Identidades trigonométricas: fórmulas, demostraciones y ejercicios

¿Te piden demostrar que dos expresiones son iguales y no sabes por dónde empezar? Las identidades trigonométricas son igualdades entre razones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor del ángulo, y son la herramienta con la que simplificas expresiones, calculas razones de ángulos que no son notables y resuelves ecuaciones. En esta guía te explico cuáles son las identidades fundamentales y cómo se demuestra una identidad paso a paso. Con ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

¿Qué son las identidades trigonométricas? Identidad y ecuación

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones con razones trigonométricas que se cumple para todos los valores del ángulo para los que ambos miembros están definidos. Un ejemplo es \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): da igual que \(\alpha\) valga \(30^\circ\), \(137^\circ\) o \(-200^\circ\), siempre se cumple.

No hay que confundirla con una ecuación trigonométrica. En una ecuación la igualdad solo se cumple para algunos ángulos y lo que se pide es encontrarlos. En una identidad se cumple siempre y lo que se pide es demostrarla o usarla para transformar expresiones.

Se ve bien en las gráficas. \(\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen} x\cos x\) es una identidad: las curvas de los dos miembros coinciden en todos los puntos. \(\operatorname{sen} x=\cos x\) es una ecuación: las curvas solo se cortan en algunos puntos, y esos puntos son las soluciones, \(45^\circ\) y \(225^\circ\) dentro de una vuelta.

Si no tienes claro qué son el seno, el coseno y la tangente, empieza por las razones trigonométricas y vuelve aquí.

Identidades fundamentales: relación pitagórica, cociente y recíprocas

Son las identidades básicas, las que se usan en casi todos los ejercicios. La primera es la relación fundamental, que une el seno y el coseno. Las demás definen la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante a partir de ellos.

Hay que tener en cuenta cuándo existen. La tangente y la secante no existen si \(\cos\alpha=0\), y la cotangente y la cosecante no existen si \(\operatorname{sen}\alpha=0\).

Por qué se cumple la relación fundamental

1. En la circunferencia goniométrica, que tiene radio 1 y centro en el origen, el punto \(P\) que corresponde al ángulo \(\alpha\) tiene coordenadas \(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\).
2. Todos los puntos de esa circunferencia cumplen \(x^2+y^2=1\). Sustituyo las coordenadas de \(P\):\[\cos^2\alpha+\operatorname{sen}^2\alpha=1\]
3. En un triángulo rectángulo es lo mismo que el teorema de Pitágoras, \(a^2+b^2=c^2\), dividido entre \(c^2\).

Identidades pitagóricas con la tangente y la cotangente

La relación fundamental tiene dos «hermanas». Se obtienen dividiendo toda la igualdad entre \(\cos^2\alpha\) o entre \(\operatorname{sen}^2\alpha\), y se llaman identidades pitagóricas porque salen del teorema de Pitágoras.

Demostración

1. Divido entre \(\cos^2\alpha\) la relación fundamental, suponiendo \(\cos\alpha\ne 0\):\[\frac{\operatorname{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}\]
2. Como \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\) y \(\dfrac{1}{\cos\alpha}=\sec\alpha\), queda:\[\operatorname{tg}^2\alpha+1=\sec^2\alpha\]
3. Divido entre \(\operatorname{sen}^2\alpha\) la relación fundamental, suponiendo \(\operatorname{sen}\alpha\ne 0\):\[1+\frac{\cos^2\alpha}{\operatorname{sen}^2\alpha}=\frac{1}{\operatorname{sen}^2\alpha}\]\[1+\operatorname{cotg}^2\alpha=\operatorname{cosec}^2\alpha\]

También se ven en el dibujo: los tres triángulos rectángulos comparten el ángulo \(\alpha\) y, al aplicar el teorema de Pitágoras a cada uno, sale una de las tres identidades.

Según lo que conozcas, te conviene despejarlas así:

Identidades de ángulos relacionados: opuestos, suplementarios y complementarios

Hay ángulos cuyas razones coinciden con las de \(\alpha\) salvo, quizá, el signo. Se deducen de las simetrías de la circunferencia goniométrica y te permiten calcular razones de cualquier ángulo a partir de las de uno del primer cuadrante.

• Opuestos (\(\alpha\) y \(-\alpha\)): sus puntos son simétricos respecto al eje horizontal. Tienen el mismo coseno y el seno cambia de signo.
• Suplementarios (\(\alpha\) y \(180^\circ-\alpha\)): sus puntos son simétricos respecto al eje vertical. Tienen el mismo seno y el coseno cambia de signo.
• Diferencia de \(180^\circ\) (\(\alpha\) y \(180^\circ+\alpha\)): sus puntos son simétricos respecto al origen. El seno y el coseno cambian de signo y la tangente no cambia.

Dos ángulos son complementarios si suman \(90^\circ\), y suplementarios si suman \(180^\circ\). En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios, y por eso el seno de uno es el coseno del otro.

Seno, coseno y tangente de una suma y de una resta de ángulos

Estas son las fórmulas más útiles para calcular las razones de ángulos que no son notables, como \(15^\circ\), \(75^\circ\) o \(105^\circ\), escribiéndolos como suma o resta de ángulos que sí conoces.

De dónde sale: demostración de la fórmula del coseno de una resta

Coloco en la circunferencia goniométrica los puntos \(P=(\cos A,\ \operatorname{sen} A)\) y \(Q=(\cos B,\ \operatorname{sen} B)\), con \(A\) mayor que \(B\). Calculo la distancia \(PQ\) de dos maneras.

1. Con la fórmula de la distancia entre dos puntos:\[PQ^2=(\cos A-\cos B)^2+(\operatorname{sen} A-\operatorname{sen} B)^2\]Desarrollo los cuadrados y aplico \(\operatorname{sen}^2+\cos^2=1\) a cada ángulo:\[PQ^2=2-2\cos A\cos B-2\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B\]
2. Con el teorema del coseno en el triángulo \(OPQ\), que tiene dos lados de longitud 1 con un ángulo \(A-B\) entre ellos:\[PQ^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos(A-B)\]\[=2-2\cos(A-B)\]
3. Igualo los dos resultados y simplifico:\[2-2\cos(A-B)\]\[=2-2\cos A\cos B-2\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B\]\[\cos(A-B)=\cos A\cos B+\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B\]

Cómo salen las demás

1. Coseno de una suma. Escribo \(A+B=A-(-B)\) y uso \(\cos(-B)=\cos B\) y \(\operatorname{sen}(-B)=-\operatorname{sen} B\):\[\cos(A+B)=\cos A\cos B-\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B\]
2. Seno. Paso al coseno con el complementario y aplico la fórmula de la resta:\[\operatorname{sen}(A+B)=\cos(90^\circ-(A+B))\]\[=\cos((90^\circ-A)-B)\]\[\cos((90^\circ-A)-B)\]\[=\cos(90^\circ-A)\cos B+\operatorname{sen}(90^\circ-A)\operatorname{sen} B\]\[\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen} A\cos B+\cos A\operatorname{sen} B\]
3. Tangente. Divido el seno entre el coseno y, después, el numerador y el denominador entre \(\cos A\cos B\):\[\operatorname{tg}(A+B)=\frac{\operatorname{sen} A\cos B+\cos A\operatorname{sen} B}{\cos A\cos B-\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B}\]\[=\frac{\operatorname{tg} A+\operatorname{tg} B}{1-\operatorname{tg} A\operatorname{tg} B}\]
4. Las de la resta salen de cambiar \(B\) por \(-B\) en las de la suma.

Si quieres más ejemplos de esta fórmula, tienes el artículo sobre las razones trigonométricas del ángulo suma. La pestaña «Suma y resta» de la calculadora de este artículo te da los resultados exactos con ángulos notables.

Fórmulas del ángulo doble

Si en las fórmulas de la suma tomo \(\beta=\alpha\), salen las del ángulo doble, que relacionan las razones de \(2\alpha\) con las de \(\alpha\).

Demostración

1. Seno:\[\operatorname{sen}2\alpha=\operatorname{sen}(\alpha+\alpha)\]\[=\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\operatorname{sen}\alpha=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\]
2. Coseno:\[\cos2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)\]\[=\cos\alpha\cos\alpha-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\alpha=\cos^2\alpha-\operatorname{sen}^2\alpha\]
3. Tangente:\[\operatorname{tg}2\alpha=\operatorname{tg}(\alpha+\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\alpha}\]\[=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\]

El coseno del ángulo doble se puede escribir de tres formas. Las dos últimas salen de la primera sustituyendo \(\operatorname{sen}^2\alpha=1-\cos^2\alpha\) o \(\cos^2\alpha=1-\operatorname{sen}^2\alpha\). Elige la que mejor encaje con lo que conoces:

Fórmulas del ángulo mitad

Despejando en las fórmulas del ángulo doble se obtienen las razones de la mitad de un ángulo. Sirven para calcular razones de ángulos como \(15^\circ\) o \(22{,}5^\circ\), que son la mitad de uno notable.

Demostración

1. En \(\cos2\theta=1-2\operatorname{sen}^2\theta\) hago \(\theta=\dfrac{\alpha}{2}\), de modo que \(2\theta=\alpha\), y despejo el seno:\[\cos\alpha=1-2\operatorname{sen}^2\frac{\alpha}{2}\]\[\operatorname{sen}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]
2. En \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\) hago lo mismo y despejo el coseno:\[\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1\]\[\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\]
3. Tangente. Divido la primera igualdad entre la segunda:\[\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\]

Para la tangente hay dos formas sin raíz, que además no llevan \(\pm\) porque el signo sale solo:\[\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\operatorname{sen}\alpha}=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{1+\cos\alpha}\]

La pestaña «Mitad» de la calculadora calcula las razones de \(\dfrac{\alpha}{2}\) a partir de \(\cos\alpha\) y del cuadrante, y elige el signo correcto por ti.

Transformaciones: de suma a producto y de producto a suma

Si sumo y resto las fórmulas del seno y del coseno de una suma y de una resta, aparecen cuatro igualdades que convierten un producto en una suma:

Y al revés: de suma a producto

Si en la primera igualdad llamo \(A=\alpha+\beta\) y \(B=\alpha-\beta\), entonces \(\alpha=\dfrac{A+B}{2}\) y \(\beta=\dfrac{A-B}{2}\). Sustituyendo, una suma de senos se convierte en un producto. Con las otras tres sale lo mismo para el resto:

Estas fórmulas se usan sobre todo para simplificar expresiones y para resolver integrales trigonométricas, porque es más fácil integrar una suma que un producto.

Cómo demostrar identidades trigonométricas paso a paso

Demostrar una identidad es probar que, partiendo de un miembro y usando solo identidades ya conocidas, se llega al otro. No hay una receta única, pero estos consejos funcionan casi siempre:

1. Trabaja con un solo miembro. Elige el más complicado y transfórmalo hasta que quede igual que el otro. No pases términos de un miembro a otro ni multipliques en cruz.
2. Pásalo todo a seno y coseno. Sustituye la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante por sus definiciones. Así hay menos símbolos distintos.
3. Busca una identidad pitagórica. Una expresión como \(1-\cos^2\alpha\) o \(1+\operatorname{tg}^2\alpha\) pide que la sustituyas por \(\operatorname{sen}^2\alpha\) o por \(\sec^2\alpha\).
4. Opera como en álgebra. Reduce a común denominador, saca factor común y desarrolla o factoriza con los productos notables.
5. Reduce los ángulos. Si aparecen \(2\alpha\), \(\dfrac{\alpha}{2}\) o \(\alpha+\beta\), desarróllalos con sus fórmulas para que todo quede en función de \(\alpha\) y \(\beta\).
6. Si te atascas, trabaja los dos miembros por separado hasta llegar a una misma expresión intermedia.

Chuleta: tabla de identidades trigonométricas

Todas las identidades del artículo en un solo sitio, agrupadas por tipo.

Fundamentales y de ángulos relacionados

Suma, resta, ángulo doble y ángulo mitad

Para tener todas las fórmulas de trigonometría en una sola página, consulta también el formulario de fórmulas trigonométricas.

Errores frecuentes con las identidades trigonométricas

🧮 Calculadora de identidades trigonométricas

Tienes cuatro pestañas. En la primera eliges una identidad y un ángulo, y compruebo que los dos miembros valen lo mismo. En la segunda calculo el seno, el coseno y la tangente de una suma o una resta de ángulos notables, con raíces. En la tercera, si conoces una razón de \(\alpha\) y su cuadrante, calculo las razones de \(2\alpha\). Y en la cuarta, a partir de \(\cos\alpha\) y del cuadrante, las de \(\dfrac{\alpha}{2}\).

🌍 Identidades trigonométricas en la vida real

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

⭐ Ejercicios de identidades trigonométricas resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

❓ Preguntas frecuentes sobre las identidades trigonométricas