(A^*)=2\).
  2. Paso 2. \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt 3=n\): es un SCI con \(3-2=1\) parámetro.
  3. Paso 3. Llamo \(z=\lambda\) y paso \(z\) al segundo miembro:\(x+2y=3+\lambda\)\(2x+y=-\lambda\)
    \(D=\)\(1\)\(2\)\(2\)\(1\)
    \[D=1\cdot 1-2\cdot 2=-3\]
    \(D_x=\)\(3+\lambda\)\(2\)\(-\lambda\)\(1\)
    \[D_x=(3+\lambda)\cdot 1-2\cdot(-\lambda)=3+3\lambda\]
    \(D_y=\)\(1\)\(3+\lambda\)\(2\)\(-\lambda\)
    \[D_y=1\cdot(-\lambda)-(3+\lambda)\cdot 2=-6-3\lambda\]
  4. Paso 4. Divido:\[x=\frac{3+3\lambda}{-3}=-1-\lambda,\qquad y=\frac{-6-3\lambda}{-3}=2+\lambda\]
  5. Comprobación. En la primera ecuación: \((-1-\lambda)+2(2+\lambda)-\lambda=-1-\lambda+4+2\lambda-\lambda=3\) ✔.
✅ Resultado: SCI. \((x,y,z)=(-1-\lambda,\ 2+\lambda,\ \lambda)\) con \(\lambda\in\mathbb{R}\).
EJERCICIO 7Discusión con un parámetro (2×2)
📝 EnunciadoDiscute el sistema según los valores de \(m\): \(x+my=1\)\(mx+y=1\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Calculo el determinante:
    \(\det(A)=\)\(1\)\(m\)\(m\)\(1\)
    \[\det(A)=1\cdot 1-m\cdot m=1-m^2=(1-m)(1+m)\]Vale 0 cuando \(m=1\) o \(m=-1\).
  2. Paso 2. Caso \(m\neq\pm 1\). \(\det(A)\neq 0\), luego \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2=n\): SCD. Por Cramer, \(D_x=D_y=1-m\), así que\[x=y=\frac{1-m}{(1-m)(1+m)}=\frac{1}{1+m}\]
  3. Paso 3. Caso \(m=1\). Las dos ecuaciones son \(x+y=1\). Entonces \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=1\lt 2\): SCI, con solución \((1-\lambda,\ \lambda)\).
  4. Paso 4. Caso \(m=-1\). El sistema es \(x-y=1\)\(-x+y=1\)Aquí \(\operatorname{rg}(A)=1\), pero el menor
    \(1\)\(1\)\(-1\)\(1\)\(=2\neq 0\)
    (que usa la columna \(B\)) da \(\operatorname{rg}(A^*)=2\): SI. Al sumar las ecuaciones sale \(0=2\).
✅ Resultado: \(m\neq\pm 1\): SCD. \(m=1\): SCI. \(m=-1\): SI.
EJERCICIO 8Discusión con un parámetro (3×3)
📝 EnunciadoDiscute y resuelve cuando sea posible, según los valores de \(k\): \(x+y-z=1\)\(2x+3y+kz=3\)\(x+ky+3z=2\)
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Calculo \(\det(A)\) con Sarrus:
    \(\det(A)=\)\(1\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(3\)\(k\)\(1\)\(k\)\(3\)
    \[\det(A)=1\cdot 3\cdot 3+1\cdot k\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot k-(-1)\cdot 3\cdot 1-1\cdot k\cdot k-1\cdot 2\cdot 3=-k^2-k+6=-(k-2)(k+3)\]Vale 0 para \(k=2\) y para \(k=-3\).
  2. Paso 2. Caso \(k\neq 2\) y \(k\neq -3\). \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3=n\): SCD. Con Cramer obtengo \(D_x=-(k-2)(k+3)\) y \(D_y=D_z=2-k\), así que\[x=1,\qquad y=\frac{2-k}{-(k-2)(k+3)}=\frac{1}{k+3},\qquad z=\frac{1}{k+3}\]
  3. Paso 3. Caso \(k=2\). La tercera fila de \(A^*\) es la segunda menos la primera, así que \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt 3\): SCI. Con \(z=\lambda\) y las dos primeras ecuaciones, Cramer da \(x=5\lambda\) e \(y=1-4\lambda\).
  4. Paso 4. Caso \(k=-3\). El menor
    \(1\)\(1\)\(2\)\(3\)\(=1\neq 0\)
    da \(\operatorname{rg}(A)=2\). Para \(A^*\) tomo las columnas 1, 2 y \(B\):
    \(\Delta=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(2\)\(3\)\(3\)\(1\)\(-3\)\(2\)
    \[\Delta=1\cdot 3\cdot 2+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot (-3)-1\cdot 3\cdot 1-1\cdot 3\cdot (-3)-1\cdot 2\cdot 2=6+3-6-3-(-9)-4=5\]Es distinto de 0, luego \(\operatorname{rg}(A^*)=3\): SI.
✅ Resultado: \(k\neq 2,-3\): SCD con \((1,\ \frac{1}{k+3},\ \frac{1}{k+3})\). \(k=2\): SCI con \((5\lambda,\ 1-4\lambda,\ \lambda)\). \(k=-3\): SI.
EJERCICIO 9Problema de las entradas del cine
📝 EnunciadoUn sábado un cine vende 200 entradas de tres tipos: adulto (8 €), infantil (5 €) y jubilado (6 €). La recaudación es de 1340 € y hay tantas entradas de adulto como de infantil y de jubilado juntas. ¿Cuántas entradas se han vendido de cada tipo?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Planteo. \(x\) = entradas de adulto, \(y\) = infantiles, \(z\) = de jubilado:\(x+y+z=200\)\(8x+5y+6z=1340\)\(x-y-z=0\)(la última sale de \(x=y+z\)).
  2. Paso 2. Calculo \(D\):
    \(D=\)\(1\)\(1\)\(1\)\(8\)\(5\)\(6\)\(1\)\(-1\)\(-1\)
    \[D=1\cdot 5\cdot (-1)+1\cdot 6\cdot 1+1\cdot 8\cdot (-1)-1\cdot 5\cdot 1-1\cdot 6\cdot (-1)-1\cdot 8\cdot (-1)=-5+6-8-5-(-6)-(-8)=2\]Como \(D\neq 0\), puedo usar Cramer.
  3. Paso 3. Calculo los otros tres:
    \(D_x=\)\(200\)\(1\)\(1\)\(1340\)\(5\)\(6\)\(0\)\(-1\)\(-1\)
    \[D_x=200\cdot 5\cdot (-1)+1\cdot 6\cdot 0+1\cdot 1340\cdot (-1)-1\cdot 5\cdot 0-200\cdot 6\cdot (-1)-1\cdot 1340\cdot (-1)=-1000+0-1340-0-(-1200)-(-1340)=200\]
    \(D_y=\)\(1\)\(200\)\(1\)\(8\)\(1340\)\(6\)\(1\)\(0\)\(-1\)
    \[D_y=1\cdot 1340\cdot (-1)+200\cdot 6\cdot 1+1\cdot 8\cdot 0-1\cdot 1340\cdot 1-1\cdot 6\cdot 0-200\cdot 8\cdot (-1)=-1340+1200+0-1340-0-(-1600)=120\]
    \(D_z=\)\(1\)\(1\)\(200\)\(8\)\(5\)\(1340\)\(1\)\(-1\)\(0\)
    \[D_z=1\cdot 5\cdot 0+1\cdot 1340\cdot 1+200\cdot 8\cdot (-1)-200\cdot 5\cdot 1-1\cdot 1340\cdot (-1)-1\cdot 8\cdot 0=0+1340-1600-1000-(-1340)-0=80\]
  4. Paso 4. Divido:\[x=\frac{200}{2}=100,\qquad y=\frac{120}{2}=60,\qquad z=\frac{80}{2}=40\]
  5. Comprobación. \(100+60+40=200\) ✔, \(8\cdot 100+5\cdot 60+6\cdot 40=800+300+240=1340\) ✔ y \(100=60+40\) ✔.
✅ Resultado: Se han vendido 100 entradas de adulto, 60 infantiles y 40 de jubilado.
EJERCICIO 10Pregunta de teoría
📝 Enunciado¿Puede un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas ser compatible determinado? Razona la respuesta con un ejemplo.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La matriz \(A\) tiene solo 2 filas, así que \(\operatorname{rg}(A)\leq 2\). Pero hay \(n=3\) incógnitas.
  2. Paso 2. Para ser SCD necesitaría \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=n=3\), y eso es imposible porque \(\operatorname{rg}(A)\leq 2\lt 3\).
  3. Paso 3. Dos ejemplos. El sistema \(x+y+z=1\)\(x+y+2z=2\)tiene \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt 3\), así que es SCI. En cambio, \(x+y+z=1\)\(x+y+z=2\)tiene \(\operatorname{rg}(A)=1\neq 2=\operatorname{rg}(A^*)\), así que es SI.
✅ Resultado: No. Con menos ecuaciones que incógnitas, un sistema solo puede ser SCI o SI, nunca SCD.

❓ Preguntas frecuentes sobre la regla de Cramer y Rouché-Frobenius

🤔 ¿Qué es la regla de Cramer?
Es un método para resolver sistemas de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas usando determinantes. Cada incógnita se calcula como \(x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\), donde \(A_i\) es la matriz de coeficientes con la columna \(i\) sustituida por la de los términos independientes.
🤔 ¿Cuándo se puede aplicar la regla de Cramer?
Cuando el sistema es cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas) y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0. En ese caso el sistema es compatible determinado.
🤔 ¿Qué hago si el determinante vale 0?
No puedo aplicar Cramer, porque tendría que dividir entre 0. Eso no significa que no haya solución: el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. Lo averiguo con el teorema de Rouché-Frobenius, calculando \(\operatorname{rg}(A)\) y \(\operatorname{rg}(A^*)\).
🤔 ¿Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius?
Un sistema es compatible si y solo si \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)\). Si además ese rango es igual al número de incógnitas \(n\), el sistema es compatible determinado; si es menor que \(n\), es compatible indeterminado.
🤔 ¿Cómo se calcula el rango de una matriz?
El rango es el orden del mayor menor (determinante de una submatriz cuadrada) distinto de 0. También se puede calcular escalonando la matriz con el método de Gauss y contando las filas que no son todo ceros.
🤔 ¿Qué diferencia hay entre SCD, SCI y SI?
Un sistema compatible determinado (SCD) tiene una única solución, uno compatible indeterminado (SCI) tiene infinitas soluciones y uno incompatible (SI) no tiene ninguna.
🤔 ¿Se puede usar la regla de Cramer con 4 ecuaciones?
Sí, mientras el sistema sea cuadrado y \(\det(A)\neq 0\). Pero hay que calcular cinco determinantes de orden 4, y eso es muy largo a mano. Para sistemas grandes es mucho mejor el método de Gauss.
🤔 ¿Qué es mejor, la regla de Cramer o el método de Gauss?
Depende. Cramer es cómodo en sistemas 2×2 y 3×3 con determinante distinto de 0, y en discusiones con parámetros. Gauss sirve para cualquier sistema y es mucho más rápido cuando hay muchas incógnitas.
📚 Resumen final
  • Regla de Cramer: \(x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\), solo si el sistema es cuadrado y \(\det(A)\neq 0\).
  • \(A_i\) es \(A\) con la columna \(i\) sustituida por la de los términos independientes.
  • Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)\).
  • Si ese rango es \(n\), es SCD; si es menor que \(n\), es SCI; si los rangos son distintos, es SI.
  • Con un parámetro, estudio los valores que anulan \(\det(A)\) uno por uno.
  • Siempre compruebo la solución en las ecuaciones originales.

Conclusión

Para resolver un sistema con la regla de Cramer solo tienes que calcular determinantes y dividir, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de 0. Y cuando no lo sea, el teorema de Rouché-Frobenius te dice con los rangos cuántas soluciones tiene. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Regla de Cramer: cómo resolver sistemas de ecuaciones con determinantes. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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