Teorema de Pitágoras. De 0 a 100

«La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras y el otro la razón áurea”   J.Kepler

Posiblemente, el teorema de Pitágoras es el resultado matemático más conocido entre los ciudadanos (grandes y pequeños) de todo el mundo. Y sus razones tiene. Sobre todo por sus aplicaciones y su importancia.

Pero, ¿qué sabes de Pitágoras?

Definiciones previas

• Teorema:  Básicamente un teorema es un enunciado o proposición cuya verdad es absoluta, y se puede demostrar. Normalmente se parte de una hipótesis o supuesto para llegar a una conclusión o tesis. Aunque se acabe el mundo, un teorema seguirá siendo cierto, es eterno.

• Triángulo rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto, de 90 grados

• Hipotenusa: Es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo. Siempre es el lado opuesto al ángulo recto.

• Catetos: Son los dos lados de un triángulo rectángulo que tienen en común al ángulo recto.

Debes saber distinguir muy bien entre el cateto y la hipotenusa.

A algunos alumnos les cuesta identificar la hipotenusa. Para que quede totalmente claro, puedes verlo en las siguientes imágenes:

En cualquier triángulo rectángulo puedes comprobar fácilmente que la longitud de la hipotenusa siempre es mayor que la longitud de los catetos.

¿Qué dice el teorema de Pitágoras?

“En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Es decir, siempre se cumplirá esto:

Por ejemplo si tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm. y sus catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente, tendremos que \({ 5 }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }\)  Es completamente cierto que 25=9+16

No es necesario, ni aconsejable, que te aprendas la fórmula del teorema de Pitágoras. Es mejor que lo comprendas que memorizar que c²=a²+b² . Porque si te cambian las letras, la lías parda …

Tres números naturales (los de contar) que cumplen la igualdad que establece el teorema de Pitágoras se llaman ternas pitagóricas. En nuestro caso {3,4,5}

¿Cómo podemos encontrar ternas pitagóricas? De forma muy sencilla. Por ejemplo multiplicando por una constante, por un número positivo. Es decir también son ternas pitagóricas  {6,8 y 10}, {9,12 y 15},{4’5,6 y 7’5},… Las hemos conseguido multiplicando por 2,3 y 1’5 respectivamente. Lógicamente hay infinitas.

Otra forma de expresar el Teorema de Pitágoras es geométricamente. Viene a decirnos que el área del cuadrado situado sobre el lado de la hipotenusa es exactamente igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados, que están situados sobre los catetos. En imágenes, algo tan bonito como esto:

La imagen de arriba puedes demostrarla en un periquete, pero para los incrédulos, aquí os dejo una de las mejores demostraciones visuales que existen sobre el teorema de Pitágoras.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Esta verdad universal nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo. Por tanto es de una utilidad enorme, porque si conocemos dos de ellos, podremos conocer el valor del tercero.

También podemos saber, dados tres lados, si se trata de un triángulo rectángulo. Obviamente, sólo lo será si las longitudes de sus lados cumplen la igualdad del teorema de Pitágoras.

Calcular la hipotenusa conociendo los dos catetos

Una escalera cuyo pie está a 4 m de la pared se apoya en esta, alcanzando una altura de 7,5 m. ¿Cuánto mide la escalera? Siempre recomiendo hacer un dibujo para que sea más fácil resolver problemas.

Se observa fácilmente que tenemos un triángulo rectángulo. Por tanto podemos hacer uso del teorema de Pitágoras.

\({ l }^{ 2 }={ 4 }^{ 2 }+{ 7’5 }^{ 2 }\)                   \({ l }^{ 2 }=16+56.25\)

\({ l }^{ 2 }=72’25\)                                   \({ l }=\sqrt { 72’25 } =\pm 8’5\)

Es decir, nuestra escalera mide 8’5 metros. Descartamos el valor negativo, porque no tiene sentido hablar de longitudes negativas.

Ahora ya puedes calcular, por ejemplo, cuánto mide la diagonal de una televisión (un rectángulo que puedo dividir en dos triángulos rectángulos)  o saber la máxima distancia que puede recorrer un jugador de fútbol en línea recta. Recuerda que la clave es dibujar triángulos rectángulos. Y no tener dificultades en calcular la raíz cuadrada de un número.

Cómo calcular un cateto conociendo los otros lados

Un poste de 14,5 m de alto se quiebra por su base y cae sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que golpea?

Veamos la situación y dibujemos nuestro triángulo con los datos del problema.

En este caso volvemos a plantear la igualdad que establece el teorema pitagórico.

\({ 14’5 }^{ 2 }={ 10 }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }\)             \(110’25={ x }^{ 2 }\)

\(x=\sqrt { 110’25 } =\pm 10’5\)

Es decir, los que viven en el tercer piso, a 10’5 metros de altura, lo tienen crudo 😉

Calcular distancias o áreas de cualquier polígono

En muchos casos, podemos encontrarnos con diferentes figuras geométricas, como un triángulo equilátero, donde aplicar la fórmula del teorema. Aunque inicialmente no veas el triángulo rectángulo, lo único que tienes que hacer es buscarlo para poder calcular alguna medida que en principio desconocemos. Veamos algunos ejemplos.

Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 24 cm. Hallar su perímetro.

Siempre es importante que hagas un dibujo. Recuerda que el perímetro es la suma de todos los lados.

En este caso, pronto encontramos un triángulo rectángulo, y concluimos que su hipotenusa tiene una longitud de 13 cm. Por tanto, el perímetro será de 4·13=52 cm.

No quiero extenderme aquí, pero debes saber que gracias al teorema de Pitágoras podrás calcular la mayoría de áreas y perímetros de figuras planas. Por ejemplo, ¿eres capaz de calcular la diagonal de este trapecio? Puedes decirme tu solución en los comentarios.

Los lados determinan el tipo de triángulo

Equivale a decir que podemos comprobar si tenemos un triángulo rectángulo, conocidos sus tres lados.

Indicar si los siguientes segmentos forman triángulos rectángulos: 

1. a) 18 cm, 24 cm, 30 cm.
2. b) 4 cm, 12 cm, 15 cm.

Veamos el primer caso. Ten en cuenta que la hipotenusa es el lado de mayor longitud. Se debe cumplir que

\({ 30 }^{ 2 }={ 18 }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 }\)       \(900=324+576\)

Como la igualdad es cierta, se trata de un triángulo rectángulo.

En el caso b) se observa que   \({ 15 }^{ 2 }>{ 4 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 }\)   porque \(225>16+144\)

En este caso estamos ante un triángulo obtusángulo (aquel que tiene un ángulo obtuso, mayor de 90 grados). ¿Cómo lo sé? Porque es una de las consecuencias del teorema de Pitágoras. Me explico:

Llamando c al lado mayor del triángulo, podemos tener tres posibles casos:

\({ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) → triángulo rectángulo

\({ c }^{ 2 }>{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) → triángulo obtusángulo

\({ c }^{ 2 }<{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\) → triángulo acutángulo  (sus tres ángulos son agudos, miden menos de 90º)

Demostraciones del teorema de Pitágoras

A lo largo de la fascinante historia de la matemática, se cuentan por cientos las demostraciones de este famoso teorema. Como las que demostraron grandes matemáticos como Platón, Euclides,Pappus  o  Leonardo da Vinci.

# Demostración 1

Es sencilla, y data del año 1000 a.C., curiosamente cinco siglos antes de que naciera el que algunos consideran el padre de las Matemáticas. Si lo prefieres, puedes verla en un vídeo que hice hace mucho tiempo.

Sea el triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos b,c. Construimos un cuadrado de lado b+c

Usando el mismo cuadrado, vemos que nuestro triángulo rectángulo azul, se puede trazar en las esquinas del cuadrado. Se observa con claridad en la siguiente imagen:

¿Qué tenemos ahora? Date cuenta que el área del cuadrado grande es:

\({ \left( b+c \right)  }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+2bc\)  (1)          *Debes recordar la identidad notable del cuadrado de un binomio

Y al mismo tiempo, el área de este cuadrado grande es igual a la suma del cuadrado pequeño blanco más los 4 triángulos azules. ¿Queda claro, verdad? Matemáticamente, lo expresamos así:

\({ a }^{ 2 }+4\left( \frac { bc }{ 2 }  \right) ={ a }^{ 2 }+2bc\)  (2)

Igualando estas dos ecuaciones, obtenemos el famoso teorema de Pitágoras, como queríamos demostrar.

(1)=(2)     \({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+2bc=2bc+{ a }^{ 2 }\)   →   \({ a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }\)

# Demostración 2

Para entenderla, deberás saber conceptos de semejanza de triángulos y sistemas de ecuaciones.

Sea el triángulo ABC recto en A, trazamos la altura (h) correspondiente al lado BC, que corta en el punto D

Definimos los lados a,b,c, siendo a=m+n, donde m=CD y n=DB

Ahora debes estar atento. Observa que los triángulos ABC y ABD son semejantes, al tener un ángulo recto y otro común (el marcado como α). Recuerda que dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales, de tal forma que pueden colocarse en posición de Tales. Análogamente ocurre con los triángulos ABC y ADC.

Por semejanza entre ABC y ABD tenemos que:   \(\frac { c }{ a } =\frac { n }{ c } \longrightarrow { c }^{ 2 }=an\quad (3)\)

De forma análoga, mediante semejanza entre ABC y ADC tenemos que:  \(\frac { b }{ a } =\frac { m }{ b } \longrightarrow { b }^{ 2 }=ma\quad (4)\)

Finalmente sumando (3)+(4) obtenemos:

\({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }=a(m+n)\quad \longrightarrow { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\quad como\quad queríamos\quad demostrar\)

Consecuencias del teorema 

¿Sólo pueden jugar los cuadrados? ¡No! Otros polígonos y figuras curvas también se apuntan a esta fiesta matemática. Veamos brevemente lo que se conoce como el teorema de la semejanza. Aquí tienes la imagen, antes de soltarte el rollete.

Dicho de forma matemática. Si construimos sobre los lados de un triángulo rectángulo como lados homólogos, polígonos semejantes, el área del polígono correspondiente a la hipotenusa, es la suma de las áreas de los polígonos correspondientes a los catetos.

Esto deja evidencias que las matemáticas son principalmente un medio para razonar, no sólo para calcular.

Incluso podríamos hablar de hipopótamos, en una demostración sin palabras …

Podría extenderme mucho más, pero creo que ya es suficiente. Espero que te haya gustado y pueda serte útil.

Posiblemente el teorema de Pitágoras es uno de los más influyentes en la historia de la humanidad, al describir  la relación existente entre los lados de un triángulo rectángulo. Estos conceptos han sido fundamentales para conrctar el álgebra y la geometría.

Te agradecería mucho que compartieras este artículo. También puedes dejar tu comentario acerca de este fantástico teorema.

¡Felices matemáticas!