Cuartiles, deciles y percentiles: fórmulas y ejemplos ✨

Q: ¿Cómo se calculan los cuartiles?

Se ordenan los datos y se calcula la posición k · n / 4, con n el número de datos y k igual a 1, 2 o 3. Si la posición no es entera, se redondea hacia arriba y se toma el dato de ese lugar. Si es entera, se hace la media de ese dato y el siguiente. Con 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20, el primer cuartil está en la posición 3 y vale (5 + 6) / 2 = 5,5.

Q: ¿Cómo se calcula un percentil?

La posición del percentil Pk es k · n / 100. Si no es entera, se redondea hacia arriba y se toma el dato de ese lugar; si es entera, se hace la media de ese dato y el siguiente. Con n = 11, el percentil 90 está en la posición 90 · 11 / 100 = 9,9, que se redondea a 10: es el décimo dato.

Q: ¿Qué relación hay entre la mediana, el segundo cuartil y el percentil 50?

Son lo mismo: Q2 = D5 = P50 = mediana. Los tres dejan por debajo a la mitad de los datos y por encima a la otra mitad.

Q: ¿Qué es el rango intercuartílico y para qué sirve?

Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, RIQ = Q3 − Q1. Mide la dispersión del 50 % central de los datos y sirve para detectar valores atípicos: son los que quedan fuera del intervalo [Q1 − 1,5 · RIQ ; Q3 + 1,5 · RIQ].

Justo Fernández

hace 5 días · Actualizado hace 5 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué son los cuartiles, deciles y percentiles?
Cómo calcularlos
Cuartiles, deciles y percentiles en una tabla de frecuencias
Cuartiles, deciles y percentiles con datos agrupados en intervalos
Cómo interpretar un percentil, un decil o un cuartil
Rango intercuartílico y diagrama de caja y bigotes
¿Qué fórmula uso en cada caso?
🧮 Calculadora de cuartiles, deciles y percentiles
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios de cuartiles, deciles y percentiles resueltos

¿Te piden calcular el cuartil 3, el decil 7 o el percentil 90 y no sabes por dónde empezar? No te preocupes: los cuartiles, deciles y percentiles parecen muchos conceptos, pero en realidad son una sola idea que solo cambia en el número de partes en que se dividen los datos. En esta guía te explico qué son, cómo se calculan con datos sin agrupar, con tablas de frecuencias y con intervalos, cómo se interpretan y cómo se dibuja el diagrama de caja y bigotes. Con ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

⚡ Cuartiles, deciles y percentiles en 30 segundos
Ordeno los datos de menor a mayor y los reparto en partes con el mismo número de datos: los cuartiles los dividen en 4 partes, los deciles en 10 y los percentiles en 100. Para el percentil \(P_k\) de \(n\) datos, calculo la posición:

\[\frac{k\cdot n}{100}\]

Si no es un número entero, la redondeo hacia arriba y tomo el dato de ese lugar. Si es entero, hago la media de ese dato y el siguiente. Y recuerda que \(Q_2=D_5=P_{50}\) es la mediana.

¿Qué son los cuartiles, deciles y percentiles?

Cuando tienes muchos datos, la media y la mediana no cuentan toda la historia. A veces quieres saber dónde está un dato concreto: ¿es de los más bajos, está por la mitad o es de los más altos? Para eso existen las medidas de posición, también llamadas cuantiles: valores que cortan los datos ya ordenados en partes con el mismo número de datos.

Se usan con datos numéricos que se pueden ordenar, es decir, con variables estadísticas cuantitativas. Hay tres tipos, según en cuántas partes divido los datos:

Medida	Símbolos	Divide los datos en	Cuántos hay
Cuartiles	\(Q_1,\ Q_2,\ Q_3\)	4 partes (25 % cada una)	3
Deciles	\(D_1,\ D_2,\ \ldots,\ D_9\)	10 partes (10 % cada una)	9
Percentiles	\(P_1,\ P_2,\ \ldots,\ P_{99}\)	100 partes (1 % cada una)	99

El proceso es el mismo para los tres. La mediana es el corte que parte los datos en dos mitades. Los cuartiles añaden dos cortes más para tener cuatro partes, los deciles hacen nueve cortes y los percentiles, noventa y nueve.

💡 Idea clave: cuartiles, deciles y percentiles son la misma herramienta con distinta escala. El percentil \(P_k\) es el valor que deja por debajo al \(k\,\%\) de los datos y por encima al resto.

Equivalencias entre cuartiles, deciles y percentiles

Como todos miden posiciones sobre la misma escala de 0 % a 100 %, unos se pueden escribir como otros. Fíjate en cómo coinciden los cortes:

Tres barras con la misma escala de 0 a 100 por ciento: los cuartiles la dividen en 4 partes, los deciles en 10 y los percentiles en 100; el segundo cuartil, el quinto decil y el percentil 50 coinciden en la mediana

\[Q_k=P_{25k}\]\[D_k=P_{10k}\]Por ejemplo, \(Q_3=P_{75}\) y \(D_7=P_{70}\).

Medida	Equivale a	Deja por debajo
\(Q_1\)	\(P_{25}\)	25 % de los datos
\(Q_2\)	\(D_5=P_{50}\), la mediana	50 % de los datos
\(Q_3\)	\(P_{75}\)	75 % de los datos
\(D_1\)	\(P_{10}\)	10 % de los datos
\(D_9\)	\(P_{90}\)	90 % de los datos

Por eso basta con saber calcular percentiles: lo demás son casos particulares. En la práctica se hace todo con la misma fórmula y solo cambia el denominador: 4 para los cuartiles, 10 para los deciles y 100 para los percentiles.

Cómo calcularlos

Es el caso más habitual: te dan una lista de datos y te piden un cuartil, un decil o un percentil. Siempre se hace igual, en cuatro pasos:

Ordeno los datos de menor a mayor.
Cuento cuántos datos hay: \(n\).
Calculo la posición. Para el percentil \(P_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{100}\). Para el decil \(D_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{10}\) y para el cuartil \(Q_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{4}\).
Miro si la posición es un número entero y actúo según el caso, como explico a continuación.

Si la posición NO es entera: la redondeo hacia arriba y el resultado es el dato que ocupa ese lugar.
Si la posición es entera: el resultado es la media del dato que ocupa ese lugar y el siguiente.

Mira cómo funciona con 12 datos, donde las posiciones de los cuartiles son enteras, y con 11 datos, donde no lo son:

Doce datos ordenados con los tres cuartiles marcados entre dos datos, y once datos ordenados con los tres cuartiles marcados sobre un dato

Ejemplo con 12 datos: 12 personas tardan estos minutos en llegar al trabajo: 7, 20, 3, 11, 5, 14, 8, 2, 16, 10, 13, 6. Calcula los tres cuartiles.

Ordeno los datos:2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20Hay \(n=12\) datos.
Primer cuartil. La posición es \(\dfrac{1\cdot 12}{4}=3\), un número entero. Hago la media de los datos que ocupan los lugares 3 y 4:\[Q_1=\frac{5+6}{2}=5{,}5\]
Segundo cuartil. La posición es \(\dfrac{2\cdot 12}{4}=6\). Media de los lugares 6 y 7:\[Q_2=\frac{8+10}{2}=9\]
Tercer cuartil. La posición es \(\dfrac{3\cdot 12}{4}=9\). Media de los lugares 9 y 10:\[Q_3=\frac{13+14}{2}=13{,}5\]
Interpreto: aproximadamente, la cuarta parte de las personas tarda menos de 5,5 minutos, la mitad tarda menos de 9 y tres cuartas partes tardan menos de 13,5.

Ejemplo con 11 datos: un jugador de baloncesto anota estos puntos en 11 partidos: 12, 4, 21, 7, 15, 3, 9, 18, 6, 13, 10. Calcula \(Q_1\), \(D_7\) y \(P_{90}\).

Ordeno los datos:3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 21Hay \(n=11\) datos.
Primer cuartil. La posición es \(\dfrac{1\cdot 11}{4}=2{,}75\), que no es entera. La redondeo hacia arriba, a 3, y tomo el dato del lugar 3:\[Q_1=6\]
Séptimo decil. La posición es \(\dfrac{7\cdot 11}{10}=7{,}7\). La redondeo a 8 y tomo el dato del lugar 8:\[D_7=13\]
Percentil 90. La posición es \(\dfrac{90\cdot 11}{100}=9{,}9\). La redondeo a 10 y tomo el dato del lugar 10:\[P_{90}=18\]

⚠️ Siempre hacia arriba. Una posición de 2,25 también se redondea a 3, no a 2. Aunque los decimales sean pequeños, no se redondea al número más cercano.

Cuartiles, deciles y percentiles en un conjunto de datos ordenados

Cuartiles, deciles y percentiles en una tabla de frecuencias

Cuando los datos vienen en una tabla, no hace falta escribirlos todos. Me ayudo de la columna de frecuencias absolutas acumuladas \(N_i\), que me dice cuántos datos hay hasta cada valor, como en el cálculo de la mediana en una tabla de frecuencias. La posición se calcula igual que antes y la regla se adapta así:

Si la posición NO es entera: el resultado es el primer valor cuya \(N_i\) es mayor que la posición.
Si la posición es entera y coincide con algún \(N_i\): hago la media de ese valor y el siguiente.
Si la posición es entera y no coincide con ningún \(N_i\): el resultado es el primer valor cuya \(N_i\) es mayor que la posición.

Ejemplo paso a paso: 40 alumnos cuentan los libros que han leído en un trimestre. Calcula \(Q_1\), \(Q_3\) y \(D_9\).

Libros \(x_i\)	Alumnos \(f_i\)	Acumulada \(N_i\)
0	4	4
1	6	10
2	10	20
3	8	28
4	7	35
5	5	40

Total de datos: la última frecuencia acumulada es \(n=40\).
Primer cuartil. La posición es \(\dfrac{1\cdot 40}{4}=10\), entera, y coincide con \(N_2=10\). Hago la media de ese valor y el siguiente:\[Q_1=\frac{1+2}{2}=1{,}5\]
Tercer cuartil. La posición es \(\dfrac{3\cdot 40}{4}=30\). Ningún \(N_i\) vale 30, y el primero mayor que 30 es \(N_5=35\), que corresponde a \(x=4\):\[Q_3=4\]
Noveno decil. La posición es \(\dfrac{9\cdot 40}{10}=36\). El primer \(N_i\) mayor que 36 es \(N_6=40\), que corresponde a \(x=5\):\[D_9=5\]

💡 Por qué funciona: es exactamente lo mismo que escribir los 40 datos en orden (cuatro ceros, seis unos, diez doses…) y contar hasta llegar a la posición. La tabla solo te ahorra escribirlos.

Cuartiles, deciles y percentiles con datos agrupados en intervalos

Si los datos están agrupados en intervalos, no conozco el valor exacto de cada dato. Lo que hago es suponer que dentro de cada intervalo están repartidos de manera uniforme y usar una interpolación lineal. Los pasos son:

Construyo la columna de frecuencias absolutas acumuladas \(N_i\).
Calculo la posición \(\dfrac{k\cdot n}{100}\) (o con 10 o con 4 en el denominador, si es un decil o un cuartil).
Busco el intervalo del percentil: el primero cuya frecuencia acumulada \(N_i\) es mayor o igual que la posición.
Aplico la fórmula:

\[P_k=L_i+\frac{\dfrac{k\cdot n}{100}-N_{i-1}}{f_i}\cdot a_i\]

Símbolo	Qué significa
\(L_i\)	Límite inferior del intervalo del percentil
\(N_{i-1}\)	Frecuencia acumulada del intervalo anterior (0 si es el primero)
\(f_i\)	Frecuencia absoluta del intervalo del percentil
\(a_i\)	Amplitud del intervalo: límite superior menos límite inferior

Ejemplo paso a paso: 40 personas hacen un test de 60 puntos y sus puntuaciones se agrupan en intervalos. Calcula \(Q_1\), \(Q_3\) y \(D_9\).

Puntuación	Personas \(f_i\)	Acumulada \(N_i\)
[0, 10)	4	4
[10, 20)	8	12
[20, 30)	10	22
[30, 40)	10	32
[40, 50)	6	38
[50, 60)	2	40

Total de datos: \(n=40\) y todos los intervalos miden \(a=10\).
Primer cuartil. La posición es \(\dfrac{1\cdot 40}{4}=10\). El primer \(N_i\) mayor o igual que 10 es \(N_2=12\), así que el intervalo es \([10,20)\), con \(L=10\), \(N_{i-1}=4\) y \(f=8\):\[Q_1=10+\frac{10-4}{8}\cdot 10\]\[=10+7{,}5=17{,}5\]
Tercer cuartil. La posición es \(\dfrac{3\cdot 40}{4}=30\). El primer \(N_i\) mayor o igual que 30 es \(N_4=32\), así que el intervalo es \([30,40)\), con \(L=30\), \(N_{i-1}=22\) y \(f=10\):\[Q_3=30+\frac{30-22}{10}\cdot 10=38\]
Noveno decil. La posición es \(\dfrac{9\cdot 40}{10}=36\). El primer \(N_i\) mayor o igual que 36 es \(N_5=38\), así que el intervalo es \([40,50)\), con \(L=40\), \(N_{i-1}=32\) y \(f=6\):\[D_9=40+\frac{36-32}{6}\cdot 10\]\[=40+6{,}67\approx 46{,}67\]

⚠️ Tres cosas que se olvidan: en la fórmula uso la frecuencia acumulada del intervalo anterior (\(N_{i-1}\)) y no la del propio intervalo; uso la frecuencia \(f_i\) del intervalo, no la acumulada; y si los intervalos tienen amplitudes distintas, uso la amplitud \(a_i\) de ese intervalo.

Cómo interpretar un percentil, un decil o un cuartil

Saber calcularlos es la mitad del trabajo. La otra mitad es entender qué dicen. El percentil \(P_k\) es el valor que deja por debajo al \(k\,\%\) de los datos y, por encima, al \((100-k)\,\%\) restante. Esta tabla traduce frases habituales:

Frase	Qué significa
«Estás en el percentil 80»	El 80 % del grupo tiene un valor menor o igual que el tuyo y el 20 % tiene uno mayor.
«Tu hijo está en el percentil 50 de estatura»	Está en la mediana: la mitad de los niños de su edad es más baja y la otra mitad, más alta.
«Un sueldo del decil 9»	Gana más que el 90 % de la población y pertenece al 10 % que más cobra.
«El primer cuartil de las notas es 5,5»	Aproximadamente la cuarta parte de las notas es menor que 5,5.

También sirven para pasar de un porcentaje a un número de personas. Si hay 200 participantes en una prueba y Ana está en el percentil 85, unos 170 han sacado menos nota que ella, porque el 85 % de 200 son 170 (puedes comprobarlo con la calculadora de porcentajes).

⚠️ Percentil no es porcentaje de nota. Estar en el percentil 80 no significa haber sacado un 80 sobre 100. Indica tu posición respecto al grupo, no la nota. Puedes estar en el percentil 90 con un 4,5 si el examen fue muy difícil para todos.

Rango intercuartílico y diagrama de caja y bigotes

El rango intercuartílico (RIQ) es la distancia entre el tercer y el primer cuartil. Mide cuánto ocupa el 50 % central de los datos:

\[\text{RIQ}=Q_3-Q_1\]

Es una medida de dispersión muy útil porque no le afectan los valores extremos, a diferencia del rango o de la desviación típica. Con los cuartiles se dibuja el diagrama de caja y bigotes, que resume toda la distribución:

La caja va desde \(Q_1\) hasta \(Q_3\) y contiene el 50 % central de los datos.
La línea dentro de la caja marca la mediana, \(Q_2\).
Los bigotes llegan hasta el dato más pequeño y el más grande que no sean atípicos.
Los valores atípicos se dibujan como puntos aislados.

Un dato se considera atípico si queda fuera de estos dos límites:

\[Q_1-1{,}5\cdot\text{RIQ}\]\[Q_3+1{,}5\cdot\text{RIQ}\]Es atípico el dato que sea menor que el primero o mayor que el segundo.

Ejemplo paso a paso: estos son los minutos que tardan 12 personas en una gestión: 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 35. Calcula el RIQ y detecta los valores atípicos.

Cuartiles. Con \(n=12\) las posiciones son 3, 6 y 9, todas enteras:\[Q_1=\frac{7+8}{2}=7{,}5\]\[Q_2=\frac{10+11}{2}=10{,}5\]\[Q_3=\frac{13+15}{2}=14\]
Rango intercuartílico:\[\text{RIQ}=14-7{,}5=6{,}5\]
Límites: como \(1{,}5\cdot 6{,}5=9{,}75\), resulta\[Q_1-9{,}75=-2{,}25\]\[Q_3+9{,}75=23{,}75\]
Atípicos: el único dato fuera del intervalo \([-2{,}25\,;\,23{,}75]\) es el \(35\), así que es un valor atípico. El bigote derecho llega hasta \(17\), el último dato que no es atípico.

Diagrama de caja y bigotes de 12 datos: la caja va de 7,5 a 14 con la mediana en 10,5, los bigotes llegan a 4 y a 17 y el dato 35 es un valor atípico porque supera el límite 23,75

💡 Cómo leerlo: entre cada dos marcas consecutivas (mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) y máximo) hay aproximadamente el 25 % de los datos. Si una mitad de la caja es mucho más larga que la otra, los datos están más dispersos en ese lado.

¿Por qué en Excel me sale otro resultado?

Si compruebas tus cálculos con una hoja de cálculo o con una calculadora, puede que el resultado no coincida con el tuyo. No siempre es un error: existen varios métodos para calcular cuartiles y percentiles y, con pocos datos, dan resultados distintos. En Bachillerato se suele usar el método de las posiciones que hemos visto, pero tu profesor o tu libro pueden usar otro, así que sigue siempre el que te hayan enseñado.

Con los datos 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (\(n=8\)), el primer cuartil sale así según el método:

Método	Posición	\(Q_1\)
Posiciones (este artículo)	\(2\), entera	\(4\)
Excel: .INC	\(2{,}75\)	\(4{,}5\)
Excel: .EXC	\(2{,}25\)	\(3{,}5\)

Para el primer cuartil, CUARTIL.INC (o PERCENTIL.INC con 0,25) calcula la posición como \(1+0{,}25\cdot(n-1)\) e interpola entre dos datos. CUARTIL.EXC (o PERCENTIL.EXC) usa \(0{,}25\cdot(n+1)\) y también interpola. En el método de las posiciones, en cambio, la posición es \(0{,}25\cdot n\) y no se interpola: se toma un dato o la media de dos.

💡 No hay uno mejor que otro. Con muchos datos las diferencias son pequeñas. En un examen, usa el método de tu libro. La calculadora de este artículo usa el método de las posiciones.

¿Qué fórmula uso en cada caso?

Esta tabla es mi chuleta. Según cómo vengan los datos, elijo el método:

Datos	Qué hago
Sin agrupar	Ordeno y calculo \(\dfrac{k\cdot n}{100}\). Si no es entero, lo redondeo hacia arriba y tomo ese dato. Si es entero, media de ese dato y el siguiente.
En una tabla de frecuencias	Calculo la misma posición y busco el primer \(N_i\) mayor que ella. Si coincide con un \(N_i\), media con el valor siguiente.
En intervalos	Busco el primer \(N_i\) mayor o igual que la posición y aplico la fórmula de interpolación con \(L_i\), \(N_{i-1}\), \(f_i\) y \(a_i\).
Rango intercuartílico	\(\text{RIQ}=Q_3-Q_1\)
Valores atípicos	Los que quedan fuera de \([Q_1-1{,}5\cdot\text{RIQ}\,;\,Q_3+1{,}5\cdot\text{RIQ}]\)
Equivalencias	\(Q_k=P_{25k}\), \(D_k=P_{10k}\) y \(Q_2=D_5=P_{50}=\) mediana

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:

No ordenar los datos. Las posiciones solo tienen sentido con los datos ordenados de menor a mayor.
Confundir la posición con el valor. Si la posición es 3, el cuartil no es 3: es el dato que ocupa el tercer lugar.
Redondear la posición al más cercano. Una posición de 2,25 se redondea hacia arriba, a 3, no a 2.
Olvidar la media cuando la posición es entera. Con \(n=12\), el primer cuartil está en la posición 3 y se calcula con los datos de los lugares 3 y 4.
Usar la frecuencia absoluta en vez de la acumulada al trabajar con una tabla.
En intervalos, restar \(N_i\) en lugar de \(N_{i-1}\) o usar la amplitud de otro intervalo.
Confundir percentil con porcentaje. El percentil 80 es una posición, no una nota.
Pensar que \(Q_2\) es distinto de la mediana. Son lo mismo, igual que \(D_5\) y \(P_{50}\).
Mezclar métodos. Si usas \(n\) en la posición, no cambies a \(n+1\) a mitad del ejercicio.

🧮 Calculadora de cuartiles, deciles y percentiles

Tienes tres pestañas, según cómo vengan los datos. En la primera escribes una lista de datos, en la segunda una tabla de frecuencias y en la tercera datos agrupados en intervalos. Elige cuartil, decil o percentil, escribe el número que quieres (por ejemplo, 3 para \(Q_3\) o 90 para \(P_{90}\)) y la calculadora te enseña la posición, el razonamiento y el resultado. Además te da los tres cuartiles, el rango intercuartílico y, si hay datos sueltos, los valores atípicos.

🌍 Cuartiles, deciles y percentiles en la vida real

🩺 PediatríaLas curvas de crecimiento indican en qué percentil de peso y de estatura está un niño respecto a los de su edad.

🎓 EducaciónLas pruebas estandarizadas comparan a cada alumno con el resto del grupo usando percentiles.

💶 EconomíaLos deciles de renta reparten a la población en 10 grupos para estudiar la desigualdad.

💻 InformáticaPara medir lo rápido que responde un servicio se mira el percentil 95 o 99 del tiempo de respuesta.

🌧️ MeteorologíaPara decidir qué temperaturas o lluvias son extremas se comparan con los percentiles altos de los datos históricos.

📊 Análisis de datosEl rango intercuartílico y el diagrama de caja sirven para detectar valores atípicos y errores en los datos.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Cuartiles

Tres valores, \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\), que dividen los datos ordenados en 4 partes con el mismo número de datos.

Deciles

Nueve valores, de \(D_1\) a \(D_9\), que dividen los datos ordenados en 10 partes.

Percentiles

Noventa y nueve valores, de \(P_1\) a \(P_{99}\), que dividen los datos ordenados en 100 partes.

Equivalencias

\(Q_1=P_{25}\), \(Q_2=D_5=P_{50}=\) mediana y \(Q_3=P_{75}\). En general, \(D_k=P_{10k}\).

Posición

Para \(P_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{100}\). Para \(D_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{10}\) y para \(Q_k\), \(\dfrac{k\cdot n}{4}\).

Posición entera o no

No entera: la redondeo hacia arriba y tomo ese dato. Entera: media de ese dato y el siguiente.

En intervalos

\(P_k=L_i+\dfrac{\frac{k\cdot n}{100}-N_{i-1}}{f_i}\cdot a_i\), con el intervalo donde \(N_i\) llega a la posición.

RIQ y atípicos

\(\text{RIQ}=Q_3-Q_1\). Es atípico lo que queda fuera de \(Q_1-1{,}5\cdot\text{RIQ}\) y \(Q_3+1{,}5\cdot\text{RIQ}\).

⭐ Ejercicios de cuartiles, deciles y percentiles resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Cuartiles con un número par de datos

📝 EnunciadoEstos son los precios en euros de 8 camisetas: 12, 15, 9, 22, 18, 11, 14, 20. Calcula los tres cuartiles.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Ordeno los datos:9, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 22Hay \(n=8\) datos.
Paso 2. Posición de \(Q_1\): \(\dfrac{1\cdot 8}{4}=2\), entera. Media de los lugares 2 y 3:\[Q_1=\frac{11+12}{2}=11{,}5\]
Paso 3. Posición de \(Q_2\): \(\dfrac{2\cdot 8}{4}=4\). Media de los lugares 4 y 5:\[Q_2=\frac{14+15}{2}=14{,}5\]
Paso 4. Posición de \(Q_3\): \(\dfrac{3\cdot 8}{4}=6\). Media de los lugares 6 y 7:\[Q_3=\frac{18+20}{2}=19\]

✅ Resultado: \(Q_1=11{,}5\) €, \(Q_2=14{,}5\) € y \(Q_3=19\) €.

EJERCICIO 2Cuartiles con un número impar de datos

📝 EnunciadoCalcula los tres cuartiles de estos 9 datos: 7, 3, 12, 9, 5, 15, 11, 8, 10.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Ordeno los datos:3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15Hay \(n=9\) datos.
Paso 2. Posición de \(Q_1\): \(\dfrac{1\cdot 9}{4}=2{,}25\). No es entera, la redondeo a 3 y tomo el tercer dato:\[Q_1=7\]
Paso 3. Posición de \(Q_2\): \(\dfrac{2\cdot 9}{4}=4{,}5\). La redondeo a 5:\[Q_2=9\]
Paso 4. Posición de \(Q_3\): \(\dfrac{3\cdot 9}{4}=6{,}75\). La redondeo a 7:\[Q_3=11\]

✅ Resultado: \(Q_1=7\), \(Q_2=9\) y \(Q_3=11\).

EJERCICIO 3Decil y percentiles

📝 EnunciadoLos tiempos en segundos de 15 corredores son 31, 28, 35, 40, 29, 33, 38, 27, 36, 30, 32, 34, 41, 26, 37. Calcula \(D_3\), \(P_{15}\) y \(P_{80}\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Ordeno los datos:26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41Hay \(n=15\) datos.
Paso 2. Decil 3. Posición: \(\dfrac{3\cdot 15}{10}=4{,}5\). La redondeo a 5 y tomo el quinto dato:\[D_3=30\]
Paso 3. Percentil 15. Posición: \(\dfrac{15\cdot 15}{100}=2{,}25\). La redondeo a 3:\[P_{15}=28\]
Paso 4. Percentil 80. Posición: \(\dfrac{80\cdot 15}{100}=12\), entera. Media de los lugares 12 y 13:\[P_{80}=\frac{37+38}{2}=37{,}5\]

✅ Resultado: \(D_3=30\) s, \(P_{15}=28\) s y \(P_{80}=37{,}5\) s.

EJERCICIO 4Tabla de frecuencias

📝 EnunciadoSe pregunta a 50 alumnos cuántos hermanos tienen. Calcula \(Q_1\), \(Q_3\) y \(P_{90}\).

Hermanos \(x_i\)	Alumnos \(f_i\)
0	8
1	15
2	14
3	8
4	5

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Paso 1. Calculo las frecuencias acumuladas:\[N_i=8,\ 23,\ 37,\ 45,\ 50\]Así que \(n=50\).
Paso 2. Primer cuartil. Posición: \(\dfrac{1\cdot 50}{4}=12{,}5\). El primer \(N_i\) mayor que 12,5 es \(N_2=23\), que corresponde a \(x=1\):\[Q_1=1\]
Paso 3. Tercer cuartil. Posición: \(\dfrac{3\cdot 50}{4}=37{,}5\). El primer \(N_i\) mayor que 37,5 es \(N_4=45\), que corresponde a \(x=3\):\[Q_3=3\]
Paso 4. Percentil 90. Posición: \(\dfrac{90\cdot 50}{100}=45\), entera, y coincide con \(N_4=45\). Hago la media de ese valor y el siguiente:\[P_{90}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

✅ Resultado: \(Q_1=1\), \(Q_3=3\) y \(P_{90}=3{,}5\) hermanos.

EJERCICIO 5Datos agrupados en intervalos

📝 EnunciadoLas estaturas (en cm) de 60 estudiantes se reparten así. Calcula \(Q_1\), \(Q_3\) y \(P_{90}\).

Estatura	Estudiantes \(f_i\)
[150, 160)	6
[160, 170)	24
[170, 180)	20
[180, 190)	10

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Paso 1. Frecuencias acumuladas:\[N_i=6,\ 30,\ 50,\ 60\]Así que \(n=60\) y todos los intervalos miden \(a=10\).
Paso 2. Primer cuartil. Posición: \(\dfrac{1\cdot 60}{4}=15\). El primer \(N_i\) mayor o igual que 15 es \(N_2=30\): intervalo \([160,170)\), con \(N_{i-1}=6\) y \(f=24\):\[Q_1=160+\frac{15-6}{24}\cdot 10\]\[=160+3{,}75=163{,}75\]
Paso 3. Tercer cuartil. Posición: \(\dfrac{3\cdot 60}{4}=45\). El intervalo es \([170,180)\), porque \(N_3=50\geq 45\), con \(N_{i-1}=30\) y \(f=20\):\[Q_3=170+\frac{45-30}{20}\cdot 10=177{,}5\]
Paso 4. Percentil 90. Posición: \(\dfrac{90\cdot 60}{100}=54\). El intervalo es \([180,190)\), con \(N_{i-1}=50\) y \(f=10\):\[P_{90}=180+\frac{54-50}{10}\cdot 10=184\]

✅ Resultado: \(Q_1=163{,}75\) cm, \(Q_3=177{,}5\) cm y \(P_{90}=184\) cm.

EJERCICIO 6Rango intercuartílico y valores atípicos

📝 EnunciadoLos puntos que consiguen 14 amigos en un videojuego son 34, 21, 78, 28, 40, 25, 31, 44, 24, 36, 27, 33, 30, 38. Calcula los cuartiles, el RIQ y decide si hay valores atípicos.

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Paso 1. Ordeno los datos:21, 24, 25, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 38, 40, 44, 78Hay \(n=14\) datos.
Paso 2. Cuartiles. Las posiciones son \(\dfrac{14}{4}=3{,}5\), \(\dfrac{28}{4}=7\) y \(\dfrac{42}{4}=10{,}5\):\[Q_1=x_4=27\]\[Q_2=\frac{x_7+x_8}{2}=\frac{31+33}{2}=32\]\[Q_3=x_{11}=38\]
Paso 3. Rango intercuartílico:\[\text{RIQ}=38-27=11\]
Paso 4. Límites. Como \(1{,}5\cdot 11=16{,}5\):\[27-16{,}5=10{,}5\]\[38+16{,}5=54{,}5\]
Paso 5. El único dato fuera del intervalo \([10{,}5\,;\,54{,}5]\) es el \(78\).

✅ Resultado: \(Q_1=27\), \(Q_2=32\), \(Q_3=38\) y \(\text{RIQ}=11\). El \(78\) es un valor atípico.

EJERCICIO 7Interpretar percentiles

📝 EnunciadoEn una prueba participan 200 personas. a) Ana está en el percentil 85. ¿Cuántas personas, aproximadamente, han sacado menos nota que ella? b) La nota de corte para una beca es el percentil 90. ¿Cuántas personas, aproximadamente, la superan? c) Marcos sacó 7,2 y esa nota es el decil 8. ¿Qué significa?

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Paso 1. Apartado a). El percentil 85 deja por debajo al 85 % de los datos:\[0{,}85\cdot 200=170\]
Paso 2. Apartado b). El percentil 90 deja por debajo al 90 %, así que lo supera el 10 % restante:\[0{,}10\cdot 200=20\]
Paso 3. Apartado c). El decil 8 es el percentil 80, así que Marcos supera aproximadamente al 80 % de los participantes. Esto no quiere decir que su nota sea un 80 %.

✅ Resultado: a) Unas 170 personas. b) Unas 20 personas. c) Que el 80 % de los participantes sacó 7,2 o menos.

EJERCICIO 8Intervalos con amplitudes distintas

📝 EnunciadoEl tiempo de espera, en minutos, de 60 pacientes en urgencias se reparte así. Calcula \(Q_1\), \(Q_3\) y \(P_{90}\).

Minutos	Pacientes \(f_i\)
[0, 10)	12
[10, 20)	18
[20, 40)	15
[40, 80)	10
[80, 120)	5

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Paso 1. Frecuencias acumuladas:\[N_i=12,\ 30,\ 45,\ 55,\ 60\]Así que \(n=60\). Esta vez las amplitudes son distintas: 10, 10, 20, 40 y 40.
Paso 2. Primer cuartil. Posición: \(\dfrac{1\cdot 60}{4}=15\). El primer \(N_i\) mayor o igual que 15 es \(N_2=30\): intervalo \([10,20)\), con \(N_{i-1}=12\), \(f=18\) y \(a=10\):\[Q_1=10+\frac{15-12}{18}\cdot 10\]\[=10+1{,}67\approx 11{,}67\]
Paso 3. Tercer cuartil. Posición: \(\dfrac{3\cdot 60}{4}=45\), que coincide con \(N_3=45\). Es el intervalo \([20,40)\), con \(N_{i-1}=30\), \(f=15\) y \(a=20\):\[Q_3=20+\frac{45-30}{15}\cdot 20=40\]
Paso 4. Percentil 90. Posición: \(\dfrac{90\cdot 60}{100}=54\). El primer \(N_i\) mayor o igual que 54 es \(N_4=55\): intervalo \([40,80)\), con \(N_{i-1}=45\), \(f=10\) y \(a=40\):\[P_{90}=40+\frac{54-45}{10}\cdot 40\]\[=40+36=76\]

✅ Resultado: \(Q_1\approx 11{,}67\) min, \(Q_3=40\) min y \(P_{90}=76\) min.

EJERCICIO 9Al revés: de un valor a su percentil

📝 EnunciadoEn la tabla del test de 40 personas (la de los intervalos de 10 puntos, con \(N_i=4,\ 12,\ 22,\ 32,\ 38,\ 40\)), ¿qué percentil corresponde a una puntuación de a) 36 puntos? b) 17,5 puntos?

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Paso 1. Busco cuántos datos hay por debajo del valor \(x\). Si \(x\) está en el intervalo \([L_i,U_i)\), uso:\[N_{i-1}+\frac{x-L_i}{a_i}\cdot f_i\]
Paso 2. Apartado a). El 36 está en \([30,40)\), con \(N_{i-1}=22\), \(f=10\) y \(a=10\):\[22+\frac{36-30}{10}\cdot 10=28\]Hay 28 datos por debajo, y \(\dfrac{28}{40}=0{,}70\), es decir, el 70 %.
Paso 3. Apartado b). El 17,5 está en \([10,20)\), con \(N_{i-1}=4\), \(f=8\) y \(a=10\):\[4+\frac{17{,}5-10}{10}\cdot 8=10\]Hay 10 datos por debajo, y \(\dfrac{10}{40}=0{,}25\), es decir, el 25 %.

✅ Resultado: a) El percentil 70, que es el decil 7. b) El percentil 25, que es el primer cuartil. Coincide con lo calculado en la sección de intervalos.

EJERCICIO 10Problema: tiempos de espera en una tienda

📝 EnunciadoUna tienda anota los minutos que esperan en caja 20 clientes: 2, 5, 3, 8, 4, 6, 1, 9, 7, 3, 12, 4, 5, 10, 2, 6, 8, 15, 4, 11. Quiere saber el tiempo que deja por debajo al 90 % de los clientes, el que deja por debajo al 95 % y el primer cuartil.

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Paso 1. Ordeno los datos:1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 15Hay \(n=20\) datos.
Paso 2. Decil 9. Posición: \(\dfrac{9\cdot 20}{10}=18\), entera. Media de los lugares 18 y 19:\[D_9=\frac{11+12}{2}=11{,}5\]
Paso 3. Percentil 95. Posición: \(\dfrac{95\cdot 20}{100}=19\), entera. Media de los lugares 19 y 20:\[P_{95}=\frac{12+15}{2}=13{,}5\]
Paso 4. Primer cuartil. Posición: \(\dfrac{1\cdot 20}{4}=5\), entera. Media de los lugares 5 y 6:\[Q_1=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

✅ Resultado: \(D_9=11{,}5\) min, \(P_{95}=13{,}5\) min y \(Q_1=3{,}5\) min. El 90 % de los clientes espera menos de unos 11,5 minutos.

❓ Preguntas frecuentes sobre cuartiles, deciles y percentiles

🤔 ¿Qué son los cuartiles, deciles y percentiles?

Son medidas de posición que dividen un conjunto de datos ordenados en partes con el mismo número de datos. Los cuartiles (\(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\)) lo dividen en 4 partes, los deciles (\(D_1\) a \(D_9\)) en 10 y los percentiles (\(P_1\) a \(P_{99}\)) en 100.

🤔 ¿Cómo se calculan los cuartiles?

Se ordenan los datos y se calcula la posición \(\dfrac{k\cdot n}{4}\), con \(n\) el número de datos y \(k\) igual a 1, 2 o 3. Si la posición no es entera, se redondea hacia arriba y se toma el dato de ese lugar. Si es entera, se hace la media de ese dato y el siguiente. Con 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20, el primer cuartil está en la posición 3 y vale \(\dfrac{5+6}{2}=5{,}5\).

🤔 ¿Cómo se calcula un percentil?

La posición del percentil \(P_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{100}\). Si no es entera, se redondea hacia arriba y se toma el dato de ese lugar; si es entera, se hace la media de ese dato y el siguiente. Con \(n=11\), el percentil 90 está en la posición \(\dfrac{90\cdot 11}{100}=9{,}9\), que se redondea a 10: es el décimo dato.

🤔 ¿Qué relación hay entre la mediana, el segundo cuartil y el percentil 50?

Son lo mismo: \(Q_2=D_5=P_{50}=\) mediana. Los tres dejan por debajo a la mitad de los datos y por encima a la otra mitad.

🤔 ¿Qué es el rango intercuartílico y para qué sirve?

Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, \(\text{RIQ}=Q_3-Q_1\). Mide la dispersión del 50 % central de los datos y sirve para detectar valores atípicos: son los que quedan fuera del intervalo \([Q_1-1{,}5\cdot\text{RIQ}\,;\,Q_3+1{,}5\cdot\text{RIQ}]\).

🤔 ¿Por qué Excel da un resultado distinto al de mi libro?

Porque existen varios métodos para calcular cuartiles y percentiles. En muchos libros de Bachillerato se usa el de las posiciones, mientras que Excel, con CUARTIL.INC o CUARTIL.EXC, usa otras fórmulas que, con pocos datos, dan resultados diferentes. Con los datos 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, el primer cuartil sale \(4\), \(4{,}5\) o \(3{,}5\) según el método.

🤔 ¿Qué significa estar en el percentil 90?

Que el 90 % del grupo tiene un valor menor o igual que el tuyo y solo el 10 % tiene uno mayor. No significa haber sacado un 90 de nota: indica tu posición respecto al resto del grupo.

🤔 ¿Cuántos cuartiles, deciles y percentiles hay?

Hay 3 cuartiles, 9 deciles y 99 percentiles, porque para dividir los datos en 4, 10 o 100 partes hacen falta 3, 9 o 99 cortes.

📚 Resumen final

Los cuartiles dividen los datos ordenados en 4 partes, los deciles en 10 y los percentiles en 100.
\(Q_k=P_{25k}\), \(D_k=P_{10k}\) y \(Q_2=D_5=P_{50}=\) mediana.
La posición del percentil \(P_k\) es \(\dfrac{k\cdot n}{100}\) (con 10 o 4 en el denominador para deciles y cuartiles).
Posición no entera: la redondeo hacia arriba y tomo ese dato. Posición entera: media de ese dato y el siguiente.
En una tabla de frecuencias uso las frecuencias acumuladas \(N_i\).
En intervalos, \(P_k=L_i+\dfrac{\frac{k\cdot n}{100}-N_{i-1}}{f_i}\cdot a_i\).
\(\text{RIQ}=Q_3-Q_1\) y es atípico lo que queda fuera de \(Q_1-1{,}5\cdot\text{RIQ}\) y \(Q_3+1{,}5\cdot\text{RIQ}\).

Conclusión

Los cuartiles, deciles y percentiles te dicen en qué lugar está cada dato dentro del conjunto: ordena los datos, calcula la posición y aplica la regla que corresponda, según estén sueltos, en una tabla o en intervalos. Con el rango intercuartílico y el diagrama de caja y bigotes tienes además una forma muy visual de detectar valores atípicos. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...