Geometría y propiedades del pentágono regular

El pentágono regular es una figura que ya fascinaba al mismísimo Pitágoras quien simbolizó su famosa estrella pentagonal. Presenta propiedades geométricas interesantes, como su relación con el número áureo. Vamos a explorar sus propiedades, la construcción y las relaciones geométricas del pentágono regular. También veremos el cálculo del perímetro y del área, así como la fórmula para calcular la apotema.

El símbolo de los pitagóricos, se obtiene uniendo vértices no consecutivos de un pentágono regular. #Dimatismos (14/11) pic.twitter.com/sQTYxRhnUU

— DimatesUA (@DimatesUA) November 14, 2017

Propiedades del pentágono regular

El pentágono regular es un polígono de cinco lados y cinco vértices. Para ser considerado regular, todos sus lados deben ser iguales y sus ángulos internos congruentes. Cada ángulo interno mide \(108^\circ\) o \(\frac{3\pi}{5}\) radianes. La suma de los ángulos internos de un pentágono regular es de \(540^\circ\). Cada ángulo externo del pentágono regular mide \(72^\circ\).

Construcción del pentágono regular

Existen varios métodos de construcción con regla y compás para generar esta figura. Son bastante complejos. El método de Richmond, permite construirlo inscrito en una circunferencia mediante la división de la circunferencia en diez partes iguales. Otro método es el uso de los círculos de Carlyle, también inscrito en una circunferencia a partir de la división de la circunferencia en cinco partes iguales. Pero aquí tienes una idea de cómo dibujar un pentágono regular con regla y compás de forma "sencilla"

Método de construcción del pentágono dado el lado usando regla y compás

#Geometria Dibujando un pentágono regular con un compás. By @math_gif pic.twitter.com/H228jIuFT6

— ✍️ Leonardo D'Anchiano (@HdAnchiano) January 11, 2017

1. Dibuja un círculo con el radio igual a la mitad de la longitud del lado del pentágono.
2. Marca un punto en la circunferencia como punto de referencia.
3. Con el compás, dibuja otro círculo centrado en el punto de referencia y que corte al círculo anterior en dos puntos.
4. Usando la regla, traza una línea que una los puntos de intersección en el círculo.
5. Con el compás, dibuja otro círculo con el centro en uno de los puntos de intersección y que pase por el punto de referencia.
6. Repite el paso anterior utilizando los otros puntos de intersección como centros, hasta obtener los cinco puntos necesarios para construir el pentágono.
7. Une los puntos consecutivos para formar los lados del polígono.

Perímetro de un pentágono regular

Cuando hablamos del perímetro nos referimos a la suma de la longitud de todos sus lados. Dado que un pentágono regular tiene cinco lados de igual longitud, calcular su perímetro es bastante sencillo. La fórmula para encontrar el perímetro (P) de un pentágono regular es: \(P = 5 \cdot L\)
donde \(L\) representa la longitud de un lado del pentágono. Por ejemplo, si cada lado del pentágono mide 7 cm, el perímetro sería: \(P = 5 \cdot 7 = 35 \, \text{cm}\)
Recuerda que el concepto de perímetro se aplica no solo al pentágono, sino a cualquier polígono. Para cualquier figura regular, simplemente multiplicamos el número de lados por la longitud de uno de ellos. ¡Así de simple!

Apotema del pentágono

El apotema es la distancia desde el centro de un polígono regular hasta el punto medio de uno de sus lados y es perpendicular a ese lado. Es impresindible para calcular el área de polígonos regulares (salvo que puedas triangulizar el polígono).

Área del pentágono regular

El área corresponderá a la medida de la superficie encerrada dentro de sus cinco lados. Necesitamos conocer la longitud de uno de sus lados y su apotema.
La fórmula para calcular el área (\(A\)) es:
\(A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a\)  donde \(P\) es el perímetro del pentágono y \(a\) es la longitud del apotema.

Si conoces la longitud de un lado del pentágono y el apotema, puedes calcular fácilmente su área usando esta fórmula. Por ejemplo, si tiene lados de 8 cm y un apotema de 5'5 cm, el área sería:
\(A = \frac{1}{2} \cdot (5 \cdot 8) \cdot 5'5 = 110 \, \text{cm}^2\)

Dominar estos cálculos es útil en muchas situaciones, tanto en problemas de geometría como en aplicaciones prácticas. Esta fórmula también puede ayudarte a apreciar la belleza matemática de las formas geométricas.

Relación con el número áureo

Esta figura especial tiene una interesante relación con el número áureo, también conocido como phi (\(\phi\)). Esta relación se basa en la proporción áurea, que es una relación matemática muy especial. La proporción áurea se define como \(\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}\), donde a y b son dos segmentos de línea y a es mayor que b. En un pentágono regular, la relación entre la longitud de un lado y la longitud de la apotema se acerca mucho al número áureo. Esta relación es única y tiene muchas aplicaciones en las matemáticas, el arte y la arquitectura.

Relación entre los ángulos interiores y exteriores

En este polígono, cada ángulo interior mide \(108^\circ\) o \(\frac{3\pi}{5}\) radianes, como se mencionó anteriormente. Pero también podemos analizar la relación entre los ángulos interiores y exteriores del pentágono. Si tomamos un ángulo exterior del pentágono regular y lo llamamos \(\alpha\), entonces el ángulo interior opuesto a él sería de \(180^\circ\) menos \(\alpha\). Por lo tanto, podemos decir que la suma de un ángulo interior y su ángulo exterior correspondiente es siempre igual a \(180^\circ\). Esta relación es muy importante y demuestra la simetría y las propiedades particulares de esta hermosa figura.

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