Vectores: componentes, módulo y ejemplos ✨

Q: ¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

Con el teorema de Pitágoras: |u| = √(u1² + u2²). Se elevan al cuadrado las componentes, se suman y se hace la raíz cuadrada. Por ejemplo, el módulo de (3, 4) es √(9 + 16) = 5.

Q: ¿Cómo se suman y se restan vectores?

Componente a componente. Con u = (3, 2) y v = (−1, 4), la suma es (3 + (−1), 2 + 4) = (2, 6) y la resta es (3 − (−1), 2 − 4) = (4, −2). Gráficamente, la suma es la diagonal del paralelogramo que forman los dos vectores.

Q: ¿Cuándo son paralelos y cuándo perpendiculares dos vectores?

Son paralelos si uno es múltiplo del otro, es decir, si u1·v2 − u2·v1 = 0. Son perpendiculares si su producto escalar vale 0: u1·v1 + u2·v2 = 0.

Q: ¿Para qué sirve el producto escalar?

Para calcular el ángulo entre dos vectores con cos α = (u · v) / (|u| · |v|) y para comprobar si son perpendiculares. En física también se usa para calcular el trabajo de una fuerza, que es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

Justo Fernández

hace 5 días · Actualizado hace 5 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es un vector y cuáles son sus elementos?
Componentes de un vector y vector entre dos puntos
Módulo de un vector y vector unitario
Suma y resta de vectores
Producto de un vector por un número
Vectores paralelos y combinaciones lineales
Producto escalar, ángulo y vectores perpendiculares
Vectores en el espacio (3D)
Resumen de las operaciones básicas con vectores
🧮 Calculadora de vectores paso a paso
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios de vectores resueltos

¿Los vectores te suenan a flechas raras que no sabes cómo sumar? No te preocupes, suele pasar al principio. Los vectores son flechas que indican hacia dónde y cuánto, y con ellos se hace casi todo lo importante de Bachillerato: sumarlos, restarlos, multiplicarlos por un número, medir su tamaño y hasta calcular el ángulo que forman. En esta guía te explico qué son y cómo se hacen sus operaciones básicas, paso a paso, con dibujos, ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

⚡ Vectores en 30 segundos
Un vector es un segmento orientado: tiene módulo (su longitud), dirección y sentido. En el plano se escribe con dos componentes, \(\vec{u}=(u_1,u_2)\), y estas son sus operaciones básicas:

\[\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\ u_2+v_2)\]

\[k\cdot\vec{u}=(k\,u_1,\ k\,u_2)\]

\[|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\]

El vector que va del punto \(A\) al punto \(B\) es \(\overrightarrow{AB}=B-A\): coordenadas del extremo menos coordenadas del origen.

¿Qué es un vector y cuáles son sus elementos?

Hay magnitudes que se describen con un solo número: una temperatura de 20 °C, una masa de 3 kg o un tiempo de 5 s. Son los escalares. Pero otras no bastan con un número. Si te digo que un coche va a 80 km/h, no sabes hacia dónde. Para describir cosas como una fuerza, una velocidad o un desplazamiento necesito, además del valor, una orientación. Para eso se usan los vectores.

Un vector es un segmento orientado: una flecha que va de un punto \(A\), llamado origen, a un punto \(B\), llamado extremo. Se escribe \(\overrightarrow{AB}\) o con una sola letra, \(\vec{u}\). Fíjate en cómo se reconocen sus elementos en el dibujo:

Vectores: un vector dibujado como una flecha que va del origen A al extremo B, con su módulo (la longitud), su dirección (la recta que lo contiene) y su sentido (hacia donde apunta la punta)

Elemento	Qué es	Cómo lo reconozco
Origen	El punto \(A\) donde empieza la flecha	El punto de partida
Extremo	El punto \(B\) donde termina	La punta de la flecha
Módulo	La longitud del segmento, que escribo \(\|\vec{u}\|\)	Cuánto mide la flecha
Dirección	La recta sobre la que está el vector	Horizontal, vertical o inclinada
Sentido	Cuál de los dos recorridos de esa recta sigue la flecha	Hacia dónde apunta la punta

💡 Idea clave: dirección y sentido no son lo mismo. «Horizontal» es una dirección, y «hacia la derecha» o «hacia la izquierda» son los dos sentidos posibles. Dos vectores pueden tener la misma dirección y sentidos contrarios.

Componentes de un vector y vector entre dos puntos

Dibujar flechas sirve para entender, pero para calcular necesito números. Por eso trabajo con un sistema de coordenadas, la idea que popularizó René Descartes. Las componentes de un vector son cuánto avanza en horizontal (eje \(X\)) y cuánto en vertical (eje \(Y\)). Si conozco los dos puntos, las obtengo restando:

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\]Coordenadas del extremo menos coordenadas del origen, siempre en ese orden.

Vector que va del punto A de coordenadas 1 y 2 al punto B de coordenadas 5 y 5 sobre una cuadrícula, con las componentes 4 y 3 y el cálculo de su módulo 5 con el teorema de Pitágoras

Ejemplo paso a paso: halla el vector \(\overrightarrow{AB}\) con \(A(1,2)\) y \(B(5,5)\).

Resto las coordenadas del extremo menos las del origen:\[\overrightarrow{AB}=(5-1,\ 5-2)=(4,3)\]
Interpreto el resultado: para ir de \(A\) a \(B\) avanzo 4 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba.
Vector contrario. El vector que va de \(B\) a \(A\) es:\[\overrightarrow{BA}=A-B=(1-5,\ 2-5)=(-4,-3)\]Es justo el opuesto de \(\overrightarrow{AB}\), es decir, \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).

⚠️ El orden importa: es «extremo menos origen». Si restas al revés, obtienes el vector contrario: mismo tamaño, pero con todos los signos cambiados.

Vectores iguales aunque estén en sitios distintos

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, estén donde estén dibujados. Y eso ocurre exactamente cuando tienen las mismas componentes. Por ejemplo, con \(C(2,-1)\) y \(D(6,2)\):\[\overrightarrow{CD}=(6-2,\ 2-(-1))=(4,3)=\overrightarrow{AB}\]Es el mismo vector, solo que dibujado en otro lugar del plano. Por eso se habla de vectores libres: lo que importa son sus componentes, no dónde empiezan.

💡 Un caso cómodo: si el origen es el punto \(O(0,0)\), las componentes del vector coinciden con las coordenadas de su extremo. Se llama vector de posición del punto.

Módulo de un vector y vector unitario

El módulo es la longitud de la flecha. Si miras el dibujo anterior, las componentes forman un triángulo rectángulo y el vector es su hipotenusa, así que el módulo sale del teorema de Pitágoras:

\[|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\]Elevo cada componente al cuadrado, las sumo y hago la raíz cuadrada.

Ejemplo paso a paso: calcula el módulo de \(\vec{u}=(-5,12)\).

Elevo al cuadrado cada componente. Ojo con el signo: \((-5)^2=25\), porque un número negativo elevado al cuadrado es positivo.
Sumo y hago la raíz:\[|\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}\]\[=\sqrt{169}=13\]

No siempre sale un número exacto. Mira estos cuatro vectores:

Vector	Cuenta	Módulo
\((-5,12)\)	\(\sqrt{25+144}=\sqrt{169}\)	\(13\)
\((6,-8)\)	\(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)	\(10\)
\((2,3)\)	\(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)	\(\approx 3{,}61\)
\((4,4)\)	\(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\)	\(4\sqrt{2}\approx 5{,}66\)

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une. Por ejemplo, entre \(A(-2,1)\) y \(B(4,9)\):\[\overrightarrow{AB}=(6,8)\]\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]

Dirección de un vector: el ángulo con el eje X

La dirección se puede medir con el ángulo \(\theta\) que forma el vector con el semieje positivo \(OX\). Si \(u_1\neq 0\), cumple \(\tan\theta=\dfrac{u_2}{u_1}\). Con \(\vec{u}=(3,4)\) sale \(\tan\theta=\dfrac{4}{3}\), luego \(\theta\approx 53{,}13^\circ\). Cuando la primera componente es negativa, hay que sumar 180° al resultado de la calculadora para quedarse en el cuadrante correcto. Y si te sale un ángulo negativo, es el mismo ángulo medido en el otro sentido: súmale 360°.

Vector unitario: módulo 1

Un vector es unitario si su módulo vale 1. Para convertir cualquier vector en unitario, sin cambiar su dirección ni su sentido, lo divido entre su módulo. Esto se llama normalizar:

\[\vec{u}_0=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\]

Ejemplo paso a paso: normaliza \(\vec{v}=(3,4)\).

Calculo el módulo:\[|\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\]
Divido cada componente entre 5:\[\vec{u}_0=\left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\right)\]
Compruebo que su módulo es 1:\[\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}\]\[=\sqrt{1}=1\]

💡 Cuando sale una raíz: el vector \((1,1)\) tiene módulo \(\sqrt{2}\), y su unitario es \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) después de racionalizar.

Suma y resta de vectores

Sumar y restar vectores es lo más fácil del tema: se hace componente a componente.

\[\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\ u_2+v_2)\]\[\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1,\ u_2-v_2)\]

Ejemplo paso a paso: con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\), calcula \(\vec{u}+\vec{v}\) y \(\vec{u}-\vec{v}\).

Suma:\[\vec{u}+\vec{v}=(3+(-1),\ 2+4)=(2,6)\]
Resta:\[\vec{u}-\vec{v}=(3-(-1),\ 2-4)=(4,-2)\]

Cómo se ven en el dibujo

Geométricamente hay dos formas de sumar, y las dos dan el mismo resultado:

Regla del paralelogramo: dibujo los dos vectores con el mismo origen y completo el paralelogramo. La suma es la diagonal que sale de ese origen.
Regla de la punta y la cola: dibujo el segundo vector empezando donde termina el primero. La suma va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo.

Y la resta es la suma con el vector opuesto, \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\). Si ambos salen del mismo origen, \(\vec{u}-\vec{v}\) es el vector que va del extremo de \(\vec{v}\) al extremo de \(\vec{u}\). Aquí tienes la suma y la resta de este ejemplo dibujadas, junto con el producto por un número que veremos a continuación:

Suma de los vectores u de componentes 3 y 2 y v de componentes menos 1 y 4: la suma es la diagonal del paralelogramo y vale 2 y 6

Resta de los vectores u y v: el vector u menos v une el extremo de v con el extremo de u y vale 4 y menos 2

Producto de un vector u por un número: 2u tiene la misma dirección y doble longitud, la mitad de u es más corto y menos u apunta en sentido contrario

Propiedades de la suma

Propiedad	Qué significa
Conmutativa	\(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\): el orden no importa
Asociativa	\((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)
Elemento neutro	\(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}\), con \(\vec{0}=(0,0)\) el vector nulo
Vector opuesto	\(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\)

⚠️ La resta sí depende del orden: \(\vec{u}-\vec{v}\) y \(\vec{v}-\vec{u}\) son vectores opuestos. En cambio, la suma no cambia si intercambias los sumandos.

Producto de un vector por un número

Si multiplico un vector por un número \(k\) (un escalar), multiplico cada componente por ese número:

\[k\cdot\vec{u}=(k\,u_1,\ k\,u_2)\]\[|k\cdot\vec{u}|=|k|\cdot|\vec{u}|\]El resultado es un vector con la misma dirección que \(\vec{u}\), pero con otro tamaño y, a veces, otro sentido.

Valor de \(k\)	Qué le pasa al vector
\(k\gt 1\)	Se alarga y mantiene el sentido
\(0\lt k\lt 1\)	Se acorta y mantiene el sentido
\(k=1\)	Se queda igual
\(k=0\)	Se convierte en el vector nulo \((0,0)\)
\(k\lt 0\)	Cambia de sentido (y se alarga o se acorta según \(\|k\|\)). Con \(k=-1\) obtengo el vector opuesto

Ejemplo paso a paso: con \(\vec{u}=(3,2)\), calcula \(2\vec{u}\), \(-\vec{u}\) y \(\tfrac{1}{2}\vec{u}\).

Doble:\[2\cdot(3,2)=(6,4)\]
Opuesto:\[-1\cdot(3,2)=(-3,-2)\]
Mitad:\[\frac{1}{2}\cdot(3,2)=\left(\frac{3}{2},\ 1\right)\]
Los tres son paralelos a \(\vec{u}\): están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas, como ves en el tercero de los dibujos anteriores.

Ejemplo del módulo: con \(\vec{u}=(3,4)\) y \(k=-2\), el vector \(k\vec{u}\) vale \((-6,-8)\) y su módulo es \(\sqrt{36+64}=10\). Es justo el doble del módulo de \(\vec{u}\), que vale 5, aunque el sentido sea el contrario.

💡 Un truco: para dividir un vector entre un número, lo multiplico por su inverso. Por eso \(\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\dfrac{1}{|\vec{v}|}\cdot\vec{v}\), y así se obtiene el vector unitario de antes.

Vectores paralelos y combinaciones lineales

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección, es decir, cuando uno es un múltiplo del otro:

\[\vec{u}\parallel\vec{v}\iff\vec{v}=\lambda\cdot\vec{u}\]\[\vec{u}\parallel\vec{v}\iff u_1v_2-u_2v_1=0\]Siempre que \(\vec{u}\neq\vec{0}\). Si \(\lambda\gt 0\), tienen el mismo sentido. Si \(\lambda\lt 0\), sentidos contrarios.

La última condición equivale a decir que las componentes son proporcionales, y es la más cómoda porque no obliga a dividir (así evito problemas si alguna componente vale 0).

Ejemplo paso a paso: ¿son paralelos \(\vec{u}=(2,-3)\) y \(\vec{v}=(-4,6)\)?

Pruebo con la condición:\[u_1v_2-u_2v_1=2\cdot 6-(-3)\cdot(-4)\]\[=12-12=0\]
Busco el número \(\lambda\): \(\dfrac{-4}{2}=-2\) y \(\dfrac{6}{-3}=-2\). Coinciden, así que \(\vec{v}=-2\vec{u}\).
Conclusión: son paralelos y, como \(\lambda=-2\) es negativo, tienen sentidos contrarios.

Con una incógnita: ¿qué valor de \(m\) hace paralelos a \(\vec{u}=(1,-2)\) y \(\vec{v}=(3,m)\)?

Igualo las proporciones:\[\frac{3}{1}=\frac{m}{-2}\]
Despejo: \(m=3\cdot(-2)=-6\). Compruebo: \(\vec{v}=(3,-6)=3\vec{u}\) ✔.

Puntos alineados

Tres puntos \(A\), \(B\) y \(C\) están alineados si los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\) son paralelos. Con \(A(1,1)\), \(B(3,2)\) y \(C(7,4)\):\[\overrightarrow{AB}=(2,1)\qquad\overrightarrow{AC}=(6,3)=3\cdot\overrightarrow{AB}\]Son paralelos y salen del mismo punto \(A\), luego los tres puntos están en la misma recta.

Combinación lineal

Una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es cualquier vector de la forma \(a\vec{u}+b\vec{v}\), con \(a\) y \(b\) números. Es simplemente usar a la vez el producto por un número y la suma. Con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\):

Ejemplo paso a paso: calcula \(3\vec{u}-2\vec{v}\).

Multiplico: \(3\vec{u}=(9,6)\) y \(2\vec{v}=(-2,8)\).
Resto componente a componente:\[3\vec{u}-2\vec{v}=(9-(-2),\ 6-8)=(11,-2)\]

💡 Para ir más allá: dos vectores que no son paralelos permiten llegar a cualquier punto del plano combinándolos. Por eso forman una base, un concepto que verás en 2.º de Bachillerato.

Producto escalar, ángulo y vectores perpendiculares

Hay una forma de multiplicar dos vectores cuyo resultado no es un vector, sino un número: el producto escalar. Se calcula multiplicando las componentes que ocupan el mismo lugar y sumando:

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\]\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha\]Donde \(\alpha\) es el ángulo que forman los dos vectores.

Ejemplo paso a paso: con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\), calcula \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Multiplico por parejas y sumo:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot(-1)+2\cdot 4=-3+8=5\]

Ángulo entre dos vectores

Igualando las dos fórmulas anteriores y despejando el coseno, obtengo cómo calcular el ángulo:

\[\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\]

Ejemplo paso a paso: halla el ángulo entre \(\vec{u}=(1,2)\) y \(\vec{v}=(3,1)\).

Producto escalar: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 3+2\cdot 1=5\).
Módulos: \(|\vec{u}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\) y \(|\vec{v}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\).
Coseno:\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}\]\[=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Ángulo: \(\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ\).

El signo del producto escalar

Producto escalar	Ángulo entre los vectores
\(\vec{u}\cdot\vec{v}\gt 0\)	Agudo (menor que \(90^\circ\))
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)	Recto: los vectores son perpendiculares (ortogonales)
\(\vec{u}\cdot\vec{v}\lt 0\)	Obtuso (mayor que \(90^\circ\))

Perpendiculares: \(\vec{u}=(2,3)\) y \(\vec{v}=(-3,2)\) cumplen\[\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-3)+3\cdot 2=-6+6=0\]así que forman un ángulo de \(90^\circ\). Truco: para obtener un vector perpendicular a \((a,b)\), intercambio las componentes y cambio el signo de una: \((-b,a)\).

💡 No lo confundas: el producto de un vector por un número da un vector. El producto escalar de dos vectores da un número.

Vectores en el espacio (3D)

En el espacio hay un tercer eje, \(Z\), y los vectores tienen tres componentes: \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\). La buena noticia es que todo lo anterior se mantiene, solo hay que añadir una componente más:

Operación	En el espacio
Vector \(\overrightarrow{AB}\)	\((x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\)
Módulo	\(\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\)
Suma	\((u_1+v_1,\ u_2+v_2,\ u_3+v_3)\)
Por un número	\((k\,u_1,\ k\,u_2,\ k\,u_3)\)
Producto escalar	\(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\)

Ejemplo paso a paso: con \(\vec{p}=(1,2,2)\) y \(\vec{q}=(2,-1,2)\), calcula sus módulos, la suma, el producto escalar y el ángulo.

Módulos:\[|\vec{p}|=\sqrt{1+4+4}=3\]\[|\vec{q}|=\sqrt{4+1+4}=3\]
Suma:\[\vec{p}+\vec{q}=(1+2,\ 2+(-1),\ 2+2)\]\[=(3,1,4)\]
Producto escalar:\[\vec{p}\cdot\vec{q}=1\cdot 2+2\cdot(-1)+2\cdot 2\]\[=2-2+4=4\]
Ángulo:\[\cos\alpha=\frac{4}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}\]\[\alpha=\arccos\frac{4}{9}\approx 63{,}61^\circ\]

💡 Más adelante: en 2.º de Bachillerato verás además el producto vectorial y el producto mixto, que solo existen en el espacio. Con lo de esta guía ya tienes la base para entenderlos.

Resumen de las operaciones básicas con vectores

Esta tabla es mi chuleta. Fíjate también en qué tipo de resultado da cada operación, que es una duda típica de examen:

Operación	Fórmula (en el plano)	Resultado
Vector entre dos puntos	\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)	Un vector
Módulo	\(\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\)	Un número
Suma	\(\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\ u_2+v_2)\)	Un vector
Resta	\(\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1,\ u_2-v_2)\)	Un vector
Producto por un número	\(k\vec{u}=(k\,u_1,\ k\,u_2)\)	Un vector
Vector unitario	\(\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\)	Un vector de módulo 1
Producto escalar	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\)	Un número
Ángulo entre vectores	\(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\)	Un ángulo
Paralelos	\(u_1v_2-u_2v_1=0\)	Condición
Perpendiculares	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)	Condición

Errores frecuentes con vectores

⚠️ Errores que veo a menudo:

Restar al revés. \(\overrightarrow{AB}=B-A\), no \(A-B\). Si lo haces al revés, todos los signos salen cambiados.
Confundir punto y vector. \(A(1,2)\) es un punto. \(\overrightarrow{AB}=(4,3)\) es un vector. Se escriben parecido, pero no son lo mismo.
Olvidar el signo al elevar al cuadrado. Con \((-3,4)\), tengo \((-3)^2=9\), no \(-9\). Por eso el módulo es \(\sqrt{9+16}=5\).
Creer que \(|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|\). Con \(\vec{u}=(3,4)\) y \(\vec{v}=(5,12)\), la suma es \((8,16)\) y\[|\vec{u}+\vec{v}|=8\sqrt{5}\approx 17{,}89\]mientras que\[|\vec{u}|+|\vec{v}|=5+13=18\]En general \(|\vec{u}+\vec{v}|\leq|\vec{u}|+|\vec{v}|\), y solo hay igualdad si son paralelos y del mismo sentido.
Multiplicar solo una componente. En \(k\vec{u}\) hay que multiplicar todas las componentes por \(k\).
Pensar que el producto escalar es un vector. Es un número: se multiplican las componentes por parejas y se suman.
Confundir dirección y sentido. Dos vectores opuestos tienen la misma dirección y sentidos contrarios.
Normalizar sin dividir entre el módulo. Para obtener un vector unitario hay que dividir cada componente entre \(|\vec{v}|\), no entre otra cosa.

🧮 Calculadora de vectores paso a paso

Tienes tres pestañas. En la primera calculas el vector \(\overrightarrow{AB}\) entre dos puntos, con su módulo, el punto medio, el vector unitario y su dirección. En la segunda sumas, restas y multiplicas por un número. En la tercera obtienes el producto escalar y el ángulo. Funciona en el plano (2D) y en el espacio (3D), y te muestra todos los pasos. Si quieres ver los vectores dibujados, puedes probar con el tutorial de GeoGebra.

🌍 Vectores en la vida real

🚀 FísicaLas fuerzas, las velocidades y las aceleraciones son vectores: importa cuánto valen y hacia dónde van.

🧭 NavegaciónUn avión o un barco suma su velocidad con la del viento o la corriente para saber hacia dónde avanza realmente.

🎮 VideojuegosLa posición, el movimiento y la cámara de un personaje se calculan con vectores en 2D y 3D.

🗺️ GPS y mapasUn desplazamiento entre dos puntos es un vector, y la distancia que te dice el GPS es su módulo.

🏗️ IngenieríaPara que un puente aguante hay que sumar todas las fuerzas que actúan sobre cada punto.

⚽ DeporteLa velocidad de un balón se descompone en un vector horizontal y otro vertical para estudiar su trayectoria.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

¿Qué es un vector?

Un segmento orientado, con módulo, dirección y sentido.

Vector entre dos puntos

\(\overrightarrow{AB}=B-A\): coordenadas del extremo menos las del origen.

Módulo

\(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\). Es el teorema de Pitágoras.

Vector unitario

\(\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\): misma dirección y sentido que \(\vec{v}\), con módulo 1.

Suma y resta

Se hacen componente a componente.

Producto por un número

\(k\vec{u}=(k\,u_1,\ k\,u_2)\). Si \(k\lt 0\), cambia el sentido.

Vectores paralelos

\(\vec{v}=\lambda\vec{u}\), o lo que es lo mismo, \(u_1v_2-u_2v_1=0\).

Vectores perpendiculares

Su producto escalar es 0: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

⭐ Ejercicios de vectores resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Vector entre dos puntos y módulo

📝 EnunciadoDados los puntos \(A(-2,3)\) y \(B(4,-1)\), calcula el vector \(\overrightarrow{AB}\) y su módulo.

Ver solución paso a paso

Paso 1. Coordenadas del extremo menos las del origen:\[\overrightarrow{AB}=(4-(-2),\ -1-3)=(6,-4)\]
Paso 2. Módulo:\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}\]\[=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7{,}21\]
Comprobación. Como \(52=4\cdot 13\), se cumple \(\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) ✔.

✅ Resultado: \(\overrightarrow{AB}=(6,-4)\) y \(|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{13}\approx 7{,}21\).

EJERCICIO 2Módulo de un vector

📝 EnunciadoCalcula el módulo de \(\vec{a}=(-8,15)\), \(\vec{b}=(7,-24)\) y \(\vec{c}=(2,-5)\).

Ver solución paso a paso

Vector \(\vec{a}\):\[|\vec{a}|=\sqrt{(-8)^2+15^2}=\sqrt{64+225}\]\[=\sqrt{289}=17\]
Vector \(\vec{b}\):\[|\vec{b}|=\sqrt{7^2+(-24)^2}=\sqrt{49+576}\]\[=\sqrt{625}=25\]
Vector \(\vec{c}\):\[|\vec{c}|=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{4+25}\]\[=\sqrt{29}\approx 5{,}39\]
Comprobación. \(17^2=289\) ✔ y \(25^2=625\) ✔. El tercero no es exacto porque 29 no es un cuadrado perfecto.

✅ Resultado: \(|\vec{a}|=17\), \(|\vec{b}|=25\) y \(|\vec{c}|=\sqrt{29}\approx 5{,}39\).

EJERCICIO 3Suma, resta y combinación lineal

📝 EnunciadoCon \(\vec{u}=(2,-1)\) y \(\vec{v}=(-3,4)\), calcula \(\vec{u}+\vec{v}\), \(\vec{u}-\vec{v}\) y \(2\vec{u}-3\vec{v}\).

Ver solución paso a paso

Paso 1. Suma:\[\vec{u}+\vec{v}=(2+(-3),\ -1+4)=(-1,3)\]
Paso 2. Resta:\[\vec{u}-\vec{v}=(2-(-3),\ -1-4)=(5,-5)\]
Paso 3. Multiplico primero: \(2\vec{u}=(4,-2)\) y \(3\vec{v}=(-9,12)\).
Paso 4. Resto:\[2\vec{u}-3\vec{v}=(4-(-9),\ -2-12)\]\[=(13,-14)\]

✅ Resultado: \(\vec{u}+\vec{v}=(-1,3)\), \(\vec{u}-\vec{v}=(5,-5)\) y \(2\vec{u}-3\vec{v}=(13,-14)\).

EJERCICIO 4Vector unitario

📝 EnunciadoHalla el vector unitario de \(\vec{v}=(-3,4)\) y, a partir de él, un vector de módulo 10 con la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\).

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Paso 1. Módulo:\[|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5\]
Paso 2. Divido cada componente entre 5:\[\vec{u}_0=\left(-\frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\right)\]
Paso 3. Multiplico por 10 el vector unitario:\[10\cdot\vec{u}_0=\left(-6,\ 8\right)\]
Comprobación. \(\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1\) ✔ y \(|(-6,8)|=\sqrt{36+64}=10\) ✔.

✅ Resultado: \(\vec{u}_0=\left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)\) y el vector pedido es \((-6,8)\).

EJERCICIO 5Vectores paralelos con una incógnita

📝 Enunciado¿Qué valor de \(k\) hace paralelos a \(\vec{u}=(2,3)\) y \(\vec{v}=(k,9)\)? ¿Tienen el mismo sentido?

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Paso 1. Si son paralelos, sus componentes son proporcionales:\[\frac{k}{2}=\frac{9}{3}\]
Paso 2. Despejo: \(k=\dfrac{2\cdot 9}{3}=6\).
Comprobación. \(\vec{v}=(6,9)=3\cdot(2,3)=3\vec{u}\) ✔. Como \(\lambda=3\) es positivo, tienen el mismo sentido.

✅ Resultado: \(k=6\), y los vectores tienen el mismo sentido.

EJERCICIO 6Vectores perpendiculares con una incógnita

📝 EnunciadoHalla \(m\) para que \(\vec{u}=(m,3)\) y \(\vec{v}=(3,-4)\) sean perpendiculares.

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Paso 1. Perpendiculares significa producto escalar igual a 0:\[\vec{u}\cdot\vec{v}=3m+3\cdot(-4)=3m-12=0\]
Paso 2. Despejo: \(3m=12\), luego \(m=4\).
Comprobación. \((4,3)\cdot(3,-4)=12-12=0\) ✔.

✅ Resultado: \(m=4\).

EJERCICIO 7Ángulo entre dos vectores

📝 EnunciadoCalcula el ángulo que forman \(\vec{u}=(3,4)\) y \(\vec{v}=(5,12)\).

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Paso 1. Producto escalar: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 5+4\cdot 12=15+48=63\).
Paso 2. Módulos: \(|\vec{u}|=\sqrt{9+16}=5\) y \(|\vec{v}|=\sqrt{25+144}=13\).
Paso 3. Coseno:\[\cos\alpha=\frac{63}{5\cdot 13}=\frac{63}{65}\approx 0{,}9692\]
Paso 4. Ángulo: \(\alpha=\arccos\dfrac{63}{65}\approx 14{,}25^\circ\).
Comprobación. El producto escalar es positivo, así que el ángulo es agudo ✔.

✅ Resultado: \(\alpha\approx 14{,}25^\circ\).

EJERCICIO 8Cuarto vértice de un paralelogramo

📝 EnunciadoLos puntos \(A(1,1)\), \(B(4,2)\) y \(C(5,5)\) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo \(ABCD\). Halla las coordenadas de \(D\).

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Paso 1. En un paralelogramo \(ABCD\), los lados opuestos son iguales: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Paso 2. Calculo \(\overrightarrow{AB}\):\[\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 2-1)=(3,1)\]
Paso 3. Llamo \(D(x,y)\), así que \(\overrightarrow{DC}=(5-x,\ 5-y)\). Igualo:\[5-x=3\Rightarrow x=2\]\[5-y=1\Rightarrow y=4\]
Comprobación. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. El de \(AC\) es \(\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{1+5}{2}\right)=(3,3)\) y el de \(BD\) es \(\left(\dfrac{4+2}{2},\dfrac{2+4}{2}\right)=(3,3)\) ✔.

✅ Resultado: \(D(2,4)\).

EJERCICIO 9Problema: la lancha y la corriente

📝 EnunciadoUna lancha navega a 4 km/h hacia el norte respecto al agua, y la corriente del río la arrastra a 3 km/h hacia el este. ¿Con qué velocidad avanza respecto a la orilla?

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Paso 1. Tomo el este como eje \(X\) y el norte como eje \(Y\). La velocidad de la lancha es \(\vec{v}_1=(0,4)\) y la de la corriente, \(\vec{v}_2=(3,0)\).
Paso 2. La velocidad real es la suma:\[\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=(0+3,\ 4+0)=(3,4)\]
Paso 3. Su módulo es la rapidez:\[|\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ km/h}\]
Paso 4. Su dirección: \(\tan\theta=\dfrac{4}{3}\), luego \(\theta\approx 53{,}13^\circ\) medidos desde el este hacia el norte.

✅ Resultado: La lancha avanza a \(5\) km/h, con una dirección de unos \(53{,}13^\circ\) al norte del este.

EJERCICIO 10Un triángulo en el espacio

📝 EnunciadoDados \(A(1,0,2)\), \(B(3,2,3)\) y \(C(1,2,4)\), calcula \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), sus módulos y el ángulo del triángulo en el vértice \(A\).

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Paso 1. Los vectores:\[\overrightarrow{AB}=(3-1,\ 2-0,\ 3-2)=(2,2,1)\]\[\overrightarrow{AC}=(1-1,\ 2-0,\ 4-2)=(0,2,2)\]
Paso 2. Los módulos:\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+4+1}=3\]\[|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0+4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\]
Paso 3. Producto escalar: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot 0+2\cdot 2+1\cdot 2=6\).
Paso 4. Coseno del ángulo:\[\cos A=\frac{6}{3\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[A=45^\circ\]

✅ Resultado: \(\overrightarrow{AB}=(2,2,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(0,2,2)\), \(|\overrightarrow{AB}|=3\), \(|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}\) y el ángulo en \(A\) vale \(45^\circ\).

❓ Preguntas frecuentes sobre vectores

🤔 ¿Qué es un vector?

Un vector es un segmento orientado: una flecha que va de un punto \(A\), el origen, a un punto \(B\), el extremo. Se caracteriza por su módulo, su dirección y su sentido, y en coordenadas se escribe con sus componentes, por ejemplo \(\vec{u}=(3,2)\).

🤔 ¿Cuáles son los elementos de un vector?

Un vector tiene cinco elementos: el origen (punto donde empieza), el extremo (punto donde termina), el módulo (su longitud), la dirección (la recta que lo contiene) y el sentido (hacia dónde apunta la flecha en esa recta).

🤔 ¿Cómo se calcula un vector a partir de dos puntos?

Se restan las coordenadas del extremo menos las del origen: \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\). Por ejemplo, con \(A(1,2)\) y \(B(5,5)\) resulta \(\overrightarrow{AB}=(4,3)\).

🤔 ¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

Con el teorema de Pitágoras: \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\). Se elevan al cuadrado las componentes, se suman y se hace la raíz cuadrada. Por ejemplo, el módulo de \((3,4)\) es \(\sqrt{9+16}=5\).

🤔 ¿Cómo se suman y se restan vectores?

Componente a componente. Con \(\vec{u}=(3,2)\) y \(\vec{v}=(-1,4)\), la suma es \((3+(-1),\ 2+4)=(2,6)\) y la resta es \((3-(-1),\ 2-4)=(4,-2)\). Gráficamente, la suma es la diagonal del paralelogramo que forman los dos vectores.

🤔 ¿Qué diferencia hay entre un vector y un escalar?

Un escalar es un número que describe una magnitud completa, como una temperatura o una masa. Un vector necesita además una dirección y un sentido, como una fuerza o una velocidad. Multiplicar un vector por un escalar da otro vector con la misma dirección.

🤔 ¿Cuándo son paralelos y cuándo perpendiculares dos vectores?

Son paralelos si uno es múltiplo del otro, es decir, si \(u_1v_2-u_2v_1=0\). Son perpendiculares si su producto escalar vale 0: \(u_1v_1+u_2v_2=0\).

🤔 ¿Para qué sirve el producto escalar?

Para calcular el ángulo entre dos vectores con \(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\) y para comprobar si son perpendiculares. En física también se usa para calcular el trabajo de una fuerza, que es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

📚 Resumen final

Un vector tiene módulo, dirección y sentido. En coordenadas, se describe con sus componentes.
\(\overrightarrow{AB}=B-A\): coordenadas del extremo menos las del origen.
Módulo: \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\). Vector unitario: \(\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\).
La suma, la resta y el producto por un número se hacen componente a componente.
Paralelos: \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\). Perpendiculares: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
El producto escalar es un número y sirve para hallar ángulos: \(\cos\alpha=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}\).

Conclusión

Con los vectores casi todo se reduce a trabajar componente a componente: extremo menos origen para obtener un vector, suma y resta de cada componente, y producto de cada componente por un número. Cuando necesites un tamaño, usa el módulo, y cuando necesites un ángulo o saber si son perpendiculares, el producto escalar. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...