Función cuadrática: fórmula, gráfica, vértice y ejemplos

Q: ¿Qué es una función cuadrática?

Es una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, con a distinto de 0. Su gráfica es una parábola. Por ejemplo, f(x) = x² − 2x − 3 es una función cuadrática.

Q: ¿Cómo se calcula el vértice de una función cuadrática?

La abscisa es x_v = −b / (2a), y la ordenada se obtiene sustituyendo: y_v = f(x_v). En f(x) = x² − 2x − 3, x_v = 1 e y_v = −4, así que el vértice es V(1, −4).

Q: ¿Cómo sé si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

Se mira el signo de a. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si a es negativo, se abre hacia abajo y el vértice es un máximo.

Q: ¿Cuántos cortes con el eje X puede tener una función cuadrática?

Ninguno, uno o dos, según el discriminante Δ = b² − 4ac. Si Δ es positivo, hay dos cortes. Si Δ es cero, hay uno, que es el vértice. Si Δ es negativo, no hay ninguno.

Q: ¿Qué diferencia hay entre una función cuadrática y una ecuación de segundo grado?

La función f(x) = ax² + bx + c asigna un valor a cada x y tiene una gráfica. La ecuación ax² + bx + c = 0 pregunta para qué valores de x la función vale 0, y sus soluciones son los cortes con el eje X.

Q: ¿Cómo se halla la ecuación de una parábola?

Con tres puntos, se sustituye cada uno en y = ax² + bx + c y se resuelve el sistema. Con el vértice (h, k) y otro punto, se usa y = a(x − h)² + k y se despeja a. Si se conocen los cortes con el eje X, se usa y = a(x − x1)(x − x2).

Justo Fernández

hace 7 horas · Actualizado hace 7 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es una función cuadrática? Definición y ejemplos
Gráfica de la función cuadrática: la parábola y el efecto de a, b y c
Elementos de la parábola: vértice, ejes, cortes y recorrido
Cómo representar una función cuadrática paso a paso
Formas de la función cuadrática: general, canónica y factorizada
Lo más importante
Errores frecuentes
🧮 Calculadora de la función cuadrática
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios de función cuadrática resueltos

¿Qué es una función cuadrática y cómo se representa? Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) con \(a\ne 0\), y su gráfica es una parábola. En esta guía tienes la definición, el efecto de cada coeficiente, el vértice, los cortes con los ejes, cómo representarla paso a paso, ejercicios resueltos y una calculadora.

⚡ Función cuadrática en 30 segundos
Una función cuadrática tiene esta forma, con \(a\ne 0\):

\[f(x)=ax^{2}+bx+c\]

Su gráfica es una parábola: se abre hacia arriba si \(a\gt 0\) y hacia abajo si \(a\lt 0\). El vértice está en \(x=-\dfrac{b}{2a}\) y corta al eje \(OY\) en \((0,c)\).

Ejemplo: \(f(x)=x^{2}-2x-3\) tiene vértice \((1,-4)\) y corta al eje \(OX\) en \((-1,0)\) y \((3,0)\).

¿Qué es una función cuadrática? Definición y ejemplos

Una función cuadrática es una función cuya expresión es un polinomio de segundo grado:

\[f(x)=ax^{2}+bx+c\]

Aquí \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y \(a\ne 0\). Si \(a=0\), el término en \(x^{2}\) desaparece y la función es una recta. El dominio de una función cuadrática son todos los números reales, porque se puede calcular \(f(x)\) para cualquier valor de \(x\).

Coeficiente	Se llama	Qué determina
\(a\)	Coeficiente cuadrático (nunca es 0)	Si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, y lo ancha que es
\(b\)	Coeficiente lineal	Junto con \(a\), la posición del vértice
\(c\)	Término independiente	El corte con el eje \(OY\), que es el punto \((0,c)\)

Si \(b=0\) o \(c=0\), la función se llama incompleta, pero sigue siendo cuadrática. Estos son algunos ejemplos y contraejemplos:

Función	¿Es cuadrática?	Por qué
\(f(x)=2x^{2}-4x+1\)	Sí	Tiene \(a=2\), \(b=-4\) y \(c=1\)
\(f(x)=-3x^{2}+5\)	Sí	Es incompleta, con \(a=-3\), \(b=0\) y \(c=5\)
\(f(x)=x^{2}+6x\)	Sí	Es incompleta, con \(a=1\), \(b=6\) y \(c=0\)
\(f(x)=3x+2\)	No	No tiene término en \(x^{2}\), es una recta
\(f(x)=x^{3}-x\)	No	Es de grado 3
\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\)	No	La \(x\) está en el denominador, así que no es un polinomio

Ejemplo 1: identifico \(a\), \(b\) y \(c\) en \(f(x)=3-x^{2}+2x\).

Ordeno los términos de mayor a menor grado:\[f(x)=-x^{2}+2x+3\]
Leo los coeficientes: \(a=-1\), \(b=2\) y \(c=3\).

Gráfica de la función cuadrática: la parábola y el efecto de a, b y c

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, una curva simétrica respecto de una recta vertical que se llama eje de simetría. El punto en el que la curva cambia de sentido es el vértice.

Cuatro parábolas con el mismo vértice en el origen. La parábola y igual a x al cuadrado, la y igual a dos x al cuadrado, más estrecha, la y igual a un medio de x al cuadrado, más ancha, y la y igual a menos x al cuadrado, que se abre hacia abajo

El coeficiente \(a\) decide la forma de la parábola:

Si…	Entonces la parábola…
\(a\gt 0\)	Se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo
\(a\lt 0\)	Se abre hacia abajo y el vértice es un máximo
\(\|a\|\) es grande	Es más estrecha, como \(y=2x^{2}\) respecto de \(y=x^{2}\)
\(\|a\|\) es pequeño	Es más ancha, como \(y=\frac{1}{2}x^{2}\) respecto de \(y=x^{2}\)

El coeficiente \(c\) es la ordenada en el origen: la parábola corta al eje \(OY\) en \((0,c)\), así que \(c\) sube o baja la gráfica. El coeficiente \(b\) desplaza el vértice, cuya abscisa es \(x_v=-\frac{b}{2a}\).

Ejemplo 2: sin dibujar nada, describo la parábola de \(f(x)=-3x^{2}+x+4\).

Miro el signo de \(a\): \(a=-3\) es negativo, así que se abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
Miro el tamaño de \(a\): \(|a|=3\) es mayor que 1, así que es más estrecha que \(y=x^{2}\).
Miro \(c\): \(c=4\), así que corta al eje \(OY\) en \((0,4)\).

Gráfica y fórmula de una función cuadrática

Elementos de la parábola: vértice, ejes, cortes y recorrido

Para estudiar y dibujar una función cuadrática basta con conocer estos elementos, que se calculan siempre a partir de \(a\), \(b\) y \(c\).

Elemento	Cómo se calcula	Qué es
Vértice	\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) y \(y_v=f(x_v)\)	El punto más alto o más bajo de la parábola
Eje de simetría	La recta \(x=x_v\)	La recta vertical que divide la parábola en dos mitades iguales
Corte con \(OY\)	\((0,c)\)	El punto donde \(x=0\)
Cortes con \(OX\)	Las soluciones de \(ax^{2}+bx+c=0\)	Los puntos donde \(y=0\), si existen
Recorrido	\([y_v,+\infty)\) si \(a\gt 0\), y \((-\infty,y_v]\) si \(a\lt 0\)	Los valores que toma \(y\)

El vértice tiene su propio artículo, vértice de una parábola, con la forma canónica y el foco. Los cortes con el eje \(OX\) son las raíces de la función, y se obtienen con la fórmula de las ecuaciones de segundo grado:

\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

El número de cortes lo marca el discriminante \(\Delta=b^{2}-4ac\):

\(\Delta\)	Cortes con \(OX\)	Ejemplo
\(\Delta\gt 0\)	Dos cortes	\(x^{2}-2x-3\)
\(\Delta=0\)	Un corte, el vértice	\(x^{2}-2x+1\)
\(\Delta\lt 0\)	Ningún corte	\(x^{2}+2x+5\)

Si \(\Delta\lt 0\), la parábola queda toda por encima del eje \(OX\) cuando \(a\gt 0\), y toda por debajo cuando \(a\lt 0\).

Ejemplo 3: hallo los elementos de \(f(x)=x^{2}-2x-3\).

Identifico los coeficientes: \(a=1\), \(b=-2\) y \(c=-3\). Como \(a\gt 0\), se abre hacia arriba.
Calculo el vértice:\[x_v=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1\]\[f(1)=1^{2}-2\cdot 1-3=-4\]El vértice es \(V(1,-4)\) y el eje de simetría es \(x=1\).
Corte con \(OY\): \((0,-3)\).
Cortes con \(OX\): como \(\Delta=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=16\), hay dos.\[x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2}\]Salen \(x=3\) y \(x=-1\), es decir, los puntos \((-1,0)\) y \((3,0)\).
Recorrido: como el mínimo es \(-4\), es \([-4,+\infty)\).

Ejemplo 4: estudio \(f(x)=-x^{2}+4x-5\), que no corta al eje \(OX\).

Coeficientes: \(a=-1\), \(b=4\) y \(c=-5\). Como \(a\lt 0\), se abre hacia abajo.
Vértice:\[x_v=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2\]\[f(2)=-4+8-5=-1\]El vértice es \(V(2,-1)\).
Discriminante: \(\Delta=4^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-5)=-4\), que es negativo, así que no hay cortes con \(OX\).
Conclusión: la parábola queda toda por debajo del eje \(OX\), y el recorrido es \((-\infty,-1]\).

Cómo representar una función cuadrática paso a paso

Para dibujar la parábola no hace falta una tabla enorme. Con estos pasos tienes la gráfica en pocos minutos:

Mira el signo de \(a\) para saber si se abre hacia arriba o hacia abajo.
Calcula el vértice con \(x_v=-\frac{b}{2a}\) y \(y_v=f(x_v)\), y dibuja el eje de simetría.
Halla los cortes con el eje \(OY\), \((0,c)\), y con el eje \(OX\), si existen.
Haz una tabla de valores con puntos a los dos lados del vértice. Por la simetría, basta calcular un lado y copiar el otro.
Une los puntos con una curva suave, sin picos.

Ejemplo 5: represento \(f(x)=-x^{2}+2x+3\).

Signo de \(a\): \(a=-1\) es negativo, así que se abre hacia abajo.
Vértice:\[x_v=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1\]\[f(1)=-1+2+3=4\]El vértice es \(V(1,4)\).
Cortes: con \(OY\) es \((0,3)\). Como \(\Delta=2^{2}-4\cdot(-1)\cdot 3=16\), con \(OX\) hay dos:\[x=\dfrac{-2\pm 4}{-2}\]Salen \(x=-1\) y \(x=3\), es decir, \((-1,0)\) y \((3,0)\).
Tabla de valores: la tienes debajo. Es simétrica respecto de \(x=1\).
Dibujo: uno los puntos con una curva suave y obtengo la gráfica de la figura.

\(x\)	−2	−1	0	1	2	3	4
\(f(x)\)	−5	0	3	4	3	0	−5

Gráfica de la función f de x igual a menos x al cuadrado más dos x más tres. Es una parábola que se abre hacia abajo, con vértice en el punto uno, cuatro, cortes con el eje horizontal en menos uno, cero y tres, cero, corte con el eje vertical en cero, tres y eje de simetría en la recta x igual a uno

Si quieres comprobar tu dibujo con una herramienta digital, mira cómo representar funciones fácilmente.

Formas de la función cuadrática: general, canónica y factorizada

Una misma función cuadrática se puede escribir de tres formas. Cada una deja ver un dato de la gráfica a simple vista:

Forma	Expresión	Qué se ve a simple vista
General	\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)	El corte con \(OY\), \((0,c)\)
Canónica	\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\)	El vértice, \(V(h,k)\)
Factorizada	\(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\)	Los cortes con \(OX\), \(x_{1}\) y \(x_{2}\)

La forma canónica sale de completar cuadrados, y el método lo tienes en vértice de una parábola. La factorizada solo existe si la parábola corta al eje \(OX\), y se obtiene con las raíces o con la factorización de polinomios.

Ejemplo 6: paso \(f(x)=2(x-1)(x-3)\) a las formas general y canónica.

Multiplico los paréntesis:\[(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3\]
Multiplico por 2 y obtengo la forma general:\[f(x)=2x^{2}-8x+6\]
Calculo el vértice:\[x_v=-\dfrac{-8}{2\cdot 2}=2\]\[f(2)=2\cdot 4-16+6=-2\]
Escribo la forma canónica con \(h=2\) y \(k=-2\):\[f(x)=2(x-2)^{2}-2\]

Ejemplo 7: busco la parábola de vértice \(V(1,-2)\) que pasa por el punto \((3,6)\).

Uso la forma canónica con el vértice:\[f(x)=a(x-1)^{2}-2\]
Sustituyo el punto \((3,6)\) y despejo \(a\):\[6=a(3-1)^{2}-2\]\[8=4a\]Sale \(a=2\).
Escribo la función y la desarrollo:\[f(x)=2(x-1)^{2}-2=2x^{2}-4x\]

Concepto	Qué recordar
Gráfica	Una parábola, simétrica respecto de una recta vertical
Concavidad	Si \(a\gt 0\), se abre hacia arriba y tiene un mínimo. Si \(a\lt 0\), se abre hacia abajo y tiene un máximo
Vértice	\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) y \(y_v=f(x_v)\)
Eje de simetría	\(x=x_v\)
Corte con \(OY\)	\((0,c)\)
Cortes con \(OX\)	\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\), con \(\Delta=b^{2}-4ac\)
Discriminante	Si \(\Delta\gt 0\), dos cortes. Si \(\Delta=0\), uno. Si \(\Delta\lt 0\), ninguno
Dominio	Todos los reales, \(\mathbb{R}\)
Recorrido	\([y_v,+\infty)\) si \(a\gt 0\), y \((-\infty,y_v]\) si \(a\lt 0\)
Formas	General \(ax^{2}+bx+c\), canónica \(a(x-h)^{2}+k\) y factorizada \(a(x-x_{1})(x-x_{2})\)

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:

Olvidar el signo menos en el vértice. Es \(x_v=-\frac{b}{2a}\). En \(f(x)=x^{2}-4x+1\), \(x_v=-\frac{-4}{2}=2\), y no \(-2\).
Confundir el vértice con el corte con \(OY\). La parábola corta al eje \(OY\) en \((0,c)\), y solo coincide con el vértice si \(b=0\). En \(f(x)=x^{2}-4x+1\) corta en \((0,1)\), pero el vértice es \((2,-3)\).
Creer que siempre corta al eje \(OX\). Si \(\Delta\lt 0\), no lo corta. Por ejemplo, \(f(x)=x^{2}+1\) está siempre por encima del eje.
Leer mal el signo en la forma canónica. \(f(x)=(x+3)^{2}-1\) tiene el vértice en \(x=-3\), no en \(x=3\), porque \(x+3=x-(-3)\).
Olvidar que \(a\) no puede ser 0. Con \(a=0\), \(f(x)=0x^{2}+3x-1\) es una recta, no una parábola.

🧮 Calculadora de la función cuadrática

Tienes tres pestañas. En «Elementos» escribes \(a\), \(b\) y \(c\), y te doy el vértice, el eje, los cortes con los ejes, las formas de la ecuación y el recorrido. En «Por 3 puntos» escribes tres puntos y calculo la ecuación de la parábola que pasa por ellos. Y en «Vértice y punto» calculo la ecuación a partir del vértice y de otro punto.

🌍 Para qué sirven las funciones cuadráticas

🏀 LanzamientosLa altura de un balón lanzado hacia arriba sigue una parábola. Si \(h(t)=-5t^{2}+20t\), el balón sube hasta \(h(2)=20\) m y vuelve al suelo cuando \(t=4\) s.

💶 EconomíaEl beneficio de una empresa suele modelarse con una función cuadrática, y su vértice da la producción con la que se gana más. Es un problema típico de optimización.

📡 Antenas y farosLas antenas parabólicas y los faros de los coches tienen forma de parábola, porque concentran o reflejan los rayos en un punto, el foco. Es una de las cónicas.

🌉 PuentesLos cables principales de un puente colgante forman, aproximadamente, una parábola. También son parábolas muchos arcos de puentes y túneles.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Función cuadrática

Es la función \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), con \(a\ne 0\). Su gráfica es una parábola.

Signo de a

Si \(a\gt 0\), la parábola se abre hacia arriba y tiene un mínimo. Si \(a\lt 0\), se abre hacia abajo y tiene un máximo.

Vértice

\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) y \(y_v=f(x_v)\). Por ejemplo, en \(x^{2}-2x-3\), el vértice es \(V(1,-4)\).

Cortes con los ejes

Con \(OY\), el punto \((0,c)\). Con \(OX\), las soluciones de \(ax^{2}+bx+c=0\), si existen.

Discriminante

\(\Delta=b^{2}-4ac\). Si \(\Delta\gt 0\), hay dos cortes con \(OX\). Si \(\Delta=0\), uno. Si \(\Delta\lt 0\), ninguno.

Formas de la ecuación

General \(ax^{2}+bx+c\), canónica \(a(x-h)^{2}+k\), con vértice \((h,k)\), y factorizada \(a(x-x_{1})(x-x_{2})\), con cortes \(x_{1}\) y \(x_{2}\).

⭐ Ejercicios de función cuadrática resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

EJERCICIO 1Elementos de una parábola

📝 EnunciadoHalla el vértice y los cortes con los ejes de \(f(x)=x^{2}-6x+5\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Los coeficientes son \(a=1\), \(b=-6\) y \(c=5\).
Paso 2. Calculo el vértice:\[x_v=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3\]\[f(3)=9-18+5=-4\]
Paso 3. El corte con \(OY\) es \((0,5)\).
Paso 4. El discriminante es \(\Delta=36-20=16\), así que:\[x=\dfrac{6\pm 4}{2}\]Salen \(x=1\) y \(x=5\).

✅ Resultado: Vértice \(V(3,-4)\), corte con \(OY\) en \((0,5)\) y cortes con \(OX\) en \((1,0)\) y \((5,0)\).

EJERCICIO 2Máximo, cortes y recorrido

📝 EnunciadoEstudia \(f(x)=-2x^{2}+4x+6\): vértice, cortes con \(OX\) y recorrido.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Como \(a=-2\) es negativo, se abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
Paso 2. Calculo el vértice:\[x_v=-\dfrac{4}{2\cdot(-2)}=1\]\[f(1)=-2+4+6=8\]
Paso 3. El discriminante es \(\Delta=16+48=64\), así que:\[x=\dfrac{-4\pm 8}{-4}\]Salen \(x=-1\) y \(x=3\).
Paso 4. Como el máximo es \(8\), el recorrido es \((-\infty,8]\).

✅ Resultado: Vértice \(V(1,8)\), cortes con \(OX\) en \((-1,0)\) y \((3,0)\) y recorrido \((-\infty,8]\).

EJERCICIO 3Una parábola sin cortes

📝 EnunciadoEstudia \(f(x)=x^{2}+4x+7\) y decide si corta al eje \(OX\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Como \(a=1\) es positivo, se abre hacia arriba.
Paso 2. Calculo el vértice:\[x_v=-\dfrac{4}{2\cdot 1}=-2\]\[f(-2)=4-8+7=3\]
Paso 3. El discriminante es \(\Delta=16-28=-12\), que es negativo, así que no corta al eje \(OX\).
Paso 4. El mínimo es \(3\), así que el recorrido es \([3,+\infty)\), y corta al eje \(OY\) en \((0,7)\).

✅ Resultado: Vértice \(V(-2,3)\), no corta al eje \(OX\) y el recorrido es \([3,+\infty)\).

EJERCICIO 4Cortes con raíces irracionales

📝 EnunciadoHalla los cortes con el eje \(OX\) de \(f(x)=x^{2}-4x+1\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. El discriminante es \(\Delta=16-4=12\), que no es un cuadrado perfecto.
Paso 2. Aplico la fórmula y simplifico \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\):\[x=\dfrac{4\pm\sqrt{12}}{2}\]\[x=\dfrac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\]
Paso 3. En decimales, \(x\approx 0{,}27\) y \(x\approx 3{,}73\).
Paso 4. El vértice es \(V(2,-3)\), porque \(f(2)=4-8+1=-3\).

✅ Resultado: Cortes en \(x=2-\sqrt{3}\approx 0{,}27\) y \(x=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73\).

EJERCICIO 5Ecuación a partir de tres puntos

📝 EnunciadoHalla la parábola \(y=ax^{2}+bx+c\) que pasa por \((0,3)\), \((1,0)\) y \((3,0)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Sustituyo cada punto:\[c=3\]\[a+b+c=0\]\[9a+3b+c=0\]
Paso 2. Con \(c=3\), las otras dos quedan \(a+b=-3\) y \(9a+3b=-3\). Divido la segunda entre 3:\[3a+b=-1\]
Paso 3. Resto \(a+b=-3\) de \(3a+b=-1\):\[2a=2\]Sale \(a=1\) y, como \(a+b=-3\), \(b=-4\).
Comprobación: \(f(1)=1-4+3=0\) y \(f(3)=9-12+3=0\).

✅ Resultado: \(y=x^{2}-4x+3\).

EJERCICIO 6Problema de área máxima

📝 EnunciadoCon 40 m de valla se quiere cercar un rectángulo. Calcula sus dimensiones para que el área sea máxima.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Si los lados miden \(x\) e \(y\), el perímetro es \(2x+2y=40\), así que \(y=20-x\).
Paso 2. El área es una función cuadrática de \(x\):\[A(x)=x(20-x)=-x^{2}+20x\]
Paso 3. Como \(a=-1\) es negativo, el máximo está en el vértice:\[x_v=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10\]
Paso 4. Entonces \(y=20-10=10\) y el área es \(A(10)=10\cdot 10=100\).

✅ Resultado: El rectángulo es un cuadrado de \(10\) m de lado, y su área máxima es \(100\) m\(^{2}\).

❓ Preguntas frecuentes sobre la función cuadrática

🤔 ¿Qué es una función cuadrática?

Es una función de la forma \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), con \(a\ne 0\). Su gráfica es una parábola. Por ejemplo, \(f(x)=x^{2}-2x-3\) es una función cuadrática.

🤔 ¿Cómo se calcula el vértice de una función cuadrática?

La abscisa es \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\), y la ordenada se obtiene sustituyendo: \(y_v=f(x_v)\). En \(f(x)=x^{2}-2x-3\), \(x_v=1\) e \(y_v=-4\), así que el vértice es \(V(1,-4)\).

🤔 ¿Cómo sé si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

Se mira el signo de \(a\). Si \(a\gt 0\), se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si \(a\lt 0\), se abre hacia abajo y el vértice es un máximo.

🤔 ¿Cuántos cortes con el eje X puede tener una función cuadrática?

Ninguno, uno o dos, según el discriminante \(\Delta=b^{2}-4ac\). Si \(\Delta\gt 0\), hay dos cortes. Si \(\Delta=0\), hay uno, que es el vértice. Si \(\Delta\lt 0\), no hay ninguno.

🤔 ¿Qué diferencia hay entre una función cuadrática y una ecuación de segundo grado?

La función \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) asigna un valor a cada \(x\) y tiene una gráfica. La ecuación \(ax^{2}+bx+c=0\) pregunta para qué valores de \(x\) la función vale 0, y sus soluciones son los cortes con el eje \(OX\).

🤔 ¿Cómo se halla la ecuación de una parábola?

Con tres puntos, se sustituye cada uno en \(y=ax^{2}+bx+c\) y se resuelve el sistema. Con el vértice \((h,k)\) y otro punto, se usa \(y=a(x-h)^{2}+k\) y se despeja \(a\). Si se conocen los cortes con \(OX\), se usa \(y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\).

📚 Resumen final

Una función cuadrática es \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), con \(a\ne 0\), y su gráfica es una parábola.
El signo de \(a\) decide si se abre hacia arriba o hacia abajo.
El vértice está en \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\), con \(y_v=f(x_v)\), y el eje de simetría es \(x=x_v\).
Corta al eje \(OY\) en \((0,c)\) y al eje \(OX\) en las soluciones de \(ax^{2}+bx+c=0\), según el discriminante.
Se puede escribir en forma general, canónica y factorizada.

Conclusión

Para estudiar una función cuadrática, mira el signo de a, calcula el vértice y los cortes con los ejes, y une los puntos con una curva simétrica. Recuerda las tres formas de la ecuación, practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

Sigue aprendiendo

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...