Volumen de una esfera: fórmula, ejemplos y ejercicios ✨

Justo Fernández

hace 3 meses

🔎 Índice de contenidos

🌐 Volumen de una Esfera
🔍 ¿Qué es una esfera? Elementos fundamentales
📌 Fórmula del volumen de la esfera
🔷 Variantes: semiesfera, esfera hueca y casquete
🎯 Ejercicios resueltos interactivos
❓ Preguntas frecuentes sobre el volumen de la esfera

🌐 Volumen de una Esfera

Guía completa · Fórmulas · Demostración de Arquímedes · Semiesfera · Esfera hueca · Ejercicios interactivos

V = (4/3)πr³
A = 4πr²
Semiesfera
Esfera hueca
Cuerpos compuestos

🔍 ¿Qué es una esfera? Elementos fundamentales

Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Esa distancia es el radio. A diferencia de un círculo (figura plana), la esfera es un sólido tridimensional.

●

Centro (O)

Punto equidistante de todos los puntos de la superficie.

↔

Radio (r)

Distancia del centro a cualquier punto de la superficie. r = d/2.

↔↔

Diámetro (d)

Segmento que pasa por el centro y une dos puntos opuestos. d = 2r.

💡Esfera ≠ Círculo: El círculo es una figura plana (2D). La esfera es un sólido (3D). En los exámenes, esta confusión lleva a aplicar fórmulas erróneas. El área del círculo es πr², la superficie de la esfera es 4πr². Son fórmulas distintas para conceptos distintos.

🌍 ¿Por qué estudiar el volumen de la esfera?

El volumen de la esfera aparece en problemas de geometría, en ejercicios de densidad y masa de bolas de metal o plástico, en el diseño de depósitos esféricos y en cuestiones de astronomía (volumen de planetas y estrellas).

📌 Fórmula del volumen de la esfera

El volumen de una esfera de radio \(r\) es:

\[ \boxed{V = \dfrac{4}{3}\pi r^3} \]

donde \(r\) es el radio de la esfera y el resultado se expresa en unidades cúbicas (cm³, m³, dm³…)

Si nos dan el diámetro en lugar del radio, primero calculamos \(r = d/2\) y luego aplicamos la fórmula:

\[ V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^3 = \dfrac{\pi d^3}{6} \]

💡 ¿Por qué 4/3?

El factor \(\frac{4}{3}\) proviene de la demostración integral (o del argumento geométrico de Arquímedes). El \(r^3\) aparece porque trabajamos en 3 dimensiones: el volumen escala con el cubo del radio.

📊 Relación con el cilindro

Arquímedes demostró que el volumen de la esfera es exactamente \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro que la circunscribe (mismo radio, altura = diámetro). Resultado que él consideró su mayor logro.

🎯Truco para memorizar: "\(\frac{4}{3}\pi r^3\): cuatro tercios de pi por radio al cubo". Recuerda que el volumen siempre lleva \(r^3\) (tres dimensiones), mientras que el área lleva \(r^2\) (dos dimensiones).

📐 Área de la superficie esférica

Aunque el tema principal es el volumen, en muchos ejercicios también se pide el área de la superficie de la esfera. Es importante no confundirlas:

\[ A = 4\pi r^2 \]

El área se expresa en unidades cuadradas (cm², m², dm²…)

Volumen

\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

Unidades cúbicas · r³

Área de superficie

\(A = 4\pi r^2\)

Unidades cuadradas · r²

📌 Relación entre V y A

Una relación elegante que a veces es útil:
\[ V = \dfrac{r \cdot A}{3} = \dfrac{r \cdot 4\pi r^2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \checkmark \]Esto coincide con el razonamiento geométrico: si divides la esfera en pirámides infinitesimales con vértice en el centro y base en la superficie, cada una tiene altura \(r\) y base \(dA\), con volumen \(\frac{1}{3}r\,dA\). Al integrar sobre toda la superficie obtienes \(\frac{r}{3}\cdot 4\pi r^2\).

Volumen de una esfera

⚗️ La demostración de Arquímedes

Arquímedes (287–212 a.C.) demostró la fórmula del volumen de la esfera con un argumento geométrico puramente genial, sin usar el cálculo integral (¡que no existía!). Su truco fue el principio de Cavalieri muchos siglos antes, mediante el método de exhaustación, que sentó las bases para el cálculo moderno.

🏺 El argumento de Arquímedes: esfera + cono = cilindro

Considera un cilindro de radio \(r\) y altura \(2r\) que circunscribe a la esfera.
Dentro del cilindro, coloca también un doble cono con el mismo radio y altura \(2r\).Arquímedes demostró que a cualquier altura \(h\):
Sección de la esfera + Sección del cono = Sección del cilindroPor el principio de Cavalieri (si dos sólidos tienen iguales secciones a toda altura, tienen igual volumen):
\[V_{\text{esfera}} + V_{\text{doble cono}} = V_{\text{cilindro}}\]\[V_{\text{esfera}} + \frac{2}{3}\pi r^3 \cdot 2 = \pi r^2 \cdot 2r\]\[V_{\text{esfera}} = 2\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2\pi r^3(3-2)}{3} \cdot 2\]Trabajando con cuidado:
\[V_{\text{cilindro}} = 2\pi r^3 \qquad V_{\text{doble cono}} = \frac{2}{3}\pi r^3\]\[V_{\text{esfera}} = 2\pi r^3 - \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3 \checkmark\]

Este descubrimiento era tan importante para Arquímedes que pidió que en su tumba grabaran una esfera inscrita en un cilindro. El general romano Marcelo respetó su deseo.

🏆Dato para impresionar en el examen: Arquímedes también demostró que \(V_{\text{esfera}} = \frac{2}{3}\,V_{\text{cilindro}}\), donde el cilindro circunscrito tiene radio \(r\) y altura \(2r\). Esta relación fue su mayor orgullo matemático.

🔷 Variantes: semiesfera, esfera hueca y casquete

Semiesfera

La semiesfera es exactamente la mitad de una esfera. Su volumen es la mitad del volumen de la esfera completa:

\[ V_{\text{semiesfera}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \]

El área total de una semiesfera (superficie curva + base circular):

\[ A_{\text{semiesfera}} = \underbrace{2\pi r^2}_{\text{superficie curva}} + \underbrace{\pi r^2}_{\text{base circular}} = 3\pi r^2 \]

Esfera hueca

Una esfera hueca (como una pelota) tiene radio exterior \(R\) y radio interior \(r\). Su volumen es la diferencia de los dos volúmenes esféricos:

\[ V_{\text{hueca}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 - \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi\left(R^3 - r^3\right) \]

Casquete esférico

El casquete esférico es la porción de esfera cortada por un plano. Si la altura del casquete es \(h\) y el radio de la esfera es \(R\):

\[ V_{\text{casquete}} = \dfrac{\pi h^2}{3}(3R - h) \]

📊 Tabla resumen de todas las fórmulas

Figura	Volumen	Área de superficie	Observación
Esfera (radio r)	\(\dfrac{4}{3}\pi r^3\)	\(4\pi r^2\)	Fórmula principal
Esfera (diámetro d)	\(\dfrac{\pi d^3}{6}\)	\(\pi d^2\)	Si te dan el diámetro
Semiesfera (radio r)	\(\dfrac{2}{3}\pi r^3\)	\(3\pi r^2\) (con base)	Mitad de la esfera; A curva = \(2\pi r^2\)
Esfera hueca (R ext., r int.)	\(\dfrac{4}{3}\pi(R^3-r^3)\)	\(4\pi R^2 + 4\pi r^2\)	Diferencia de volúmenes
Casquete (altura h)	\(\dfrac{\pi h^2}{3}(3R-h)\)	\(2\pi Rh\)	Porción cortada por un plano

🎯Para el examen: memoriza bien las dos fórmulas principales: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) y \(A = 4\pi r^2\). Las demás se deducen a partir de ellas.

⚙️ Método paso a paso

Sigue siempre este proceso para no equivocarte:

Identifica el dato que te dan: ¿Te dan el radio \(r\), el diámetro \(d\) o la superficie? Si te dan el diámetro, calcula primero el radio: \(r = d \div 2\).

Identifica qué piden: ¿Piden volumen, superficie, radio, diámetro, masa…? Elige la fórmula adecuada según lo que se pida.

Sustituye en la fórmula: Escribe la fórmula y sustituye el valor de \(r\). Recuerda elevar al cubo si es volumen, al cuadrado si es área.

Opera con cuidado: Calcula \(r^3\) o \(r^2\), luego multiplica por \(\pi\) y por \(\frac{4}{3}\). Deja el resultado en términos de \(\pi\) o usa \(\pi \approx 3{,}14159\) según indique el enunciado.

Escribe la respuesta con unidades: El volumen se expresa en unidades cúbicas (cm³, m³…). El área en cuadradas (cm², m²…). Nunca olvides las unidades.

🔄 Ejercicio tipo: calcular el radio dado el volumen

A veces el enunciado te da el volumen y pide el radio. En ese caso:
\[V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \;\Rightarrow\; r^3 = \dfrac{3V}{4\pi} \;\Rightarrow\; r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\]Ejemplo: Volumen = \(288\pi\) cm³. Halla \(r\).
\[r^3 = \dfrac{3\cdot 288\pi}{4\pi} = \dfrac{864}{4} = 216 \;\Rightarrow\; r = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}\]

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlo tú primero! 💪

01
Volumen de una esfera conocido el radio
►

📝 Calcula el volumen de una esfera de radio \(r = 6\) cm. Deja el resultado en términos de \(\pi\).

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①Datos: \(r = 6\) cm

②Fórmula: \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

③Calcula \(r^3\):
\(6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216\)

④Sustituye:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 216 = \dfrac{864\pi}{3} = 288\pi\) cm³

✅ \(V = 288\pi \approx 904{,}78\) cm³

02
Volumen conocido el diámetro
►

📝 Una bola de baloncesto tiene diámetro \(d = 24\) cm. Calcula su volumen (usa \(\pi \approx 3{,}14\)).

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①Calcula el radio:
\(r = d \div 2 = 24 \div 2 = 12\) cm

②Fórmula: \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

③Calcula \(r^3\):
\(12^3 = 1728\)

④Sustituye:
\(V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1728 = \dfrac{4 \times 3{,}14 \times 1728}{3} = \dfrac{21.703{,}68}{3} \approx 7234{,}56\) cm³

✅ \(V \approx 7234{,}56\) cm³

03
Hallar el radio dado el volumen
►

📝 El volumen de una esfera es \(36\pi\) cm³. Halla su radio.

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①Fórmula: \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

②Despeja \(r^3\):
\(36\pi = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \;\Rightarrow\; r^3 = \dfrac{36\pi \cdot 3}{4\pi} = \dfrac{108}{4} = 27\)

③Calcula \(r\):
\(r = \sqrt[3]{27} = 3\) cm

✅ \(r = 3\) cm

04
Área y volumen de una semiesfera
►

📝 Calcula el volumen y el área total (con base) de una semiesfera de radio \(r = 5\) cm.

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①Volumen de la semiesfera:
\(V = \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 5^3 = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{250\pi}{3}\) cm³

②Área de la superficie curva:
\(A_{\text{curva}} = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 25 = 50\pi\) cm²

③Área de la base (círculo):
\(A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \cdot 25 = 25\pi\) cm²

④Área total:
\(A_{\text{total}} = 50\pi + 25\pi = 75\pi\) cm²

✅ \(V = \dfrac{250\pi}{3} \approx 261{,}80\) cm³ · \(A_{\text{total}} = 75\pi \approx 235{,}62\) cm²

05
Esfera hueca: volumen del material
►

📝 Una bola hueca de metal tiene radio exterior \(R = 8\) cm y radio interior \(r = 6\) cm. Calcula el volumen del metal.

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①Fórmula esfera hueca:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)\)

②Calcula las potencias cúbicas:
\(R^3 = 8^3 = 512\)
\(r^3 = 6^3 = 216\)

③Sustituye:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi(512 - 216) = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 296 = \dfrac{1184\pi}{3}\) cm³

✅ \(V = \dfrac{1184\pi}{3} \approx 1238{,}61\) cm³ de metal

06
Masa de una bola de hierroAVANZADO
►

📝 Una bola de hierro maciza tiene radio \(r = 10\) cm. Calcula su masa sabiendo que la densidad del hierro es \(\rho = 7{,}87\) g/cm³.

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①Calcula el volumen:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1000 = \dfrac{4000\pi}{3} \approx 4188{,}79\) cm³

②Fórmula masa-densidad-volumen:
\(m = \rho \cdot V\)

③Calcula la masa:
\(m = 7{,}87 \times 4188{,}79 \approx 32\,965{,}77\) g \(\approx 32{,}97\) kg

✅ \(m \approx 32{,}97\) kg

07
Comparar dos esferas: relación de radios y volúmenesSELECTIVIDAD
►

📝 El radio de la esfera B es el doble que el de la esfera A. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de B respecto a A?

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①Sea \(r_A = r\), entonces \(r_B = 2r\).

②Volumen de A:
\(V_A = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

③Volumen de B:
\(V_B = \dfrac{4}{3}\pi (2r)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 8r^3 = 8\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3\)

④Cociente de volúmenes:
\(\dfrac{V_B}{V_A} = \dfrac{8\cdot\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 8\)

✅ Si el radio se duplica, el volumen se multiplica por \(\mathbf{8}\) (2³)

08
Cuerpo compuesto: cilindro + semiesferaAVANZADO
►

📝 Un depósito tiene forma de cilindro con semiesfera en la parte superior. El radio es \(r = 3\) m y la altura del cilindro es \(h = 5\) m. Calcula el volumen total.

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①Volumen del cilindro:
\(V_{\text{cil}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi\) m³

②Volumen de la semiesfera:
\(V_{\text{semi}} = \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi\) m³

③Volumen total:
\(V = 45\pi + 18\pi = 63\pi\) m³

④Valor numérico:
\(V = 63\pi \approx 197{,}92\) m³

✅ \(V = 63\pi \approx 197{,}92\) m³

🚫 Errores más frecuentes

Estos son los fallos que más penalizan en los exámenes:

❌

Error 1 — Usar el diámetro en lugar del radio
Incorrecto: Si d = 6 cm, escribir V = (4/3)π·6³ = 288π cm³
Correcto: Primero calcular r = d/2 = 3 cm; luego V = (4/3)π·3³ = 36π cm³
👉 Comprueba siempre si el enunciado da el radio o el diámetro. Es el error más frecuente.

❌

Error 2 — Usar r² en lugar de r³ para el volumen
Incorrecto: V = (4/3)πr²
Correcto: V = (4/3)πr³ — el volumen siempre lleva r al cubo
👉 El volumen es 3D, así que r va elevada a 3. El área es 2D, así que r va elevada a 2.

❌

Error 3 — Olvidar dividir entre 2 para la semiesfera
Incorrecto: V_semiesfera = (4/3)πr³
Correcto: V_semiesfera = (2/3)πr³ = (1/2)·(4/3)πr³
👉 La semiesfera es exactamente la mitad de la esfera completa.

❌

Error 4 — Calcular mal el área total de la semiesfera (olvidar la base)
Incorrecto: A_semiesfera = 2πr² (solo la superficie curva)
Correcto: A_total = 2πr² + πr² = 3πr² (superficie curva + base circular)
👉 Si el problema pide el área total de la semiesfera, incluye la base circular πr².

❌

Error 5 — No expresar el resultado en las unidades correctas
Incorrecto: V = 288π (sin unidades)
Correcto: V = 288π cm³ (unidades cúbicas, siempre)
👉 El volumen se mide siempre en unidades cúbicas (cm³, m³, dm³…). Olvidarlas puede costar puntos.

❓ Preguntas frecuentes sobre el volumen de la esfera

¿Cuál es la diferencia entre esfera y bola? ▼

En geometría, la esfera es la superficie curva: el conjunto de puntos equidistantes del centro. La bola es el sólido: la superficie más el interior. En la práctica cotidiana y en los libros de texto de ESO, ambos términos se usan indistintamente. La fórmula \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) calcula el volumen de la bola (el sólido).

¿Por qué el volumen de la esfera lleva el factor 4/3? ▼

El factor \(\frac{4}{3}\) proviene de la integración o del argumento de Arquímedes. La idea geométrica: divide la esfera en pirámides infinitesimales con vértice en el centro, cada una de altura \(r\) y base \(dA\). El volumen de cada pirámide es \(\frac{1}{3}r\,dA\). Integrando sobre toda la superficie \(4\pi r^2\) se obtiene \(\frac{1}{3}r\cdot 4\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3\).

¿Cuánto vale 1 dm³ en litros? ¿Y en cm³? ▼

1 dm³ = 1 litro = 1000 cm³. Estas conversiones son muy útiles en problemas de capacidad de depósitos: si el volumen sale en cm³ y piden litros, divide entre 1000. Si el volumen sale en dm³ y piden cm³, multiplica por 1000.

¿Cómo cambia el volumen si doblo el radio? ▼

El volumen crece con \(r^3\), así que si el radio se multiplica por \(k\), el volumen se multiplica por \(k^3\). Ejemplos:

Radio doble (\(k=2\)): volumen × \(8\) (2³ = 8)
Radio triple (\(k=3\)): volumen × \(27\) (3³ = 27)
Radio mitad (\(k=1/2\)): volumen × \(1/8\)

¿Cómo se calcula el volumen de una naranja o una pompa de jabón? ▼

Se modela como una esfera y se aplica directamente \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). Si te dan el diámetro (como en el caso de la naranja), primero divides entre 2 para obtener el radio. Es importante recordar que en la vida real estas figuras no son esferas perfectas, pero la fórmula da una excelente aproximación.

📝 Resumen

✅ Las 6 claves del volumen de la esfera

Fórmula principal: \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) — memorízala con "cuatro tercios pi r cúbico"
Si te dan el diámetro: calcula primero \(r = d/2\) antes de aplicar la fórmula
Área de superficie: \(A = 4\pi r^2\) — diferente de la fórmula del volumen
Semiesfera: \(V = \dfrac{2}{3}\pi r^3\) · Área total (con base): \(3\pi r^2\)
Esfera hueca: \(V = \dfrac{4}{3}\pi(R^3-r^3)\) — diferencia de los dos volúmenes
Si doblas el radio, el volumen se multiplica por 8 (escala con \(r^3\))

🚀 ¿Quieres seguir practicando geometría?

Consulta también: Área y volumen del cilindro,
Volumen del cono y Área de figuras planas

¡Con práctica y buena actitud, la geometría espacial deja de ser un misterio! 🌐🏆

Áreas de figuras planas 📐: fórmulas, ejemplos...

Fracción generatriz ✨: paso a paso con ejemplos

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...