fórmula de la distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 4 horas · Actualizado hace 4 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué significa calcular la distancia entre dos puntos?
  2. Fórmula de la distancia entre dos puntos del plano
  3. ¿De dónde sale la fórmula? El teorema de Pitágoras
  4. Ejemplos de distancia entre dos puntos paso a paso
  5. Distancia entre dos puntos horizontales o verticales
  6. Fórmula del punto medio de un segmento
  7. Cómo calcular el extremo de un segmento con su punto medio
  8. Distancia y punto medio: diferencias y fórmulas
  9. Aplicaciones: rectas, triángulos y circunferencias
  10. Resumen de fórmulas y errores que debes evitar
  11. ⭐ Ejercicios resueltos

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento? En geometría analítica, basta conocer las coordenadas de los extremos para encontrar la longitud del segmento que los une y el lugar exacto donde se encuentra su mitad. En esta guía aprenderás las fórmulas de distancia y punto medio, su relación con el teorema de Pitágoras, ejemplos, gráficos, y ejercicios resueltos.

⚡ Distancia entre dos puntos y punto medio en 30 segundos

Dados dos puntos A \( (x_1,y_1) \) y B \( (x_2,y_2) \):

\[\boxed{d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\]

La distancia es la longitud del segmento AB. El punto medio es el que lo divide en dos partes iguales:

\[\boxed{M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)}\]

Ejemplo: si A(1,1) y B(5,4), la distancia es 5 y el punto medio es M(3; 2,5). La distancia es un número; el punto medio tiene dos coordenadas.

¿Qué significa calcular la distancia entre dos puntos?

Un punto del plano cartesiano se representa mediante un par ordenado \((x,y)\). La primera coordenada, \(x\), señala la posición horizontal (abscisa); la segunda, \(y\), la posición vertical (ordenada). La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento recto que los une.

Por ejemplo, A(1,1) y B(5,4) están separados cuatro unidades horizontalmente y tres verticalmente. La distancia directa no es 4+3=7: se calcula como la hipotenusa del triángulo que forman esos desplazamientos.

ElementoSignificadoEjemplo
Punto APrimer extremo\(A(1,1)\)
Punto BSegundo extremo\(B(5,4)\)
\(\Delta x\)Cambio horizontal: \(x_2-x_1\)\(5-1=4\)
\(\Delta y\)Cambio vertical: \(y_2-y_1\)\(4-1=3\)
DistanciaLongitud del segmento AB\(5\)
Punto medioPunto equidistante de A y B sobre el segmento\(M(3;2{,}5)\)
💡 No confundas recorrido con distancia en línea recta: la suma de desplazamientos horizontal y vertical representa un camino por los catetos. La distancia euclídea es la longitud de la hipotenusa. Los conceptos también aparecen al estudiar vectores.

Fórmula de la distancia entre dos puntos del plano

Si tienes dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), la fórmula de la distancia es:

\[d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Para aplicarla, resta las coordenadas \(x\), resta las coordenadas \(y\), eleva ambas diferencias al cuadrado, suma y calcula la raíz cuadrada.

  1. Identifica las coordenadas: A\((x_1,y_1)\) y B\((x_2,y_2)\).
  2. Calcula las diferencias: \(\Delta x=x_2-x_1\) y \(\Delta y=y_2-y_1\).
  3. Eleva al cuadrado y suma: \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2\).
  4. Aplica la raíz cuadrada: el resultado es la distancia, siempre mayor o igual que cero.
⚠️ Ojo con los signos: restar un número negativo equivale a sumar. Por ejemplo, \(3-(-2)=5\). Usa paréntesis cuando sustituyas coordenadas negativas.

¿De dónde sale la fórmula? El teorema de Pitágoras

Al unir A con B podemos formar un triángulo rectángulo. Sus catetos miden \(|x_2-x_1|\) y \(|y_2-y_1|\), y la hipotenusa es la distancia entre los puntos.

Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:

\[d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Distancia y punto medio en el plano cartesiano01234567-112345A(1,1)B(5,4)M(3; 2,5)Δx = 4Δy = 3d = 5
Ejemplo geométrico: A(1,1) y B(5,4) forman un triángulo de catetos 4 y 3; el segmento AB mide 5 y su punto medio es M(3; 2,5).
Ejemplo 1. Calculamos la distancia de A(1,1) a B(5,4)
  1. La diferencia horizontal es \(5-1=4\).
  2. La diferencia vertical es \(4-1=3\).
  3. Aplicamos Pitágoras: \(d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\).
✅ Resultado: \(\boxed{d(A,B)=5}\) unidades.
fórmula de la distancia entre dos puntos

Ejemplos de distancia entre dos puntos paso a paso

Ejemplo 2. Coordenadas negativas

Calcula la distancia entre A(−2,1) y B(4,9).

Tomamos \((x_1,y_1)=(-2,1)\) y \((x_2,y_2)=(4,9)\):

\[d=\sqrt{(4-(-2))^2+(9-1)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]

La distancia es 10 unidades, aunque los puntos estén en zonas distintas del plano.

Ejemplo 3. Cuando la raíz no es exacta

Calcula la distancia entre A(0,0) y B(2,3).
\[d=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}\approx3{,}606\]

La respuesta exacta es \(\sqrt{13}\); la aproximación decimal es útil si el ejercicio pide un resultado numérico.

Ejemplo 4. Puntos con decimales

Calcula la distancia entre A(1,5; 2) y B(4,5; 6).

Escribimos las coordenadas decimales con coma y separamos \(x\) e \(y\) con punto y coma para evitar ambigüedad.

\[d=\sqrt{(4{,}5-1{,}5)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\]

Distancia entre dos puntos horizontales o verticales

Si los dos puntos tienen una coordenada igual, no necesitas realizar toda la fórmula: basta una resta en valor absoluto. También puedes utilizar la fórmula general; obtendrás el mismo resultado.

SituaciónCondiciónDistanciaEjemplo
Segmento horizontal\(y_1=y_2\)\(d=|x_2-x_1|\)A(−5,2), B(4,2): \(d=9\)
Segmento vertical\(x_1=x_2\)\(d=|y_2-y_1|\)A(3,−4), B(3,2): \(d=6\)
Puntos coincidentes\(x_1=x_2\) e \(y_1=y_2\)\(d=0\)A(2,3), B(2,3)
📌 Propiedad importante: el orden de los puntos no altera la distancia: \(d(A,B)=d(B,A)\). Además, una distancia nunca es negativa.

Fórmula del punto medio de un segmento

El punto medio de AB es el punto M que está exactamente a la mitad del segmento. Para encontrarlo, calculamos por separado el promedio de las dos abscisas y el de las dos ordenadas:

\[\boxed{M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)}\]

No se suman las cuatro coordenadas juntas: se hace una media para \(x\) y otra para \(y\). El resultado siempre es un par ordenado, no una longitud.

Ejemplo 5. Punto medio de A(1,1) y B(5,4)
  1. Promediamos las abscisas: \(x_M=(1+5)/2=3\).
  2. Promediamos las ordenadas: \(y_M=(1+4)/2=5/2=2{,}5\).
  3. Escribimos ambas coordenadas.
✅ Resultado: \(\boxed{M=(3,\,2{,}5)}\). Como la distancia AB es 5, se cumple \(AM=MB=2{,}5\).

El punto medio con coordenadas negativas

Ejemplo 6. A(−4,3) y B(2,−5)
\[M=\left(\frac{-4+2}{2},\frac{3+(-5)}{2}\right)=(-1,-1)\]

Comprueba el resultado: desde A hasta M y desde M hasta B avanzamos 3 unidades en horizontal y descendemos 4 en vertical, así que ambos tramos miden 5.

La fórmula se utiliza para encontrar centros de segmentos, diagonales y algunas construcciones geométricas relacionadas con las ecuaciones de la recta.

Cómo calcular el extremo de un segmento con su punto medio

En ciertos ejercicios conocemos un extremo A y el punto medio M, pero no el otro extremo B. Podemos despejar las coordenadas de B a partir de la fórmula del punto medio:

\[\boxed{x_2=2x_M-x_1\,,\qquad y_2=2y_M-y_1}\]
Ejemplo 7. Sabemos A(−1,5) y M(2,3). ¿Cuál es B?
  1. Coordenada horizontal: \(x_2=2\cdot2-(-1)=5\).
  2. Coordenada vertical: \(y_2=2\cdot3-5=1\).
  3. Comprobación: \(((−1+5)/2,(5+1)/2)=(2,3)\).
✅ Resultado: \(\boxed{B=(5,1)}\).
💡 Interpretación con vectores: como M se sitúa a la mitad, el desplazamiento desde A hasta M es el mismo que desde M hasta B. Esta idea es útil para los vectores en el plano.

Distancia y punto medio: diferencias y fórmulas

PreguntaDistanciaPunto medio
¿Qué calcula?La longitud de ABLa posición central de AB
Fórmula\(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Tipo de resultadoUn número real no negativoUn punto con dos coordenadas
Con A(1,1) y B(5,4)5 unidades\(M=(3,2{,}5)\)
Verificación\(d(A,B)=d(B,A)\)\(AM=MB=d(A,B)/2\)

Aplicaciones: rectas, triángulos y circunferencias

📐 Perímetro de un triánguloSi conoces sus tres vértices, calcula las distancias entre cada par consecutivo y suma las tres longitudes.
🔵 Centro de una circunferenciaSi A y B son los extremos de un diámetro, el centro es el punto medio de AB y el radio es \(d(A,B)/2\).
📊 Geometría analíticaLa distancia permite comprobar si dos lados tienen igual longitud; el punto medio sirve para encontrar mediatrices y medianas.
🧭 Planos y coordenadasEn un plano a escala, la fórmula mide la distancia recta entre ubicaciones; después se aplica el factor de escala.

Relación con la pendiente de la recta

Si \(x_1\ne x_2\), la pendiente del segmento AB es:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

La pendiente mide inclinación; la distancia mide longitud. Son magnitudes diferentes. Puedes estudiar cómo obtener la recta completa en ecuaciones de la recta.

Resumen de fórmulas y errores que debes evitar

Qué necesitasFórmula
Distancia en el plano\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
Punto medio\(M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Distancia horizontal\(d=|x_2-x_1|\)
Distancia vertical\(d=|y_2-y_1|\)
Extremo B a partir de A y M\(B=(2x_M-x_1,\,2y_M-y_1)\)
Radio desde un diámetro AB\(r=d(A,B)/2\)
⚠️ Cinco errores habituales:
  1. Sumar en vez de restar en la fórmula de la distancia.
  2. Olvidar paréntesis con números negativos: \(4-(-2)\) no es \(4-2\).
  3. Confundir distancia y punto medio: una es una longitud; el otro, un par de coordenadas.
  4. Dividir por dos al calcular la distancia: solo corresponde dividir por dos en los promedios del punto medio o al calcular la mitad de una distancia.
  5. Presentar una distancia negativa: una raíz cuadrada real principal no es negativa y la fórmula da \(d\ge0\).

⭐ Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio en tu cuaderno antes de abrir la solución. Los primeros son directos; al final aparecen problemas inversos y aplicaciones geométricas.

EJERCICIO 1Calcular una distancia sencilla
📝 EnunciadoCalcula la distancia entre A(1,2) y B(4,6).
Ver solución paso a paso
  1. Sustituimos: \(d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}\).
  2. Calculamos: \(d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=5}\) unidades.
EJERCICIO 2Distancia con coordenadas negativas
📝 EnunciadoHalla la distancia entre A(−2,3) y B(4,11).
Ver solución paso a paso
  1. Diferencias: \(\Delta x=4-(-2)=6\), \(\Delta y=11-3=8\).
  2. Aplicamos la fórmula: \(d=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=10}\) unidades.
EJERCICIO 3Segmento horizontal
📝 EnunciadoA(−5,2) y B(4,2). ¿Cuánto mide AB?
Ver solución paso a paso
  1. Tienen la misma coordenada \(y=2\): segmento horizontal.
  2. Calculamos la diferencia absoluta: \(d=|4-(-5)|=9\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=9}\).
EJERCICIO 4Segmento vertical
📝 EnunciadoA(3,−4) y B(3,2). Calcula la distancia.
Ver solución paso a paso
  1. Tienen la misma abscisa: \(x=3\).
  2. Solo restamos las ordenadas: \(d=|2-(-4)|=6\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=6}\).
EJERCICIO 5Distancia con dos puntos negativos
📝 EnunciadoA(−3,−2) y B(1,1). Calcula AB.
Ver solución paso a paso
  1. Diferencias: \(\Delta x=1-(-3)=4\), \(\Delta y=1-(-2)=3\).
  2. Aplicamos Pitágoras: \(d=\sqrt{4^2+3^2}=5\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=5}\).
EJERCICIO 6Resultado con raíz no exacta
📝 EnunciadoA(0,0) y B(2,3). Da la distancia exacta y aproximada.
Ver solución paso a paso
  1. Sumamos cuadrados: \(2^2+3^2=4+9=13\).
  2. La raíz no es exacta, así que mantenemos \(\sqrt{13}\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=\sqrt{13}\approx3{,}606}\).
EJERCICIO 7Punto medio con enteros
📝 EnunciadoHalla el punto medio de A(−2,4) y B(6,−2).
Ver solución paso a paso
  1. Abscisa: \(x_M=(-2+6)/2=2\).
  2. Ordenada: \(y_M=(4+(-2))/2=1\).
✅ Resultado: \(\boxed{M=(2,1)}\).
EJERCICIO 8Punto medio con fracciones
📝 EnunciadoHalla el punto medio de A(1,2) y B(4,7).
Ver solución paso a paso
  1. Abscisa: \(x_M=(1+4)/2=5/2\).
  2. Ordenada: \(y_M=(2+7)/2=9/2\).
✅ Resultado: \(\boxed{M=(\frac52,\frac92)}\).
EJERCICIO 9Hallar un extremo desconocido
📝 EnunciadoEl extremo A es (−1,5) y M(2,3) es el punto medio. Calcula B.
Ver solución paso a paso
  1. Despejamos \(x_2=2x_M-x_1=2\cdot2-(-1)=5\).
  2. Despejamos \(y_2=2y_M-y_1=2\cdot3-5=1\).
✅ Resultado: \(\boxed{B=(5,1)}\).
EJERCICIO 10Calcular distancia y punto medio
📝 EnunciadoDados A(−4,−1) y B(2,7), calcula d y M.
Ver solución paso a paso
  1. Distancia: \(d=\sqrt{(2+4)^2+(7+1)^2}=\sqrt{36+64}=10\).
  2. Punto medio: \(M=((-4+2)/2,(-1+7)/2)=(-1,3)\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=10,\quad M=(-1,3)}\).
EJERCICIO 11Perímetro de un triángulo
📝 EnunciadoLos vértices son A(0,2), B(−3,−2) y C(3,−2). Calcula su perímetro.
Ver solución paso a paso
  1. \(AB=\sqrt{(-3-0)^2+(-2-2)^2}=5\).
  2. \(AC=\sqrt{(3-0)^2+(-2-2)^2}=5\).
  3. \(BC=|3-(-3)|=6\). Sumamos los tres lados.
✅ Resultado: \(\boxed{P=5+5+6=16}\) unidades.
EJERCICIO 12Centro y radio de una circunferencia
📝 EnunciadoA(−2,1) y B(4,9) son extremos de un diámetro. Halla centro y radio.
Ver solución paso a paso
  1. El centro es el punto medio: \(M=((-2+4)/2,(1+9)/2)=(1,5)\).
  2. El diámetro mide \(d=\sqrt{6^2+8^2}=10\).
  3. El radio es la mitad: \(r=10/2=5\).
✅ Resultado: \(\boxed{C=(1,5),\quad r=5}\).

❓ Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos?
Para A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂), la distancia es d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). Se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras.
¿Cómo se calcula el punto medio entre dos puntos?
Se suman las coordenadas x de ambos extremos y se divide entre dos; se hace lo mismo con las coordenadas y: M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2).
¿La distancia entre dos puntos puede ser negativa?
No. La distancia euclídea siempre es mayor o igual que cero. Solo vale cero cuando ambos puntos coinciden.
¿Qué pasa si dos puntos tienen la misma coordenada x?
El segmento es vertical y su distancia es el valor absoluto de la diferencia de coordenadas y: |y₂−y₁|.
¿Qué pasa si dos puntos tienen la misma coordenada y?
El segmento es horizontal y la distancia es |x₂−x₁|.
¿Se puede obtener el segundo extremo sabiendo el punto medio?
Sí. Si A=(x₁,y₁) y M=(xM,yM), el otro extremo es B=(2xM−x₁, 2yM−y₁).
¿Es lo mismo distancia que punto medio?
No. La distancia es un número que expresa longitud; el punto medio es una posición del plano con dos coordenadas.
¿Cómo se calcula el punto medio si las coordenadas son negativas?
Exactamente igual que con coordenadas positivas: sumando las dos abscisas y dividiendo entre dos, y repitiendo con las ordenadas. Conviene usar paréntesis para no equivocarse con los signos.
¿Cuál es la distancia entre dos puntos en tres dimensiones?
Para A(x₁,y₁,z₁) y B(x₂,y₂,z₂), se añade la diferencia de alturas: d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²).
📚 Resumen: la distancia responde «¿cuánto mide el segmento?»; el punto medio responde «¿dónde está su mitad?». Si dudas, representa ambos puntos, calcula primero los desplazamientos horizontal y vertical y verifica que M divide AB en dos partes iguales.

Conclusión: domina la distancia y el punto medio

Con dos puntos del plano cartesiano puedes calcular una longitud mediante Pitágoras y una posición central promediando coordenadas. Practica con los ejercicios anteriores. Puedes seguir aprendiendo más con estos artículos relacionados:

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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