📘 3º y 4º de ESO / Bachillerato
Circuncentro de un triángulo: definición, fórmula y ejercicios resueltos
Traza las tres mediatrices de un triángulo y, por muy raro que parezca, siempre se cruzan en un único punto. Ese punto tiene nombre propio, propiedades curiosas y hasta una fórmula con coordenadas. Vamos a descubrirlo juntos 🎯
📐 Mediatrices
→
⭐ Circuncentro (O)
→
⭕ Circunferencia circunscrita
⚡ Respuesta rápida
🔎 Índice de contenidos
- ¿Qué es el circuncentro de un triángulo? 🤔
- Cómo se calcula el circuncentro: el método de las mediatrices 📐
- Fórmula del circuncentro con coordenadas
- Posición del circuncentro según el tipo de triángulo
- Radio de la circunferencia circunscrita (circunradio) ⭕
- Ejercicios resueltos sobre el circuncentro 💪
- Tabla resumen del circuncentro 📋
El circuncentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres mediatrices de sus lados. Es un punto muy especial porque equidista de los tres vértices, y por eso es el centro de la circunferencia circunscrita: la única circunferencia que pasa exactamente por los tres vértices del triángulo.
Su posición depende del tipo de triángulo: está dentro si es acutángulo, en el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo, y fuera del triángulo si es obtusángulo.
¿Qué es el circuncentro de un triángulo? 🤔
El circuncentro (lo llamaremos \(O\)) es uno de los cuatro puntos notables del triángulo, junto con el baricentro, el incentro y el ortocentro. Se define como el punto de intersección de las tres mediatrices de los lados del triángulo.
Recuerda que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a ese segmento que pasa por su punto medio. Si trazas las tres mediatrices de los tres lados de cualquier triángulo, comprobarás algo sorprendente: siempre se cortan en un único punto, sin excepción.
💡 La propiedad clave
Como \(O\) está en las tres mediatrices, equidista de los tres vértices: \[ OA = OB = OC = R \] Esa distancia común es el circunradio \(R\), el radio de la circunferencia que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\): la circunferencia circunscrita.
Cómo se calcula el circuncentro: el método de las mediatrices 📐
Para hallar el circuncentro a mano, solo necesitas dos mediatrices (la tercera pasará automáticamente por el mismo punto):
1
Calcula el punto medio de dos lados del triángulo, por ejemplo \(AB\) y \(BC\).
2
Halla la pendiente de cada uno de esos dos lados.
3
La mediatriz de cada lado es la recta que pasa por su punto medio con pendiente inversa y opuesta (perpendicular) a la del lado.
4
Resuelve el sistema de ecuaciones formado por las dos mediatrices: la solución \((x,y)\) es el circuncentro.
💡 Truco para no perderte
Si dos rectas tienen pendientes \(m_1\) y \(m_2\), son perpendiculares cuando \( m_1 \cdot m_2 = -1 \). Es decir, la pendiente de la mediatriz es \( m_{\text{mediatriz}} = -\dfrac{1}{m_{\text{lado}}} \).
Fórmula del circuncentro con coordenadas
Si conoces los vértices \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) y \(C(x_3,y_3)\), puedes plantear directamente el sistema de dos ecuaciones (igualando distancias al circuncentro):
\[ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2 \]\[ (x-x_2)^2+(y-y_2)^2 = (x-x_3)^2+(y-y_3)^2 \]
Al desarrollar y simplificar los cuadrados, cada ecuación se convierte en una recta (justamente, la mediatriz correspondiente), y resolviendo el sistema \(2\times 2\) obtienes las coordenadas \((x,y)\) del circuncentro.
⚠️ No hay una fórmula "mágica" de una sola línea
A diferencia del baricentro (que sí tiene una fórmula directa, la media de los vértices), el circuncentro requiere resolver un sistema de ecuaciones. Es un proceso mecánico, pero con varios pasos: no te lo salgas.
Posición del circuncentro según el tipo de triángulo
Una de las propiedades más visuales del circuncentro es que su posición cambia según los ángulos del triángulo:
| Tipo de triángulo | Posición del circuncentro |
|---|---|
| Acutángulo (los 3 ángulos < 90°) | Interior al triángulo |
| Rectángulo (un ángulo = 90°) | Punto medio de la hipotenusa |
| Obtusángulo (un ángulo > 90°) | Exterior al triángulo |
💡 El caso más útil: el triángulo rectángulo
Si tu triángulo es rectángulo, no necesitas calcular ninguna mediatriz: el circuncentro es directamente el punto medio de la hipotenusa, y el circunradio es la mitad de la hipotenusa.
Radio de la circunferencia circunscrita (circunradio) ⭕
El circunradio \(R\) es la distancia desde el circuncentro hasta cualquier vértice. Se puede calcular con dos fórmulas distintas, según los datos que tengas:
| Datos disponibles | Fórmula del circunradio |
|---|---|
| Los 3 lados \(a, b, c\) y el área \(A\) | \( R = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4A} \) |
| Un lado y su ángulo opuesto (Ley de senos) | \( R = \dfrac{a}{2\,\operatorname{sen}(A)} \) |
💡 Relación con la Ley de los senos
La Ley de los senos dice que \( \dfrac{a}{\operatorname{sen}A} = \dfrac{b}{\operatorname{sen}B} = \dfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R \). Así que el circunradio conecta directamente la trigonometría del triángulo con su circunferencia circunscrita.
Ejercicios resueltos sobre el circuncentro 💪
Practica el método paso a paso. Intenta resolver cada ejercicio antes de pulsar "Ver solución".
🟢 Básico
Ejercicio 1. Un triángulo rectángulo tiene su hipotenusa con extremos en \(A(0,0)\) y \(C(6,8)\). ¿Cuáles son las coordenadas del circuncentro?
Hipotenusa: A(0,0) y C(6,8)
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Paso 1: Como el triángulo es rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
Paso 2: Punto medio: \( \left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{0+8}{2}\right) \).
✅ Resultado: circuncentro O(3, 4)
🟢 Básico
Ejercicio 2. Un triángulo tiene circunradio \(R=5\,\text{cm}\) y uno de sus lados mide \(a=6\,\text{cm}\). Calcula el seno del ángulo \(A\) opuesto a ese lado.
R = 5 cm, a = 6 cm
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Paso 1: Usamos la relación de la Ley de senos: \( R = \dfrac{a}{2\,\operatorname{sen}(A)} \).
Paso 2: Despejamos: \( \operatorname{sen}(A) = \dfrac{a}{2R} = \dfrac{6}{10} \).
✅ Resultado: sen(A) = 0,6
🟡 Medio
Ejercicio 3. Halla el circuncentro del triángulo con vértices \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) y \(C(0,6)\).
A(0,0), B(4,0), C(0,6)
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Paso 1: Mediatriz de \(AB\) (lado horizontal sobre el eje X): pasa por su punto medio \((2,0)\) y es vertical (perpendicular al eje X): \( x=2 \).
Paso 2: Mediatriz de \(AC\) (lado vertical sobre el eje Y): pasa por su punto medio \((0,3)\) y es horizontal (perpendicular al eje Y): \( y=3 \).
Paso 3: El circuncentro es la intersección de ambas rectas: \( x=2, \ y=3 \).
✅ Resultado: circuncentro O(2, 3)
🟡 Medio
Ejercicio 4. Un triángulo tiene lados \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\) y área \(A=84\). Calcula su circunradio.
a=13, b=14, c=15, Área=84
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Paso 1: Aplicamos la fórmula: \( R = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4A} = \dfrac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} \).
Paso 2: Numerador: \( 13 \times 14 \times 15 = 2730 \). Denominador: \( 4 \times 84 = 336 \).
Paso 3: \( R = 2730/336 \).
✅ Resultado: R = 8,125 (aprox.)
🔴 Avanzado
Ejercicio 5. Halla el circuncentro del triángulo con vértices \(A(1,1)\), \(B(3,3)\) y \(C(5,1)\).
A(1,1), B(3,3), C(5,1)
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Paso 1: Lado \(AC\) es horizontal (\(y=1\)); su punto medio es \((3,1)\) y su mediatriz es vertical: \( x=3 \).
Paso 2: Lado \(AB\): pendiente \( m_{AB}=\dfrac{3-1}{3-1}=1 \); punto medio \((2,2)\); pendiente de la mediatriz \( = -1 \).
Paso 3: Ecuación de la mediatriz de \(AB\): \( y-2=-1(x-2) \Rightarrow y=-x+4 \).
Paso 4: Sustituimos \( x=3 \) en \( y=-x+4 \): \( y=-3+4=1 \).
✅ Resultado: circuncentro O(3, 1)
Errores más comunes ⚠️
❌ Confundir mediatriz con mediana
La mediatriz es perpendicular al lado y pasa por su punto medio; la mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Son rectas distintas que definen puntos notables distintos (circuncentro vs. baricentro).
La mediatriz es perpendicular al lado y pasa por su punto medio; la mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Son rectas distintas que definen puntos notables distintos (circuncentro vs. baricentro).
❌ Usar la pendiente del lado en vez de su inversa opuesta
La mediatriz no tiene la misma pendiente que el lado: tiene la pendiente inversa y de signo opuesto, porque es perpendicular a él.
La mediatriz no tiene la misma pendiente que el lado: tiene la pendiente inversa y de signo opuesto, porque es perpendicular a él.
❌ Pensar que el circuncentro siempre está dentro del triángulo
Solo ocurre en los triángulos acutángulos. En los obtusángulos queda fuera, y en los rectángulos, justo en la hipotenusa.
Solo ocurre en los triángulos acutángulos. En los obtusángulos queda fuera, y en los rectángulos, justo en la hipotenusa.
❌ Olvidar dividir entre 2 al calcular un punto medio
El punto medio de \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) es \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\); es un error común olvidar la división entre 2 en alguna coordenada.
El punto medio de \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) es \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\); es un error común olvidar la división entre 2 en alguna coordenada.
❌ Aplicar la fórmula del circunradio con el perímetro en vez del área
La fórmula \( R=\dfrac{abc}{4A} \) usa el área \(A\) del triángulo, no su perímetro; hay que calcular el área primero (por ejemplo, con la fórmula de Herón) si no te la dan.
La fórmula \( R=\dfrac{abc}{4A} \) usa el área \(A\) del triángulo, no su perímetro; hay que calcular el área primero (por ejemplo, con la fórmula de Herón) si no te la dan.
Comprobación numérica 🧮
Comprueba que el circuncentro hallado realmente equidista de los tres vértices:
Verificación del Ejercicio 3: O(2,3) equidista de A, B y C
| Distancia | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| OA | \( \sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2} \) | \( \sqrt{13} \) ✅ |
| OB | \( \sqrt{(2-4)^2+(3-0)^2} \) | \( \sqrt{13} \) ✅ |
| OC | \( \sqrt{(2-0)^2+(3-6)^2} \) | \( \sqrt{13} \) ✅ |
✅ Las tres distancias son iguales (√13), confirmando que O(2,3) es el circuncentro correcto.
Verificación del Ejercicio 5: O(3,1) equidista de A, B y C
| Distancia | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| OA | \( \sqrt{(3-1)^2+(1-1)^2} \) | \( 2 \) ✅ |
| OB | \( \sqrt{(3-3)^2+(1-3)^2} \) | \( 2 \) ✅ |
| OC | \( \sqrt{(3-5)^2+(1-1)^2} \) | \( 2 \) ✅ |
✅ Las tres distancias valen 2, así que O(3,1) es efectivamente el circuncentro.
Tabla resumen del circuncentro 📋
| Concepto | Definición / Fórmula |
|---|---|
| Circuncentro | Intersección de las 3 mediatrices |
| Propiedad clave | \( OA=OB=OC=R \) |
| Circunradio (lados y área) | \( R=\dfrac{abc}{4A} \) |
| Circunradio (Ley de senos) | \( R=\dfrac{a}{2\,\operatorname{sen}A} \) |
| Triángulo acutángulo | Circuncentro interior |
| Triángulo rectángulo | Circuncentro = punto medio de la hipotenusa |
| Triángulo obtusángulo | Circuncentro exterior |
Preguntas frecuentes ❓
¿El circuncentro es siempre un punto interior del triángulo?
No. Solo es interior si el triángulo es acutángulo. Si es rectángulo, está en la hipotenusa; si es obtusángulo, queda fuera del triángulo.
¿Qué diferencia hay entre circuncentro e incentro?
El circuncentro es la intersección de las mediatrices y equidista de los vértices (centro de la circunferencia circunscrita). El incentro es la intersección de las bisectrices de los ángulos y equidista de los lados (centro de la circunferencia inscrita).
¿Cómo se calcula el circuncentro sin usar coordenadas?
Trazando con regla y compás las mediatrices de al menos dos lados del triángulo: el punto donde se cruzan es el circuncentro.
¿Por qué las tres mediatrices se cortan siempre en un solo punto?
Porque cada mediatriz es el conjunto de puntos que equidistan de los dos vértices del lado correspondiente. El punto donde se cortan dos mediatrices ya equidista de los tres vértices, así que automáticamente también pertenece a la tercera mediatriz.
¿Se puede calcular el circuncentro con la fórmula de los senos de los ángulos dobles?
Sí, existe una fórmula alternativa basada en pesos trigonométricos de los ángulos, aunque en la práctica el método de las mediatrices suele ser más rápido en un examen.
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Teorema de Pitágoras,
Geometría de secundaria
y
Rectas y puntos notables de un triángulo.
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