ejemplo de una circunferencia goniométrica

Circunferencia goniométrica y ángulos notables

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 3 días · Actualizado hace 3 días

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la circunferencia goniométrica? Definición y propiedades
  2. Cómo se miden los ángulos: sentido, cuadrantes y vueltas completas
  3. Grados y radianes: cómo pasar de una medida a otra
  4. Seno, coseno y tangente en la circunferencia goniométrica
  5. Ángulos notables: cómo se calculan los valores de 30°, 45° y 60°
  6. Tabla completa de ángulos notables en grados y radianes
  7. Signos por cuadrantes y ángulo de referencia
  8. Cómo calcular el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo notable
  9. Problema inverso: cómo hallar el ángulo a partir de su seno, coseno o tangente
  10. Chuleta: fórmulas y valores de la circunferencia goniométrica
  11. 🧮 Calculadora de la circunferencia goniométrica
  12. 🧠 Flashcards para memorizar
  13. ⭐ Ejercicios de circunferencia goniométrica resueltos

¿Qué es la circunferencia goniométrica y por qué de ella salen todos los valores del seno y del coseno? La circunferencia goniométrica es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas. Con ella se definen el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo y se deducen los ángulos notables, que son 0°, 30°, 45°, 60° y 90° y todos sus simétricos. En esta guía te lo explico todo con detalle. Con ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

⚡ Circunferencia goniométrica en 30 segundos
Es la circunferencia de radio 1 y centro en el origen. Un ángulo \(\alpha\) se mide desde el semieje positivo de abscisas, en sentido antihorario, y termina en un punto \(P\) de la circunferencia. Las coordenadas de \(P\) son el coseno y el seno del ángulo:
\[P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\]\[\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
Los ángulos notables del primer cuadrante, 30°, 45° y 60°, tienen seno \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). El coseno toma los mismos valores en orden inverso, y en los otros tres cuadrantes solo cambia el signo.

¿Qué es la circunferencia goniométrica? Definición y propiedades

La circunferencia goniométrica, que también se llama circunferencia trigonométrica, circunferencia unidad o círculo unidad, es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen \(O=(0,\ 0)\). Es una de las cónicas más sencillas, y su ecuación es:

\[x^2+y^2=1\]

Cada punto \((x,\ y)\) que cumple esta ecuación está a distancia 1 del origen, porque esa distancia es \(\sqrt{x^2+y^2}\), como dice el teorema de Pitágoras. Para medir un ángulo \(\alpha\) se coloca su vértice en \(O\) y su lado inicial sobre el semieje positivo de abscisas, que acaba en el punto \((1,\ 0)\). Después se gira en sentido antihorario hasta el lado final, que corta la circunferencia en un punto \(P\). Ese punto es la clave de la trigonometría:

\[P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\]

¿Por qué? Si desde \(P\) bajas una perpendicular al eje horizontal, te queda un triángulo rectángulo con hipotenusa \(OP=1\). El coseno es el cateto contiguo entre la hipotenusa y el seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa, y como la hipotenusa vale 1, el cateto horizontal mide \(\cos\alpha\) y el vertical mide \(\operatorname{sen}\alpha\). La ventaja es que esta definición vale para cualquier ángulo y no solo para los de un triángulo rectángulo. Si necesitas repasar las razones en un triángulo, mira el artículo de razones trigonométricas.

PropiedadQué significa
Centro y radioCentro en el origen y radio 1
Ecuación\(x^2+y^2=1\)
Punto del ángulo \(\alpha\)\(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\)
Valores posiblesEl seno y el coseno están siempre entre \(-1\) y \(1\), porque las coordenadas no salen de la circunferencia
Relación fundamental\(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), la ecuación de la circunferencia aplicada a \(P\)
Longitud\(2\pi\cdot 1=2\pi\), el perímetro de una circunferencia de radio 1
Circunferencia goniométrica de radio 1 con los ejes de coordenadas, los cuatro cuadrantes numerados, un ángulo alfa medido desde el semieje positivo de abscisas y el punto P de coordenadas coseno de alfa y seno de alfa, con los catetos del triángulo rectángulo y la ecuación x al cuadrado más y al cuadrado igual a 1
Ejemplo: el punto de la circunferencia que corresponde a \(30^\circ\) es\[P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)\]Compruebo que está en la circunferencia:\[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\]
💡 Por qué se llama goniométrica. «Gonía» significa ángulo en griego y aparece en palabras como goniómetro, el instrumento para medir ángulos. Por eso la circunferencia goniométrica es, literalmente, la circunferencia para medir ángulos. Si la circunferencia tuviera un radio \(r\) cualquiera, el punto sería \((r\cos\alpha,\ r\operatorname{sen}\alpha)\). Con radio 1 desaparece el \(r\) y todo se simplifica.

Cómo se miden los ángulos: sentido, cuadrantes y vueltas completas

En la circunferencia goniométrica el sentido importa. El sentido positivo es el contrario a las agujas del reloj, es decir, el antihorario, y es el que usamos por defecto. Un ángulo negativo se mide girando en el sentido de las agujas del reloj. Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, que se numeran en sentido antihorario:

CuadranteÁngulo \(\alpha\)Coseno, \(x\)Seno, \(y\)
I\(0^\circ\lt\alpha\lt 90^\circ\)++
II\(90^\circ\lt\alpha\lt 180^\circ\)−+
III\(180^\circ\lt\alpha\lt 270^\circ\)−−
IV\(270^\circ\lt\alpha\lt 360^\circ\)+−

Los ángulos de \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) y \(270^\circ\) caen justo sobre los ejes y no pertenecen a ningún cuadrante.

Si a un ángulo le sumas o le restas una vuelta completa, \(360^\circ\), el lado final vuelve al mismo sitio y el punto \(P\) no cambia. Por eso, para cualquier número entero \(k\):

\[\operatorname{sen}(\alpha+360^\circ k)=\operatorname{sen}\alpha\]\[\cos(\alpha+360^\circ k)=\cos\alpha\]
Tres circunferencias goniométricas con el mismo punto P: a la izquierda el ángulo de 30 grados en sentido antihorario, en el centro el ángulo de 390 grados, que da una vuelta completa más 30 grados, y a la derecha el ángulo de menos 330 grados, medido en sentido horario

Para saber en qué punto acaba un ángulo mayor que una vuelta o negativo, le quito o le añado vueltas de \(360^\circ\) hasta que quede entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\):

Ángulo \(\alpha\)Sumo o restoEquivalente
\(390^\circ\)\(-360^\circ\)\(30^\circ\)
\(1110^\circ\)\(-3\cdot 360^\circ\)\(30^\circ\)
\(-330^\circ\)\(+360^\circ\)\(30^\circ\)
\(-150^\circ\)\(+360^\circ\)\(210^\circ\)
Ejemplo: calculo en qué punto acaba un ángulo de \(1110^\circ\).
  1. Divido entre 360. \(1110:360\) da 3 vueltas completas, y \(3\cdot 360^\circ=1080^\circ\).
  2. Calculo el resto:\[1110^\circ-1080^\circ=30^\circ\]
  3. Conclusión: \(1110^\circ\) acaba en el mismo punto que \(30^\circ\), así que \(\operatorname{sen}1110^\circ=\operatorname{sen}30^\circ=\dfrac{1}{2}\).
💡 Un ángulo negativo se pasa a positivo sumando 360°. Por ejemplo, \(-90^\circ+360^\circ=270^\circ\): girar un cuarto de vuelta en sentido horario lleva al mismo punto, \((0,\ -1)\), que girar tres cuartos de vuelta en sentido antihorario.
ejemplo de una circunferencia goniométrica

Grados y radianes: cómo pasar de una medida a otra

Además de en grados, los ángulos se miden en radianes, que es la unidad que se usa en cálculo y en física. Un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio. En la circunferencia goniométrica el radio vale 1, así que la medida de un ángulo en radianes coincide con la longitud del arco que recorres desde el punto \((1,\ 0)\) hasta \(P\).

La circunferencia completa mide \(2\pi\cdot 1=2\pi\), de modo que una vuelta son \(2\pi\) radianes, y media vuelta son \(\pi\) radianes. Para repasar el número \(\pi\) mira el artículo sobre el número pi, y para los grados y su división en minutos y segundos, el del sistema sexagesimal.

\[360^\circ=2\pi\text{ rad}\qquad180^\circ=\pi\text{ rad}\]

De esa igualdad salen las dos reglas de conversión: de grados a radianes se multiplica por \(\dfrac{\pi}{180}\), y de radianes a grados se multiplica por \(\dfrac{180}{\pi}\).

\[\text{radianes}=\text{grados}\cdot\frac{\pi}{180}\]\[\text{grados}=\text{radianes}\cdot\frac{180}{\pi}\]
GradosRadianes
\(0^\circ\)\(0\)
\(30^\circ\)\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(45^\circ\)\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(60^\circ\)\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(90^\circ\)\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(180^\circ\)\(\pi\)
\(270^\circ\)\(\dfrac{3\pi}{2}\)
\(360^\circ\)\(2\pi\)
Circunferencia goniométrica donde el arco de longitud 1 sobre la circunferencia corresponde a un ángulo de 1 radián, con el radio señalado y un cuadro de equivalencias entre grados y radianes

Un radián no es un número redondo de grados:\[1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx 57{,}2958^\circ\]Los radianes simplifican fórmulas como la longitud de un arco, \(s=r\alpha\), y el área de un sector circular, \(A=\dfrac{r^2\alpha}{2}\), con \(\alpha\) en radianes.

Ejemplo 1: paso \(150^\circ\) a radianes.
  1. Multiplico por \(\dfrac{\pi}{180}\):\[150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{150\pi}{180}\]
  2. Simplifico dividiendo entre 30:\[\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\]
Ejemplo 2: paso \(\dfrac{7\pi}{4}\) radianes a grados.
  1. Multiplico por \(\dfrac{180}{\pi}\), y el \(\pi\) se simplifica:\[\frac{7\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi}=\frac{7\cdot 180}{4}\]
  2. Calculo:\[\frac{7\cdot 180}{4}=315\]Entonces \(\dfrac{7\pi}{4}\) rad son \(315^\circ\).
Ejemplo 3: paso 2 radianes a grados, un caso sin \(\pi\).\[2\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 114{,}59^\circ\]Un ángulo de 2 radianes queda en el segundo cuadrante, entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\).
⚠️ Cuidado con el modo de la calculadora. Las calculadoras tienen modo grados, DEG, y modo radianes, RAD. Si calculas \(\operatorname{sen}30\) con la calculadora en modo RAD, obtienes \(-0{,}9880\) y no \(0{,}5\), porque entiende 30 radianes en vez de \(30^\circ\).

Seno, coseno y tangente en la circunferencia goniométrica

Con la circunferencia, las tres razones principales se leen directamente sobre la figura:

RazónEn la circunferenciaDónde se lee
Seno \(\operatorname{sen}\alpha\)La coordenada \(y\) de \(P\)La altura del punto
Coseno \(\cos\alpha\)La coordenada \(x\) de \(P\)La posición horizontal del punto
Tangente \(\operatorname{tg}\alpha\)\(\dfrac{y}{x}=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\)La altura a la que el radio prolongado corta la recta \(x=1\)

La tangente se lee sobre la recta vertical \(x=1\) porque la pendiente de la recta \(OP\) es \(\dfrac{y}{x}\), y esa recta, al llegar a \(x=1\), ha subido justo su pendiente. El signo de cada razón es el de la coordenada que la representa, y por eso cambia según el cuadrante.

Circunferencia goniométrica con un ángulo alfa de 130 grados en el segundo cuadrante: el seno es el segmento vertical desde P hasta el eje horizontal y es positivo, el coseno es el segmento horizontal y es negativo, y la tangente se lee sobre la recta x igual a 1 prolongando el radio y es negativa

Como \(P\) está en la circunferencia, sus coordenadas cumplen \(x^2+y^2=1\), lo que da la relación fundamental, que usarás mucho en las identidades trigonométricas:

\[\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

Además, el seno y el coseno siempre valen entre \(-1\) y \(1\), y la tangente puede valer cualquier número real, excepto cuando \(\cos\alpha=0\), es decir, en \(90^\circ\) y \(270^\circ\), donde no existe.

Ejemplo: sé que \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\) y que \(\alpha\) está en el cuarto cuadrante. Calculo el seno y la tangente.
  1. Uso la relación fundamental:\[\operatorname{sen}^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\]Entonces \(\operatorname{sen}\alpha=\pm\dfrac{4}{5}\).
  2. Elijo el signo. En el cuarto cuadrante la coordenada \(y\) es negativa, así que \(\operatorname{sen}\alpha=-\dfrac{4}{5}\).
  3. Calculo la tangente:\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac{4}{3}\]

Las otras tres razones son los inversos de estas: \(\operatorname{cosec}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{sen}\alpha}\), \(\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\) y \(\operatorname{cotg}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\). Las encontrarás con todas sus fórmulas en el artículo de fórmulas trigonométricas.

Ángulos notables: cómo se calculan los valores de 30°, 45° y 60°

Los ángulos notables son aquellos cuyo seno, coseno y tangente se pueden escribir de forma exacta con fracciones y raíces cuadradas sencillas, sin calculadora. En el primer cuadrante son \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\). Los de \(0^\circ\) y \(90^\circ\) se leen directamente sobre los ejes, pues sus puntos son \((1,\ 0)\) y \((0,\ 1)\). Los tres que quedan salen de la propia circunferencia.

El ángulo de 45°

El punto \(P\) de \(45^\circ\) está sobre la bisectriz del primer cuadrante, la recta \(y=x\), así que sus dos coordenadas son iguales, \(\cos45^\circ=\operatorname{sen}45^\circ\). Como \(P\) está en la circunferencia, \(x^2+x^2=1\), luego \(x^2=\dfrac{1}{2}\):

\[\operatorname{sen}45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071\]

Y la tangente vale 1, porque el seno y el coseno son iguales: \(\operatorname{tg}45^\circ=\dfrac{\operatorname{sen}45^\circ}{\cos45^\circ}=1\).

Los ángulos de 30° y 60°

Dibujo el punto \(P\) de \(30^\circ\) y su simétrico \(P^\prime\) respecto del eje horizontal, que corresponde a \(-30^\circ\). El triángulo \(OPP^\prime\) tiene \(OP=OP^\prime=1\) y su ángulo en \(O\) vale \(60^\circ\), así que es equilátero y \(PP^\prime=1\). Como \(PP^\prime\) es el doble de la altura de \(P\):

\[2\operatorname{sen}30^\circ=1\quad\Rightarrow\quad\operatorname{sen}30^\circ=\frac{1}{2}\]

El coseno sale de la relación fundamental, con el signo positivo porque estamos en el primer cuadrante:

\[\cos30^\circ=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Para \(60^\circ\) uso que \(60^\circ=90^\circ-30^\circ\) son ángulos complementarios. Sus puntos son simétricos respecto de la bisectriz \(y=x\), que intercambia las coordenadas, así que el seno de uno es el coseno del otro:

\[\operatorname{sen}60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\cos60^\circ=\operatorname{sen}30^\circ=\frac{1}{2}\]

Las tangentes se calculan dividiendo el seno entre el coseno:

\[\operatorname{tg}30^\circ=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]\[\operatorname{tg}60^\circ=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\]

Tabla de los ángulos notables del primer cuadrante

\(\alpha\)\(\operatorname{sen}\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\operatorname{tg}\alpha\)
\(0^\circ\)\(0\)\(0\)\(1\)\(0\)
\(30^\circ\)\(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)\(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)
\(60^\circ\)\(\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(1\)\(0\)no existe
Primer cuadrante de la circunferencia goniométrica con los puntos de 30, 45 y 60 grados, marcados con sus coordenadas coseno y seno, y las proyecciones sobre los ejes con las marcas un medio, raíz de dos medios y raíz de tres medios

Si prefieres los valores decimales, que son aproximaciones redondeadas a cuatro decimales:

Ángulosencostg
\(0^\circ\)010
\(30^\circ\)0,50,86600,5774
\(45^\circ\)0,70710,70711
\(60^\circ\)0,86600,51,7321
\(90^\circ\)10no existe

Un truco para recordarlos. Los senos de \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\) son la raíz de 0, 1, 2, 3 y 4 dividida entre 2. Los cosenos son los mismos valores en orden inverso:

ÁnguloSenoCoseno
\(0^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{0}}{2}=0\)\(\dfrac{\sqrt{4}}{2}=1\)
\(30^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(45^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(60^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\)
\(90^\circ\)\(\dfrac{\sqrt{4}}{2}=1\)\(\dfrac{\sqrt{0}}{2}=0\)
💡 Por qué se llaman notables. Son los ángulos que en los exámenes te piden sin calculadora, porque sus valores son exactos y se deducen con la figura. Con ellos y con la simetría de la circunferencia obtienes los valores de todos los ángulos de los otros tres cuadrantes.

Tabla completa de ángulos notables en grados y radianes

Los ángulos notables de los otros tres cuadrantes son simétricos de los del primero. Los tres puntos de \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\) se multiplican por cuatro y, con los cuatro puntos de los ejes, dan los 16 puntos de la figura.

Circunferencia goniométrica con los 16 ángulos notables, cada uno con su medida en grados fuera de la circunferencia y en radianes dentro: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 y 330 grados

Esta es la tabla completa para consultar. Los ángulos de los ejes están resaltados. En \(90^\circ\) y \(270^\circ\) la tangente no existe, porque el coseno vale 0.

\(\alpha\)\(\operatorname{sen}\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\operatorname{tg}\alpha\)
\(0^\circ\)\(0\)\(0\)\(1\)\(0\)
\(30^\circ\)\(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)\(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)
\(60^\circ\)\(\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(1\)\(0\)no existe
\(120^\circ\)\(\dfrac{2\pi}{3}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(-\dfrac{1}{2}\)\(-\sqrt{3}\)
\(135^\circ\)\(\dfrac{3\pi}{4}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(-1\)
\(150^\circ\)\(\dfrac{5\pi}{6}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(180^\circ\)\(\pi\)\(0\)\(-1\)\(0\)
\(210^\circ\)\(\dfrac{7\pi}{6}\)\(-\dfrac{1}{2}\)\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(225^\circ\)\(\dfrac{5\pi}{4}\)\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)
\(240^\circ\)\(\dfrac{4\pi}{3}\)\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(-\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
\(270^\circ\)\(\dfrac{3\pi}{2}\)\(-1\)\(0\)no existe
\(300^\circ\)\(\dfrac{5\pi}{3}\)\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(-\sqrt{3}\)
\(315^\circ\)\(\dfrac{7\pi}{4}\)\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(-1\)
\(330^\circ\)\(\dfrac{11\pi}{6}\)\(-\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(360^\circ\)\(2\pi\)\(0\)\(1\)\(0\)
💡 No hace falta memorizar la tabla entera. Basta con conocer los valores del primer cuadrante, que son solo tres números, \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), y saber el signo de cada cuadrante. El resto es simetría, como verás en la sección siguiente.

Signos por cuadrantes y ángulo de referencia

Para calcular el seno, el coseno o la tangente de un ángulo cualquiera, lo reduzco al primer cuadrante con su ángulo de referencia \(\beta\), que es el ángulo agudo que forma el lado final con el eje horizontal. Se obtiene así:

CuadranteÁngulo de referencia \(\beta\)sencostg
I\(\beta=\alpha\)+++
II\(\beta=180^\circ-\alpha\)+−−
III\(\beta=\alpha-180^\circ\)−−+
IV\(\beta=360^\circ-\alpha\)−+−

La regla es: el valor de una razón de \(\alpha\) es el de \(\beta\) con el signo del cuadrante. Para recordar los signos puedes usar la frase «Todas, Seno, Tangente, Coseno»: en el primer cuadrante son positivas todas las razones, en el segundo solo el seno, en el tercero solo la tangente y en el cuarto solo el coseno.

Circunferencia goniométrica con los puntos de 30, 150, 210 y 330 grados, simétricos entre sí, con sus coordenadas y las relaciones entre ellos: el seno cambia de signo al reflejar respecto del eje horizontal y el coseno al reflejar respecto del eje vertical

Estas simetrías se resumen en las fórmulas de los ángulos relacionados, válidas para cualquier \(\alpha\). Con ellas se reduce cualquier ángulo al primer cuadrante:

ÁnguloSenoCosenoTangente
\(180^\circ-\alpha\)\(\operatorname{sen}\alpha\)\(-\cos\alpha\)\(-\operatorname{tg}\alpha\)
\(180^\circ+\alpha\)\(-\operatorname{sen}\alpha\)\(-\cos\alpha\)\(\operatorname{tg}\alpha\)
\(360^\circ-\alpha\) y \(-\alpha\)\(-\operatorname{sen}\alpha\)\(\cos\alpha\)\(-\operatorname{tg}\alpha\)
\(90^\circ-\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\operatorname{sen}\alpha\)\(\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\)
\(90^\circ+\alpha\)\(\cos\alpha\)\(-\operatorname{sen}\alpha\)\(-\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\)
Ejemplo: calculo \(\operatorname{sen}150^\circ\).
  1. Cuadrante. \(150^\circ\) está entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\), en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo.
  2. Ángulo de referencia:\[\beta=180^\circ-150^\circ=30^\circ\]
  3. Valor: el seno vale lo mismo que el de \(30^\circ\), con signo positivo:\[\operatorname{sen}150^\circ=\operatorname{sen}30^\circ=\frac{1}{2}\]

Cómo calcular el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo notable

Con todo lo anterior, el método para cualquier ángulo es siempre el mismo:

  1. Pasa el ángulo a grados si te lo dan en radianes.
  2. Reduce a una vuelta: quita o añade vueltas de \(360^\circ\) hasta que quede entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\).
  3. Localiza el cuadrante y decide el signo del seno, del coseno y de la tangente.
  4. Calcula el ángulo de referencia \(\beta\) con la tabla de la sección anterior.
  5. Escribe los valores de \(\beta\) y ponles el signo del cuadrante.
Ejemplo 1: calculo el seno, el coseno y la tangente de \(210^\circ\).
  1. Cuadrante. \(210^\circ\) está entre \(180^\circ\) y \(270^\circ\), en el tercer cuadrante. Allí el seno y el coseno son negativos y la tangente es positiva.
  2. Ángulo de referencia:\[\beta=210^\circ-180^\circ=30^\circ\]
  3. Valores de \(30^\circ\) con el signo del cuadrante:\[\operatorname{sen}210^\circ=-\frac{1}{2}\]\[\cos210^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\operatorname{tg}210^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
Ejemplo 2: calculo el seno, el coseno y la tangente de \(\dfrac{5\pi}{4}\) radianes.
  1. Paso a grados:\[\frac{5\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=225^\circ\]
  2. Cuadrante. \(225^\circ\) está en el tercer cuadrante, y su ángulo de referencia es \(\beta=225^\circ-180^\circ=45^\circ\).
  3. Valores de \(45^\circ\) con el signo del cuadrante:\[\operatorname{sen}\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\operatorname{tg}\frac{5\pi}{4}=1\]
Ejemplo 3: calculo el seno, el coseno y la tangente de \(-120^\circ\), un ángulo negativo.
  1. Reduzco a una vuelta sumando \(360^\circ\):\[-120^\circ+360^\circ=240^\circ\]
  2. Cuadrante. \(240^\circ\) está en el tercer cuadrante, y \(\beta=240^\circ-180^\circ=60^\circ\).
  3. Valores de \(60^\circ\) con el signo del cuadrante:\[\operatorname{sen}(-120^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\cos(-120^\circ)=-\frac{1}{2}\]\[\operatorname{tg}(-120^\circ)=\sqrt{3}\]
Ejemplo 4: calculo el seno, el coseno y la tangente de \(1500^\circ\), un ángulo de más de una vuelta.
  1. Quito vueltas: \(1500:360\) da 4 vueltas completas, y \(4\cdot 360^\circ=1440^\circ\):\[1500^\circ-1440^\circ=60^\circ\]
  2. Cuadrante. \(60^\circ\) está en el primer cuadrante: no hace falta ángulo de referencia y todos los signos son positivos.
  3. Valores de \(60^\circ\):\[\operatorname{sen}1500^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\cos1500^\circ=\frac{1}{2}\]\[\operatorname{tg}1500^\circ=\sqrt{3}\]
Ejemplo 5: calculo el valor exacto de la expresión \(E=\operatorname{sen}120^\circ\cdot\cos330^\circ-\operatorname{tg}135^\circ\).
  1. Busco cada valor en la tabla: \(\operatorname{sen}120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos330^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\operatorname{tg}135^\circ=-1\).
  2. Sustituyo y calculo:\[E=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-(-1)=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}\]
💡 Un ángulo que no es notable, como \(40^\circ\) o \(1{,}2\) radianes, no tiene un valor exacto sencillo. Se calcula con la calculadora, en el modo correcto, y se redondea. El método de los cuadrantes y del ángulo de referencia sigue sirviendo para saber el signo.

Problema inverso: cómo hallar el ángulo a partir de su seno, coseno o tangente

A veces te dan el valor y te piden el ángulo, por ejemplo al resolver \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{2}\). En la circunferencia goniométrica la ecuación se convierte en una pregunta geométrica: qué puntos de la circunferencia tienen esa altura. Si \(\operatorname{sen}\alpha=k\), los puntos están sobre la recta horizontal \(y=k\). Si \(\cos\alpha=k\), sobre la recta vertical \(x=k\). Y si \(\operatorname{tg}\alpha=k\), sobre la recta que pasa por el origen con pendiente \(k\). Cada recta corta a la circunferencia en dos puntos, así que normalmente hay dos ángulos entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\).

El método tiene dos pasos. Primero, el ángulo de referencia \(\beta\), que es el ángulo del primer cuadrante con el valor absoluto de \(k\). Después, el signo de \(k\) dice en qué cuadrantes está el punto, y con \(\beta\) se obtienen los dos ángulos:

EcuaciónCuadrantesLos dos ángulos
\(\operatorname{sen}\alpha\gt 0\)I y II\(\beta\) y \(180^\circ-\beta\)
\(\operatorname{sen}\alpha\lt 0\)III y IV\(180^\circ+\beta\) y \(360^\circ-\beta\)
\(\cos\alpha\gt 0\)I y IV\(\beta\) y \(360^\circ-\beta\)
\(\cos\alpha\lt 0\)II y III\(180^\circ-\beta\) y \(180^\circ+\beta\)
\(\operatorname{tg}\alpha\gt 0\)I y III\(\beta\) y \(180^\circ+\beta\)
\(\operatorname{tg}\alpha\lt 0\)II y IV\(180^\circ-\beta\) y \(360^\circ-\beta\)
Circunferencia goniométrica con la recta horizontal y igual a un medio que corta la circunferencia en dos puntos, correspondientes a los ángulos de 30 grados en el primer cuadrante y de 150 grados en el segundo cuadrante
Ejemplo 1: resuelvo \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{2}\) con \(0^\circ\le\alpha\lt 360^\circ\).
  1. Ángulo de referencia: \(\beta=\operatorname{arcsen}\dfrac{1}{2}=30^\circ\).
  2. Cuadrantes. El seno es positivo, así que el punto está en el primer o en el segundo cuadrante.
  3. Los dos ángulos:\[\alpha_1=\beta=30^\circ\qquad\alpha_2=180^\circ-\beta=150^\circ\]
Ejemplo 2: resuelvo \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
  1. Ángulo de referencia, con el valor absoluto: \(\beta=\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ\).
  2. Cuadrantes. El coseno es negativo, así que el punto está en el segundo o en el tercer cuadrante.
  3. Los dos ángulos:\[\alpha_1=180^\circ-45^\circ=135^\circ\]\[\alpha_2=180^\circ+45^\circ=225^\circ\]
Ejemplo 3: resuelvo \(\operatorname{tg}\alpha=-\sqrt{3}\).
  1. Ángulo de referencia: \(\beta=\operatorname{arctg}\sqrt{3}=60^\circ\).
  2. Cuadrantes. La tangente es negativa, así que el punto está en el segundo o en el cuarto cuadrante.
  3. Los dos ángulos:\[\alpha_1=180^\circ-60^\circ=120^\circ\]\[\alpha_2=360^\circ-60^\circ=300^\circ\]
Ejemplo 4: resuelvo \(\operatorname{sen}\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
  1. Ángulo de referencia: \(\beta=\operatorname{arcsen}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=60^\circ\).
  2. Cuadrantes. El seno es negativo, así que el punto está en el tercer o en el cuarto cuadrante.
  3. Los dos ángulos:\[\alpha_1=180^\circ+60^\circ=240^\circ\]\[\alpha_2=360^\circ-60^\circ=300^\circ\]
Ejemplo 5: resuelvo \(\operatorname{sen}\alpha=0{,}3\), un valor que no es notable.
  1. Ángulo de referencia, con la calculadora en modo grados: \(\beta=\operatorname{arcsen}0{,}3\approx 17{,}46^\circ\).
  2. Cuadrantes. El seno es positivo: primer y segundo cuadrante.
  3. Los dos ángulos:\[\alpha_1\approx 17{,}46^\circ\]\[\alpha_2=180^\circ-17{,}46^\circ=162{,}54^\circ\]

Si no te limitan el intervalo, a cada solución se le suman vueltas completas. Con \(k\) entero, la ecuación \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{2}\) tiene las soluciones:

\[\alpha=30^\circ+360^\circ k\qquad\alpha=150^\circ+360^\circ k\]\[\alpha=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\alpha=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\]

Con la tangente basta una sola familia, porque se repite cada \(180^\circ\): las soluciones de \(\operatorname{tg}\alpha=-\sqrt{3}\) son \(\alpha=120^\circ+180^\circ k\).

⚠️ La calculadora te da un solo ángulo. Las teclas arcsen, arccos y arctg devuelven un único ángulo: el seno inverso entre \(-90^\circ\) y \(90^\circ\), el coseno inverso entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\) y la tangente inversa entre \(-90^\circ\) y \(90^\circ\). El segundo ángulo lo tienes que encontrar tú con la simetría de la circunferencia. La pestaña «Valor a ángulos» de la calculadora te da los dos.

Chuleta: fórmulas y valores de la circunferencia goniométrica

Todo lo importante en un solo sitio.

Fórmulas

NombreFórmula
Circunferencia\(x^2+y^2=1\)
Punto del ángulo\(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\)
Tangente\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\)
Relación fundamental\(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
Vueltas\(\operatorname{sen}(\alpha+360^\circ k)=\operatorname{sen}\alpha\)
Grados a radianes\(\text{rad}=\text{grados}\cdot\dfrac{\pi}{180}\)
Radianes a grados\(\text{grados}=\text{rad}\cdot\dfrac{180}{\pi}\)
Equivalencia clave\(180^\circ=\pi\text{ rad}\)

Las tablas completas de signos y de valores exactos ya están más arriba, en signos por cuadrantes y en la tabla completa de ángulos notables. Para tener más fórmulas, consulta las fórmulas trigonométricas, y para trabajar con ángulos suma y diferencia, las identidades trigonométricas.

Errores frecuentes con la circunferencia goniométrica

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Calculadora en el modo equivocado. Con ángulos en grados, la calculadora tiene que estar en DEG, y con radianes, en RAD. Si no, \(\operatorname{sen}30\) sale \(-0{,}9880\) en vez de \(0{,}5\).
  • Intercambiar el seno y el coseno. El punto se escribe \((\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\): primero el coseno, que es la coordenada \(x\), y después el seno, que es la \(y\). Para \(30^\circ\) es \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)\), y para \(60^\circ\) es \(\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
  • Olvidar el signo del cuadrante. Con \(150^\circ\), el seno es positivo, \(\dfrac{1}{2}\), pero el coseno es negativo, \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
  • Medir mal el ángulo. Se mide desde el semieje positivo de abscisas y en sentido antihorario. Un ángulo medido desde el eje vertical o en sentido horario da otro punto.
  • Calcular mal el ángulo de referencia. Para \(120^\circ\) es \(\beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ\), no \(30^\circ\). Entonces \(\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\dfrac{1}{2}\).
  • Dar un valor a \(\operatorname{tg}90^\circ\). No vale 0 ni infinito: no existe, porque \(\cos90^\circ=0\) y no se puede dividir entre 0. Lo mismo pasa con \(270^\circ\).
  • Dar una sola solución en una ecuación. \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{2}\) tiene dos soluciones entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\), \(30^\circ\) y \(150^\circ\). La calculadora solo te da una.
  • Escribir radianes sin \(\pi\) o confundir los periodos. \(150^\circ\) son \(\dfrac{5\pi}{6}\) radianes, no \(\dfrac{5}{6}\). Y la tangente se repite cada \(180^\circ\), no cada \(360^\circ\): \(\operatorname{tg}225^\circ=\operatorname{tg}45^\circ=1\).

🧮 Calculadora de la circunferencia goniométrica

Tienes tres pestañas. En «Ángulo» escribes un ángulo, en grados o en radianes, y te digo en qué punto de la circunferencia acaba, con su seno, su coseno y su tangente, que salen exactos si es un ángulo notable. En «Valor a ángulos» haces el problema inverso: das el valor de un seno, un coseno o una tangente y te doy los ángulos entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\). Y en «Punto a ángulo» escribes las coordenadas de un punto y calculo el ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas.

Escribe un ángulo y te digo en qué punto de la circunferencia acaba, con su seno, su coseno y su tangente.

En grados, un número con hasta 2 decimales, positivo o negativo. En radianes, escribe 5pi/6, pi/4 o 2pi, o un decimal como 1,5.

🌍 La circunferencia goniométrica en la vida real

🎡 Movimiento circular y ondasEl sonido, la luz y las oscilaciones de un muelle o de un péndulo se describen con senos y cosenos.
⚡ Corriente alternaLa tensión de la red eléctrica es una función seno del tiempo, que se interpreta como un punto girando sobre la circunferencia. El ángulo girado se llama fase y, con 50 Hz, como en España, el punto da 50 vueltas cada segundo.
🧭 Navegación y topografíaUn rumbo es un ángulo. Para pasar de una distancia \(d\) y un ángulo \(\alpha\) a coordenadas se usa \((d\cos\alpha,\ d\operatorname{sen}\alpha)\), y para resolver triángulos, el teorema del seno y el teorema del coseno.
🔢 Números complejosUn número complejo de módulo 1 es un punto de la circunferencia goniométrica, \(\cos\alpha+i\operatorname{sen}\alpha\). Es la base de la forma polar, de la fórmula de Moivre y de la identidad de Euler.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Circunferencia goniométricaCircunferencia de radio 1 y centro en el origen, de ecuación \(x^2+y^2=1\). Los ángulos se miden desde el semieje positivo de abscisas, en sentido antihorario.
Punto de un ánguloEl ángulo \(\alpha\) acaba en el punto \(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\): la abscisa es el coseno y la ordenada es el seno. De aquí sale \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Radianes\(180^\circ=\pi\) rad y \(360^\circ=2\pi\) rad. De grados a radianes se multiplica por \(\dfrac{\pi}{180}\), y de radianes a grados por \(\dfrac{180}{\pi}\). Por ejemplo, \(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\) rad.
Valores del primer cuadranteSeno de \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\): \(0,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\). El coseno, los mismos valores en orden inverso. La tangente es el seno entre el coseno.
Signos por cuadrantesCuadrante I: todas las razones son positivas. II: solo el seno. III: solo la tangente. IV: solo el coseno. Se recuerda con «Todas, Seno, Tangente, Coseno».
Ángulo de referenciaEs el ángulo agudo \(\beta\) con el eje horizontal. Vale \(\alpha\) en el cuadrante I, \(180^\circ-\alpha\) en el II, \(\alpha-180^\circ\) en el III y \(360^\circ-\alpha\) en el IV. El valor de \(\alpha\) es el de \(\beta\) con el signo del cuadrante.
Ángulos negativos y más de una vueltaSe suman o restan vueltas de \(360^\circ\) hasta caer entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\). Por ejemplo, \(-120^\circ\) equivale a \(240^\circ\) y \(1500^\circ\) equivale a \(60^\circ\).
Problema inversoCada valor del seno o del coseno entre \(-1\) y \(1\) corresponde a dos ángulos entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\), simétricos respecto de un eje. Por ejemplo, \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{2}\) da \(30^\circ\) y \(150^\circ\).

⭐ Ejercicios de circunferencia goniométrica resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Pasar de grados a radianes y al revés
📝 EnunciadoExpresa en radianes: a) \(120^\circ\), b) \(225^\circ\). Expresa en grados: c) \(\dfrac{7\pi}{6}\) rad, d) \(\dfrac{5\pi}{3}\) rad.
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Multiplico por \(\dfrac{\pi}{180}\):\[120^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}\text{ rad}\]
  2. Apartado b. Igual con \(225^\circ\). Simplifico la fracción dividiendo entre 45:\[225^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{225\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}\text{ rad}\]
  3. Apartado c. Multiplico por \(\dfrac{180^\circ}{\pi}\):\[\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=7\cdot 30^\circ=210^\circ\]
  4. Apartado d.\[\frac{5\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=5\cdot 60^\circ=300^\circ\]
✅ Resultado: a) \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad. b) \(\dfrac{5\pi}{4}\) rad. c) \(210^\circ\). d) \(300^\circ\).
EJERCICIO 2Ángulo equivalente y cuadrante
📝 EnunciadoHalla el ángulo equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) y el cuadrante de estos ángulos: a) \(400^\circ\), b) \(-60^\circ\), c) \(855^\circ\), d) \(-500^\circ\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Resto una vuelta:\[400^\circ-360^\circ=40^\circ\]Está en el primer cuadrante.
  2. Apartado b. Sumo una vuelta:\[-60^\circ+360^\circ=300^\circ\]Está en el cuarto cuadrante.
  3. Apartado c. Resto dos vueltas, \(2\cdot 360^\circ=720^\circ\):\[855^\circ-720^\circ=135^\circ\]Está en el segundo cuadrante.
  4. Apartado d. Sumo dos vueltas:\[-500^\circ+720^\circ=220^\circ\]Está en el tercer cuadrante.
✅ Resultado: a) \(40^\circ\), cuadrante I. b) \(300^\circ\), cuadrante IV. c) \(135^\circ\), cuadrante II. d) \(220^\circ\), cuadrante III.
EJERCICIO 3Coordenadas del punto de un ángulo
📝 EnunciadoEscribe las coordenadas del punto de la circunferencia goniométrica que corresponde a: a) \(120^\circ\), b) \(225^\circ\), c) \(300^\circ\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. \(120^\circ\) está en el segundo cuadrante y su ángulo de referencia es \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\). El coseno es negativo y el seno es positivo:\[P=\left(-\cos60^\circ,\ \operatorname{sen}60^\circ\right)\]\[=\left(-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]
  2. Apartado b. \(225^\circ\) está en el tercer cuadrante y \(\beta=225^\circ-180^\circ=45^\circ\). Los dos son negativos:\[P=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]
  3. Apartado c. \(300^\circ\) está en el cuarto cuadrante y \(\beta=360^\circ-300^\circ=60^\circ\). El coseno es positivo y el seno es negativo:\[P=\left(\cos60^\circ,\ -\operatorname{sen}60^\circ\right)\]\[=\left(\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]
✅ Resultado: a) \(\left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). b) \(\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\). c) \(\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
EJERCICIO 4Ángulos con seno negativo
📝 EnunciadoHalla los ángulos \(\alpha\) entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) que cumplen \(\operatorname{sen}\alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El ángulo de referencia sale del valor absoluto: \(\beta=\operatorname{arcsen}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ\).
  2. Paso 2. El seno es negativo, así que el punto está en el tercer o en el cuarto cuadrante.
  3. Paso 3. Los dos ángulos son:\[\alpha_1=180^\circ+45^\circ=225^\circ\]\[\alpha_2=360^\circ-45^\circ=315^\circ\]
✅ Resultado: \(\alpha=225^\circ\) y \(\alpha=315^\circ\).
EJERCICIO 5Del punto al ángulo
📝 EnunciadoEl punto \(P=\left(\dfrac{3}{5},\ -\dfrac{4}{5}\right)\) está en la circunferencia goniométrica. Calcula el ángulo \(\alpha\) entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) que le corresponde.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Compruebo que está en la circunferencia:\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]
  2. Paso 2. Cuadrante. La abscisa es positiva y la ordenada es negativa: cuarto cuadrante. Entonces \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\) y \(\operatorname{sen}\alpha=-\dfrac{4}{5}\).
  3. Paso 3. Ángulo de referencia, con los valores absolutos: \(\beta=\operatorname{arctg}\dfrac{4/5}{3/5}=\operatorname{arctg}\dfrac{4}{3}\approx 53{,}13^\circ\).
  4. Paso 4. En el cuarto cuadrante, \(\alpha=360^\circ-\beta\):\[\alpha=360^\circ-53{,}13^\circ=306{,}87^\circ\]
✅ Resultado: \(\alpha\approx 306{,}87^\circ\).
EJERCICIO 6La aguja horaria de un reloj
📝 EnunciadoColoco un reloj sobre unos ejes, con el centro en el origen y el 3 sobre el semieje positivo de abscisas. A las 8 en punto, ¿en qué ángulo de la circunferencia goniométrica señala la aguja horaria y cuáles son las coordenadas de su extremo, si la aguja mide 1?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La aguja horaria gira \(30^\circ\) por hora en sentido horario. Del 3 al 8 hay 5 horas:\[5\cdot 30^\circ=150^\circ\text{ en sentido horario}\]
  2. Paso 2. El sentido horario es negativo, así que el ángulo es \(-150^\circ\). Su equivalente entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) es:\[-150^\circ+360^\circ=210^\circ\]
  3. Paso 3. \(210^\circ\) está en el tercer cuadrante, con \(\beta=30^\circ\). Los dos signos son negativos:\[P=\left(\cos210^\circ,\ \operatorname{sen}210^\circ\right)\]\[=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2}\right)\]
✅ Resultado: La aguja señala \(-150^\circ\), equivalente a \(210^\circ\), y su extremo está en \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right)\).

❓ Preguntas frecuentes sobre la circunferencia goniométrica

🤔 ¿Qué es la circunferencia goniométrica?
Es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas, de ecuación \(x^2+y^2=1\). Un ángulo \(\alpha\) se mide desde el semieje positivo de abscisas, en sentido antihorario, y termina en un punto \(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\). Con ella se definen el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo.
🤔 ¿Cómo se pasa de grados a radianes?
Se multiplica por \(\dfrac{\pi}{180}\), porque \(180^\circ=\pi\) radianes. Por ejemplo, \(150^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) radianes. Para pasar de radianes a grados se multiplica por \(\dfrac{180}{\pi}\).
🤔 ¿Qué signo tienen el seno, el coseno y la tangente en cada cuadrante?
En el primer cuadrante las tres son positivas. En el segundo solo es positivo el seno. En el tercero solo es positiva la tangente. En el cuarto solo es positivo el coseno. Se recuerda con la frase «Todas, Seno, Tangente, Coseno».
🤔 ¿Por qué no existe la tangente de 90°?
Porque \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\) y \(\cos90^\circ=0\), así que habría que dividir entre 0. Lo mismo ocurre en \(270^\circ\). En la figura, el lado final es paralelo a la recta \(x=1\) donde se lee la tangente y no llega a cortarla.
🤔 ¿Cómo se calcula el seno de un ángulo negativo o mayor de 360°?
Se suman o se restan vueltas de \(360^\circ\) hasta obtener un ángulo entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\), que tiene el mismo punto y los mismos valores. Por ejemplo, \(-120^\circ\) equivale a \(240^\circ\) y \(1500^\circ\) equivale a \(60^\circ\). Después se usa el cuadrante y el ángulo de referencia.
🤔 ¿Es lo mismo la circunferencia goniométrica que la trigonométrica y por qué tiene radio 1?
Sí, son dos nombres de la misma circunferencia, que también se llama circunferencia unidad. Tiene radio 1 para que la hipotenusa del triángulo rectángulo valga 1 y las coordenadas del punto sean directamente el coseno y el seno. Con un radio \(r\) serían \(r\cos\alpha\) y \(r\operatorname{sen}\alpha\).
📚 Resumen final
  • La circunferencia goniométrica tiene radio 1 y centro en el origen, con ecuación \(x^2+y^2=1\). Los ángulos se miden desde el semieje positivo de abscisas, en sentido antihorario.
  • El punto del ángulo \(\alpha\) es \(P=(\cos\alpha,\ \operatorname{sen}\alpha)\), y de la circunferencia sale que \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). La tangente es \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\).
  • Una vuelta son \(360^\circ=2\pi\) radianes. De grados a radianes se multiplica por \(\dfrac{\pi}{180}\).
  • Los ángulos notables del primer cuadrante, \(30^\circ\), \(45^\circ\) y \(60^\circ\), tienen seno \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), y el coseno los toma en orden inverso.
  • Para cualquier ángulo se reduce a una vuelta, se busca el cuadrante, se calcula el ángulo de referencia \(\beta\) y se aplican los signos: todas, seno, tangente, coseno.
  • La tangente de \(90^\circ\) y de \(270^\circ\) no existe, porque el coseno vale 0.
  • Al revés, cada valor del seno o del coseno corresponde a dos ángulos entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\).

Conclusión

La circunferencia goniométrica convierte la trigonometría en geometría de puntos: el seno y el coseno de un ángulo son las coordenadas de un punto de la circunferencia de radio 1. Aprende los valores de 30°, 45° y 60° en el primer cuadrante, y con los signos de cada cuadrante y el ángulo de referencia obtendrás los de los otros tres. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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