fórmula de los números combinatorios

Números combinatorios: fórmula y ejemplos resueltos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 1 día · Actualizado hace 1 día

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es un número combinatorio? Definición y cómo se lee
  2. Fórmula de los números combinatorios y cómo calcularlos
  3. Propiedades de los números combinatorios
  4. Triángulo de Pascal y números combinatorios
  5. Problemas con números combinatorios: cuándo se usan
  6. Chuleta: números combinatorios
  7. Errores frecuentes con los números combinatorios
  8. 🧮 Calculadora de números combinatorios paso a paso
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios de números combinatorios resueltos

¿Qué son los números combinatorios y cómo se calculan? Los números combinatorios cuentan de cuántas formas se pueden elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) cuando el orden no importa. Se escriben \(\binom{n}{k}\), se leen «n sobre k» y se calculan con factoriales. En esta guía te lo explico todo con detalle, con ejemplos, ejercicios resueltos y una calculadora interactiva.

⚡ Números combinatorios en 30 segundos
El número combinatorio \(\binom{n}{k}\), que se lee «n sobre k», es el número de formas de elegir \(k\) elementos entre \(n\) sin importar el orden:
\[\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
Se define para \(0\le k\le n\) y siempre da un número natural.

Ejemplo: elegir 2 elementos entre 5 se puede hacer de \(\binom{5}{2}=10\) formas.

¿Qué es un número combinatorio? Definición y cómo se lee

Un número combinatorio es el número de formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos cuando el orden no importa. Se escribe \(\binom{n}{k}\), se lee «n sobre k» y se define para números naturales con \(k\le n\).

SímboloQué significaEjemplo
\(n\)Total de elementos (el número de arriba)Hay 5 elementos
\(k\)Elementos que se eligen (el número de abajo)Eliges 2
\(\binom{n}{k}\)Se lee «n sobre k»: formas de elegir \(k\) entre \(n\)\(\binom{5}{2}\) se lee «5 sobre 2»

También se llama coeficiente binomial, y en las calculadoras científicas aparece como la tecla nCr. Otras formas de escribirlo son \(C_{n,k}\) y \(C(n,k)\), y se dice «combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\)». No lleva raya de fracción: \(\binom{5}{2}\) vale 10, no 2,5.

Un ejemplo lo deja claro: tienes 4 amigos, A, B, C y D, y quieres elegir 2 para formar una pareja.

Cuatro amigos, A, B, C y D, y las seis formas de elegir dos de ellos: AB, AC, AD, BC, BD y CD. Como el orden no importa, AB y BA son la misma elección, así que cuatro sobre dos es igual a seis
Ejemplo 1: de 4 amigos, A, B, C y D, elijo 2. Calculo de cuántas formas puedo hacerlo.
  1. Escribo todas las parejas:\[\text{AB},\ \text{AC},\ \text{AD}\]\[\text{BC},\ \text{BD},\ \text{CD}\]
  2. No repito parejas: el orden no importa, así que \(\text{AB}\) y \(\text{BA}\) son la misma pareja y la cuento una sola vez.
  3. Cuento: hay 6 parejas.\[\binom{4}{2}=6\]

Escribir todos los casos solo es práctico con pocos elementos. Con 49 números o 52 cartas necesitas una fórmula, y es lo que sigue.

Fórmula de los números combinatorios y cómo calcularlos

La fórmula usa el factorial. El factorial de \(n\) es el producto de todos los números naturales desde 1 hasta \(n\), y por convención \(0!=1\):

\[n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot 1\]
\(n\)0123456
\(n!\)112624120720

Con él, el número combinatorio se calcula así, para \(0\le k\le n\):

\[\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

En el denominador hay dos factoriales: el de los \(k\) elementos que eliges y el de los \(n-k\) que dejas fuera. En la práctica no hace falta calcular los tres factoriales completos. Se desarrolla \(n!\) solo hasta el factorial mayor del denominador y se simplifica, y queda una fórmula más corta, con \(k\) factores arriba y abajo:

\[\binom{n}{k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\]

Se calcula siempre en tres pasos:

  1. Sustituye \(n\) y \(k\) en la fórmula.
  2. Escribe \(n!\) solo hasta el factorial mayor del denominador y simplifícalo.
  3. Multiplica y divide lo que queda. El resultado siempre es un número natural.
Ejemplo 2: calculo \(\binom{7}{3}\).
  1. Sustituyo:\[\binom{7}{3}=\dfrac{7!}{3!\,4!}\]
  2. Escribo \(7!\) solo hasta \(4!\) y simplifico \(4!\):\[\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}\]
  3. Multiplico y divido:\[\dfrac{210}{6}=35\]
Ejemplo 3: calculo \(\binom{10}{4}\).
  1. Sustituyo:\[\binom{10}{4}=\dfrac{10!}{4!\,6!}\]
  2. Escribo \(10!\) solo hasta \(6!\) y simplifico \(6!\):\[\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\]
  3. Multiplico y divido:\[\dfrac{5040}{24}=210\]
💡 Truco: si \(k\) es mayor que \(n-k\), calcula \(\binom{n}{n-k}\). Vale lo mismo y tiene menos factores. Por ejemplo, \(\binom{10}{7}\) es más fácil como \(\binom{10}{3}\). Lo explico en las propiedades.
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Propiedades de los números combinatorios

Estas cinco propiedades te ahorran muchos cálculos. Las tres primeras sirven para calcular de cabeza, y las dos últimas explican el triángulo de Pascal.

PropiedadFórmulaEjemplo
Elegir ninguno o todos\(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\)\(\binom{8}{0}=\binom{8}{8}=1\)
Elegir uno o dejar uno fuera\(\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n\)\(\binom{9}{1}=\binom{9}{8}=9\)
Simetría (números complementarios)\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)\(\binom{10}{3}=\binom{10}{7}=120\)
Regla de Pascal (suma)\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\)\(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=\binom{6}{3}\)
Suma de una fila\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\)\(\binom{4}{0}+\cdots+\binom{4}{4}=16\)

¿Por qué se cumplen? No hace falta memorizarlas, porque tienen una explicación sencilla:

Simetría. Elegir los \(k\) elementos que entran es lo mismo que elegir los \(n-k\) que se quedan fuera. Por eso hay tantas formas de lo uno como de lo otro. Los números combinatorios \(\binom{n}{k}\) y \(\binom{n}{n-k}\) se llaman complementarios.

Regla de Pascal. Para elegir \(k+1\) elementos entre \(n+1\), fijo uno de ellos. Si lo incluyo, elijo los otros \(k\) entre los \(n\) restantes: \(\binom{n}{k}\) formas. Si no lo incluyo, elijo \(k+1\) entre esos \(n\): \(\binom{n}{k+1}\) formas. La suma de las dos da el total.

Suma de una fila. Cada elemento se elige o no se elige, que son 2 opciones, así que hay \(2^n\) elecciones posibles. Y \(\binom{n}{k}\) cuenta las que tienen exactamente \(k\) elementos.

Ejemplo 4: calculo \(\binom{100}{98}\) sin desarrollar factoriales enormes.
  1. Uso la simetría, porque \(100-98=2\):\[\binom{100}{98}=\binom{100}{2}\]
  2. Calculo el pequeño:\[\binom{100}{2}=\dfrac{100\cdot 99}{2\cdot 1}=4950\]
Ejemplo 5: sé que \(\binom{5}{1}=5\) y \(\binom{5}{2}=10\). Calculo \(\binom{6}{2}\) sin factoriales.
  1. Aplico la regla de Pascal con \(n=5\) y \(k=1\):\[\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=\binom{6}{2}\]
  2. Sumo:\[\binom{6}{2}=5+10=15\]

Triángulo de Pascal y números combinatorios

El triángulo de Pascal es una tabla que contiene todos los números combinatorios. La fila \(n\) está formada por \(\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \cdots,\ \binom{n}{n}\). Se empieza a contar desde 0, así que la fila \(n\) tiene \(n+1\) números y el que ocupa la posición \(k\) es \(\binom{n}{k}\).

Triángulo de Pascal con las filas de la cero a la seis. Cada número es la suma de los dos que tiene encima. El diez de la fila cinco, posición dos, se obtiene sumando el cuatro y el seis de la fila cuatro, así que cinco sobre dos es igual a diez

Cada número es la suma de los dos que tiene encima, que es la regla de Pascal. Por eso puedes construir las filas sin usar factoriales:

  1. Cada fila empieza y termina en 1, porque \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\).
  2. Cada número del medio es la suma de los dos que tiene encima.
  3. Cada fila se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, por la simetría.
FilaNúmerosSuma
01\(2^0=1\)
11, 1\(2^1=2\)
21, 2, 1\(2^2=4\)
31, 3, 3, 1\(2^3=8\)
41, 4, 6, 4, 1\(2^4=16\)
51, 5, 10, 10, 5, 1\(2^5=32\)
61, 6, 15, 20, 15, 6, 1\(2^6=64\)
Ejemplo 6: leo \(\binom{6}{2}\) y \(\binom{6}{3}\) en el triángulo de Pascal.
  1. Voy a la fila 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
  2. Posición 2, el tercer número, porque empiezo a contar desde 0: \(\binom{6}{2}=15\).
  3. Posición 3, el cuarto número: \(\binom{6}{3}=20\).

Los números combinatorios son también los coeficientes de la potencia de un binomio. En la fila 3 están 1, 3, 3 y 1, que son los coeficientes de:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

En general, esto es el binomio de Newton:

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

El caso \(n=3\) lo tienes explicado en binomio al cubo.

Problemas con números combinatorios: cuándo se usan

Un número combinatorio responde a la pregunta «¿de cuántas formas puedo elegir…?» cuando el orden no importa: un comité, un equipo, una mano de cartas o los números de un boleto. Si el orden sí importa, como en un podio, se usan variaciones, que tienes en combinatoria. La relación entre las dos es sencilla: dividiendo las variaciones entre \(k!\), que son las formas de ordenar los \(k\) elegidos, se obtiene el número combinatorio.

Pregunta¿Importa el orden?Se usa
Elegir un comité de 3 personasNoNúmero combinatorio
Elegir presidente, secretario y tesoreroSíVariaciones
Escoger 6 números en un boletoNoNúmero combinatorio
Ejemplo 7: en un grupo de 8 personas se elige un comité de 3. Calculo cuántos comités distintos hay.
  1. El orden no importa, así que uso un número combinatorio: elijo 3 personas entre 8.
  2. Aplico la fórmula y simplifico:\[\binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{336}{6}\]
  3. Divido:\[\binom{8}{3}=56\]
Ejemplo 8: en una reunión de 10 personas, cada pareja se da la mano una vez. Calculo cuántos apretones de manos hay.
  1. Cada apretón es una pareja de personas, y el orden no importa: \(\binom{10}{2}\).
  2. Aplico la fórmula:\[\binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2\cdot 1}=45\]
Ejemplo 9: en un grupo de 5 chicas y 4 chicos, elijo 2 chicas y 1 chico. Calculo de cuántas formas puedo hacerlo.
  1. Elijo las chicas:\[\binom{5}{2}=10\]
  2. Elijo el chico:\[\binom{4}{1}=4\]
  3. Multiplico, porque cada elección de chicas se combina con cada elección de chico:\[10\cdot 4=40\]
🎟️ Números grandes: en la Primitiva eliges 6 números entre 49, y hay \(\binom{49}{6}=13\,983\,816\) combinaciones posibles. En el póquer, una mano son 5 cartas de una baraja de 52, y hay \(\binom{52}{5}=2\,598\,960\) manos distintas. Estos recuentos son la base de la probabilidad.

Chuleta: números combinatorios

Todo lo importante en un solo sitio, con \(n\) el total de elementos y \(k\) los que eliges.

ConceptoQué recordar
Significado\(\binom{n}{k}\) son las formas de elegir \(k\) entre \(n\) sin orden
Se lee«n sobre k»
Fórmula\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
Atajo\(\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\), con \(k\) factores
Condición\(0\le k\le n\)
Factorial de 0\(0!=1\)
Casos particulares\(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\) y \(\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n\)
Simetría\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)
Regla de Pascal\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\)
Suma de la fila \(n\)\(2^n\)

Si necesitas más fórmulas de conteo y de probabilidad, tienes el formulario de probabilidad.

Errores frecuentes con los números combinatorios

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Confundirlo con una fracción. \(\binom{5}{2}\) no es \(\frac{5}{2}\). No lleva raya de fracción y vale 10, no 2,5.
  • Olvidar uno de los factoriales del denominador. Es \(k!\,(n-k)!\), no solo \(k!\). En \(\binom{5}{2}\), dividir 120 entre 2 da 60, y lo correcto es dividir entre \(2!\cdot 3!=12\), que da 10.
  • Restar factoriales. \((n-k)!\) no es \(n!-k!\). Con \(n=5\) y \(k=2\), \((5-2)!=6\), pero \(5!-2!=118\).
  • Olvidar que \(0!=1\). Por eso \(\binom{n}{0}=\dfrac{n!}{0!\,n!}=1\), y no 0.
  • Usarlo cuando el orden importa. Para elegir presidente y secretario, \(\text{AB}\) y \(\text{BA}\) son casos distintos, y el número combinatorio los contaría como uno solo. Ahí se usan variaciones.

🧮 Calculadora de números combinatorios paso a paso

Tienes tres pestañas. En «Calcular» escribes \(n\) y \(k\) y te doy \(\binom{n}{k}\) paso a paso, con la simetría cuando conviene. En «Fila de Pascal» eliges \(n\) y te doy todos los números combinatorios de esa fila, y compruebo que suman \(2^n\). Y en «Hallar x» resuelvo ecuaciones como \(\binom{x}{2}=45\).

Escribe el total de elementos \(n\) y los que eliges \(k\). Calculo el número combinatorio \(\binom{n}{k}\) paso a paso.

Escribe números enteros entre 0 y 100. Por ejemplo, \(\binom{5}{2}\) se lee «5 sobre 2» y vale 10.

🌍 Para qué sirven los números combinatorios

🎟️ LoteríasEn la Primitiva eliges 6 números entre 49, y hay \(\binom{49}{6}=13\,983\,816\) combinaciones posibles. Solo una es la ganadora.
🃏 Juegos de cartasUna mano de póquer son 5 cartas de una baraja de 52, y hay \(\binom{52}{5}=2\,598\,960\) manos distintas.
🧮 ÁlgebraLos coeficientes de \((a+b)^n\) son los números de la fila \(n\) del triángulo de Pascal. Por ejemplo, \((a+b)^4\) tiene coeficientes 1, 4, 6, 4 y 1.
📊 ProbabilidadCuentan los casos favorables y posibles de un experimento. En la distribución binomial, la probabilidad de \(k\) éxitos en \(n\) intentos lleva el factor \(\binom{n}{k}\).

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Número combinatorio\(\binom{n}{k}\) es el número de formas de elegir \(k\) elementos entre \(n\) sin importar el orden. Se lee «n sobre k» y se define para \(0\le k\le n\).
Fórmula\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Por ejemplo, \(\binom{5}{2}=\dfrac{120}{2\cdot 6}=10\).
Casos particulares\(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\) y \(\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n\).
Simetría\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). Por ejemplo, \(\binom{10}{8}=\binom{10}{2}=45\).
Regla de Pascal\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\). Cada número del triángulo de Pascal es la suma de los dos que tiene encima.
Suma de una filaLos números de la fila \(n\) del triángulo de Pascal suman \(2^n\). Por ejemplo, \(1+4+6+4+1=16=2^4\).

⭐ Ejercicios de números combinatorios resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

EJERCICIO 1Calcular un número combinatorio
📝 EnunciadoCalcula \(\binom{8}{3}\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Sustituyo en la fórmula:\[\binom{8}{3}=\dfrac{8!}{3!\,5!}\]
  2. Paso 2. Escribo \(8!\) solo hasta \(5!\) y simplifico \(5!\):\[\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}\]
  3. Paso 3. Multiplico y divido:\[\dfrac{336}{6}=56\]
✅ Resultado: \(\binom{8}{3}=56\).
EJERCICIO 2Usar la simetría
📝 EnunciadoCalcula \(\binom{12}{10}\) usando la simetría.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Como \(12-10=2\), los números \(10\) y \(2\) son complementarios:\[\binom{12}{10}=\binom{12}{2}\]
  2. Paso 2. Calculo el pequeño:\[\binom{12}{2}=\dfrac{12\cdot 11}{2\cdot 1}\]
  3. Paso 3. Multiplico y divido:\[\dfrac{132}{2}=66\]
✅ Resultado: \(\binom{12}{10}=66\).
EJERCICIO 3Regla de Pascal
📝 EnunciadoCalcula \(\binom{9}{3}+\binom{9}{4}\) sin calcular cada término.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Aplico la regla de Pascal con \(n=9\) y \(k=3\):\[\binom{9}{3}+\binom{9}{4}=\binom{10}{4}\]
  2. Paso 2. Calculo el resultado:\[\binom{10}{4}=\dfrac{5040}{24}=210\]
  3. Comprobación: \(\binom{9}{3}=84\) y \(\binom{9}{4}=126\), y\[84+126=210\]
✅ Resultado: \(\binom{9}{3}+\binom{9}{4}=210\).
EJERCICIO 4Ecuación con un número combinatorio
📝 EnunciadoResuelve la ecuación \(\binom{x}{2}=45\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Desarrollo el número combinatorio:\[\dfrac{x(x-1)}{2}=45\]
  2. Paso 2. Quito el denominador y paso todo a un lado:\[x^2-x-90=0\]
  3. Paso 3. Aplico la fórmula de las ecuaciones de segundo grado:\[x=\dfrac{1\pm\sqrt{361}}{2}=\dfrac{1\pm 19}{2}\]Las soluciones son \(x=10\) y \(x=-9\).
  4. Paso 4. Como \(x\) debe ser un número natural con \(x\ge 2\), solo vale \(x=10\).
  5. Comprobación:\[\binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45\]
✅ Resultado: \(x=10\).
EJERCICIO 5Problema de equipos
📝 EnunciadoEn un grupo hay 6 chicas y 4 chicos. Se forma un equipo de 5 personas con exactamente 3 chicas y 2 chicos. Calcula cuántos equipos distintos se pueden formar.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Elijo las 3 chicas entre 6:\[\binom{6}{3}=20\]
  2. Paso 2. Elijo los 2 chicos entre 4:\[\binom{4}{2}=6\]
  3. Paso 3. Cada grupo de chicas se combina con cada grupo de chicos, así que multiplico:\[20\cdot 6=120\]
✅ Resultado: Se pueden formar \(120\) equipos distintos.
EJERCICIO 6Fila 7 del triángulo de Pascal
📝 EnunciadoEscribe la fila 7 del triángulo de Pascal a partir de la fila 6 y comprueba que sus números suman \(2^7\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La fila 6 es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
  2. Paso 2. Cada número del medio de la fila 7 es la suma de los dos que tiene encima:\[1+6=7,\ 6+15=21,\ 15+20=35\]\[20+15=35,\ 15+6=21,\ 6+1=7\]
  3. Paso 3. La fila empieza y termina en 1, así que es 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
  4. Comprobación:\[1+7+21+35+35+21+7+1=128\]Y \(2^7=128\), así que coinciden.
✅ Resultado: La fila 7 es \(1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1\) y suma \(128\).

❓ Preguntas frecuentes sobre los números combinatorios

🤔 ¿Qué es un número combinatorio?
Es el número de formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos sin importar el orden. Se escribe \(\binom{n}{k}\) y se lee «n sobre k». Por ejemplo, \(\binom{5}{2}=10\), porque hay 10 formas de elegir 2 elementos entre 5.
🤔 ¿Cómo se calcula un número combinatorio?
Con la fórmula \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Se desarrolla \(n!\) solo hasta el factorial mayor del denominador, se simplifica y se multiplica y divide lo que queda. Por ejemplo, \(\binom{7}{3}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35\).
🤔 ¿Cuánto valen n sobre 0 y n sobre n?
Los dos valen 1. Elegir 0 elementos o elegirlos todos solo se puede hacer de una forma. Con la fórmula, \(\binom{n}{0}=\dfrac{n!}{0!\,n!}=1\), porque \(0!=1\).
🤔 ¿Qué son los números combinatorios complementarios?
Son \(\binom{n}{k}\) y \(\binom{n}{n-k}\), cuyos números de abajo suman \(n\), y valen lo mismo. Por ejemplo, \(\binom{10}{3}=\binom{10}{7}=120\). Sirven para calcular el que tiene menos factores.
🤔 ¿Qué relación hay entre los números combinatorios y el triángulo de Pascal?
El triángulo de Pascal está formado por números combinatorios: el número que ocupa la posición \(k\) de la fila \(n\) es \(\binom{n}{k}\), contando desde 0. Cada número es la suma de los dos que tiene encima, por la regla de Pascal, y cada fila suma \(2^n\).
🤔 ¿Qué diferencia hay entre combinaciones y variaciones?
En las combinaciones el orden no importa, y su número es \(\binom{n}{k}\). En las variaciones sí importa, así que hay más: se obtienen multiplicando las combinaciones por \(k!\), las formas de ordenar los \(k\) elementos. Con \(n=5\) y \(k=2\) hay 10 combinaciones y 20 variaciones.
📚 Resumen final
  • El número combinatorio \(\binom{n}{k}\), «n sobre k», es el número de formas de elegir \(k\) elementos entre \(n\) sin importar el orden.
  • Se calcula con \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), y siempre da un número natural.
  • \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\), \(\binom{n}{1}=n\) y la simetría \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) ahorran cálculos.
  • La regla de Pascal da el triángulo de Pascal, y la fila \(n\) suma \(2^n\).
  • Se usan para contar combinaciones, en el binomio de Newton y en la probabilidad.

Conclusión

Para calcular un número combinatorio, sustituye en la fórmula, escribe el factorial mayor solo hasta donde haga falta y simplifica. Recuerda la simetría, la regla de Pascal y que cada fila del triángulo de Pascal suma una potencia de 2. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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