Regla de Laplace: fórmula, ejemplos y calculadora

Q: ¿Cuál es la fórmula de la regla de Laplace?

La fórmula es P(A) = casos favorables / casos posibles. El numerador cuenta los resultados que cumplen el suceso A, y el denominador, todos los resultados que pueden salir. El resultado se puede dar como fracción, decimal o porcentaje.

Justo Fernández

hace 2 días · Actualizado hace 2 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la regla de Laplace? Definición y significado
Fórmula de la regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles
¿Cuándo se puede aplicar la regla de Laplace?
Ejemplos con dados, monedas, cartas y bolas
Regla de Laplace con combinatoria: cuando hay muchos casos
Chuleta: cómo aplicar la regla de Laplace
Errores frecuentes al aplicar la regla de Laplace
🧮 Calculadora de la regla de Laplace
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios resueltos

¿Qué es la regla de Laplace y cuándo se usa? La regla de Laplace permite calcular la probabilidad de un suceso cuando todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad: se divide el número de casos favorables entre el número de casos posibles. En esta guía te lo explico todo con detalle: la fórmula, cuándo se puede aplicar, ejemplos variados, combinatoria, una calculadora y ejercicios resueltos.

⚡ Regla de Laplace en 30 segundos
La probabilidad de un suceso \(A\) es el número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles:

\[P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\]

Solo vale si todos los casos posibles son equiprobables, es decir, si tienen la misma probabilidad. El resultado siempre está entre \(0\) y \(1\), y se puede dar como fracción, decimal o porcentaje.

Ejemplo: al lanzar un dado, la probabilidad de sacar un número par es \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).

¿Qué es la regla de Laplace? Definición y significado

La regla de Laplace es el método más sencillo para calcular una probabilidad. Lleva el nombre del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que a principios del siglo XIX recogió la llamada definición clásica de probabilidad: si un experimento tiene un número finito de resultados igual de probables, la probabilidad de un suceso es la proporción de resultados que lo cumplen.

Para aplicarla necesitas cuatro ideas, que puedes repasar en sucesos en probabilidad:

Término	Qué es	Con un dado
Experimento aleatorio	Una prueba cuyo resultado no se puede predecir	Lanzar el dado
Casos posibles	Todos los resultados que pueden salir	\(E=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Suceso \(A\)	Lo que quieres que ocurra	Sacar un número par
Casos favorables	Los resultados que cumplen el suceso	\(\{2,4,6\}\), es decir, 3 casos

💡 No la confundas con el desarrollo de Laplace para calcular determinantes (lo tienes en determinantes de una matriz) ni con la transformada de Laplace del cálculo avanzado. Aquí se trata de la regla para calcular probabilidades.

Fórmula de la regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles

La fórmula de la regla de Laplace es un cociente. Arriba, los casos que cumplen el suceso \(A\); abajo, todos los casos que pueden ocurrir:

\[P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\]

Se calcula siempre en cuatro pasos:

Identifica el experimento y cuenta los casos posibles.
Comprueba que son equiprobables: todos deben tener la misma probabilidad de salir.
Cuenta los casos favorables, los que cumplen el suceso.
Divide y simplifica la fracción (repasa cómo simplificar fracciones). Si quieres, pásala a decimal o a porcentaje.

Un ejemplo con bolas de colores lo deja claro: la urna tiene 10 bolas, y cada una tiene la misma probabilidad de salir.

Urna con diez bolas: tres rojas con borde naranja, cinco azules y dos verdes. Los casos posibles son las diez bolas y los casos favorables para sacar una bola roja son tres, así que la probabilidad es tres décimos

Ejemplo 1: una urna tiene 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. Saco una al azar y calculo la probabilidad de que sea roja.

Casos posibles: hay una bola por cada caso, así que hay \(3+5+2=10\).
Casos favorables: las bolas rojas, es decir, 3.
Aplico la fórmula:\[P(\text{roja})=\dfrac{3}{10}=0{,}3\]Es decir, un 30 %.
Suceso contrario: la probabilidad de que no sea roja es\[P(\text{no roja})=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}\]

Ejemplo 2: lanzo un dado y calculo la probabilidad de sacar un número mayor que 4.

Casos posibles: \(\{1,2,3,4,5,6\}\), es decir, 6.
Casos favorables: los números mayores que 4 son \(\{5,6\}\), es decir, 2.
Aplico la fórmula y simplifico:\[P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333\]

Como una probabilidad es una proporción, tiene estas propiedades, que sirven para comprobar cualquier resultado:

Suceso	Probabilidad	Con un dado
Imposible	\(P(A)=0\)	Sacar un 7
Seguro	\(P(A)=1\)	Sacar menos de 7
Cualquiera	\(0\le P(A)\le 1\)	Sacar un par: \(\frac{1}{2}\)
Contrario	\(P(\overline{A})=1-P(A)\)	No sacar un par: \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Regla de Laplace. Ffórmula de la probabilidad como casos favorables entre casos posibles

¿Cuándo se puede aplicar la regla de Laplace?

La regla de Laplace solo es válida si se cumplen dos condiciones:

Hay un número finito de casos posibles y se pueden contar.
Todos los casos posibles son equiprobables, es decir, ninguno tiene más probabilidad de salir que otro.

Un dado equilibrado, una moneda sin trucar o una baraja bien barajada cumplen las dos. Estos son ejemplos de cuándo sí y cuándo no:

¿Se puede?	Experimento
✅ Sí	Lanzar un dado equilibrado: cada cara tiene probabilidad \(\frac{1}{6}\)
✅ Sí	Sacar una carta de una baraja bien barajada
✅ Sí	Extraer una bola de una urna sin mirar
❌ No	Lanzar un dado trucado: unas caras salen más que otras
❌ No	«Llueve o no llueve»: son dos casos, pero no tienen la misma probabilidad
❌ No	La suma de dos dados: las sumas de 2 a 12 no son igual de probables

El último caso es el que más confunde. Con dos dados hay 11 sumas posibles, pero el 7 sale de 6 formas distintas y el 2 solo de una. Por eso hay que aplicar la regla a las 36 parejas de resultados, que sí son equiprobables. Lo verás en los ejemplos.

💡 Cómo saberlo: pregúntate si hay algún motivo para pensar que un caso es más probable que otro. Si lo hay, no uses la regla de Laplace. Si no lo hay, y puedes contar los casos, puedes usarla. Si el enunciado dice «al azar», «equilibrado» o «sin trucar», es la señal de que los casos son equiprobables. Cuando no lo son, la probabilidad se estima con la frecuencia relativa de los resultados observados.

Ejemplos con dados, monedas, cartas y bolas

En todos los ejemplos sigo el mismo orden: casos posibles, casos favorables y división.

Ejemplo 3 (monedas): lanzo 3 monedas y calculo la probabilidad de obtener exactamente 2 caras.

Casos posibles: cada moneda da cara (escribo C) o cruz (escribo X), así que hay \(2\cdot 2\cdot 2=8\) casos, todos equiprobables:\[\text{CCC},\ \text{CCX},\ \text{CXC},\ \text{CXX}\]\[\text{XCC},\ \text{XCX},\ \text{XXC},\ \text{XXX}\]
Casos favorables, con exactamente 2 caras:\[\text{CCX},\ \text{CXC},\ \text{XCC}\]Son 3 casos.
Aplico la fórmula:\[P(2\text{ caras})=\dfrac{3}{8}=0{,}375\]Es decir, un 37,5 %.

Si lanzas muchas monedas, contar los casos a mano es imposible, y el número de caras sigue una distribución binomial.

Con dos dados conviene ordenar los casos en una tabla. Cada casilla es un caso posible, y solo hay que contar las que tienen la suma que buscas:

Tabla con los 36 resultados posibles al lanzar dos dados y la suma de cada pareja. Las seis casillas donde la suma vale siete forman una diagonal y son los casos favorables, así que la probabilidad de sumar siete es seis entre treinta y seis, que es un sexto

Ejemplo 4 (dos dados): lanzo dos dados y calculo la probabilidad de que la suma sea 7.

Casos posibles: cada dado tiene 6 resultados y los cuento por separado, así que hay \(6\cdot 6=36\).
Casos favorables, las parejas que suman 7:\[(1,6),\ (2,5),\ (3,4)\]\[(4,3),\ (5,2),\ (6,1)\]Son 6 casos.
Aplico la fórmula y simplifico:\[P(\text{suma }7)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\]

Fíjate en que \((1,6)\) y \((6,1)\) son casos distintos. Si los contaras como uno solo, los casos ya no serían equiprobables y la regla daría un resultado equivocado.

Ejemplo 5 (cartas): saco una carta de una baraja española de 40 cartas y calculo la probabilidad de que sea una figura (sota, caballo o rey).

Casos posibles: la baraja tiene 4 palos de 10 cartas, es decir, 40.
Casos favorables: cada palo tiene 3 figuras, así que hay \(4\cdot 3=12\).
Aplico la fórmula y simplifico:\[P(\text{figura})=\dfrac{12}{40}=\dfrac{3}{10}\]

Con la misma baraja, estas son las probabilidades de otros sucesos:

Suceso	Casos favorables	Probabilidad
Una carta de oros	10	\(\frac{10}{40}=\frac{1}{4}\)
Un rey	4	\(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)
El rey de oros	1	\(\frac{1}{40}\)

Regla de Laplace con combinatoria: cuando hay muchos casos

Si extraes varios elementos a la vez, o hay demasiados casos para escribirlos, los cuentas con combinatoria. Cuando el orden no importa, el número de formas de elegir \(k\) elementos entre \(n\) es el número combinatorio:

\[\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

Sus valores están en el triángulo de Pascal, y por ejemplo \(\binom{5}{2}=10\). Con él, la regla de Laplace se aplica así, para extraer \(n\) elementos sin devolverlos de un total de \(N\):

Casos posibles: las formas de elegir los \(n\) elementos entre los \(N\), es decir, \(\binom{N}{n}\).
Casos favorables: las formas de elegir los que cumplen el suceso, multiplicando las combinaciones de cada tipo.
Divide los casos favorables entre los posibles y simplifica.

Ejemplo 6: una urna tiene 4 bolas rojas y 6 azules. Saco 2 a la vez, sin devolverlas, y calculo la probabilidad de que las dos sean rojas.

Casos posibles: las formas de elegir 2 bolas entre 10:\[\binom{10}{2}=45\]
Casos favorables: las formas de elegir 2 bolas entre las 4 rojas:\[\binom{4}{2}=6\]
Aplico la fórmula y simplifico:\[P=\dfrac{6}{45}=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}1333\]

Ejemplo 7: con la misma urna, calculo la probabilidad de sacar una bola roja y una azul.

Casos posibles: siguen siendo \(\binom{10}{2}=45\).
Casos favorables: elijo 1 de las 4 rojas y 1 de las 6 azules, y multiplico:\[\binom{4}{1}\cdot\binom{6}{1}=4\cdot 6=24\]
Aplico la fórmula y simplifico:\[P=\dfrac{24}{45}=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}5333\]

🎟️ La Primitiva: hay \(\binom{49}{6}=13\,983\,816\) combinaciones posibles de 6 números entre 49, y solo una es la ganadora. La probabilidad de acertar los 6 números es \(\dfrac{1}{13\,983\,816}\). Otro ejemplo famoso que se resuelve contando casos es el problema del cumpleaños.

Chuleta: cómo aplicar la regla de Laplace

Todo lo importante en un solo sitio, con \(A\) el suceso que buscas.

Concepto	Qué recordar
Fórmula	\(P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\)
Condición	Casos finitos y equiprobables
Valores	\(0\le P(A)\le 1\)
Suceso contrario	\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
Un dado	6 casos posibles
Dos dados	36 casos posibles, contando cada dado por separado
\(n\) monedas	\(2^n\) casos posibles
Baraja española	40 cartas: 4 palos de 10
Sin devolver y sin orden	Casos posibles: \(\binom{N}{n}\)

Si quieres más fórmulas, tienes el formulario de probabilidad.

Errores frecuentes al aplicar la regla de Laplace

⚠️ Errores que veo a menudo:

Usarla cuando los casos no son equiprobables. La suma de dos dados no vale \(\frac{1}{11}\) para el 7 solo porque haya 11 sumas posibles. Cuenta las 36 parejas: sale \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\).
Contar mal los casos posibles. Con dos dados, \((1,6)\) y \((6,1)\) son casos distintos. Con tres monedas hay 8 casos, no 4.
Dar una probabilidad fuera de \([0,1]\). Si te sale mayor que 1 o negativa, hay un error: seguramente has contado más casos favorables que posibles.
Equivocarte al pasar a porcentaje. \(\frac{1}{4}\) es un 25 %, no un 14 %. Para pasar una probabilidad a porcentaje se multiplica por 100.
Mezclar casos con orden y sin orden. Si extraes varias bolas a la vez, cuenta combinaciones tanto en los casos posibles como en los favorables. Contar unos con orden y otros sin orden da un resultado falso.

🧮 Calculadora de la regla de Laplace

Tienes tres pestañas. En «Casos» escribes los casos favorables y los posibles, y te doy la fracción simplificada, el decimal, el porcentaje y la probabilidad del suceso contrario. En «Dados y monedas» eliges cuántos lanzas y la suma o el número de caras que buscas, y cuento los casos por ti. Y en «Urna o baraja» calculo, con combinaciones, la probabilidad de extraer sin devolver un cierto número de elementos de un tipo.

🌍 La regla de Laplace en la vida real

🎰 Ruleta y juegos de azarUna ruleta europea tiene 37 casillas, del 0 al 36, todas con la misma probabilidad. La probabilidad de acertar un número concreto es \(\frac{1}{37}\).

🧬 GenéticaAl cruzar dos individuos \(Aa\), los cuatro casos del cuadro de Punnett son equiprobables. La probabilidad de que un descendiente sea \(aa\) es \(\frac{1}{4}\).

🏭 Control de calidadSi en un lote de 100 piezas hay 4 defectuosas, la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa es \(\frac{4}{100}=\frac{1}{25}\), un 4 %.

🎟️ Rifas y sorteosSi una rifa tiene 200 papeletas y compras 5, tu probabilidad de ganar es \(\frac{5}{200}=\frac{1}{40}\), un 2,5 %.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Regla de Laplace

La probabilidad de un suceso es \(P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\). Solo vale si todos los casos posibles son equiprobables.

Casos equiprobables

Son los que tienen la misma probabilidad de salir, como las seis caras de un dado equilibrado. Si un caso es más probable que otro, no se puede usar la regla de Laplace.

Valores de la probabilidad

Siempre está entre 0 y 1: \(0\le P(A)\le 1\). Vale 0 para un suceso imposible y 1 para un suceso seguro.

Suceso contrario

La probabilidad de que no ocurra \(A\) es \(P(\overline{A})=1-P(A)\). Es muy útil en sucesos como «al menos uno».

Dos dados

Hay \(6\cdot 6=36\) casos posibles, y \((1,6)\) y \((6,1)\) son casos distintos. La suma 7 sale en 6 casos, así que su probabilidad es \(\frac{1}{6}\).

Laplace con combinatoria

Al extraer \(n\) elementos de \(N\) sin devolverlos, los casos posibles son \(\binom{N}{n}\) y los favorables son el producto de las combinaciones de cada tipo.

⭐ Ejercicios resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

EJERCICIO 1Probabilidad con un dado

📝 EnunciadoLanzo un dado. Calcula la probabilidad de sacar un número primo.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Casos posibles: \(\{1,2,3,4,5,6\}\), es decir, 6.
Paso 2. Casos favorables: los números primos son \(\{2,3,5\}\), porque el 1 no es primo. Son 3.
Paso 3. Aplico la fórmula y simplifico:\[P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\]

✅ Resultado: \(P=\dfrac{1}{2}=0{,}5\), es decir, un 50 %.

EJERCICIO 2Cartas de la baraja española

📝 EnunciadoSaco una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que sea un as o un rey.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Casos posibles: las 40 cartas.
Paso 2. Casos favorables: hay 4 ases y 4 reyes, es decir, \(4+4=8\).
Paso 3. Aplico la fórmula y simplifico:\[P=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}\]

✅ Resultado: \(P=\dfrac{1}{5}=0{,}2\), es decir, un 20 %.

EJERCICIO 3Suceso contrario con bolas

📝 EnunciadoUna bolsa tiene 6 bolas blancas, 4 negras y 5 grises. Saco una al azar. Calcula la probabilidad de que no sea blanca.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Casos posibles: \(6+4+5=15\) bolas.
Paso 2. Casos favorables: las que no son blancas, es decir, \(4+5=9\).
Paso 3. Aplico la fórmula y simplifico:\[P(\text{no blanca})=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\]
Comprobación con el suceso contrario:\[1-\dfrac{6}{15}=\dfrac{9}{15}\]

✅ Resultado: \(P=\dfrac{3}{5}=0{,}6\), es decir, un 60 %.

EJERCICIO 4Suma de dos dados

📝 EnunciadoLanzo dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 8.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Casos posibles: \(6\cdot 6=36\) parejas.
Paso 2. Casos favorables, las parejas que suman 8:\[(2,6),\ (3,5),\ (4,4)\]\[(5,3),\ (6,2)\]Son 5 casos.
Paso 3. Aplico la fórmula, y la fracción ya no se puede simplificar:\[P=\dfrac{5}{36}\approx 0{,}1389\]

✅ Resultado: \(P=\dfrac{5}{36}\approx 0{,}1389\), es decir, aproximadamente un 13,89 %.

EJERCICIO 5Al menos una cara

📝 EnunciadoLanzo 3 monedas. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Casos posibles: \(2\cdot 2\cdot 2=8\).
Paso 2. Es más corto usar el suceso contrario, «ninguna cara». Solo es favorable \(\text{XXX}\), es decir, 1 caso:\[P(\text{ninguna cara})=\dfrac{1}{8}\]
Paso 3. Resto esa probabilidad de 1:\[P(\text{al menos una cara})=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\]

✅ Resultado: \(P=\dfrac{7}{8}=0{,}875\), es decir, un 87,5 %.

EJERCICIO 6Laplace con combinatoria

📝 EnunciadoEn una clase de 20 alumnos hay 12 chicas y 8 chicos. Se eligen 2 al azar para ser delegados. Calcula la probabilidad de que sean 2 chicas.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Casos posibles: las formas de elegir 2 alumnos entre 20:\[\binom{20}{2}=190\]
Paso 2. Casos favorables: las formas de elegir 2 chicas entre 12:\[\binom{12}{2}=66\]
Paso 3. Aplico la fórmula y simplifico:\[P=\dfrac{66}{190}=\dfrac{33}{95}\approx 0{,}3474\]

✅ Resultado: \(P=\dfrac{33}{95}\approx 0{,}3474\), es decir, aproximadamente un 34,74 %.

❓ Preguntas frecuentes sobre la regla de Laplace

🤔 ¿Qué es la regla de Laplace?

Es la regla que permite calcular la probabilidad de un suceso dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles, siempre que todos los casos posibles tengan la misma probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad de sacar un número par es \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

🤔 ¿Cuál es la fórmula de la regla de Laplace?

La fórmula es \(P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\). El numerador cuenta los resultados que cumplen el suceso \(A\), y el denominador, todos los resultados que pueden salir. El resultado se puede dar como fracción, decimal o porcentaje.

🤔 ¿Cuándo no se puede aplicar la regla de Laplace?

Cuando los casos posibles no tienen la misma probabilidad o no se pueden contar. Por ejemplo, con un dado trucado, o con la suma de dos dados, donde el 7 es más probable que el 2. En esos casos se estima la probabilidad con la frecuencia relativa o se aplica la regla a casos que sí son equiprobables, como las 36 parejas de resultados de los dos dados.

🤔 ¿Qué significa que los casos sean equiprobables?

Significa que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. En un dado equilibrado, cada una de las seis caras tiene probabilidad \(\frac{1}{6}\), y en una moneda sin trucar, la cara y la cruz tienen probabilidad \(\frac{1}{2}\).

🤔 ¿La probabilidad puede ser mayor que 1?

No. Una probabilidad siempre está entre 0 y 1 (o entre el 0 % y el 100 %), porque los casos favorables nunca pueden ser más que los casos posibles. Si te sale un valor mayor que 1 o negativo, has contado mal algún caso.

🤔 ¿Qué diferencia hay entre la regla de Laplace y la probabilidad frecuentista?

La regla de Laplace calcula la probabilidad antes de experimentar, contando casos equiprobables. La probabilidad frecuentista la estima después, como la frecuencia relativa de un suceso en muchas repeticiones: si sale cara 52 veces en 100 lanzamientos, la estimación es \(0{,}52\). Con muchas repeticiones, las dos suelen acercarse.

📚 Resumen final

La regla de Laplace calcula la probabilidad como \(P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\).
Solo se puede usar si los casos posibles son finitos y equiprobables.
El resultado está siempre entre \(0\) y \(1\), y la probabilidad del suceso contrario es \(1-P(A)\).
Con dos dados hay 36 casos posibles, no 11, y con \(n\) monedas hay \(2^n\).
Si extraes varios elementos a la vez, cuenta con combinaciones: los casos posibles son \(\binom{N}{n}\).

Conclusión

Para aplicar la regla de Laplace, cuenta los casos posibles, comprueba que son equiprobables, cuenta los favorables y divide. Recuerda que el resultado está entre 0 y 1, que con dos dados hay 36 casos y no 11, y que si extraes varios elementos a la vez usas combinatoria. Practica con los ejercicios y verifica tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...