✅ Teorema de Tales: Problemas y explicación paso a paso

El Teorema de Tales compite en rivalidad con el famoso Teorema de Pitágoras. Gana este último, pero el primero también tiene mucha importancia. En este artículo te lo entenderás mejor, con su explicación paso a paso y resolviendo algunos problemas.

En la mayoría de ocasiones para encontrar la solución a un problema, primero tenemos que buscar datos relevantes.Cómo un buen detective! En geometría, es fundamental buscar aquellos elementos que nos interesen.

Dos hechos históricos

Se cuenta que el matemático Tales de Mileto (siglo VI a.C.), utilizando la semejanza de triángulos y su ingenio resolvió dos problemas nada sencillos en su época, como estos dos:

teorema de thales explicacion

                                                          ¿A qué distancia estaban los barcos enemigos?

teorema de tales formula

                                                         ¿Qué altura tenía  la gran pirámide de Keops?

Antes de ver cómo pudo encontrar la solución el gran sabio griego, ¿te atreves a plantear el problema haciendo un pequeño esquema?

Para facilitarte las cosas, te muestro sobre la pantalla algunas cosas que te vendrá bien recordar.

Semejanza de triángulos

Ten en cuenta que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y si sus lados homólogos son proporcionales entre sí.

Triángulos semejantes trazando paralelas

También es importante que recuerdes que si en un triángulo trazas una línea paralela a cualquiera de sus lados, obtendrás dos triángulos semejantes. Mira cuantos sale ahora! Por ejemplo, en el polígono azul hay 4 triángulos semejantes:

teoremas de tales

Teorema de Tales sobre triángulos semejantes

¿Te acuerdas?

Afirma que si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Dicho de otra forma.Cuando veas rectas paralelas,”córtalas” y obtendrás varias razones de semejanza.

teorema de tales para niños

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Explicación del teorema de Tales

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a que distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.

El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

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Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

calculo

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía.

Problemas de Tales de Mileto

Según narra Herodoto, Tales calculó la altura de la gran pirámide de Keops, situada en Guiza, la más antigua de las siete maravillas del mundo.

¿Cómo lo hizo?

Usando su teorema, el gran sabio pensó que en el momento que su sombra midiese lo mismo que él, los rayos del Sol formarían un grado de 45 grados con la cima de la pirámide y con su cabeza. Y por tanto, en ese preciso instante la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma.

ejercicio pirámide

Observando el dibujo, podemos llamar h a la altura de Tales y s a su sombra.

En el momento que  s=h, los rayos del Sol formaran un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales y con la cima de la pirámide (al ser los rayos del Sol paralelos entre sí). Por tanto, en ese mismo momento H=S.

Como estamos mirando triángulos semejantes, midiendo la sombra de la pirámide (S), conoceremos su altura (H), que será la misma.

Observa que se trata de triángulos semejantes, porque sus ángulos homólogos son iguales. Los dos triángulos dibujados tienen un ángulo recto y dos ángulos de 45 grados.

En la práctica, el teorema de Tales es uno de los que más aplicaciones tiene. Normalmente, todos los años salgo con mis alumnos a medir la altura de algunos edificios, árboles o monumentos, con la simple ayuda de un metro, papel y lápiz, para que busquen ellos mismos triángulos semejantes y sepan calcular cualquier cosa (incluso aunque esté nublado…) 😉

Datos curiosos sobre Tales de Mileto

Nuestro personaje de hoy, fue un célebre astrónomo, filósofo y matemático griego. Es considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Vivió en la misma época que Pitágoras. Parece que fue el primero en explicar la razón de los eclipses de sol y de luna. Descubrió varias proposiciones geométricas. Cuentan los historiadores que murió asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectáculo.

Este es uno de los episodios anecdóticos atribuidos a Tales: Cierta noche paseaba el matemático completamente absorto mientras contemplaba las estrellas y, por al no prestar suficiente atención al terreno que pisaba, cayó  dentro de un gran hoyo. Una vieja, que pasaba por allí vio el accidente y le dijo, “¿cómo quieres ¡oh sabio! saber lo que pasa en el cielo si no eres capaz de saber lo que ocurre en tus pies?”

Destacó gracias a su sabiduría práctica, a su notable capacidad política y a la gran cantidad de conocimientos que poseía. Se le atribuye la máxima “En la confianza está el peligro”.

En este vídeo Les Luthiers nos explican el teorema de Tales cantando. Con imágenes y cantando también se aprende …

Problemas de aplicación del teorema de Thales

Ahora te toca a tí. A continuación de te dejo sobre la pantalla dos problemas para aplicar el teorema de Tales. Si tienes ganas, puedes probar a solucionarlos. Tienen su utilidad.

♣ Calcula la altura de un edificio sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 6 metros, y una persona que mide 1,8 m. tiene, en ese mismo instante, una sombra de 70 cm.

¿Y si está nublado?

No importa, siempre puedes encontrar alguna referencia que te sirva.

♠ María quiere conocer la altura de la torre de la Giralda en Sevilla. Cuando sale a la calle se separa de la base de la torre 8,5 m y observa que para ver el extremo superior necesita un ángulo de elevación respecto a la horizontal de aproximadamente 85°. Si María mide 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada de la Giralda?

*Nota: Aquí tienes una pequeña guía para resolver problemas.

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(Ilustraciones de Lucía Fernández)

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40 comentarios en “Teorema de Tales: Problemas y explicación paso a paso”

    1. Justo Fernández

      Héctor, normalmente tendrás tres datos, y mediante el teorema de Tales, podrás obtener el dato que te pide el problema.
      Saludos!

  1. Hola una pregunta me podrian ayudar en unos ejercicios de una tarea sobre el teorema de tales, es que no entiendo una parte

    1. Justo Fernández

      Hola Arnau. Este es un problema un poco más difícil. Para resolverlo tienes que tener nociones de trigonometría. Aquí no puedo hacerte un dibujo, pero es fundamental hacer siempre uno para representar gráficamente la situación.

      Primero tienes que relacionar el ángulo de 85° con el lado adyacente del triángulo de 8.5 metros y el lado opuesto desconocido ”y”: tg(85)=y/8’5 de donde y=97’2 metros
      A esto le sumamos la altura de María –> 97’2+1’7=98’9 metros mide la torre sevillana.

      Saludos!

      1. Esperanza Neira

        Por favor me pidrían ayudar con este problema
        En la imagen se muestra una pared en la que hemos trazado rectas perpendiculares a su base indicando la distancia entre ellas. En la parte superior hemos colocado los puntos A, B y C
        Antes de A hay una medida de 1.5 m en la parte superior y 1.2 m en la base. Entre A y B hay una medida de 1.8 m en la base. Entre B y C hay una medida de 3 m en la base.
        ¿qué distancia hay entre los puntos A y B?
        ¿qué distancia hay entre los puntos B y C?
        ¿qué distancia hay entre los puntos A y C?

  2. Buenas tardes! podrían ayudarme con este problema, no logro entender como puedo obtener la velocidad resultante. desde ya muchas gracias!!

    Un bote a motor se dirige hacia el Norte a 24 km/h, en un lugar donde la
    corriente es de 8 km/h en la dirección S 70º E. Recuerde que las velocidades son vectores.
    Encuentre la velocidad resultante del bote, en magnitud y dirección. Construya el diagrama
    vectorial

  3. Pingback: Algunos videos de ejercicios de 1er teorema deTales | Matematicas para secundaria

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  5. Buenas noches, necesito realizar este problema. En la siguiente figura sabiendo que las dimensiones están Arámbula en metros, calcula x,y,z y hay un triángulo como hago para mandarte la figura por favor y gracias

  6. Alguien podría ayudarme, necesito 5 problemas en donde pueda aplicar este teorema, sé cómo resolverlos pero no tengo mucha imaginación

    1. Justo Fernández

      Hola Chio. Puedes medir cualquier cosa, siempre que puedas disponer de triángulos semejantes. La altura de un árbol, edificio, torre (con o sin sombra). También la profundidad de un pozo, la anchura de un río, etc.
      Encontrarás mucha información en internet. Saludos!

  7. Angie Cabezas

    Hola Como Se Puede Saber cuales son las dos medidas que faltan que son AD y DC Si Sabes Que AC=18 AB=14 y BC=10..

  8. juan marsiglia

    hola ayuda con este problema por fa

    un albañil construyo una pared en forma de triangulo rectángulo, la base del triangulo mide 28m y la hipotenusa del mismo 35m. se sabe que el albañil cobro m2 A $ 6.500 y que la formula para calcular el área del triangulo es A=BH/2.¿que cantidad de dinero se le pago al albañil’

    1. Justo Fernández

      Hola Juan.
      En este problema tienes que aplicar el teorema de Pitágoras. Me gustaría que lo entendieses,para ello puedes entrar aquí: Obtendrás que 35^2 = 28^2 + x^2
      Tendrás que continuar tú …

      Saludos!

  9. Hola porfavor ayuden con este problema.
    Para fijar un poste, desde 11m de altura se tiempla un cable hasta 4,40 m de distancia del pie del poste. Cuanto mide el cable?

    Se va a pintar una pared de 7.8m de altura. A que distancia de su pie debe colocarse una escalera de 8.2m de largo?

    1. Justo Fernández

      Hola Xavier!

      Tienes que darte cuenta que en los dos ejercicios puedes aplicar el teorema de Pitágoras, porque se forman triángulos rectángulos.
      Recuerda que siempre se cumplirá que (hipotenusa)^2=(cateto)^2+(cateto)^2

      Sustituyendo los datos, las soluciones son: 11’85 metros mide el cable y 2’53 m. de distancia

      Saludos!

  10. karolaine villero

    hola necesito ayuda con un problema por fa para que me ayuden dice un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de un 1,3 metros¿ que altura tendrá un árbol que ala misma hora proyecta un asombra de 4 metros?

    1. Justo Fernández

      Hola Karolaine,

      Se trata de triángulos semejantes. Tienes que aplicar el teorema de Tales, estableciendo esta igualdad: 3/1’3 = x/4
      Despenjando obtienes que x=9’23 metros

      Saludos 😉

  11. EXCELENTE VIDEO Y SOBRE TODO LA SOLUCION DE PROBLEMAS BASTANTE DINAMICOS, POR ESO CADA VEZ CREO MAS, EN QUE, DIOS UTILIZO LAS MATEMATICAS COMO EL ALFABETO PARA ESCRIBIR EL UNIVERSO. SALUDOS.

    1. Justo Fernández

      Muchas gracias Márquez !
      La verdad es que observando los patrones de la naturaleza, da que pensar …
      Galileo Galilei, uno de los grandes genios de la humanidad acuño la célebre frase que comentas: “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”
      Saludos!

  12. Jose Delgado

    excelente anécdotas practicas sobre matemáticas, es un buenísimo material que compartir con mis estudiantes, por que yo soy docente, muchísimas gracias.

    1. Justo Fernández

      Gracias! Me alegro que te haya gustado.
      Las matemáticas tienen muchas aplicaciones prácticas. Imagínate por un momento que no existieran los números. La vida sería muy complicada …
      Un abrazo.

      1. Tienes toda la razón si números no podríamos contar ni medir ni saber los precios e la comida….

      2. Justo Fernández

        Como acaba de decir Louis Nirenberg (el reciente premio Abel) … “Las matemáticas son el centro de la vida”

        Saludos Andrea! 😉

    1. Justo Fernández

      Agradezco tu interés Ignacio. Te he enviado a tu correo documentos que te pueden ser de utilidad. Saludos

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