Producto vectorial: qué es, fórmula y calculadora online

Q: ¿Qué diferencia hay entre el producto escalar y el producto vectorial?

El producto escalar da un número, u · v = |u| |v| cos θ, y sirve para ángulos y proyecciones. El vectorial da un vector perpendicular a los dos, de módulo |u| |v| sen θ, y sirve para áreas y volúmenes. El escalar es conmutativo y el vectorial es anticonmutativo.

Q: ¿Qué significa que el producto vectorial sea cero?

Significa que los dos vectores son paralelos, porque sen θ = 0 cuando θ = 0° o θ = 180°, o que alguno de los dos es el vector nulo. Por ejemplo, (1, 2, 3) × (2, 4, 6) = (0, 0, 0).

Q: ¿El producto vectorial es conmutativo?

No, es anticonmutativo: u × v = −(v × u). Al cambiar el orden se conserva el módulo, pero el sentido es el contrario. Tampoco es asociativo: (i × i) × j = 0, pero i × (i × j) = −j.

Justo Fernández

hace 2 días · Actualizado hace 2 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es el producto vectorial? Definición y características
Fórmula del producto vectorial con componentes
Sentido del producto vectorial: regla de la mano derecha
Propiedades del producto vectorial
Módulo del producto vectorial y ángulo entre dos vectores
Área de un paralelogramo y de un triángulo con el producto vectorial
Chuleta: fórmulas del producto vectorial
Errores frecuentes
🧮 Calculadora del producto vectorial
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios de producto vectorial resueltos

¿Qué es el producto vectorial y cómo se calcula? El producto vectorial de dos vectores del espacio es otro vector, perpendicular a los dos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman. Se escribe \(\vec{u}\times\vec{v}\) y se calcula con un determinante. No te preocupes que te lo explico todo con detalle, con ejemplos y ejercicios resueltos.

⚡ Producto vectorial en 30 segundos
El producto vectorial de \(\vec{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3)\) y \(\vec{v}=(v_1,\ v_2,\ v_3)\) es un vector que se calcula con las componentes y cuyo módulo depende del ángulo \(\theta\) que forman:

\[\vec{u}\times\vec{v}=\pmatrix{u_2v_3-u_3v_2\cr u_3v_1-u_1v_3\cr u_1v_2-u_2v_1}\]\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\]

Es perpendicular a \(\vec{u}\) y a \(\vec{v}\), su sentido lo da la regla de la mano derecha y su módulo es el área del paralelogramo que forman los dos vectores. Vale \(\vec{0}\) cuando los vectores son paralelos.

¿Qué es el producto vectorial? Definición y características

El producto vectorial, que también se llama producto cruz o producto cruzado, es una operación entre dos vectores de tres dimensiones. Se escribe \(\vec{u}\times\vec{v}\), o \(\vec{u}\wedge\vec{v}\), y su resultado es un vector. Esa es la gran diferencia con el producto escalar, que devuelve un número.

Dados dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) que no son paralelos, el vector \(\vec{u}\times\vec{v}\) queda definido por tres condiciones:

Dirección. Es perpendicular a \(\vec{u}\) y a \(\vec{v}\), es decir, perpendicular al plano que forman.
Sentido. Es el que indica la regla de la mano derecha, que verás en la tercera sección.
Módulo. Vale \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\), donde \(\theta\) es el ángulo entre los dos vectores, con \(0^\circ\le\theta\le 180^\circ\).

\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\]

Ese módulo tiene un significado geométrico muy útil: es el área del paralelogramo cuyos lados son \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). Si los vectores son paralelos, \(\theta=0^\circ\) o \(\theta=180^\circ\), el seno vale 0 y el producto vectorial es el vector nulo \(\vec{0}\). Y para no confundirlo con el producto escalar:

	Producto escalar	Producto vectorial
Resultado	Un número	Un vector
Sirve para	Ángulos y proyecciones	Áreas y vectores perpendiculares
Orden	Conmutativo	Anticonmutativo
Dimensión	Cualquiera	Espacio de tres dimensiones

Dos vectores u y v que salen del mismo punto y forman un paralelogramo en un plano

Fórmula del producto vectorial con componentes

Si \(\vec{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3)\) y \(\vec{v}=(v_1,\ v_2,\ v_3)\), el producto vectorial se calcula componente a componente con esta fórmula:

\[\vec{u}\times\vec{v}=\pmatrix{u_2v_3-u_3v_2\cr u_3v_1-u_1v_3\cr u_1v_2-u_2v_1}\]

Es difícil de memorizar, así que se usa un determinante simbólico de orden 3. En la primera fila se ponen los vectores de la base canónica, \(\vec{i}=(1,\ 0,\ 0)\), \(\vec{j}=(0,\ 1,\ 0)\) y \(\vec{k}=(0,\ 0,\ 1)\), y en las otras dos filas, las componentes de \(\vec{u}\) y de \(\vec{v}\):

\(\vec{u}\times\vec{v}=\)\(\vec{i}\)\(\vec{j}\)\(\vec{k}\)\(u_1\)\(u_2\)\(u_3\)\(v_1\)\(v_2\)\(v_3\)

Se desarrolla por la primera fila. Cada componente es un determinante de orden 2, y la de \(\vec{j}\) lleva signo menos:

\[\vec{u}\times\vec{v}=\vec{i}\,(u_2v_3-u_3v_2)-\vec{j}\,(u_1v_3-u_3v_1)\]\[+\vec{k}\,(u_1v_2-u_2v_1)\]

Para calcularlo en la práctica sigue estos pasos:

Escribe el determinante con \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) y \(\vec{k}\) en la primera fila y los vectores en las otras dos, en el orden del producto.
Desarrolla por la primera fila. Para cada letra, tapa su columna y calcula el determinante de orden 2 que queda, multiplicando en cruz.
Pon el signo menos delante de la componente de \(\vec{j}\).
Escribe el resultado como \((x,\ y,\ z)\) y compruébalo con el producto escalar: tiene que dar 0 con cada uno de los dos vectores.

Ejemplo 1: calculo \(\vec{u}\times\vec{v}\) con \(\vec{u}=(2,\ 1,\ 3)\) y \(\vec{v}=(1,\ -1,\ 2)\).

Escribo el determinante:
\(\vec{u}\times\vec{v}=\)\(\vec{i}\)\(\vec{j}\)\(\vec{k}\)\(2\)\(1\)\(3\)\(1\)\(-1\)\(2\)
Lo desarrollo por la primera fila:\[\vec{u}\times\vec{v}\]\[=\vec{i}\,(1\cdot 2-3\cdot(-1))-\vec{j}\,(2\cdot 2-3\cdot 1)\]\[+\vec{k}\,(2\cdot(-1)-1\cdot 1)\]
Calculo cada paréntesis:\[\vec{u}\times\vec{v}=5\vec{i}-\vec{j}-3\vec{k}=(5,\ -1,\ -3)\]
Compruebo que es perpendicular a los dos vectores:\[\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=2\cdot 5+1\cdot(-1)+3\cdot(-3)\]\[=10-1-9=0\]\[\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\]\[=1\cdot 5+(-1)\cdot(-1)+2\cdot(-3)\]\[=5+1-6=0\]

Ejemplo 2: calculo \(\vec{u}\times\vec{v}\) con \(\vec{u}=(3,\ -2,\ 1)\) y \(\vec{v}=(-1,\ 4,\ 2)\), aplicando directamente la fórmula de las componentes.

Primera componente:\[u_2v_3-u_3v_2=(-2)\cdot 2-1\cdot 4=-4-4\]\[=-8\]
Segunda componente:\[u_3v_1-u_1v_3=1\cdot(-1)-3\cdot 2=-1-6\]\[=-7\]
Tercera componente:\[u_1v_2-u_2v_1=3\cdot 4-(-2)\cdot(-1)\]\[=12-2=10\]
Resultado:\[\vec{u}\times\vec{v}=(-8,\ -7,\ 10)\]

💡 Es un determinante de orden 3 con una particularidad. La primera fila no son números, sino los vectores \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) y \(\vec{k}\), y cada componente del resultado es el adjunto de uno de ellos, con los signos \(+\), \(-\) y \(+\). Si quieres repasar el cálculo, mira los artículos de los determinantes y de la matriz adjunta.

Producto vectorial de dos vectores del espacio, con el vector perpendicular y el paralelogramo que forman

Sentido del producto vectorial: regla de la mano derecha

Perpendicular a un plano hay dos direcciones opuestas, hacia un lado o hacia el otro. Para saber cuál es \(\vec{u}\times\vec{v}\) se usa la regla de la mano derecha:

Coloca la mano derecha con los dedos apuntando en la dirección de \(\vec{u}\).
Cierra los dedos girando hacia \(\vec{v}\), por el camino más corto, el del ángulo menor que \(180^\circ\).
El pulgar, estirado, apunta en el sentido de \(\vec{u}\times\vec{v}\).

Otra forma de verlo es la regla del sacacorchos: si giras un sacacorchos de \(\vec{u}\) hacia \(\vec{v}\), avanza en el sentido de \(\vec{u}\times\vec{v}\).

Dos dibujos de los vectores u y v sobre un plano: a la izquierda, al girar de u hacia v, el producto u por v apunta hacia arriba; a la derecha, al girar de v hacia u, el producto v por u apunta hacia abajo, en sentido contrario

El orden importa: el producto vectorial es anticonmutativo

Si cambias el orden de los vectores, el giro de los dedos es el contrario y el pulgar apunta al lado opuesto. El resultado conserva el módulo, pero cambia de sentido:

\[\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})\]

Por ejemplo, con el producto \(\vec{u}\times\vec{v}=(5,\ -1,\ -3)\) del ejemplo anterior, al intercambiar el orden queda \(\vec{v}\times\vec{u}=(-5,\ 1,\ 3)\).

Productos de los vectores i, j y k

Siguen un ciclo, \(\vec{i}\to\vec{j}\to\vec{k}\to\vec{i}\): si multiplicas dos vectores consecutivos siguiendo la flecha, sale el tercero, y en sentido contrario sale el tercero con signo menos. Un vector por sí mismo da \(\vec{0}\). La tabla se lee con la fila primero: la fila \(\vec{j}\) por la columna \(\vec{k}\) es \(\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}\).

\(\times\)	\(\vec{i}\)	\(\vec{j}\)	\(\vec{k}\)
\(\vec{i}\)	\(\vec{0}\)	\(\vec{k}\)	\(-\vec{j}\)
\(\vec{j}\)	\(-\vec{k}\)	\(\vec{0}\)	\(\vec{i}\)
\(\vec{k}\)	\(\vec{j}\)	\(-\vec{i}\)	\(\vec{0}\)

Propiedades del producto vectorial

Estas son las propiedades que más se usan. Fíjate en que algunas se parecen a las de la multiplicación de números, pero otras no:

Propiedad	Expresión
Anticonmutativa	\(\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})\)
Distributiva	\(\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}\)
Con un número \(k\)	\((k\vec{u})\times\vec{v}=k(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{u}\times(k\vec{v})\)
Un vector consigo mismo	\(\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}\)
Paralelismo	\(\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}\iff\vec{u}\parallel\vec{v}\)
Perpendicularidad	\(\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0\) y \(\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0\)
No es asociativa	\((\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}\ne\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})\)

La propiedad del paralelismo vale para vectores no nulos: si \(\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}\), o uno de los vectores es el nulo, o los dos son paralelos. Y como no es asociativa, hay que dejar claros los paréntesis: \((\vec{i}\times\vec{i})\times\vec{j}=\vec{0}\), pero \(\vec{i}\times(\vec{i}\times\vec{j})=-\vec{j}\).

Ejemplo: hallo \(k\) para que \(\vec{u}=(1,\ 2,\ k)\) y \(\vec{v}=(2,\ 4,\ 6)\) sean paralelos, usando el producto vectorial.

Calculo el producto vectorial:\[\vec{u}\times\vec{v}\]\[=(2\cdot 6-k\cdot 4,\ k\cdot 2-1\cdot 6,\]\[1\cdot 4-2\cdot 2)\]\[=(12-4k,\ 2k-6,\ 0)\]
Impongo que sea el vector nulo, porque dos vectores son paralelos si su producto vectorial es \(\vec{0}\). Las dos primeras componentes tienen que valer 0:\[12-4k=0\quad\Rightarrow\quad k=3\]\[2k-6=0\quad\Rightarrow\quad k=3\]
Conclusión: los vectores son paralelos cuando \(k=3\). En ese caso \(\vec{v}=2\vec{u}\).

Módulo del producto vectorial y ángulo entre dos vectores

El módulo de \(\vec{u}\times\vec{v}\) se puede calcular de dos formas. La primera usa los módulos de los vectores y el ángulo que forman, y la segunda, las componentes \((x,\ y,\ z)\) del resultado:

\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\]\[|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

De la primera se despeja el seno del ángulo que forman los dos vectores:

\[\operatorname{sen}\theta=\frac{|\vec{u}\times\vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\]

Ejemplo: calculo el módulo de \(\vec{u}\times\vec{v}\) y el ángulo entre \(\vec{u}=(2,\ 1,\ 3)\) y \(\vec{v}=(1,\ -1,\ 2)\).

Producto vectorial. Ya lo calculé en la sección de la fórmula: \(\vec{u}\times\vec{v}=(5,\ -1,\ -3)\).
Módulo:\[|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{5^2+(-1)^2+(-3)^2}\]\[=\sqrt{25+1+9}=\sqrt{35}\approx 5{,}9161\]
Seno del ángulo, con \(|\vec{u}|=\sqrt{14}\) y \(|\vec{v}|=\sqrt{6}\):\[\operatorname{sen}\theta=\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{84}}\approx 0{,}6455\]
Ángulo. El producto escalar vale \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-1+6=7\), que es positivo, así que el ángulo es agudo:\[\theta=\operatorname{arcsen}0{,}6455\approx 40{,}20^\circ\]

⚠️ Para el ángulo, mejor el producto escalar. El seno vale lo mismo para un ángulo y para su suplementario, por ejemplo \(\operatorname{sen}40^\circ=\operatorname{sen}140^\circ\), así que \(\operatorname{arcsen}\) solo devuelve ángulos agudos. El coseno, que sale del producto escalar, sí distingue entre agudo y obtuso. Mira el artículo del coseno si necesitas repasarlo.

Área de un paralelogramo y de un triángulo con el producto vectorial

El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que forman los dos vectores. Se ve con la figura: la base es \(|\vec{u}|\) y la altura es \(|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\), y base por altura da justo \(|\vec{u}\times\vec{v}|\). La diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales, así que el área del triángulo es la mitad:

\[A_{\text{paralelogramo}}=|\vec{u}\times\vec{v}|\]\[A_{\text{triángulo}}=\frac{1}{2}\,|\vec{u}\times\vec{v}|\]

Paralelogramo de lados u y v con el ángulo theta, la altura trazada desde el extremo de v hasta el lado u y la diagonal que lo divide en dos triángulos iguales, con las fórmulas del área del paralelogramo y del triángulo con el producto vectorial

Triángulo a partir de sus tres vértices

Si conoces los vértices \(A\), \(B\) y \(C\) de un triángulo del espacio, calculas los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\), su producto vectorial, y la mitad de su módulo es el área:

\[S_{ABC}=\frac{1}{2}\,\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\]

Ejemplo: calculo el área del triángulo de vértices \(A(1,\ 0,\ 1)\), \(B(2,\ 2,\ 3)\) y \(C(0,\ 3,\ 2)\).

Calculo los vectores restando las coordenadas de \(A\):\[\overrightarrow{AB}=(2-1,\ 2-0,\ 3-1)=(1,\ 2,\ 2)\]\[\overrightarrow{AC}=(0-1,\ 3-0,\ 2-1)\]\[=(-1,\ 3,\ 1)\]
Producto vectorial:\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\]\[=(2\cdot 1-2\cdot 3,\ 2\cdot(-1)-1\cdot 1,\]\[1\cdot 3-2\cdot(-1))\]\[=(-4,\ -3,\ 5)\]
Módulo:\[\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{16+9+25}=\sqrt{50}\]\[=5\sqrt{2}\]
Área del triángulo, la mitad:\[S=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]\[\approx 3{,}5355\text{ unidades cuadradas}\]

Con vectores del plano, \((u_1,\ u_2)\) y \((v_1,\ v_2)\), se completan con una tercera componente 0 y el área del paralelogramo es \(|u_1v_2-u_2v_1|\). Además, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) es un vector normal del plano que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\). Para polígonos de más lados, se divide la figura en triángulos y se suman las áreas, como verás en el artículo del área de un polígono. Y para calcular la altura de un triángulo, consulta el artículo de la altura de un triángulo.

Volumen: el producto mixto

Con tres vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) se define el producto mixto, un determinante de orden 3 que tiene por filas las componentes de los tres vectores:

\[[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\]

Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que tiene a los tres vectores como aristas, y la sexta parte, el del tetraedro. Si vale 0, los tres vectores son coplanarios, es decir, están en un mismo plano.

Chuleta: fórmulas del producto vectorial

Todo lo importante en un solo sitio.

Nombre	Fórmula
Componentes	\(\vec{u}\times\vec{v}=\pmatrix{u_2v_3-u_3v_2\cr u_3v_1-u_1v_3\cr u_1v_2-u_2v_1}\)
Módulo	\(\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\operatorname{sen}\theta\)
Anticonmutativa	\(\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})\)
Paralelos	\(\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}\)
Área del paralelogramo	\(\|\vec{u}\times\vec{v}\|\)
Área del triángulo \(ABC\)	\(\dfrac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|\)
Producto mixto	\([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\)
Volumen del paralelepípedo	\(\left\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right\|\)

Si necesitas la parte del ángulo y de la proyección, repasa el producto escalar, que se complementa con este.

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:

Confundirlo con el producto escalar. El producto escalar da un número, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta\), y el vectorial da un vector, con \(\operatorname{sen}\theta\) en su módulo. Si te piden un ángulo, usa el escalar; si te piden un vector perpendicular o un área, el vectorial.
Olvidar el signo menos de la componente de \(\vec{j}\). En el desarrollo por la primera fila los signos son \(+\), \(-\) y \(+\). Con el signo mal, la segunda componente sale con el signo cambiado.
Cambiar el orden de los vectores. \(\vec{u}\times\vec{v}\) y \(\vec{v}\times\vec{u}\) tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos. Si te piden \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\), no pongas \(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}\).
Pensar que si el producto es \(\vec{0}\), uno de los vectores es nulo. También puede ocurrir que sean paralelos, como \((1,\ 2,\ 3)\) y \((2,\ 4,\ 6)\).
No comprobar el resultado. El producto vectorial tiene que ser perpendicular a los dos vectores. Calcula su producto escalar con cada uno: debe dar 0.

🧮 Calculadora del producto vectorial

Tienes tres pestañas. En «Vectorial» escribes las componentes de dos vectores y te doy su producto vectorial, el módulo, el área del paralelogramo y del triángulo, un vector unitario perpendicular y el ángulo que forman. En «Tres puntos» escribes las coordenadas de tres puntos y calculo la ecuación del plano que los contiene y el área del triángulo. Y en «Mixto» escribes tres vectores y obtienes su producto mixto, el volumen del paralelepípedo y del tetraedro, y si son coplanarios.

🌍 El producto vectorial en la vida real

🔧 Momento de una fuerzaEl giro que produce una fuerza \(\vec{F}\) aplicada en un punto de posición \(\vec{r}\) respecto al eje es \(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\). Su módulo es máximo cuando empujas la llave perpendicularmente, y por eso una llave larga afloja mejor una tuerca.

⚡ Fuerza magnéticaUna carga \(q\) que se mueve con velocidad \(\vec{v}\) en un campo magnético \(\vec{B}\) sufre una fuerza \(\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}\), perpendicular a la velocidad y al campo. Por eso las partículas cargadas describen círculos o hélices en un campo magnético.

🎮 Gráficos 3D y videojuegosLa normal de una cara triangular se obtiene con el producto vectorial de dos de sus aristas. Con ella se calcula la iluminación, a partir del ángulo entre la luz y la normal, y se decide qué caras miran a la cámara.

🏗️ Topografía e ingenieríaUna superficie, como un terreno o la fachada de un edificio, se aproxima con triángulos de coordenadas conocidas. El área de cada uno es \(\dfrac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\), y la suma da el área total.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Producto vectorial

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es un vector perpendicular a \(\vec{u}\) y a \(\vec{v}\), de módulo \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\) y sentido dado por la regla de la mano derecha. Solo existe en el espacio de tres dimensiones.

Fórmula con componentes

Las componentes son \(u_2v_3-u_3v_2\), \(u_3v_1-u_1v_3\) y \(u_1v_2-u_2v_1\). Se calculan con el determinante que tiene \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) en la primera fila, y la componente de \(\vec{j}\) lleva signo menos.

Regla de la mano derecha

Los dedos de la mano derecha giran de \(\vec{u}\) hacia \(\vec{v}\) y el pulgar marca \(\vec{u}\times\vec{v}\). Si cambias el orden, el sentido es el contrario: \(\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})\).

Paralelismo

Dos vectores no nulos son paralelos si y solo si \(\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}\). Por ejemplo, \((1,\ 2,\ 3)\) y \((2,\ 4,\ 6)\) son paralelos porque su producto vectorial es \(\vec{0}\).

Áreas

El módulo \(|\vec{u}\times\vec{v}|\) es el área del paralelogramo de lados \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). El área del triángulo \(ABC\) es \(\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\).

Producto mixto

\([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) es un determinante de orden 3. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo, y la sexta parte, el del tetraedro. Si vale 0, los vectores son coplanarios.

⭐ Ejercicios de producto vectorial resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Calcular un producto vectorial y cambiar el orden

📝 EnunciadoDados \(\vec{u}=(1,\ -2,\ 3)\) y \(\vec{v}=(4,\ 0,\ -1)\), calcula \(\vec{u}\times\vec{v}\) y \(\vec{v}\times\vec{u}\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Desarrollo el determinante por la primera fila:\[\vec{u}\times\vec{v}\]\[=\vec{i}\,((-2)\cdot(-1)-3\cdot 0)\]\[-\vec{j}\,(1\cdot(-1)-3\cdot 4)+\vec{k}\,(1\cdot 0-(-2)\cdot 4)\]
Paso 2. Calculo los paréntesis:\[\vec{u}\times\vec{v}\]\[=\vec{i}\,(2-0)-\vec{j}\,(-1-12)+\vec{k}\,(0+8)\]\[=2\vec{i}+13\vec{j}+8\vec{k}\]
Paso 3. Compruebo que es perpendicular a \(\vec{u}\): \(1\cdot 2+(-2)\cdot 13+3\cdot 8=2-26+24=0\).
Paso 4. Al cambiar el orden, el resultado es el opuesto:\[\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})=(-2,\ -13,\ -8)\]

✅ Resultado: \(\vec{u}\times\vec{v}=(2,\ 13,\ 8)\) y \(\vec{v}\times\vec{u}=(-2,\ -13,\ -8)\).

EJERCICIO 2Producto vectorial, módulo y área

📝 EnunciadoCalcula \(\vec{u}\times\vec{v}\) con \(\vec{u}=(2,\ -1,\ 0)\) y \(\vec{v}=(1,\ 3,\ -2)\), su módulo y el área del paralelogramo que forman los dos vectores.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Primera componente:\[u_2v_3-u_3v_2=(-1)\cdot(-2)-0\cdot 3=2\]
Paso 2. Segunda componente:\[u_3v_1-u_1v_3=0\cdot 1-2\cdot(-2)=4\]
Paso 3. Tercera componente:\[u_1v_2-u_2v_1=2\cdot 3-(-1)\cdot 1=7\]
Paso 4. Módulo, que es el área del paralelogramo:\[|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{2^2+4^2+7^2}=\sqrt{4+16+49}\]\[=\sqrt{69}\approx 8{,}3066\]

✅ Resultado: \(\vec{u}\times\vec{v}=(2,\ 4,\ 7)\), de módulo \(\sqrt{69}\approx 8{,}3066\), que es el área del paralelogramo.

EJERCICIO 3Área de un triángulo en el espacio

📝 EnunciadoCalcula el área del triángulo de vértices \(A(2,\ 0,\ 0)\), \(B(0,\ 3,\ 0)\) y \(C(0,\ 0,\ 4)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Vectores:\[\overrightarrow{AB}=(-2,\ 3,\ 0)\qquad\overrightarrow{AC}=(-2,\ 0,\ 4)\]
Paso 2. Producto vectorial:\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\]\[=(3\cdot 4-0\cdot 0,\ 0\cdot(-2)-(-2)\cdot 4,\]\[(-2)\cdot 0-3\cdot(-2))\]\[=(12,\ 8,\ 6)\]
Paso 3. Módulo:\[\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{144+64+36}=\sqrt{244}\]\[=2\sqrt{61}\]
Paso 4. Área, la mitad:\[S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{61}=\sqrt{61}\approx 7{,}8102\]

✅ Resultado: \(S=\sqrt{61}\approx 7{,}8102\) unidades cuadradas.

EJERCICIO 4Vector unitario perpendicular a otros dos

📝 EnunciadoHalla un vector unitario perpendicular a \(\vec{u}=(1,\ 1,\ 0)\) y a \(\vec{v}=(0,\ 1,\ 1)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial:\[\vec{u}\times\vec{v}\]\[=(1\cdot 1-0\cdot 1,\ 0\cdot 0-1\cdot 1,\ 1\cdot 1-1\cdot 0)\]\[=(1,\ -1,\ 1)\]
Paso 2. Calculo su módulo:\[|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\]
Paso 3. Divido entre el módulo y racionalizo:\[\vec{n}_0=\frac{(1,\ -1,\ 1)}{\sqrt{3}}\]\[=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\ -\frac{\sqrt{3}}{3},\ \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\]
Paso 4. El vector opuesto, \(-\vec{n}_0\), cumple lo mismo.

✅ Resultado: \(\vec{n}_0=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3},\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\) o su opuesto.

EJERCICIO 5Valor de un parámetro para que sean paralelos

📝 EnunciadoHalla \(k\) para que \(\vec{u}=(1,\ k,\ -2)\) y \(\vec{v}=(3,\ 6,\ -6)\) sean paralelos.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es el vector nulo. Lo calculo:\[\vec{u}\times\vec{v}\]\[=(k\cdot(-6)-(-2)\cdot 6,\]\[(-2)\cdot 3-1\cdot(-6),\ 1\cdot 6-k\cdot 3)\]\[=(12-6k,\ 0,\ 6-3k)\]
Paso 2. Igualo a cero las componentes:\[12-6k=0\quad\Rightarrow\quad k=2\]\[6-3k=0\quad\Rightarrow\quad k=2\]
Paso 3. Compruebo: con \(k=2\), \(\vec{u}=(1,\ 2,\ -2)\) y \(\vec{v}=3\vec{u}=(3,\ 6,\ -6)\).

✅ Resultado: \(k=2\).

EJERCICIO 6Momento de una fuerza

📝 EnunciadoUna fuerza \(\vec{F}=(0,\ 3,\ 0)\) N se aplica en un punto de posición \(\vec{r}=(2,\ 0,\ 1)\) m respecto al origen. Calcula el momento \(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\) y su módulo.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Calculo el producto vectorial:\[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\]\[=(0\cdot 0-1\cdot 3,\ 1\cdot 0-2\cdot 0,\ 2\cdot 3-0\cdot 0)\]\[=(-3,\ 0,\ 6)\]
Paso 2. Su módulo es:\[|\vec{M}|=\sqrt{9+0+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\]\[\approx 6{,}7082\]
Paso 3. Como la fuerza está en newtons y la posición en metros, el momento se mide en newton por metro.

✅ Resultado: \(\vec{M}=(-3,\ 0,\ 6)\text{ N}\cdot\text{m}\), con módulo \(3\sqrt{5}\approx 6{,}7082\text{ N}\cdot\text{m}\).

❓ Preguntas frecuentes sobre el producto vectorial

🤔 ¿Qué es el producto vectorial?

Es una operación entre dos vectores del espacio cuyo resultado es otro vector, \(\vec{u}\times\vec{v}\). Es perpendicular a los dos vectores, tiene módulo \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\), que es el área del paralelogramo que forman, y su sentido lo da la regla de la mano derecha.

🤔 ¿Cómo se calcula el producto vectorial de dos vectores?

Se desarrolla por la primera fila el determinante que tiene \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) en la primera fila y las componentes de los vectores en las otras dos. Las componentes del resultado son \(u_2v_3-u_3v_2\), \(u_3v_1-u_1v_3\) y \(u_1v_2-u_2v_1\). Por ejemplo, \((2,\ 1,\ 3)\times(1,\ -1,\ 2)=(5,\ -1,\ -3)\).

🤔 ¿Qué diferencia hay entre el producto escalar y el producto vectorial?

El producto escalar da un número, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta\), y sirve para ángulos y proyecciones. El vectorial da un vector perpendicular a los dos, de módulo \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\), y sirve para áreas y volúmenes. El escalar es conmutativo y el vectorial es anticonmutativo.

🤔 ¿Qué significa que el producto vectorial sea cero?

Significa que los dos vectores son paralelos, porque \(\operatorname{sen}\theta=0\) cuando \(\theta=0^\circ\) o \(\theta=180^\circ\), o que alguno de los dos es el vector nulo. Por ejemplo, \((1,\ 2,\ 3)\times(2,\ 4,\ 6)=(0,\ 0,\ 0)\).

🤔 ¿Para qué sirve el producto vectorial?

Sirve para hallar un vector perpendicular a otros dos, calcular áreas de paralelogramos y triángulos y, con el producto mixto, el volumen de un paralelepípedo. En física aparece en el momento de una fuerza, el momento angular y la fuerza magnética.

🤔 ¿El producto vectorial es conmutativo?

No, es anticonmutativo: \(\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})\). Al cambiar el orden se conserva el módulo, pero el sentido es el contrario. Tampoco es asociativo: \((\vec{i}\times\vec{i})\times\vec{j}=\vec{0}\), pero \(\vec{i}\times(\vec{i}\times\vec{j})=-\vec{j}\).

📚 Resumen final

El producto vectorial \(\vec{u}\times\vec{v}\) de dos vectores del espacio es un vector perpendicular a los dos, con módulo \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\theta\), y sentido dado por la regla de la mano derecha.
Con componentes se calcula con el determinante de \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) y las filas de los vectores. Las componentes del resultado son \(u_2v_3-u_3v_2\), \(u_3v_1-u_1v_3\) y \(u_1v_2-u_2v_1\).
Es anticonmutativo, distributivo y no asociativo. Vale \(\vec{0}\) si y solo si los vectores son paralelos.
El módulo es el área del paralelogramo, y la mitad, la del triángulo. El producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) da el volumen del paralelepípedo, en valor absoluto.
Siempre se puede comprobar: el resultado debe tener producto escalar 0 con cada uno de los dos vectores.

Conclusión

El producto vectorial convierte dos vectores en un tercero perpendicular a los dos, y esa idea tan sencilla da el área de un paralelogramo o de un triángulo y, con el producto mixto, el volumen de un paralelepípedo. Aprende el determinante con \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) y \(\vec{k}\), no olvides el signo menos de la componente central y comprueba siempre el resultado con el producto escalar. Practica con los ejercicios y verifica tus cálculos con la calculadora.

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Espero que te haya gustado este artículo sobre Producto vectorial: qué es, fórmula y ejemplos resueltos. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...