Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente

Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 3 días · Actualizado hace 3 días

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué son las razones trigonométricas? El triángulo rectángulo
  2. Seno, coseno y tangente: definición y fórmulas
  3. Cosecante, secante y cotangente: las razones inversas
  4. Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°
  5. Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas
  6. Cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo
  7. Resolver un triángulo rectángulo
  8. Razones trigonométricas de cualquier ángulo: la circunferencia goniométrica
  9. Signos de las razones y reducción al primer cuadrante
  10. Chuleta: tabla de razones trigonométricas y fórmulas
  11. 🧮 Calculadora de razones trigonométricas
  12. 🧠 Flashcards para memorizar
  13. ⭐ Ejercicios de razones trigonométricas resueltos

¿Te suenan el seno, el coseno y la tangente pero no tienes claro cuándo usar cada uno? Las razones trigonométricas son la puerta de entrada a la trigonometría y sirven para algo muy práctico: calcular lados y ángulos de un triángulo rectángulo sin necesidad de medirlos. Es muy importante que lo entiendas y en esta guía te lo explico todo. Con ejemplos, una calculadora y ejercicios resueltos.

⚡ Razones trigonométricas en 30 segundos
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo \(\alpha\) son cocientes entre dos de sus lados. El seno compara el cateto opuesto con la hipotenusa, el coseno compara el cateto contiguo con la hipotenusa y la tangente compara el cateto opuesto con el contiguo.
\[\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\]\[\cos\alpha=\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\]\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}\]
Para recordarlo: el seno y el coseno llevan siempre la hipotenusa debajo, y la tangente no la usa.

¿Qué son las razones trigonométricas? El triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, de \(90^\circ\). El lado que está frente al ángulo recto es la hipotenusa y siempre es el más largo. Los otros dos lados son los catetos, y entre los tres se cumple el teorema de Pitágoras: \(a^2+b^2=c^2\).

Si elijo uno de los dos ángulos agudos, al que llamo \(\alpha\), los catetos reciben un nombre según su posición respecto a él:

  • El cateto opuesto es el que está enfrente de \(\alpha\), sin tocarlo.
  • El cateto contiguo es el que forma el ángulo \(\alpha\) junto con la hipotenusa.
  • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.
Triángulo rectángulo con un ángulo agudo alfa de 35 grados: la hipotenusa en verde, el cateto opuesto a alfa en rosa y el cateto contiguo en azul
⚠️ Opuesto y contiguo dependen del ángulo. Si en lugar de \(\alpha\) eliges el otro ángulo agudo, los dos catetos intercambian su papel: el que era opuesto pasa a ser contiguo y al revés. La hipotenusa nunca cambia.

Una razón trigonométrica de un ángulo es el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo que tiene ese ángulo. Con tres lados se pueden formar seis cocientes: tres son las razones principales (seno, coseno y tangente) y las otras tres son sus inversas (cosecante, secante y cotangente).

Por qué dependen solo del ángulo

Todos los triángulos rectángulos que tienen el mismo ángulo agudo \(\alpha\) son semejantes: tienen la misma forma y solo cambia el tamaño. Por eso sus lados son proporcionales y los cocientes entre ellos no cambian. Un triángulo de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5, y otro de catetos 6 y 8 e hipotenusa 10, tienen el mismo ángulo agudo, el opuesto al cateto menor, y el cociente entre ese cateto y la hipotenusa vale lo mismo en los dos: \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=0{,}6\). Es la misma idea de la semejanza y la proporcionalidad.

💡 Idea clave: una razón trigonométrica es un número que depende solo del ángulo, no del tamaño del triángulo. Por eso se puede guardar en una tabla o en la memoria de una calculadora y usar después en cualquier triángulo rectángulo.

Seno, coseno y tangente: definición y fórmulas

Las tres razones principales se definen así para un ángulo agudo \(\alpha\) de un triángulo rectángulo. El coseno, igual que el seno, usa la hipotenusa; la tangente, no:

RazónSe calculaFórmula
Seno (sen)Cateto opuesto entre hipotenusa\(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\)
Coseno (cos)Cateto contiguo entre hipotenusa\(\cos\alpha=\dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\)
Tangente (tg)Cateto opuesto entre cateto contiguo\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}\)
\[\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\]\[\cos\alpha=\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\]\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}\]
Ejemplo: calculo las razones trigonométricas de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4.
  1. Hipotenusa. Por Pitágoras:\[c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\]
  2. Ángulo \(A\), opuesto al cateto 3. Su cateto opuesto es 3 y su contiguo es 4:\[\operatorname{sen}A=\frac{3}{5}=0{,}6\]\[\cos A=\frac{4}{5}=0{,}8\]\[\operatorname{tg}A=\frac{3}{4}=0{,}75\]
  3. Ángulo \(B\), el otro agudo. Los catetos cambian de papel: el opuesto es 4 y el contiguo es 3:\[\operatorname{sen}B=\frac{4}{5}=0{,}8\]\[\cos B=\frac{3}{5}=0{,}6\]\[\operatorname{tg}B=\frac{4}{3}\approx 1{,}33\]
  4. Observo. \(\operatorname{sen}A=\cos B\), \(\cos A=\operatorname{sen}B\) y \(\operatorname{tg}A\cdot\operatorname{tg}B=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{3}=1\).

Como los catetos nunca son más largos que la hipotenusa, el seno y el coseno de un ángulo agudo siempre valen entre 0 y 1. La tangente, en cambio, puede valer cualquier número positivo.

💡 Por qué se llama «coseno». Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman \(90^\circ\) y se llaman complementarios. El seno de uno es el coseno del otro, y de ahí viene el nombre: coseno significa «seno del complemento».
Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo

Cosecante, secante y cotangente: las razones inversas

Las otras tres razones son simplemente las inversas de las anteriores. Se usan menos, pero aparecen en fórmulas y en problemas de cursos más avanzados.

RazónEs la inversa deSe calcula
Cosecante (cosec)SenoHipotenusa entre cateto opuesto
Secante (sec)CosenoHipotenusa entre cateto contiguo
Cotangente (cotg)TangenteCateto contiguo entre cateto opuesto
\[\operatorname{cosec}\alpha=\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}\]\[\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\]\[\operatorname{cotg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\]
Ejemplo: en el triángulo de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5, para el ángulo \(A\) opuesto al cateto 3 resulta:\[\operatorname{cosec}A=\frac{5}{3}\approx 1{,}67\]\[\sec A=\frac{5}{4}=1{,}25\]\[\operatorname{cotg}A=\frac{4}{3}\approx 1{,}33\]
💡 En la calculadora. Las calculadoras científicas solo tienen las teclas sin, cos y tan. Para una inversa, calcula la razón normal y luego pulsa la tecla del inverso, \(x^{-1}\) o \(1/x\).

Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°

Hay tres ángulos, \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\), cuyas razones se calculan de forma exacta, con fracciones y raíces, y sin calculadora. Salen de dos triángulos muy sencillos.

45°: la mitad de un cuadrado

Si trazo la diagonal de un cuadrado de lado 1, obtengo un triángulo rectángulo con dos catetos iguales a 1 y dos ángulos de \(45^\circ\). Su hipotenusa, por Pitágoras, mide \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). Entonces:

\[\operatorname{sen}45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\operatorname{tg}45^\circ=\frac{1}{1}=1\]

30° y 60°: la mitad de un triángulo equilátero

Si divido un triángulo equilátero de lado 2 por una de sus alturas, obtengo dos triángulos rectángulos con ángulos de \(30^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\). La hipotenusa mide 2, un cateto mide 1 (la mitad de la base) y el otro, la altura, mide \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\).

  • Para \(30^\circ\), el cateto opuesto es 1 y el contiguo es \(\sqrt{3}\). Entonces \(\operatorname{sen}30^\circ=\dfrac{1}{2}\), \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
  • Para \(60^\circ\), el cateto opuesto es \(\sqrt{3}\) y el contiguo es 1. Entonces \(\operatorname{sen}60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos60^\circ=\dfrac{1}{2}\) y \(\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\).
Dos triángulos de los ángulos notables: la mitad de un cuadrado de lado 1, con lados 1, 1 y raíz de 2 y ángulos de 45 grados, y la mitad de un triángulo equilátero de lado 2, con lados raíz de 3, 1 y 2 y ángulos de 30 y 60 grados
💡 Racionalizar. Para quitar la raíz del denominador multiplico arriba y abajo por esa raíz: \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Resumo los resultados en una tabla:

Ángulosencostg
\(30^\circ\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)
\(60^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
💡 Truco para recordarlos. Los senos de \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\) son \(\dfrac{\sqrt{1}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Los cosenos son los mismos valores en orden inverso, y la tangente es el seno entre el coseno.

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas

Las razones de un mismo ángulo no son independientes: si conoces una, puedes calcular las demás. Todo sale de unas pocas igualdades, que además son válidas para ángulos de cualquier tamaño y no solo para los agudos.

RelaciónFórmulaPara qué sirve
Fundamental\(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)Pasar del seno al coseno y al revés
Tangente\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\)Calcular la tangente
Con la secante\(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\)Pasar de la tangente al coseno
Complementarios\(\operatorname{sen}(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\)Cambiar seno por coseno

Por qué se cumple la relación fundamental

  1. En un triángulo rectángulo con catetos \(a\) (opuesto) y \(b\) (contiguo) e hipotenusa \(c\), tengo \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{a}{c}\) y \(\cos\alpha=\dfrac{b}{c}\).
  2. Elevo al cuadrado y sumo:\[\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\]
  3. Sumo las fracciones, que tienen el mismo denominador, y aplico Pitágoras, \(a^2+b^2=c^2\):\[\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1\]

Si divido esa igualdad entre \(\cos^2\alpha\) obtengo la tercera relación, \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), porque \(\dfrac{\operatorname{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\operatorname{tg}^2\alpha\).

Ejemplo: compruebo la relación fundamental con los ángulos que ya conozco.
  1. Con \(30^\circ\):\[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\]
  2. Con el ángulo \(A\) del triángulo de catetos 3 y 4: \(0{,}6^2+0{,}8^2=0{,}36+0{,}64=1\).
⚠️ Cuidado con la notación. \(\operatorname{sen}^2\alpha\) significa \((\operatorname{sen}\alpha)^2\), es decir, el seno elevado al cuadrado. No es lo mismo que \(\operatorname{sen}(\alpha^2)\).

Cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo

Con la calculadora científica

Para un ángulo cualquiera uso las teclas sin, cos y tan. Antes de empezar compruebo que la calculadora está en modo grados (DEG), y no en radianes (RAD).

Ejemplo: calculo las razones trigonométricas de \(35^\circ\).
  1. Con la calculadora en modo grados obtengo:\[\operatorname{sen}35^\circ\approx 0{,}5736\]\[\cos35^\circ\approx 0{,}8192\]\[\operatorname{tg}35^\circ\approx 0{,}7002\]
  2. Compruebo con la relación \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\):\[\frac{0{,}5736}{0{,}8192}\approx 0{,}7002\]

Conociendo una razón, calcular las otras

Con la relación fundamental puedo hallar las otras dos razones sin necesidad de saber cuánto mide el ángulo.

Ejemplo: sé que \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{3}{5}\) y que \(\alpha\) es un ángulo agudo. Calculo \(\cos\alpha\) y \(\operatorname{tg}\alpha\).
  1. Despejo el coseno de \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Como \(\alpha\) es agudo, el coseno es positivo:\[\cos\alpha=\sqrt{1-\operatorname{sen}^2\alpha}\]
  2. Sustituyo:\[\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\]
  3. Tangente. Divido el seno entre el coseno:\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{4}\]

Si el ángulo no es agudo, el valor absoluto del resultado es el mismo, pero hay que elegir el signo que corresponde a su cuadrante, como verás más abajo. La pestaña «Razón conocida» de la calculadora de este artículo hace este cálculo y te dice el ángulo.

Del valor de la razón al ángulo

Para hacer el camino inverso, de la razón al ángulo, uso las funciones inversas: el arcoseno, el arcocoseno y la arcotangente. En la calculadora son las teclas \(\operatorname{sen}^{-1}\), \(\cos^{-1}\) y \(\tan^{-1}\), que se activan con SHIFT o 2nd.

Ejemplo: si \(\operatorname{tg}\alpha=0{,}75\), el ángulo agudo es \(\alpha=\operatorname{arctg}0{,}75\approx 36{,}87^\circ\). Y si \(\operatorname{sen}\alpha=0{,}5\), entonces \(\alpha=\operatorname{arcsen}0{,}5=30^\circ\).

Resolver un triángulo rectángulo

Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos a partir de algunos datos. En un triángulo rectángulo basta con conocer dos datos, además del ángulo recto, y al menos uno de ellos tiene que ser un lado. Llamo \(a\) y \(b\) a los catetos, \(c\) a la hipotenusa, \(A\) al ángulo opuesto al cateto \(a\) y \(B\) al ángulo opuesto al cateto \(b\). Tengo tres herramientas:

  • El teorema de Pitágoras: \(a^2+b^2=c^2\).
  • Los ángulos agudos suman \(90^\circ\): \(B=90^\circ-A\).
  • Las razones trigonométricas: \(\operatorname{sen}A=\dfrac{a}{c}\), \(\cos A=\dfrac{b}{c}\) y \(\operatorname{tg}A=\dfrac{a}{b}\).

Según los datos que tenga, empiezo por un sitio u otro:

DatosCómo empiezoFórmulas
\(c\) y \(A\)Los catetos con seno y coseno\(a=c\cdot\operatorname{sen}A\) y \(b=c\cdot\cos A\)
\(a\) y \(A\)El otro cateto con la tangente\(b=\dfrac{a}{\operatorname{tg}A}\) y \(c=\dfrac{a}{\operatorname{sen}A}\)
\(b\) y \(A\)El otro cateto con la tangente\(a=b\cdot\operatorname{tg}A\) y \(c=\dfrac{b}{\cos A}\)
\(a\) y \(b\)La hipotenusa con Pitágoras y el ángulo con la arcotangente\(c=\sqrt{a^2+b^2}\) y \(A=\operatorname{arctg}\dfrac{a}{b}\)
\(c\) y \(a\)El otro cateto con Pitágoras y el ángulo con el arcoseno\(b=\sqrt{c^2-a^2}\) y \(A=\operatorname{arcsen}\dfrac{a}{c}\)

En todos los casos termino con \(B=90^\circ-A\).

Ejemplo 1: resuelvo el triángulo rectángulo de hipotenusa \(c=10\) y ángulo \(A=30^\circ\).
  1. Ángulo \(B\). \(B=90^\circ-30^\circ=60^\circ\).
  2. Cateto \(a\), opuesto a \(A\):\[a=c\cdot\operatorname{sen}A=10\cdot\operatorname{sen}30^\circ\]\[a=10\cdot\frac{1}{2}=5\]
  3. Cateto \(b\), contiguo a \(A\):\[b=c\cdot\cos A=10\cdot\cos30^\circ\]\[b=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8{,}66\]
  4. Compruebo con Pitágoras: \(5^2+(5\sqrt{3})^2=25+75=100\), que es \(10^2\).
Ejemplo 2: resuelvo el triángulo rectángulo de catetos \(a=5\) y \(b=12\).
  1. Hipotenusa:\[c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]
  2. Ángulo \(A\):\[\operatorname{tg}A=\frac{5}{12}\]\[A=\operatorname{arctg}\frac{5}{12}\approx 22{,}62^\circ\]
  3. Ángulo \(B\): \(B=90^\circ-22{,}62^\circ=67{,}38^\circ\).

Ángulos de elevación y de depresión

En los problemas de la vida real aparecen dos ángulos con nombre propio, los dos medidos respecto a la horizontal. El ángulo de elevación es el que forma la línea de visión cuando miras hacia arriba. El ángulo de depresión es el que forma cuando miras hacia abajo.

Ejemplo 3: un observador cuyos ojos están a 1,70 m del suelo se coloca a 20 m de una torre y la ve en lo alto con un ángulo de elevación de \(35^\circ\). ¿Qué altura tiene la torre?
  1. Dibujo. La horizontal que sale de sus ojos y la línea de visión forman un triángulo rectángulo. El cateto contiguo mide 20 m y el cateto opuesto es la altura \(h\) de la torre que queda por encima de los ojos.
  2. Elijo la razón. Conozco el cateto contiguo y busco el opuesto, así que uso la tangente:\[\operatorname{tg}35^\circ=\frac{h}{20}\]
  3. Despejo \(h\):\[h=20\cdot\operatorname{tg}35^\circ\approx 20\cdot 0{,}7002\approx 14{,}00\]
  4. Sumo la altura de los ojos: \(14{,}00+1{,}70=15{,}70\) m.
Un observador con los ojos a 1,70 metros del suelo y a 20 metros de una torre la ve con un ángulo de elevación de 35 grados; la altura h de la torre sobre los ojos es el cateto opuesto

Para comprobar tus triángulos puedes usar la calculadora de ángulos de triángulos o la pestaña «Triángulo» de la calculadora de este artículo.

Razones trigonométricas de cualquier ángulo: la circunferencia goniométrica

Con un triángulo rectángulo solo puedo trabajar con ángulos agudos. Para ángulos de \(90^\circ\) o más, como \(150^\circ\) o \(270^\circ\), uso la circunferencia goniométrica, también llamada circunferencia trigonométrica: una circunferencia de radio 1 con el centro en el origen de coordenadas.

  • Los ángulos se miden desde el semieje positivo de las \(x\), girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Los ejes dividen la circunferencia en cuatro cuadrantes.
  • Si el ángulo \(\alpha\) termina en el punto \(P\) de la circunferencia, sus coordenadas son \(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\). El coseno es la coordenada \(x\) y el seno es la coordenada \(y\).
  • La tangente es la altura del punto donde el radio, prolongado, corta a la recta vertical \(x=1\).
Circunferencia goniométrica de radio 1 con un ángulo alfa de 40 grados en el primer cuadrante: el seno es la altura del punto P, el coseno es su abscisa y la tangente es el segmento sobre la recta vertical x igual a 1

La idea encaja con la definición del triángulo rectángulo: si la hipotenusa mide 1, entonces \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{1}\) es justo la altura del punto y \(\cos\alpha=\dfrac{\text{contiguo}}{1}\) es justo su distancia al eje vertical. Además, como \(P\) está en una circunferencia de radio 1, el seno y el coseno siempre cumplen \(-1\le\operatorname{sen}\alpha\le 1\) y \(-1\le\cos\alpha\le 1\).

Los ángulos que caen justo sobre los ejes tienen razones muy fáciles de leer en la circunferencia:

Ángulosencostg
\(0^\circ\) y \(360^\circ\)010
\(90^\circ\)10no existe
\(180^\circ\)0\(-1\)0
\(270^\circ\)\(-1\)0no existe
💡 ¿Por qué no existe \(\operatorname{tg}90^\circ\)? Porque \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\) y, para \(90^\circ\), el coseno vale 0. No se puede dividir entre cero: el radio es vertical y nunca corta a la recta \(x=1\).

Grados y radianes

Los ángulos también se miden en radianes. Una vuelta completa son \(360^\circ=2\pi\) radianes, así que \(180^\circ=\pi\) radianes. Para pasar de grados a radianes multiplico por \(\dfrac{\pi}{180}\). Por ejemplo, \(150^\circ=150\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) radianes.

Signos de las razones y reducción al primer cuadrante

En cada cuadrante, las coordenadas del punto \(P\) tienen un signo distinto, y eso decide el signo del seno (la coordenada \(y\)), del coseno (la coordenada \(x\)) y de la tangente (el cociente de las dos).

CuadranteÁngulossencostg
1.º\(0^\circ\) a \(90^\circ\)+++
2.º\(90^\circ\) a \(180^\circ\)+−−
3.º\(180^\circ\) a \(270^\circ\)−−+
4.º\(270^\circ\) a \(360^\circ\)−+−
💡 Para recordar los signos: en el 1.º cuadrante son positivas todas las razones; en el 2.º solo el seno; en el 3.º solo la tangente; y en el 4.º solo el coseno.

Reducción al primer cuadrante

Las razones de un ángulo cualquiera coinciden, salvo el signo, con las de un ángulo del primer cuadrante: su ángulo de referencia \(\beta\), que es el que forma con el eje horizontal. El procedimiento es siempre el mismo: localizo el cuadrante, calculo el ángulo de referencia, hallo las razones de ese ángulo y le pongo el signo del cuadrante.

CuadranteÁngulo de referencia \(\beta\)
1.º\(\beta=\alpha\)
2.º\(\beta=180^\circ-\alpha\)
3.º\(\beta=\alpha-180^\circ\)
4.º\(\beta=360^\circ-\alpha\)
Ejemplo: calculo las razones trigonométricas de \(150^\circ\).
  1. Cuadrante. \(150^\circ\) está entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\): es el 2.º cuadrante, donde solo el seno es positivo.
  2. Ángulo de referencia. \(\beta=180^\circ-150^\circ=30^\circ\).
  3. Razones de \(30^\circ\) con el signo del cuadrante:\[\operatorname{sen}150^\circ=\operatorname{sen}30^\circ=\frac{1}{2}\]\[\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\operatorname{tg}150^\circ=-\operatorname{tg}30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3}\]
💡 Ángulos de más de una vuelta. Si el ángulo es mayor que \(360^\circ\), resto vueltas completas hasta que quede entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\). Por ejemplo, \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\) tiene las mismas razones que \(30^\circ\).

Chuleta: tabla de razones trigonométricas y fórmulas

Esta tabla reúne las razones de los ángulos notables del primer cuadrante, con su medida en radianes. Si te la sabes, puedes resolver muchos ejercicios sin calculadora.

ÁnguloRadianessencostg
\(0^\circ\)\(0\)\(0\)\(1\)\(0\)
\(30^\circ\)\(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)\(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)
\(60^\circ\)\(\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(1\)\(0\)no existe

Y estas son las fórmulas que tienes que tener a mano:

ConceptoFórmula
Seno\(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\)
Coseno\(\cos\alpha=\dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\)
Tangente\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\)
Relación fundamental\(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
Con la secante\(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\)
Ángulos agudos\(A+B=90^\circ\)
Pitágoras\(a^2+b^2=c^2\)
Grados y radianes\(180^\circ=\pi\) radianes

Errores frecuentes con las razones trigonométricas

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Tener la calculadora en radianes. Con la calculadora en modo RAD, \(\operatorname{sen}30\) da \(-0{,}988\) en lugar de \(0{,}5\). Mira siempre que ponga DEG.
  • Confundir el cateto opuesto con el contiguo. Se definen respecto al ángulo que usas. Si cambias de ángulo, cambian de papel.
  • Obtener un seno o un coseno mayor que 1. Es imposible, porque ningún cateto es más largo que la hipotenusa. Revisa que has dividido el cateto entre la hipotenusa y no al revés.
  • Sumar razones como si fueran lineales. No se cumple que \(\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B\). Por ejemplo, \(\operatorname{sen}30^\circ+\operatorname{sen}60^\circ\approx 1{,}37\), pero \(\operatorname{sen}90^\circ=1\).
  • Olvidar el signo en los cuadrantes 2.º, 3.º y 4.º. Antes de dar el resultado, comprueba si tiene que ser positivo o negativo.
  • Pensar que \(\operatorname{sen}^{-1}\) es \(\dfrac{1}{\operatorname{sen}}\). La tecla \(\operatorname{sen}^{-1}\) es el arcoseno, que devuelve un ángulo. La cosecante es \(\dfrac{1}{\operatorname{sen}\alpha}\).
  • Redondear demasiado pronto. Si redondeas en los pasos intermedios, el resultado final se desvía. Guarda los decimales de la calculadora y redondea solo al final.
  • Usar la definición en un triángulo que no es rectángulo. Lo de opuesto, contiguo e hipotenusa solo vale si hay un ángulo recto. Para otros triángulos hay que usar los teoremas del seno y del coseno.

🧮 Calculadora de razones trigonométricas

Tienes tres pestañas. En la primera escribes un ángulo y te doy su cuadrante, su ángulo de referencia y las seis razones, con el valor exacto cuando es un ángulo notable. En la segunda resuelves un triángulo rectángulo a partir de dos datos. En la tercera, si conoces una razón y el cuadrante, te calculo las otras de forma exacta y el ángulo. Para otros triángulos tienes la calculadora de ángulos de triángulos.

Escribe un ángulo en grados, de 0 a 360. Te digo en qué cuadrante está, a qué ángulo del primer cuadrante se reduce y cuánto valen sus seis razones trigonométricas.

Número entre 0 y 360, con coma o con punto y hasta 2 decimales.

🌍 Razones trigonométricas en la vida real

🏗️ Topografía y construcciónPara saber la altura de un edificio, un árbol o una montaña sin subir, se mide una distancia y un ángulo de elevación y se usa la tangente.
🧭 Navegación y aviaciónBarcos y aviones calculan rumbos y distancias descomponiendo sus recorridos en triángulos rectángulos. La altura que gana un avión al ascender se calcula con el seno de su ángulo de ascenso.
⚡ FísicaUna fuerza o una velocidad inclinada un ángulo \(\alpha\) se descompone en dos componentes: \(F_x=F\cos\alpha\) y \(F_y=F\operatorname{sen}\alpha\).
📈 Pendientes y rampasLa pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje horizontal: \(m=\operatorname{tg}\alpha\). Lo verás en la ecuación de la recta, y también en carreteras y rampas.
🎮 Gráficos y videojuegosGirar un objeto en pantalla se calcula con senos y cosenos: a una distancia \(r\) y con un ángulo \(\alpha\), sus coordenadas son \((r\cos\alpha,\ r\operatorname{sen}\alpha)\).
🎵 Ondas y sonidoEl sonido, la luz y la corriente alterna se describen con funciones seno y coseno, que nacen de la circunferencia goniométrica.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Triángulo rectánguloTiene un ángulo de \(90^\circ\). La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y los catetos son los otros dos. Cumple \(a^2+b^2=c^2\).
SenoCateto opuesto entre hipotenusa: \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\).
CosenoCateto contiguo entre hipotenusa: \(\cos\alpha=\dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\).
TangenteCateto opuesto entre cateto contiguo: \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\).
Razones inversas\(\operatorname{cosec}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{sen}\alpha}\), \(\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\) y \(\operatorname{cotg}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Ángulos notablesSeno, coseno y tangente. \(30^\circ\): \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). \(45^\circ\): \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(1\). \(60^\circ\): \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\).
Relación fundamental\(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). De ella sale \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\).
Signos por cuadrantesEn el 1.º cuadrante son positivas todas las razones. En el 2.º, solo el seno. En el 3.º, solo la tangente. En el 4.º, solo el coseno.

⭐ Ejercicios de razones trigonométricas resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Razones de los ángulos de un triángulo
📝 EnunciadoUn triángulo rectángulo tiene catetos de 5 y 12. a) Calcula la hipotenusa. b) Halla el seno, el coseno y la tangente del ángulo \(A\), opuesto al cateto 5. c) Haz lo mismo con el ángulo \(B\), opuesto al cateto 12.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Apartado a). Por Pitágoras:\[c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]
  2. Paso 2. Apartado b). Para \(A\), el cateto opuesto es 5 y el contiguo es 12:\[\operatorname{sen}A=\frac{5}{13}\approx 0{,}38\]\[\cos A=\frac{12}{13}\approx 0{,}92\]\[\operatorname{tg}A=\frac{5}{12}\approx 0{,}42\]
  3. Paso 3. Apartado c). Para \(B\), el cateto opuesto es 12 y el contiguo es 5:\[\operatorname{sen}B=\frac{12}{13}\approx 0{,}92\]\[\cos B=\frac{5}{13}\approx 0{,}38\]\[\operatorname{tg}B=\frac{12}{5}=2{,}4\]
✅ Resultado: a) \(c=13\). b) \(\operatorname{sen}A=\dfrac{5}{13}\), \(\cos A=\dfrac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}A=\dfrac{5}{12}\). c) \(\operatorname{sen}B=\dfrac{12}{13}\), \(\cos B=\dfrac{5}{13}\), \(\operatorname{tg}B=\dfrac{12}{5}\).
EJERCICIO 2Calcular seno y coseno conocida la tangente
📝 EnunciadoEl ángulo agudo \(\alpha\) cumple \(\operatorname{tg}\alpha=2\). Calcula el valor exacto de \(\cos\alpha\) y de \(\operatorname{sen}\alpha\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Uso la relación \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\):\[1+2^2=5=\frac{1}{\cos^2\alpha}\]\[\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\]
  2. Paso 2. El ángulo es agudo, así que el coseno es positivo:\[\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0{,}45\]
  3. Paso 3. De \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\) despejo el seno:\[\operatorname{sen}\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha\]\[\operatorname{sen}\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0{,}89\]
  4. Paso 4. Compruebo: \(\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2=\dfrac{20}{25}\) y \(\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^2=\dfrac{5}{25}\), que suman:\[\frac{20}{25}+\frac{5}{25}=1\]
✅ Resultado: \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) y \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
EJERCICIO 3Valor exacto con ángulos notables
📝 EnunciadoCalcula el valor exacto, sin calculadora, de a) \(E=\operatorname{sen}60^\circ\cdot\cos30^\circ-\operatorname{tg}45^\circ\cdot\operatorname{sen}30^\circ\) y b) \(F=\dfrac{\operatorname{tg}60^\circ}{\operatorname{sen}60^\circ}\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Apartado a). Sustituyo cada razón por su valor:\[E=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-1\cdot\frac{1}{2}\]
  2. Paso 2. Apartado a). Multiplico y resto:\[E=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]
  3. Paso 3. Apartado b). Sustituyo y divido, que es multiplicar por el inverso:\[F=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=2\]
✅ Resultado: a) \(E=\dfrac{1}{4}\). b) \(F=2\).
EJERCICIO 4Resolver un triángulo con un cateto y un ángulo
📝 EnunciadoResuelve el triángulo rectángulo con cateto \(b=9\) y ángulo \(A=52^\circ\). Redondea a dos decimales.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El otro ángulo agudo es \(B=90^\circ-52^\circ=38^\circ\).
  2. Paso 2. El cateto \(b\) es el contiguo a \(A\) y busco el opuesto, \(a\). Uso la tangente:\[\operatorname{tg}52^\circ=\frac{a}{9}\]\[a=9\cdot\operatorname{tg}52^\circ\approx 9\cdot 1{,}2799\approx 11{,}52\]
  3. Paso 3. La hipotenusa es la que divide al contiguo en el coseno:\[\cos52^\circ=\frac{9}{c}\]\[c=\frac{9}{\cos52^\circ}\approx\frac{9}{0{,}6157}\approx 14{,}62\]
  4. Paso 4. Compruebo con Pitágoras: \(11{,}52^2+9^2\approx 213{,}7\) y \(14{,}62^2\approx 213{,}7\).
✅ Resultado: \(B=38^\circ\), \(a\approx 11{,}52\) y \(c\approx 14{,}62\).
EJERCICIO 5Resolver un triángulo con hipotenusa y cateto
📝 EnunciadoUn triángulo rectángulo tiene hipotenusa \(c=17\) y un cateto \(a=8\). Calcula el otro cateto y los dos ángulos agudos.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El otro cateto, por Pitágoras:\[b=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\]
  2. Paso 2. El ángulo \(A\) es opuesto al cateto 8, y conozco también la hipotenusa:\[\operatorname{sen}A=\frac{8}{17}\approx 0{,}4706\]\[A=\operatorname{arcsen}\frac{8}{17}\approx 28{,}07^\circ\]
  3. Paso 3. El otro ángulo agudo es \(B=90^\circ-28{,}07^\circ=61{,}93^\circ\).
✅ Resultado: \(b=15\), \(A\approx 28{,}07^\circ\) y \(B\approx 61{,}93^\circ\).
EJERCICIO 6Una escalera apoyada en la pared
📝 EnunciadoUna escalera de 5 m de longitud se apoya en una pared y forma un ángulo de \(70^\circ\) con el suelo. a) ¿A qué altura llega en la pared? b) ¿A qué distancia de la pared está su pie?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La escalera es la hipotenusa, de 5 m. La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(70^\circ\) y la distancia al pie es el contiguo.
  2. Paso 2. Apartado a). Uso el seno:\[\operatorname{sen}70^\circ=\frac{h}{5}\]\[h=5\cdot\operatorname{sen}70^\circ\approx 5\cdot 0{,}9397\approx 4{,}70\]
  3. Paso 3. Apartado b). Uso el coseno:\[\cos70^\circ=\frac{d}{5}\]\[d=5\cdot\cos70^\circ\approx 5\cdot 0{,}342\approx 1{,}71\]
✅ Resultado: a) Llega a unos 4,70 m de altura. b) El pie está a unos 1,71 m de la pared.
EJERCICIO 7Ángulo de depresión
📝 EnunciadoDesde lo alto de un faro de 40 m de altura se ve un barco con un ángulo de depresión de \(25^\circ\). ¿A qué distancia horizontal del pie del faro está el barco?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El ángulo de depresión se mide desde la horizontal hacia abajo. Por ser ángulos alternos internos, el ángulo en el barco, entre el suelo y la visual, también mide \(25^\circ\).
  2. Paso 2. El faro es el cateto opuesto a ese ángulo, de 40 m, y la distancia \(d\) es el cateto contiguo. Uso la tangente:\[\operatorname{tg}25^\circ=\frac{40}{d}\]
  3. Paso 3. Despejo \(d\):\[d=\frac{40}{\operatorname{tg}25^\circ}\approx\frac{40}{0{,}4663}\approx 85{,}78\]
✅ Resultado: El barco está a unos 85,78 m del pie del faro.
EJERCICIO 8Reducción al primer cuadrante
📝 EnunciadoCalcula el valor exacto del seno, el coseno y la tangente de a) \(120^\circ\), b) \(225^\circ\) y c) \(330^\circ\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Apartado a). \(120^\circ\) está en el 2.º cuadrante y su ángulo de referencia es \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Solo el seno es positivo:\[\operatorname{sen}120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\cos120^\circ=-\frac{1}{2}\]\[\operatorname{tg}120^\circ=-\sqrt{3}\]
  2. Paso 2. Apartado b). \(225^\circ\) está en el 3.º cuadrante y su ángulo de referencia es \(225^\circ-180^\circ=45^\circ\). Solo la tangente es positiva:\[\operatorname{sen}225^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\cos225^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\operatorname{tg}225^\circ=1\]
  3. Paso 3. Apartado c). \(330^\circ\) está en el 4.º cuadrante y su ángulo de referencia es \(360^\circ-330^\circ=30^\circ\). Solo el coseno es positivo:\[\operatorname{sen}330^\circ=-\frac{1}{2}\]\[\cos330^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\operatorname{tg}330^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3}\]
✅ Resultado: a) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(-\dfrac{1}{2}\) y \(-\sqrt{3}\). b) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(1\). c) \(-\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
EJERCICIO 9Razones de un ángulo del 4.º cuadrante
📝 EnunciadoUn ángulo \(\alpha\) del 4.º cuadrante cumple \(\operatorname{sen}\alpha=-\dfrac{5}{13}\). Calcula \(\cos\alpha\), \(\operatorname{tg}\alpha\) y el ángulo \(\alpha\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Despejo el coseno de la relación fundamental:\[\cos^2\alpha=1-\operatorname{sen}^2\alpha\]\[\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\]
  2. Paso 2. En el 4.º cuadrante el coseno es positivo, así que \(\cos\alpha=\dfrac{12}{13}\).
  3. Paso 3. La tangente:\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}\]
  4. Paso 4. El ángulo de referencia es \(\beta=\operatorname{arcsen}\dfrac{5}{13}\approx 22{,}62^\circ\) y, en el 4.º cuadrante, \(\alpha=360^\circ-\beta\):\[\alpha\approx 360^\circ-22{,}62^\circ=337{,}38^\circ\]
✅ Resultado: \(\cos\alpha=\dfrac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}\alpha=-\dfrac{5}{12}\) y \(\alpha\approx 337{,}38^\circ\).
EJERCICIO 10Demostrar una relación y usarla
📝 EnunciadoDemuestra que \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) y úsalo para hallar \(\cos\alpha\) y \(\operatorname{sen}\alpha\) sabiendo que \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4}\) y que \(\alpha\) es agudo.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Parto de la relación fundamental y divido todo entre \(\cos^2\alpha\):\[\frac{\operatorname{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}\]
  2. Paso 2. Como \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\), queda \(\operatorname{tg}^2\alpha+1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), que es lo que quería demostrar.
  3. Paso 3. Sustituyo \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4}\):\[1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}=\frac{1}{\cos^2\alpha}\]\[\cos^2\alpha=\frac{16}{25}\]
  4. Paso 4. El ángulo es agudo, así que \(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\). Y el seno:\[\operatorname{sen}\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}\]
✅ Resultado: \(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\) y \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{3}{5}\).

❓ Preguntas frecuentes sobre las razones trigonométricas

🤔 ¿Qué son las razones trigonométricas?
Son los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos. Las tres principales son el seno (cateto opuesto entre hipotenusa), el coseno (cateto contiguo entre hipotenusa) y la tangente (cateto opuesto entre cateto contiguo). Solo dependen del ángulo, no del tamaño del triángulo.
🤔 ¿Cómo se calculan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo?
En un triángulo rectángulo, dividiendo los lados que corresponden: \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}\). Si solo conoces el ángulo, se calculan con las teclas sin, cos y tan de la calculadora, en modo grados. Por ejemplo, \(\operatorname{sen}35^\circ\approx 0{,}5736\).
🤔 ¿Cuál es la diferencia entre cateto opuesto y cateto contiguo?
Depende del ángulo que uses. El cateto opuesto es el que está enfrente del ángulo y el contiguo es el que forma el ángulo junto con la hipotenusa. Si cambias de ángulo agudo, los dos catetos intercambian su papel.
🤔 ¿Cuánto valen el seno, el coseno y la tangente de 30°, 45° y 60°?
Para \(30^\circ\): \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Para \(45^\circ\): \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(1\). Para \(60^\circ\): \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{1}{2}\) y \(\sqrt{3}\). En cada caso van en el orden seno, coseno y tangente.
🤔 ¿Por qué el seno y el coseno nunca son mayores que 1?
Porque en un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado más largo, y el seno y el coseno son un cateto dividido entre la hipotenusa. En la circunferencia goniométrica, de radio 1, son las coordenadas de un punto de la circunferencia, así que siempre están entre −1 y 1. La tangente, en cambio, puede valer cualquier número.
🤔 ¿Cómo se calcula un ángulo a partir de su seno, coseno o tangente?
Con las funciones inversas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente. En la calculadora son las teclas \(\operatorname{sen}^{-1}\), \(\cos^{-1}\) y \(\tan^{-1}\), que se activan con SHIFT o 2nd. Por ejemplo, si \(\operatorname{tg}\alpha=0{,}75\), entonces \(\alpha=\operatorname{arctg}0{,}75\approx 36{,}87^\circ\).
🤔 ¿Por qué no existe la tangente de 90°?
Porque \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\) y, para \(90^\circ\), el coseno vale 0. Dividir entre cero no está permitido. Lo mismo ocurre con \(270^\circ\).
🤔 ¿Se pueden usar las razones trigonométricas en triángulos que no son rectángulos?
Directamente no, porque las definiciones usan la hipotenusa y los catetos. Pero sí de forma indirecta: trazando una altura, que divide el triángulo en dos triángulos rectángulos, o con los teoremas del seno y del coseno.
📚 Resumen final
  • Las razones trigonométricas son cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo y solo dependen del ángulo.
  • \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}\).
  • Las inversas son la cosecante, la secante y la cotangente.
  • Los ángulos notables: \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\) se calculan con exactitud usando medio cuadrado y medio triángulo equilátero.
  • Relación fundamental: \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\).
  • Para resolver un triángulo rectángulo uso Pitágoras, \(B=90^\circ-A\) y las razones trigonométricas.
  • En la circunferencia goniométrica, \(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\), y los signos dependen del cuadrante.

Conclusión

Las razones trigonométricas se reducen a tres cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo: el seno y el coseno dividen un cateto entre la hipotenusa, y la tangente divide un cateto entre el otro. Con ellas y los valores de 30°, 45° y 60° resuelves triángulos y calculas alturas y distancias, y con la circunferencia goniométrica lo extiendes a ángulos de cualquier tamaño. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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