Distribución Binomial: Qué es, fórmulas y ejemplos resueltos

La  distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad más importantes y útiles en la estadística. Para estudiantes de bachillerato, entender esta distribución es fundamental, ya que se utiliza para modelar situaciones cotidianas donde hay solo dos posibles resultados: éxito o fracaso. En este artículo, verás los conceptos clave y aprenderas cómo realizar los cálculos básicos que te permitirán dominar este tema.

¿Qué es la Distribución Binomial?

La distribución binomial describe la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una serie de experimentos o pruebas independientes, cada uno de los cuales tiene solo dos posibles resultados: éxito o fracaso

Por ejemplo, imagina que lanzas una moneda al aire. La moneda tiene dos posibles resultados: cara o cruz. Si defines "cara" como éxito y "cruz" como fracaso, puedes usar la distribución binomial para calcular la probabilidad de obtener cierto número de caras en un número dado de lanzamientos.

La distribución binomial se define por dos parámetros:

• n: El número total de pruebas o experimentos
• p: La probabilidad de éxito en una prueba individual.

Características Clave de la Distribución Binomial

1. Dos Resultados Mutuamente Excluyentes: En cada experimento, solo puede haber éxito o fracaso.
2. Independencia de las Pruebas: El resultado de una prueba no afecta los resultados de las demás.
3. Probabilidad Constante: La probabilidad de éxito (p) es la misma para cada prueba.

Fórmula de la Distribución Binomial

La fórmula general para calcular la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n pruebas es:

\( P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

Donde:
\( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial, que representa el número de formas en las que se pueden elegir k éxitos de n pruebas, y se calcula como:

• \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p^k \) es la probabilidad de que haya exactamente k éxitos.
• \( (1-p)^{n-k} \) es la probabilidad de que haya n-k fracasos.

Ejemplo Práctico

Imaginemos que lanzas una moneda 5 veces (n = 5), y deseas calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 caras (k = 3), sabiendo que la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento es \( p = 0.5 \).

Paso 1: Calcula el coeficiente binomial \( \binom{5}{3} \)

\( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)

Paso 2: Aplica la fórmula de la distribución binomial

\( P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0.5)^3 \cdot (1-0.5)^{5-3} \)

\( P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125 \)

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos es 0.3125 o 31.25%.

Media y Varianza en la Distribución Binomial

Dos medidas estadísticas importantes en cualquier distribución son la media y la varianza. Para la distribución binomial, se calculan de la siguiente manera:

• Media: Es el número esperado de éxitos y se calcula como   \( \mu = n \cdot p \)
• Varianza: Mide la dispersión de los éxitos en relación con la media y se calcula como: \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \)

Ejemplo resuelto de cálculo de media y varianza

Siguiendo el ejemplo anterior de lanzar una moneda 5 veces con una probabilidad de éxito de \( p = 0.5 \):

Media:  \( \mu = 5 \cdot 0.5 = 2.5 \)

Varianza: \( \sigma^2 = 5 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = 1.25 \)

Esto significa que el número promedio de caras esperadas es 2.5, y la varianza es 1.25.

Problemas resueltos

Problema 1 (Básico): Lanzamiento de una moneda
Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?

Paso 1: Identificación de los parámetros
Este es un caso de una distribución binomial porque:

• Hay dos resultados posibles: cara (éxito) o cruz (fracaso).
• El número de ensayos es fijo: \( n = 4 \) (se lanza la moneda 4 veces).
• La probabilidad de éxito (obtener una cara) es \( p = 0.5 \).
• Buscamos calcular la probabilidad de obtener exactamente \( k = 2 \) caras.

Paso 2: Uso de la fórmula binomial
\(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)

Donde:
\( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial, calculado como:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Paso 3: Cálculo del coeficiente binomial
Calculamos \( \binom{4}{2} \):

\( \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)

Paso 4: Aplicación de la fórmula
\( P(X = 2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375 \)

Resultado: La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 4 lanzamientos es 0.375 o 37.5%.

Problema 2 (Intermedio): Encuestas de satisfacción
Una empresa realiza una encuesta a 10 de sus clientes para evaluar si están satisfechos con el servicio. La probabilidad de que un cliente esté satisfecho es del 80%. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 clientes estén satisfechos?

Paso 1: Identificación de los parámetros
Este problema también sigue una distribución binomial:

• El número de encuestas es \( n = 10 \).
• La probabilidad de éxito (cliente satisfecho) es \( p = 0.8 \).
• Queremos calcular la probabilidad de que exactamente \( k = 8 \) clientes estén satisfechos.

Paso 2: Uso de la fórmula binomial
\( P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

Paso 3: Cálculo del coeficiente binomial
Calculamos \( \binom{10}{8} \) (que es igual a \( \binom{10}{2} \) por simetría):

\( \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \)

Paso 4: Aplicación de la fórmula
Ahora calculamos la probabilidad:

\( P(X = 8) = 45 \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^2 \)

Primero, calculamos las potencias:
\( (0.8)^8 = 0.16777 \)       \( (0.2)^2 = 0.04 \)
Multiplicamos: \( P(X = 8) = 45 \cdot 0.16777 \cdot 0.04 = 45 \cdot 0.0067108 = 0.301986 \)

Resultado: La probabilidad de que exactamente 8 de los 10 clientes estén satisfechos es aproximadamente 0.302 o 30.2%

Problema 3 (Avanzado): Control de calidad
Una fábrica de bombillas produce 1000 bombillas al mes. Tiene un 90% de éxito en la producción de bombillas sin defectos. Si seleccionamos aleatoriamente 50 bombillas, queremos calcular la probabilidad de que al menos 2 sean defectuosas.

Paso 1: Definición del problema

Este problema sigue una distribución binomial con los siguientes parámetros:

• \( n = 50 \): número de bombillas seleccionadas.
• \( p = 0.1 \): probabilidad de que una bombilla sea defectuosa (ya que el 90% son buenas, el 10% son defectuosas).
• \( 1 - p = 0.9 \): probabilidad de que una bombilla no sea defectuosa.

Queremos calcular \( P(X \geq 2) \), donde \( X \) es el número de bombillas defectuosas.

Paso 2: Uso de la probabilidad complementaria

Para facilitar el cálculo, usaremos la probabilidad complementaria:

\( P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \)

Paso 3: Cálculo de \( P(X = 0) \) y \( P(X = 1) \)

Aplicamos la fórmula de la distribución binomial:

\( P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

Cálculo de \( P(X = 0) \):

\( P(X = 0) = \binom{50}{0} \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{50} \)

Como \( \binom{50}{0} = 1 \) y \( (0.1)^0 = 1 \), el cálculo es:

\( P(X = 0) = (0.9)^{50} \approx 0.00515 \)

Cálculo de \( P(X = 1) \):

\( P(X = 1) = \binom{50}{1} \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{49} \)

Sabemos que \( \binom{50}{1} = 50 \) y \( (0.1)^1 = 0.1 \), por lo que:

\( P(X = 1) = 50 \cdot 0.1 \cdot (0.9)^{49} \approx 50 \cdot 0.1 \cdot 0.00572 = 0.0286 \)

Paso 4: Suma de probabilidades

Sumamos las probabilidades de \( P(X = 0) \) y \( P(X = 1) \):

\( P(X = 0) + P(X = 1) = 0.00515 + 0.0286 = 0.03375 \)

Paso 5: Cálculo de la probabilidad total

Restamos este valor del total para encontrar \( P(X \geq 2) \):

\( P(X \geq 2) = 1 - 0.03375 = 0.96625 \)

Resultado final: La probabilidad de que al menos 2 bombillas sean defectuosas en una muestra de 50 bombillas es aproximadamente 0.966 o 96.6%.

Ejercicios resueltos de distribución binomial pdf

Aplicaciones

La distribución binomial tiene múltiples aplicaciones en diferentes campos, incluyendo:

• Genética: Para modelar la probabilidad de heredar ciertas características.
• Economía: Para predecir el éxito de un producto basado en encuestas.
• Ingeniería: En pruebas de calidad, para medir el número de defectos en una muestra.

Espero que hayas entendido los conceptos clave y sepas cómo realizar los cálculos básicos, para que puedas resolver problemas prácticos con mayor confianza. ¡Sigue practicando y dominarás la distribución binomial en poco tiempo!

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