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📘 2º, 3º y 4º de ESO
Triángulo rectángulo: elementos, Pitágoras, trigonometría y ejercicios
Un ángulo de 90° lo cambia todo: aparece el teorema de Pitágoras y la trigonometría aflora a la superficie: toda una caja de herramientas para hallar lados y ángulos que no conoces. Las mates molan 🚀
a² + b²
=
c²
⚡ Respuesta rápida
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90° (un ángulo recto). El lado opuesto a ese ángulo se llama hipotenusa (siempre el lado más largo), y los otros dos lados se llaman catetos.
Su propiedad más famosa es el teorema de Pitágoras: \( a^2+b^2=c^2 \), donde \(a\) y \(b\) son los catetos y \(c\) es la hipotenusa. Además, sus ángulos agudos permiten trabajar con las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
¿Qué es un triángulo rectángulo? 🤔
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene uno de sus ángulos internos igual a 90°, es decir, un ángulo recto. Como los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180°, los otros dos ángulos son siempre agudos (menores de 90°) y, además, suman exactamente 90° entre sí.
Este único ángulo recto es lo que le da al triángulo rectángulo un protagonismo especial en geometría: es la figura sobre la que se construyen el teorema de Pitágoras y toda la trigonometría básica.
💡 Reconócelo por la escuadra
Si alguna vez has usado una escuadra de dibujo técnico, ya conoces la forma de un triángulo rectángulo: uno de sus ángulos encaja perfectamente en una esquina, como la de una hoja de papel.
Elementos del triángulo rectángulo 📜
Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado más largo del triángulo.
Catetos: los dos lados que forman el ángulo recto.
Ángulo recto: el ángulo de 90°, formado por los dos catetos.
Ángulos agudos: los otros dos ángulos, siempre menores de 90° y que suman 90° entre ellos.
Teorema de Pitágoras 🪜
El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de cualquier triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Esta relación permite hallar cualquiera de los tres lados si conoces los otros dos:
| Quieres hallar | Fórmula |
|---|---|
| La hipotenusa, conociendo los dos catetos | \( c = \sqrt{a^2+b^2} \) |
| Un cateto, conociendo la hipotenusa y el otro cateto | \( a = \sqrt{c^2-b^2} \) |
⚠️ Solo vale para triángulos rectángulos
El teorema de Pitágoras solo se cumple si el triángulo tiene un ángulo de 90°. También funciona al revés: si en un triángulo se cumple que \(a^2+b^2=c^2\) con \(c\) el lado mayor, ese triángulo es necesariamente rectángulo.
Razones trigonométricas 🎯
En un triángulo rectángulo, cada ángulo agudo tiene un lado "opuesto" (el que no lo toca) y un lado "contiguo" o "adyacente" (el cateto que sí lo toca, sin ser la hipotenusa). Las razones trigonométricas relacionan esos lados entre sí.
| Razón | Definición |
|---|---|
| Seno | \( \operatorname{sen}(\alpha) = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \) |
| Coseno | \( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} \) |
| Tangente | \( \operatorname{tg}(\alpha) = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} \) |
💡 Un truco clásico para memorizarlas
Muchos estudiantes usan la regla mnemotécnica "SOH-CAH-TOA": Seno = Opuesto/Hipotenusa, Coseno = Adyacente/Hipotenusa, Tangente = Opuesto/Adyacente. Elige la que mejor te funcione para recordarlas.
Área y perímetro 🪜
1
Perímetro: suma los tres lados, \( P = a+b+c \).
2
Área: como los dos catetos son perpendiculares entre sí, uno hace de base y el otro de altura: \( \text{Área} = \dfrac{\text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2}{2} \).
Ejercicios resueltos 💪
Practica con el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y un par de problemas más avanzados.
🟢 Básico
Ejercicio 1. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. Calcula su hipotenusa.
Catetos: 3 cm y 4 cm
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Paso 1: Aplicamos el teorema de Pitágoras: \( c = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} \).
Paso 2: \( \sqrt{25} \).
✅ Resultado: hipotenusa = 5 cm
🟢 Básico
Ejercicio 2. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm. Calcula el otro cateto.
Hipotenusa = 13 cm, un cateto = 5 cm
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Paso 1: Despejamos el cateto en el teorema de Pitágoras: \( b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{13^2-5^2} \).
Paso 2: \( \sqrt{169-25} = \sqrt{144} \).
✅ Resultado: el otro cateto mide 12 cm
🟡 Medio
Ejercicio 3. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula su área y su perímetro.
Catetos: 6 cm y 8 cm
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Paso 1: Área: \( \dfrac{6 \times 8}{2} \).
Paso 2: Para el perímetro, primero hallamos la hipotenusa: \( \sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 \) cm.
Paso 3: Perímetro: \( 6+8+10 \).
✅ Resultado: Área = 24 cm², Perímetro = 24 cm
🟡 Medio
Ejercicio 4. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo \(\alpha\) mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Calcula \(\operatorname{sen}(\alpha)\), \(\cos(\alpha)\) y \(\operatorname{tg}(\alpha)\).
Cateto opuesto = 6 cm, hipotenusa = 10 cm
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Paso 1: Primero hallamos el cateto contiguo con Pitágoras: \( \sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8 \) cm.
Paso 2: \( \operatorname{sen}(\alpha) = 6/10 \), \( \cos(\alpha) = 8/10 \), \( \operatorname{tg}(\alpha) = 6/8 \).
✅ Resultado: sen(α) = 0,6, cos(α) = 0,8, tg(α) = 0,75
🟡 Medio
Ejercicio 5. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y uno de sus ángulos agudos mide 30°. Calcula el cateto opuesto a ese ángulo.
Hipotenusa = 10 cm, ángulo = 30°
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Paso 1: Usamos la definición del seno: \( \operatorname{sen}(30°) = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{10} \).
Paso 2: Despejamos: \( \text{cateto opuesto} = 10 \times \operatorname{sen}(30°) = 10 \times 0{,}5 \).
✅ Resultado: cateto opuesto = 5 cm
🔴 Avanzado
Ejercicio 6. Desde un punto situado a 20 m de la base de un árbol, el ángulo de elevación hasta la copa es de 40°. Calcula la altura del árbol.
Distancia a la base = 20 m, ángulo de elevación = 40°
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Paso 1: La distancia al árbol es el cateto contiguo al ángulo, y la altura del árbol es el cateto opuesto: usamos la tangente.
Paso 2: \( \operatorname{tg}(40°) = \dfrac{\text{altura}}{20} \Rightarrow \text{altura} = 20 \times \operatorname{tg}(40°) \).
Paso 3: \( 20 \times 0{,}8391\ldots \).
✅ Resultado: altura ≈ 16,78 m
🔴 Avanzado
Ejercicio 7. En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos de 9 cm y 16 cm. Usa el teorema del cateto para hallar los dos catetos.
Segmentos de la hipotenusa: 9 cm y 16 cm
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Paso 1: La hipotenusa completa mide \( 9+16=25 \) cm.
Paso 2: El teorema del cateto dice que cada cateto al cuadrado es igual al segmento adyacente multiplicado por la hipotenusa completa: \( a^2 = 9 \times 25 \), \( b^2 = 16 \times 25 \).
Paso 3: \( a=\sqrt{225}=15 \), \( b=\sqrt{400}=20 \).
✅ Resultado: los catetos miden 15 cm y 20 cm
Errores más comunes ⚠️
❌ Confundir un cateto con la hipotenusa
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto y el lado más largo; aplicar el teorema de Pitágoras despejando el lado equivocado da un resultado incorrecto.
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto y el lado más largo; aplicar el teorema de Pitágoras despejando el lado equivocado da un resultado incorrecto.
❌ Sumar los lados en vez de sus cuadrados
El teorema de Pitágoras es \(a^2+b^2=c^2\), no \(a+b=c\): hay que elevar al cuadrado antes de sumar, y sacar la raíz cuadrada al final.
El teorema de Pitágoras es \(a^2+b^2=c^2\), no \(a+b=c\): hay que elevar al cuadrado antes de sumar, y sacar la raíz cuadrada al final.
❌ Confundir el cateto opuesto con el contiguo
Depende de qué ángulo se esté usando: el mismo cateto puede ser "opuesto" para un ángulo y "contiguo" para el otro.
Depende de qué ángulo se esté usando: el mismo cateto puede ser "opuesto" para un ángulo y "contiguo" para el otro.
❌ Mezclar grados y radianes en la calculadora
Antes de usar seno, coseno o tangente, comprueba que la calculadora esté en modo grados (DEG) si el ángulo viene dado en grados.
Antes de usar seno, coseno o tangente, comprueba que la calculadora esté en modo grados (DEG) si el ángulo viene dado en grados.
❌ Pensar que cualquier triángulo con lados enteros es rectángulo
Hay que comprobar que se cumple \(a^2+b^2=c^2\) con esos lados concretos; no todos los triángulos con lados enteros lo cumplen.
Hay que comprobar que se cumple \(a^2+b^2=c^2\) con esos lados concretos; no todos los triángulos con lados enteros lo cumplen.
❌ Confundir el segmento del teorema del cateto
En el teorema del cateto hay que multiplicar por el segmento adyacente a ese cateto, no por el otro segmento ni por la hipotenusa parcial equivocada.
En el teorema del cateto hay que multiplicar por el segmento adyacente a ese cateto, no por el otro segmento ni por la hipotenusa parcial equivocada.
Comprobación numérica 🧮
Puedes comprobar tus resultados con ternas pitagóricas conocidas y con la identidad fundamental de la trigonometría.
Verificación de varias ternas pitagóricas (¿cumplen a²+b²=c²?)
| a | b | a²+b² | c (hipotenusa) |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 25 | 5 ✅ |
| 6 | 8 | 100 | 10 ✅ |
| 5 | 12 | 169 | 13 ✅ |
| 9 | 12 | 225 | 15 ✅ |
✅ En todos los casos, la raíz cuadrada de \(a^2+b^2\) da un número exacto: son "ternas pitagóricas".
Verificación del Ejercicio 4 con la identidad sen²(α)+cos²(α)=1
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| sen(α) | 0,6 |
| cos(α) | 0,8 |
| sen²(α) + cos²(α) | 0,36 + 0,64 = 1 ✅ |
✅ Se cumple la identidad fundamental de la trigonometría, confirmando los valores del Ejercicio 4.
Verificación del Ejercicio 7 (teorema del cateto) con Pitágoras
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| Cateto a | 15 cm |
| Cateto b | 20 cm |
| a² + b² | 225 + 400 = 625 |
| Hipotenusa al cuadrado (25²) | 625 ✅ |
✅ Los catetos hallados con el teorema del cateto también cumplen el teorema de Pitágoras.
Tabla resumen 📋
| Concepto | Fórmula |
|---|---|
| Teorema de Pitágoras | \( a^2+b^2=c^2 \) |
| Seno | \( \operatorname{sen}(\alpha) = \text{opuesto}/\text{hipotenusa} \) |
| Coseno | \( \cos(\alpha) = \text{contiguo}/\text{hipotenusa} \) |
| Tangente | \( \operatorname{tg}(\alpha) = \text{opuesto}/\text{contiguo} \) |
| Área | \( (\text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2)/2 \) |
| Perímetro | \( a+b+c \) |
| Teorema del cateto | \( \text{cateto}^2 = \text{segmento adyacente} \times \text{hipotenusa} \) |
Preguntas frecuentes ❓
¿Cómo se identifica la hipotenusa?
Es el lado opuesto al ángulo recto, y siempre es el lado más largo de los tres.
¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
Siempre suman 90°, porque los tres ángulos del triángulo suman 180° y uno de ellos ya es de 90°.
¿Cuándo se usa Pitágoras y cuándo trigonometría?
Usa Pitágoras cuando conoces dos lados y buscas el tercero. Usa las razones trigonométricas cuando conoces un lado y un ángulo, y buscas otro lado, o cuando conoces dos lados y buscas un ángulo.
¿Cómo se halla un ángulo si conozco los lados?
Calculando la razón trigonométrica correspondiente (seno, coseno o tangente) y aplicando después su función inversa (arcoseno, arcocoseno o arcotangente) con la calculadora.
¿Qué es el teorema del cateto?
Relaciona cada cateto con la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa más cercano a ese cateto (el que queda al trazar la altura sobre la hipotenusa): \( \text{cateto}^2 = \text{segmento adyacente} \times \text{hipotenusa} \).
¿Aparece en Selectividad/EBAU?
El triángulo rectángulo en sí es contenido de ESO, pero la trigonometría que se aprende con él es la base de bloques posteriores (funciones trigonométricas, geometría analítica) que sí son habituales en Bachillerato.
🚀 ¿Quieres seguir aprendiendo geometría?
Consulta también:
Teorema de Pitágoras,
Áreas de figuras planas
y
Diagonal de un rectángulo.
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