Producto escalar: fórmula, ángulo y ejemplos ✨

Q: ¿Qué fórmula del producto escalar tengo que usar?

Si tienes las coordenadas de los vectores, usa u1v1 + u2v2 (más u3v3 en el espacio). Si te dan los módulos y el ángulo que forman, usa |u| · |v| · cos α. Las dos fórmulas dan siempre el mismo resultado.

Q: ¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

Con cos α = (u · v) / (|u| · |v|). Se calcula el producto escalar y los dos módulos, se divide y se hace el arcocoseno. Por ejemplo, con (2, 1) y (1, 3) sale cos α = 5 / (√5 · √10) = √2 / 2, luego α = 45°.

Justo Fernández

hace 5 días · Actualizado hace 5 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es el producto escalar de dos vectores?
Cómo calcular el producto escalar con coordenadas
Producto escalar con el ángulo: la fórmula con el coseno
Cómo calcular el ángulo entre dos vectores
Vectores perpendiculares (ortogonales)
Propiedades del producto escalar
Proyección ortogonal de un vector sobre otro
El producto escalar en física: el trabajo de una fuerza
¿Qué fórmula uso en cada caso?
🧮 Calculadora del producto escalar
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios de producto escalar de vectores resueltos

¿Te piden el producto escalar de dos vectores y no sabes si hay que multiplicar, sumar o usar un coseno? Es normal: hay dos fórmulas y, al principio, cuesta saber cuándo usar cada una. En esta guía te explico el producto escalar de vectores paso a paso: cómo se calcula con coordenadas, cómo se calcula con el ángulo, cómo sacar el ángulo entre dos vectores, cuándo son perpendiculares, cuáles son sus propiedades y qué es la proyección ortogonal. Con ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

⚡ Producto escalar en 30 segundos
El producto escalar de dos vectores es un número, no un vector. Con coordenadas, multiplico las componentes que ocupan el mismo lugar y sumo:

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\]

Con el ángulo \(\alpha\) que forman los dos vectores:

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha\]

Si el resultado es 0, los vectores son perpendiculares.

¿Qué es el producto escalar de dos vectores?

Los vectores se pueden sumar, restar y multiplicar por un número. Pero también hay una forma de multiplicar dos vectores entre sí de manera que el resultado es un número (un escalar). Eso es el producto escalar. Se escribe con un punto, \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), y se lee «u punto v».

Sirve para dos cosas muy concretas: calcular el ángulo que forman dos vectores y saber si son perpendiculares. Mide, en cierto modo, cuánto «apuntan hacia el mismo lado»: si apuntan casi igual, sale positivo; si son perpendiculares, sale 0; y si apuntan en sentidos opuestos, sale negativo.

Con los vectores hay tres «productos» que se confunden mucho. Esta tabla los separa:

Operación	Cómo se escribe	Qué obtengo
Producto de un vector por un número	\(k\cdot\vec{u}\)	Un vector
Producto escalar	\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)	Un número
Producto vectorial (solo en el espacio)	\(\vec{u}\times\vec{v}\)	Un vector

💡 Idea clave: se llama «escalar» porque el resultado es un escalar (un número), no porque multipliques por un escalar.

Cómo calcular el producto escalar con coordenadas

Es la forma más usada y la más fácil. Multiplico las componentes que ocupan el mismo lugar y sumo los resultados:

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\]\[\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\]La primera fórmula es para vectores del plano y la segunda, para vectores del espacio.

Ejemplo paso a paso: con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\), calcula \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Multiplico por parejas: la primera con la primera y la segunda con la segunda.\[\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot(-1)+2\cdot 4\]
Sumo:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=-3+8=5\]
Interpreto: el resultado es el número \(5\), no un vector.

Ejemplo en el espacio: con \(\vec{u}=(2,-1,3)\) y \(\vec{v}=(4,5,-2)\), calcula \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). Marco en verde los productos positivos y en rojo los negativos:

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\)\(2\cdot 4=8\)\(+\)\((-1)\cdot 5=-5\)\(+\)\(3\cdot(-2)=-6\)

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=8-5-6=-3\]Sale negativo porque pesan más los productos negativos que el positivo.

⚠️ El resultado es un número. Si te queda algo entre paréntesis, como \((-3,8)\), has multiplicado las componentes pero te has olvidado de sumarlas.

💡 Te sonará de las matrices: cuando multiplicas matrices, cada elemento del resultado es el producto escalar de una fila de la primera matriz por una columna de la segunda.

Producto escalar con el ángulo: la fórmula con el coseno

La segunda forma de calcularlo usa los módulos de los vectores y el ángulo \(\alpha\) que forman cuando los dibujo con el mismo origen. Ese ángulo siempre está entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\):

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha\]Es útil cuando no me dan las coordenadas, pero sí las longitudes y el ángulo.

Ejemplo paso a paso: dos vectores miden \(|\vec{u}|=4\) y \(|\vec{v}|=3\) y forman un ángulo de \(60^\circ\). Calcula su producto escalar.

Sustituyo en la fórmula:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=4\cdot 3\cdot\cos 60^\circ\]
Calculo sabiendo que \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\):\[\vec{u}\cdot\vec{v}=12\cdot\frac{1}{2}=6\]

Con un ángulo obtuso: \(|\vec{u}|=6\), \(|\vec{v}|=4\) y \(\alpha=120^\circ\).

Sustituyo:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot 4\cdot\cos 120^\circ\]
Calculo sabiendo que \(\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}\):\[\vec{u}\cdot\vec{v}=24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-12\]Sale negativo porque el ángulo es obtuso y el coseno de un ángulo obtuso es negativo.

El signo del producto escalar

Como los módulos siempre son positivos, el signo del producto escalar lo decide el coseno, es decir, el ángulo. Mira estos tres casos dibujados:

Dos vectores u de componentes 3 y 1 y v de componentes menos 1 y 3 que forman un ángulo recto de 90 grados: su producto escalar vale 0

Dos vectores u de componentes 3 y 1 y v de componentes menos 3 y 2 que forman un ángulo obtuso: su producto escalar vale menos 7 y es negativo

Ángulo \(\alpha\)	Signo del producto escalar	Qué significa
\(0^\circ\leq\alpha\lt 90^\circ\) (agudo)	\(\vec{u}\cdot\vec{v}\gt 0\)	Apuntan hacia el mismo lado
\(\alpha=90^\circ\) (recto)	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)	Son perpendiculares
\(90^\circ\lt\alpha\leq 180^\circ\) (obtuso)	\(\vec{u}\cdot\vec{v}\lt 0\)	Apuntan hacia lados opuestos

Hay dos casos extremos que conviene recordar, los de los vectores paralelos:

Caso	Ángulo \(\alpha\)	\(\cos\alpha\)	Producto escalar
Paralelos y del mismo sentido	\(0^\circ\)	\(1\)	\(\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\)
Paralelos y de sentidos contrarios	\(180^\circ\)	\(-1\)	\(-\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\)

¿Por qué coinciden las dos fórmulas?

Es lo que más extraña al principio: una fórmula usa coordenadas y la otra un coseno, pero siempre dan el mismo número. Se ve con el teorema del coseno aplicado al triángulo que forman \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{u}-\vec{v}\):\[|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\,|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha\]Por otro lado, calculo ese mismo módulo con coordenadas y desarrollo los cuadrados:\[|\vec{u}-\vec{v}|^2=(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2\]\[=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\,(u_1v_1+u_2v_2)\]Al igualar las dos expresiones se cancela lo que se repite y queda \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha=u_1v_1+u_2v_2\). Justo lo que quería ver.

Cómo calcular el ángulo entre dos vectores

Si igualo las dos fórmulas anteriores y despejo el coseno, obtengo la fórmula para calcular el ángulo que forman dos vectores:

\[\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\]Una vez que tengo el coseno, el ángulo es su arcocoseno: \(\alpha=\arccos(\cos\alpha)\).

El proceso siempre es el mismo, en cuatro pasos: 1) calculo el producto escalar con coordenadas, 2) calculo los dos módulos, 3) los sustituyo en la fórmula del coseno y 4) hago el arcocoseno con la calculadora.

Ejemplo paso a paso: halla el ángulo entre \(\vec{u}=(2,1)\) y \(\vec{v}=(1,3)\).

Producto escalar: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 1+1\cdot 3=5\).
Módulos: \(|\vec{u}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) y \(|\vec{v}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\).
Coseno:\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}\]\[=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Ángulo: \(\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ\).

En el espacio: halla el ángulo entre \(\vec{p}=(1,2,2)\) y \(\vec{q}=(2,-1,2)\).

Producto escalar:\[\vec{p}\cdot\vec{q}=1\cdot 2+2\cdot(-1)+2\cdot 2\]\[=2-2+4=4\]
Módulos:\[|\vec{p}|=\sqrt{1+4+4}=3\]\[|\vec{q}|=\sqrt{4+1+4}=3\]
Coseno y ángulo:\[\cos\alpha=\frac{4}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}\]\[\alpha=\arccos\frac{4}{9}\approx 63{,}61^\circ\]

⚠️ Calculadora en grados. Antes de hacer el arcocoseno, comprueba que está en modo DEG (grados). En modo RAD, \(\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) te dará \(0{,}785\) en lugar de \(45^\circ\).

💡 Un detalle que ayuda: el arcocoseno siempre devuelve un ángulo entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\), que es justo el rango del ángulo entre dos vectores. No hay que sumar \(180^\circ\) a mano, como a veces pasa con la tangente.

Vectores perpendiculares (ortogonales)

Si \(\alpha=90^\circ\), entonces \(\cos\alpha=0\) y el producto escalar vale 0. Y al revés: si el producto escalar de dos vectores no nulos es 0, entonces forman un ángulo recto. Esta es la condición que más se usa en los problemas:

\[\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\]

Ejemplo paso a paso: ¿son perpendiculares \(\vec{u}=(3,-2)\) y \(\vec{v}=(4,6)\)?

Calculo el producto escalar:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 4+(-2)\cdot 6\]\[=12-12=0\]
Conclusión: vale 0, luego sí son perpendiculares.

Con una incógnita: halla \(k\) para que \(\vec{u}=(k,3)\) y \(\vec{v}=(2,-4)\) sean perpendiculares.

Planteo que el producto escalar sea 0:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=k\cdot 2+3\cdot(-4)\]\[=2k-12=0\]
Despejo: \(2k=12\), luego \(k=6\).
Compruebo: \((6,3)\cdot(2,-4)=12-12=0\) ✔.

Cómo obtener un vector perpendicular a otro

En el plano es muy fácil: para un vector \((a,b)\), intercambio las componentes y cambio el signo de una de ellas. Así obtengo \((-b,a)\), y también su opuesto \((b,-a)\). Compruebo que funcionan:\[(a,b)\cdot(-b,a)=-ab+ab=0\]Si además lo quiero unitario, lo divido entre su módulo. Por ejemplo, para \(\vec{v}=(3,4)\) un perpendicular es \((-4,3)\), que mide \(\sqrt{16+9}=5\), así que el unitario es \(\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right)\).

Paralelos o perpendiculares: no los confundas

	Paralelos	Perpendiculares
Condición	\(u_1v_2-u_2v_1=0\)	\(u_1v_1+u_2v_2=0\)
En palabras	Las componentes son proporcionales	El producto escalar vale 0
Ejemplo	\((2,-3)\) y \((-4,6)\)	\((2,3)\) y \((-3,2)\)

💡 En el espacio hay infinitos vectores perpendiculares a uno dado: forman un plano. La condición es la misma, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\), pero ahora con tres componentes.

Propiedades del producto escalar

Estas propiedades te ahorran muchas cuentas, sobre todo en ejercicios de demostración y en problemas con parámetros:

Propiedad	Expresión	Qué significa
Conmutativa	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\)	El orden no importa
Distributiva	\(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)	Se reparte sobre la suma
Con un número	\((k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\)	El número sale fuera
Consigo mismo	\(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\)	Siempre es positivo o 0
Vector nulo	\(\vec{u}\cdot\vec{0}=0\)	Con el vector nulo sale 0
Perpendicularidad	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\iff\vec{u}\perp\vec{v}\)	Vale para vectores no nulos
Cauchy-Schwarz	\(\|\vec{u}\cdot\vec{v}\|\leq\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\)	Porque \(\|\cos\alpha\|\leq 1\)

Compruebo la propiedad distributiva: con \(\vec{u}=(3,2)\), \(\vec{v}=(-1,4)\) y \(\vec{w}=(2,1)\).

Por un lado, sumo primero: \(\vec{v}+\vec{w}=(1,5)\), y multiplico:\[\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=3\cdot 1+2\cdot 5=13\]
Por otro, multiplico por separado: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=5\) y \(\vec{u}\cdot\vec{w}=3\cdot 2+2\cdot 1=8\). Al sumar, \(5+8=13\) ✔.

El módulo y el producto escalar

La propiedad \(\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\) permite calcular el módulo con el producto escalar:\[|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\]Por ejemplo, con \(\vec{u}=(3,4)\) sale \(\vec{u}\cdot\vec{u}=9+16=25\) y \(|\vec{u}|=5\). De ella también sale una identidad muy útil, parecida al cuadrado de una suma:\[|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2\]Con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\): la suma es \((2,6)\), con \(|\vec{u}+\vec{v}|^2=40\), y por la otra parte \(13+2\cdot 5+17=40\) ✔.

⚠️ No hay propiedad asociativa. La expresión \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\) no tiene sentido como producto escalar, porque \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) es un número y no se puede hacer el producto escalar de un número con un vector.

Proyección ortogonal de un vector sobre otro

El producto escalar tiene también un significado geométrico. La proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\) es la «sombra» que proyecta \(\vec{u}\) sobre la recta de \(\vec{v}\) cuando la luz llega perpendicular a \(\vec{v}\). Hay dos versiones, según quiera un número o un vector:

\[\operatorname{comp}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\]\[\operatorname{proy}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\cdot\vec{v}\]La primera es un número: la longitud de la «sombra», con signo. La segunda es un vector paralelo a \(\vec{v}\).

Proyección ortogonal del vector u de componentes 2 y 4 sobre el vector v de componentes 4 y 2: el vector proyección vale 16/5 y 8/5 y la recta que une la punta de u con la proyección es perpendicular a v

Ejemplo paso a paso: proyecta \(\vec{u}=(2,4)\) sobre \(\vec{v}=(4,2)\).

Producto escalar y módulo al cuadrado:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 4+4\cdot 2=16\]\[|\vec{v}|^2=4^2+2^2=20\]
Proyección escalar:\[\operatorname{comp}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{16}{\sqrt{20}}=\frac{8}{\sqrt{5}}\approx 3{,}58\]
Proyección vectorial:\[\operatorname{proy}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{16}{20}\cdot(4,2)=\left(\frac{16}{5},\frac{8}{5}\right)\]
La parte perpendicular es lo que queda al restar la proyección:\[\vec{u}-\operatorname{proy}_{\vec{v}}\vec{u}=\left(-\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\]Compruebo que es perpendicular a \(\vec{v}\): \(-\dfrac{6}{5}\cdot 4+\dfrac{12}{5}\cdot 2=0\) ✔.

💡 La conexión con el producto escalar: de la primera fórmula sale \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|\cdot\operatorname{comp}_{\vec{v}}\vec{u}\). Es decir, el producto escalar es la longitud de \(\vec{v}\) por la longitud de la «sombra» de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\). Si el ángulo es obtuso, la proyección escalar sale negativa.

El producto escalar en física: el trabajo de una fuerza

La aplicación más famosa fuera de las matemáticas. El trabajo que hace una fuerza \(\vec{F}\) al mover un objeto un desplazamiento \(\vec{d}\) es el producto escalar de los dos:

\[W=\vec{F}\cdot\vec{d}=|\vec{F}|\cdot|\vec{d}|\cdot\cos\alpha\]Con la fuerza en newtons (N) y el desplazamiento en metros (m), el trabajo sale en julios (J).

Solo cuenta la parte de la fuerza que va en la dirección del movimiento. Por eso, si llevas una maleta con la mano por un pasillo, tu fuerza es vertical y el desplazamiento es horizontal: son perpendiculares, \(\cos 90^\circ=0\), y desde el punto de vista de la física no estás haciendo trabajo.

Ejemplo paso a paso: una fuerza \(\vec{F}=(30,40)\) N mueve un objeto un desplazamiento \(\vec{d}=(5,2)\) m. ¿Qué trabajo realiza?

Producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:\[W=\vec{F}\cdot\vec{d}=30\cdot 5+40\cdot 2\]
Calculo:\[W=150+80=230\text{ J}\]

¿Qué fórmula uso en cada caso?

Esta tabla es mi chuleta. Según lo que me dan y lo que me piden, elijo la fórmula:

Lo que tengo o lo que quiero	Fórmula
Tengo las coordenadas de los dos vectores	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\ (+\,u_3v_3)\)
Tengo los módulos y el ángulo	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\alpha\)
Quiero el ángulo entre los vectores	\(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\)
Quiero saber si son perpendiculares	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
Quiero el módulo de un vector	\(\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\)
Quiero la proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\)	\(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\cdot\vec{v}\)

Errores frecuentes con el producto escalar

⚠️ Errores que veo a menudo:

Dar el resultado como un vector. El producto escalar es un número. Si te queda \((-3,8)\), te falta sumar.
Confundirlo con el producto por un número. \(k\cdot\vec{u}\) da un vector, y \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) da un número.
Perder los signos. Con \(\vec{u}=(1,-2)\) y \(\vec{v}=(3,4)\), el segundo producto es \((-2)\cdot 4=-8\), no \(8\). Entonces \(\vec{u}\cdot\vec{v}=3-8=-5\).
Olvidar dividir entre los módulos al calcular el ángulo. La fórmula es \(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\), no \(\cos\alpha=\vec{u}\cdot\vec{v}\).
Usar la calculadora en radianes cuando el ángulo se pide en grados.
Pensar que si el producto escalar es 0 uno de los vectores es nulo. Lo más habitual es que sean perpendiculares: \((1,2)\cdot(2,-1)=0\) y ninguno es el vector nulo.
Escribir \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\). No tiene sentido, porque \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ya es un número.
Mezclar el ángulo entre vectores con el ángulo entre rectas. El ángulo entre dos vectores va de \(0^\circ\) a \(180^\circ\). El ángulo entre dos rectas se mide de \(0^\circ\) a \(90^\circ\), así que si te sale obtuso, te quedas con su suplementario.

🧮 Calculadora del producto escalar

Tienes tres pestañas. En la primera calculas el producto escalar de dos vectores, sus módulos y el ángulo que forman. En la segunda obtienes la proyección de un vector sobre otro. En la tercera resuelvo el típico problema de hallar el valor de \(k\) para que dos vectores sean perpendiculares (o para que su producto escalar valga lo que pida el problema). Funciona en el plano (2D) y en el espacio (3D) y te muestra todos los pasos.

🌍 El producto escalar en la vida real

⚙️ FísicaEl trabajo que hace una fuerza es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

🎮 Videojuegos e iluminaciónEl brillo de una superficie depende del ángulo entre la luz y la superficie, y ese ángulo se calcula con un producto escalar.

🔎 Inteligencia artificialLos buscadores y los sistemas de recomendación comparan vectores con la similitud coseno, que sale del producto escalar.

🏗️ IngenieríaPara saber cuánta fuerza actúa a lo largo de una viga o de una rampa se proyecta la fuerza sobre esa dirección.

🧭 NavegaciónLa parte del viento que ayuda a un avión a avanzar es la proyección del viento sobre su rumbo.

📐 GeometríaSirve para comprobar ángulos rectos y calcular los ángulos de triángulos y polígonos.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Producto escalar

Una operación entre dos vectores cuyo resultado es un número. Se escribe \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Con coordenadas

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\) (y \(+\,u_3v_3\) en el espacio).

Con el ángulo

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha\), con \(\alpha\) el ángulo entre los vectores.

Ángulo entre vectores

\(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\) y después el arcocoseno.

Perpendiculares

\(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) (con vectores no nulos).

El signo

Positivo: ángulo agudo. Cero: ángulo recto. Negativo: ángulo obtuso.

Consigo mismo

\(\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\), así que \(|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\).

Proyección de u sobre v

\(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\cdot\vec{v}\): un vector paralelo a \(\vec{v}\).

⭐ Ejercicios de producto escalar de vectores resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Producto escalar en el plano: nivel básico

📝 EnunciadoCalcula \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) con \(\vec{u}=(4,-3)\) y \(\vec{v}=(2,5)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Multiplico las componentes por parejas y sumo:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=4\cdot 2+(-3)\cdot 5\]\[=8-15=-7\]
Paso 2. Como el resultado es negativo, el ángulo entre los vectores es obtuso.

✅ Resultado: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-7\).

EJERCICIO 2Producto escalar en el espacio

📝 EnunciadoCalcula \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) con \(\vec{u}=(3,-1,2)\) y \(\vec{v}=(1,4,-5)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Ahora hay tres parejas de componentes:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 1+(-1)\cdot 4+2\cdot(-5)\]
Paso 2. Calculo cada producto y sumo:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=3-4-10=-11\]

✅ Resultado: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-11\).

EJERCICIO 3Producto escalar con módulos y ángulo

📝 EnunciadoDos vectores miden \(|\vec{u}|=8\) y \(|\vec{v}|=3\). Calcula su producto escalar si el ángulo que forman es: a) \(60^\circ\), b) \(90^\circ\), c) \(120^\circ\), d) \(180^\circ\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. El producto de los módulos es \(8\cdot 3=24\), así que \(\vec{u}\cdot\vec{v}=24\cos\alpha\).
Paso 2. Sustituyo cada ángulo:\[\text{a) }24\cdot\frac{1}{2}=12\]\[\text{b) }24\cdot 0=0\]\[\text{c) }24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-12\]\[\text{d) }24\cdot(-1)=-24\]
Paso 3. Fíjate en que en b) son perpendiculares y en d) son paralelos de sentidos contrarios.

✅ Resultado: a) \(12\), b) \(0\), c) \(-12\) y d) \(-24\).

EJERCICIO 4Ángulo entre dos vectores del plano

📝 EnunciadoCalcula el ángulo que forman \(\vec{u}=(1,2)\) y \(\vec{v}=(-3,-1)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Producto escalar: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot(-3)+2\cdot(-1)=-3-2=-5\).
Paso 2. Módulos: \(|\vec{u}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\) y \(|\vec{v}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\).
Paso 3. Coseno:\[\cos\alpha=\frac{-5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Paso 4. Ángulo: \(\alpha=\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=135^\circ\).

✅ Resultado: \(\alpha=135^\circ\). Es obtuso, como anunciaba el signo negativo del producto escalar.

EJERCICIO 5Ángulo entre dos vectores del espacio

📝 EnunciadoCalcula el ángulo que forman \(\vec{u}=(1,1,0)\) y \(\vec{v}=(0,1,1)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Producto escalar: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1=1\).
Paso 2. Módulos: \(|\vec{u}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}\) y \(|\vec{v}|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}\).
Paso 3. Coseno:\[\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\]
Paso 4. Ángulo: \(\alpha=\arccos\dfrac{1}{2}=60^\circ\).

✅ Resultado: \(\alpha=60^\circ\).

EJERCICIO 6Perpendicularidad con un parámetro

📝 EnunciadoHalla el valor de \(k\) para que \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) sean perpendiculares: a) \(\vec{u}=(k,3)\) y \(\vec{v}=(2,-4)\); b) \(\vec{u}=(k,2)\) y \(\vec{v}=(k,-8)\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Perpendiculares significa producto escalar igual a 0.
Paso 2. Apartado a).\[\vec{u}\cdot\vec{v}=2k-12=0\]\[k=6\]
Paso 3. Apartado b). Ahora \(k\) aparece en los dos vectores y sale una ecuación de segundo grado:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=k\cdot k+2\cdot(-8)=k^2-16=0\]\[k^2=16\Rightarrow k=4\ \text{ o }\ k=-4\]
Comprobación. Con \(k=4\): \((4,2)\cdot(4,-8)=16-16=0\) ✔. Con \(k=-4\): \((-4,2)\cdot(-4,-8)=16-16=0\) ✔.

✅ Resultado: a) \(k=6\). b) \(k=4\) o \(k=-4\).

EJERCICIO 7Vectores unitarios perpendiculares

📝 EnunciadoHalla los vectores unitarios que son perpendiculares a \(\vec{v}=(3,4)\).

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Paso 1. Un vector perpendicular a \((a,b)\) es \((-b,a)\). Aquí sale \(\vec{w}=(-4,3)\).
Paso 2. Compruebo: \(\vec{v}\cdot\vec{w}=3\cdot(-4)+4\cdot 3=-12+12=0\) ✔.
Paso 3. Su módulo es \(|\vec{w}|=\sqrt{16+9}=5\).
Paso 4. Lo divido entre su módulo para que sea unitario, y tomo también el opuesto:\[\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)\qquad\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)\]

✅ Resultado: Hay dos: \(\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right)\) y \(\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)\).

EJERCICIO 8Proyección ortogonal

📝 EnunciadoCalcula la proyección ortogonal de \(\vec{u}=(7,1)\) sobre \(\vec{v}=(3,4)\) y la parte de \(\vec{u}\) perpendicular a \(\vec{v}\).

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Paso 1. Calculo:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=7\cdot 3+1\cdot 4=25\]\[|\vec{v}|^2=3^2+4^2=25\]
Paso 2. Proyección escalar: \(\dfrac{25}{\sqrt{25}}=\dfrac{25}{5}=5\).
Paso 3. Proyección vectorial:\[\operatorname{proy}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{25}{25}\cdot(3,4)=(3,4)\]
Paso 4. La parte perpendicular es \(\vec{u}-\operatorname{proy}_{\vec{v}}\vec{u}=(7,1)-(3,4)=(4,-3)\). Compruebo: \((4,-3)\cdot(3,4)=12-12=0\) ✔.

✅ Resultado: \(\operatorname{proy}_{\vec{v}}\vec{u}=(3,4)\), que casualmente coincide con \(\vec{v}\), y la parte perpendicular es \((4,-3)\).

EJERCICIO 9Los ángulos de un triángulo

📝 EnunciadoCalcula los tres ángulos del triángulo de vértices \(A(1,1)\), \(B(4,2)\) y \(C(2,4)\).

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Paso 1. Los vectores que salen de cada vértice:\[\overrightarrow{AB}=(3,1)\qquad\overrightarrow{AC}=(1,3)\]\[\overrightarrow{BA}=(-3,-1)\qquad\overrightarrow{BC}=(-2,2)\]\[\overrightarrow{CA}=(-1,-3)\qquad\overrightarrow{CB}=(2,-2)\]
Paso 2. Ángulo en \(A\).\[\cos A=\frac{3\cdot 1+1\cdot 3}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]\[A=\arccos\frac{3}{5}\approx 53{,}13^\circ\]
Paso 3. Ángulo en \(B\).\[\cos B=\frac{(-3)\cdot(-2)+(-1)\cdot 2}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}}\]\[=\frac{4}{\sqrt{80}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]\[B\approx 63{,}43^\circ\]
Paso 4. Ángulo en \(C\).\[\cos C=\frac{(-1)\cdot 2+(-3)\cdot(-2)}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}}\]\[=\frac{4}{\sqrt{80}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]\[C\approx 63{,}43^\circ\]
Comprobación. Los tres ángulos suman \(53{,}13+63{,}43+63{,}43=179{,}99\), que son \(180^\circ\) salvo el redondeo. Además \(B=C\), como corresponde a un triángulo isósceles con \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{10}\).

✅ Resultado: \(A\approx 53{,}13^\circ\), \(B\approx 63{,}43^\circ\) y \(C\approx 63{,}43^\circ\). Ningún ángulo es recto.

EJERCICIO 10Problema: el trabajo de una fuerza

📝 EnunciadoUn niño tira de un carrito con una cuerda que forma \(30^\circ\) con el suelo, con una fuerza de 40 N. Si el carrito avanza 10 m en horizontal, ¿qué trabajo realiza el niño? ¿Y si tirase de la cuerda justo hacia arriba?

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Paso 1. Datos: \(|\vec{F}|=40\) N, \(|\vec{d}|=10\) m y \(\alpha=30^\circ\).
Paso 2. El trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:\[W=|\vec{F}|\cdot|\vec{d}|\cdot\cos\alpha\]\[=40\cdot 10\cdot\cos 30^\circ\]
Paso 3. Con \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\):\[W=400\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\approx 346{,}41\text{ J}\]
Paso 4. Si tirase justo hacia arriba, la fuerza sería perpendicular al desplazamiento, \(\alpha=90^\circ\), y \(\cos 90^\circ=0\): el trabajo sería \(W=0\).

✅ Resultado: \(W=200\sqrt{3}\approx 346{,}41\) J. Con la fuerza vertical, \(W=0\).

❓ Preguntas frecuentes sobre el producto escalar de vectores

🤔 ¿Qué es el producto escalar de dos vectores?

Es una operación que a dos vectores les asocia un número (un escalar). Con coordenadas se calcula multiplicando las componentes que ocupan el mismo lugar y sumando: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\). También se puede calcular con el ángulo que forman: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha\).

🤔 ¿Cómo se calcula el producto escalar de dos vectores?

Se multiplican las componentes que ocupan el mismo lugar y se suman los resultados. Con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\) resulta \(3\cdot(-1)+2\cdot 4=-3+8=5\). En el espacio se añade el producto de las terceras componentes.

🤔 ¿Qué fórmula del producto escalar tengo que usar?

Si tienes las coordenadas de los vectores, usa \(u_1v_1+u_2v_2\) (más \(u_3v_3\) en el espacio). Si te dan los módulos y el ángulo que forman, usa \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha\). Las dos fórmulas dan siempre el mismo resultado.

🤔 ¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

Con \(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\). Se calcula el producto escalar y los dos módulos, se divide y se hace el arcocoseno. Por ejemplo, con \((2,1)\) y \((1,3)\) sale \(\cos\alpha=\dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), luego \(\alpha=45^\circ\).

🤔 ¿Cuándo es cero el producto escalar?

Cuando los dos vectores son perpendiculares (forman un ángulo de \(90^\circ\)) o cuando alguno de ellos es el vector nulo. Por eso se usa \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) como condición para comprobar que dos vectores son perpendiculares.

🤔 ¿Qué diferencia hay entre producto escalar y producto vectorial?

El producto escalar da un número y existe en el plano y en el espacio. El producto vectorial da otro vector, perpendicular a los dos, y solo existe en el espacio. El escalar está ligado al coseno del ángulo y el vectorial, al seno.

🤔 ¿Puede ser negativo el producto escalar?

Sí. Es negativo cuando el ángulo entre los vectores es obtuso (mayor que \(90^\circ\)), porque su coseno es negativo. Es positivo si el ángulo es agudo y vale 0 si es recto.

🤔 ¿Para qué sirve el producto escalar?

Para calcular el ángulo entre dos vectores, comprobar si son perpendiculares, calcular el módulo de un vector, obtener la proyección de un vector sobre otro y, en física, calcular el trabajo de una fuerza con \(W=\vec{F}\cdot\vec{d}\).

📚 Resumen final

El producto escalar de dos vectores es un número, no un vector.
Con coordenadas: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\) (más \(u_3v_3\) en el espacio).
Con el ángulo: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha\).
El ángulo entre dos vectores sale de \(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\).
Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Positivo es ángulo agudo, cero es recto y negativo es obtuso.
La proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\) es \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\cdot\vec{v}\).

Conclusión

Para calcular el producto escalar de dos vectores solo tienes que multiplicar las componentes que ocupan el mismo lugar y sumar. Con ese número puedes calcular el ángulo entre los vectores, saber si son perpendiculares y hasta proyectar uno sobre otro. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...