Campana de Gauss en la distribución normal

Distribución normal: campana de Gauss, tabla N(0,1) y ejemplos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 4 días · Actualizado hace 4 días

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la distribución normal? Definición y propiedades
  2. La campana de Gauss: cómo cambian la media y la desviación típica
  3. La regla 68-95-99,7: cuántos datos caen cerca de la media
  4. La normal estándar N(0,1) y cómo tipificar una variable
  5. Tabla de la distribución normal N(0,1)
  6. Cómo calcular probabilidades con la tabla: los casos
  7. Ejemplos resueltos de probabilidades con la tabla N(0,1)
  8. Problema inverso: cómo hallar z o x a partir de una probabilidad
  9. Aproximación de la distribución binomial por la normal
  10. Chuleta: fórmulas y valores de la distribución normal
  11. 🧮 Calculadora de la distribución normal
  12. 🧠 Flashcards para memorizar
  13. ⭐ Ejercicios de distribución normal resueltos

¿Te piden calcular la probabilidad de que una estatura, un peso o una nota sea menor que cierto valor y no sabes cómo usar la tabla? La distribución normal es el modelo de probabilidad más importante de la estadística. Describe variables continuas, como estaturas, pesos, notas o errores de medida, cuyos valores se agrupan alrededor de la media y son cada vez menos frecuentes a medida que se alejan de ella, formando una campana. En esta guía te explico qué es la distribución normal \(N(\mu,\sigma)\), cómo se tipifica para usar la tabla N(0,1), cómo se calculan probabilidades y valores a partir de ella y cómo se aproxima una distribución binomial. Con la tabla completa, ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

⚡ Distribución normal en 30 segundos
Una variable \(X\) sigue una distribución normal \(N(\mu,\sigma)\) cuando su gráfica es una campana simétrica centrada en la media \(\mu\), con desviación típica \(\sigma\). Para calcular probabilidades se tipifica y se lee la tabla de la \(N(0,1)\), donde \(\Phi(z)=P(Z\le z)\):
\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]\[P(X\le a)=\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)\]
La regla práctica: el 68 % de los valores está a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres.

¿Qué es la distribución normal? Definición y propiedades

Una variable estadística continua \(X\) sigue una distribución normal o de Gauss, de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\), y se escribe \(X\sim N(\mu,\sigma)\), cuando su función de densidad es:

\[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

En ella aparecen el número \(\pi\) y el número \(e\). No tienes que memorizarla: lo importante es la forma de la gráfica y sus dos parámetros, la media \(\mu\), que marca el centro, y la desviación típica \(\sigma\), que mide lo dispersos que están los valores.

PropiedadQué significa
FormaCampana simétrica respecto de la recta \(x=\mu\)
Media, mediana y modaCoinciden las tres y valen \(\mu\)
MáximoSe alcanza en \(x=\mu\) y vale \(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
Puntos de inflexiónEn \(x=\mu-\sigma\) y en \(x=\mu+\sigma\)
Área totalVale 1, que es la probabilidad total
ColasLa curva se acerca al eje horizontal sin llegar a tocarlo
Campana de Gauss simétrica respecto de la media mu, con los puntos de inflexión en mu menos sigma y mu más sigma, el área total igual a 1 y las colas que se acercan al eje sin tocarlo

En una variable continua la probabilidad es un área bajo la curva. El área entre \(a\) y \(b\) sería una integral definida de la densidad, pero esa función no tiene primitiva elemental. Por eso las probabilidades de la normal se leen en una tabla o se calculan con una calculadora.

💡 En una variable continua, \(P(X=a)=0\). Un punto no tiene área. Por eso \(P(X\le a)=P(X\lt a)\) y \(P(X\ge a)=P(X\gt a)\): da igual que la desigualdad sea estricta o no.
Ejemplo: la altura máxima de la campana de \(N(0,\ 1)\) es\[f(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}3989\]En una \(N(170,\ 8)\) es\[f(170)=\frac{1}{8\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}0499\]La campana es más baja porque el área total sigue valiendo 1 pero se reparte en un ancho mayor.

La campana de Gauss: cómo cambian la media y la desviación típica

Se llama campana de Gauss porque Gauss la utilizó para describir los errores de medida en sus trabajos de astronomía. Su forma depende solo de dos parámetros:

ParámetroQué cambia en la gráfica
\(\mu\) (media)La posición. Si cambia, la campana se desplaza a la izquierda o a la derecha sin cambiar de forma
\(\sigma\) (desviación típica)La dispersión. Si es pequeña, la campana es alta y estrecha. Si es grande, es baja y ancha
Dos paneles: arriba, dos campanas con la misma forma y distinta media, desplazadas; abajo, dos campanas con la misma media, una alta y estrecha con sigma pequeña y otra baja y ancha con sigma grande

Sea cual sea la media y la desviación típica, el área total bajo la campana siempre vale 1. Cuando la campana se estrecha, crece en altura para compensarlo.

Ejemplo: dos grupos hacen la misma prueba. Las notas del grupo A siguen una \(N(6,\ 1)\) y las del grupo B una \(N(6,\ 2)\). Tienen la misma nota media, 6, pero las notas del grupo B están más dispersas, con más suspensos y más sobresalientes. Su campana es más baja y más ancha.
⚠️ ¿\(\sigma\) o \(\sigma^2\)? En algunos libros se escribe \(N(\mu,\sigma^2)\), con la varianza. En este artículo, como en el bachillerato español, el segundo número de \(N(\mu,\sigma)\) es la desviación típica. Así, \(N(100,\ 15)\) tiene \(\sigma=15\) y varianza \(15^2=225\).
Distribución normal: campana de Gauss, tipificación y tabla N(0,1)

La regla 68-95-99,7: cuántos datos caen cerca de la media

Es una forma rápida de estimar probabilidades sin tabla. En una distribución normal, el porcentaje de valores que está a una, dos y tres desviaciones típicas de la media es siempre el mismo:

IntervaloPorcentaje de valoresEn una \(N(170,\ 8)\), en cm
\(\mu\pm\sigma\)68,27 %162 a 178
\(\mu\pm2\sigma\)95,45 %154 a 186
\(\mu\pm3\sigma\)99,73 %146 a 194
Campana con tres bandas sombreadas: el 68,27 por ciento de los valores entre mu menos sigma y mu más sigma, el 95,45 por ciento entre mu menos 2 sigma y mu más 2 sigma, y el 99,73 por ciento entre mu menos 3 sigma y mu más 3 sigma

Por eso casi todos los valores están a menos de tres desviaciones típicas de la media, y un valor más alejado se considera muy poco frecuente.

Ejemplo: las estaturas de un grupo siguen una \(N(170,\ 8)\). ¿Qué porcentaje mide más de 186 cm?
  1. Localizo el valor. \(186=170+2\cdot 8\), así que está a dos desviaciones típicas por encima de la media.
  2. Fuera del intervalo. Entre \(154\) y \(186\) está el 95,45 %, y fuera queda \(100\,\%-95{,}45\,\%=4{,}55\,\%\).
  3. Simetría. La mitad de ese resto está por encima de 186, es decir, \(4{,}55\,\%:2\approx 2{,}3\,\%\).
💡 Con la tabla sale un poco distinto. Si calculas con los valores de la tabla:\[2\Phi(1)-1=2\cdot 0{,}8413-1=0{,}6826\]te sale 0,6826 y no 0,6827. La diferencia es el redondeo de la tabla a cuatro decimales.
⚠️ Es una regla aproximada y solo para la normal. Con otras distribuciones, los porcentajes de cada intervalo son distintos.

La normal estándar N(0,1) y cómo tipificar una variable

La normal estándar es la distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Se suele llamar \(Z\) y se escribe \(Z\sim N(0,\ 1)\). Es la única que tiene tabla. Cualquier otra normal se reduce a ella con un cambio de variable llamado tipificación:

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), entonces \(Z\sim N(0,\ 1)\). El valor \(z\) te dice a cuántas desviaciones típicas está \(x\) de la media: es positivo si \(x\) está por encima y negativo si está por debajo.

Dos campanas una sobre otra: arriba la normal de media 170 y desviación 8 con el área a la izquierda de 182 sombreada, abajo la normal estándar con el área a la izquierda de 1,5 sombreada, unidas por una flecha que indica z igual a x menos 170 entre 8

Para una \(N(170,\ 8)\), la tipificación convierte los valores así:

\(x\) (cm)\(z=\dfrac{x-170}{8}\)Qué indica
154\(-2\)2 desviaciones por debajo de la media
162\(-1\)1 desviación por debajo
170\(0\)Justo la media
182\(1{,}5\)1,5 desviaciones por encima
190\(2{,}5\)2,5 desviaciones por encima
💡 Por qué funciona. Restar \(\mu\) desplaza la campana para que quede centrada en 0, y dividir entre \(\sigma\) cambia la escala para que la desviación típica valga 1. Las áreas no cambian, y por eso la probabilidad es la misma antes y después de tipificar.
Ejemplo: en una \(N(170,\ 8)\), tipifico \(x=182\).\[z=\frac{182-170}{8}=\frac{12}{8}=1{,}5\]Entonces \(P(X\le 182)=P(Z\le 1{,}5)\). Esa última probabilidad sí se lee en la tabla.

Tabla de la distribución normal N(0,1)

Esta tabla da la probabilidad acumulada \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) para los valores de \(z\) entre 0,00 y 3,49. La fila te da la parte entera y el primer decimal de \(z\), y la columna el segundo decimal. En el móvil puedes deslizar la tabla hacia los lados.

z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998

Cómo se lee. Por ejemplo, para \(z=1{,}96\):

  1. Escribo \(z\) con dos decimales: \(1{,}96\).
  2. Busco la fila \(1{,}9\), que da la parte entera y el primer decimal.
  3. Busco la columna \(0{,}06\), que es el segundo decimal.
  4. En el cruce está \(\Phi(1{,}96)=0{,}9750\). Es decir, el 97,5 % de los valores de la \(N(0,\ 1)\) es menor que \(1{,}96\).
💡 Para \(z\) negativo no hace falta ampliar la tabla. Por la simetría de la campana, \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\). Por ejemplo:\[\Phi(-1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056\]
⚠️ Cuidado con el tipo de tabla. Algunos libros dan \(P(0\le Z\le z)\), la probabilidad desde 0 hasta \(z\), y su primera casilla vale \(0{,}0000\). Esa tabla vale \(\Phi(z)-0{,}5\). Si usas una así, suma 0,5 al valor que leas. Esta tabla da \(P(Z\le z)\): su primera casilla vale \(0{,}5000\).

Para \(z\) mayor o igual que \(3{,}50\), la probabilidad acumulada es prácticamente 1, ya que \(\Phi(3{,}49)=0{,}9998\). Y si necesitas más decimales de \(z\) o de la probabilidad, usa la calculadora que tienes más abajo.

Cómo calcular probabilidades con la tabla: los casos

La tabla solo da \(P(Z\le z)\) con \(z\) positivo. Todos los demás casos se reducen a ella con el complementario, la simetría y la resta:

ProbabilidadCómo se calcula con la tabla
\(P(Z\le a)\)\(\Phi(a)\), directo de la tabla
\(P(Z\ge a)\)\(1-\Phi(a)\), el complementario
\(P(Z\le -a)\)\(1-\Phi(a)\), por simetría
\(P(Z\ge -a)\)\(\Phi(a)\), por simetría
\(P(a\le Z\le b)\)\(\Phi(b)-\Phi(a)\), el mayor menos el menor
Cuatro campanas con el área sombreada: a la izquierda de a, a la derecha de a, a la izquierda de menos a y entre a y b, con la fórmula correspondiente a cada caso en función de Φ

Para una \(X\sim N(\mu,\sigma)\) cualquiera, el método tiene cinco pasos:

  1. Identifica \(\mu\) y \(\sigma\).
  2. Escribe la probabilidad que piden con \(X\): \(P(X\le a)\), \(P(X\ge a)\) o \(P(a\le X\le b)\).
  3. Tipifica cada valor con \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) y redondea \(z\) a dos decimales.
  4. Busca \(\Phi(z)\) en la tabla. Si \(z\) es negativo, usa \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
  5. Aplica el caso que corresponda: el complementario, la simetría o la resta.
💡 Dibuja siempre la campana. Un croquis con el área sombreada te dice si la respuesta tiene que ser mayor o menor que 0,5, y evita casi todos los errores de complementario.

Ejemplos resueltos de probabilidades con la tabla N(0,1)

En los tres primeros, la estatura \(X\), en cm, de un grupo de personas sigue una \(N(170,\ 8)\).

Ejemplo 1: calculo \(P(X\le 182)\).
  1. Tipifico el valor:\[z=\frac{182-170}{8}=1{,}5\]Entonces \(P(X\le 182)=P(Z\le 1{,}5)\).
  2. Busco en la tabla la fila \(1{,}5\) y la columna \(0{,}00\):\[P(Z\le 1{,}5)=\Phi(1{,}5)=0{,}9332\]
  3. Conclusión: el 93,32 % de las personas mide 182 cm o menos.
Ejemplo 2: calculo \(P(X\ge 154)\), con un valor por debajo de la media.
  1. Tipifico:\[z=\frac{154-170}{8}=-2\]Entonces \(P(X\ge 154)=P(Z\ge -2)\).
  2. Uso la simetría. La tabla no tiene \(z\) negativos, pero el área a la derecha de \(-2\) es igual al área a la izquierda de \(2\):\[P(Z\ge -2)=P(Z\le 2)=\Phi(2)\]\[=0{,}9772\]
  3. Conclusión: el 97,72 % de las personas mide 154 cm o más.
Ejemplo 3: calculo \(P(162\le X\le 186)\), la probabilidad entre dos valores.
  1. Tipifico los dos extremos:\[z_1=\frac{162-170}{8}=-1\qquad z_2\]\[=\frac{186-170}{8}=2\]Entonces:\[P(162\le X\le 186)=P(-1\le Z\le 2)\]
  2. Es una resta de áreas:\[P(-1\le Z\le 2)=\Phi(2)-\Phi(-1)\]
  3. Busco los valores. \(\Phi(2)=0{,}9772\). Para \(\Phi(-1)\) uso la simetría:\[\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413\]\[=0{,}1587\]
  4. Resto:\[0{,}9772-0{,}1587=0{,}8185\]Conclusión: el 81,85 % de las personas mide entre 162 y 186 cm.
Ejemplo 4: el cociente intelectual de una población sigue una \(N(100,\ 15)\). Calculo \(P(X\ge 120)\), un caso en el que \(z\) no sale exacto.
  1. Tipifico:\[z=\frac{120-100}{15}=\frac{4}{3}\approx 1{,}33\]La tabla tiene dos decimales, así que redondeo \(z\) a \(1{,}33\).
  2. Complementario:\[P(X\ge 120)=P(Z\ge 1{,}33)\]\[=1-\Phi(1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918\]
  3. Conclusión: alrededor del 9,18 % de la población supera 120 de cociente intelectual.
💡 El redondeo de \(z\) tiene un pequeño efecto. Con el valor exacto \(z=\dfrac{4}{3}\), la probabilidad del ejemplo 4 sería \(0{,}0912\) y no \(0{,}0918\). En un examen se da por buena la lectura de la tabla con \(z\) redondeado.

Problema inverso: cómo hallar z o x a partir de una probabilidad

A veces te dan la probabilidad y te piden el valor. Entonces buscas la probabilidad en el cuerpo de la tabla, lees \(z\) en la fila y en la columna, y deshaces la tipificación:

\[x=\mu+z\sigma\]

Si la probabilidad no aparece exacta en la tabla, toma el valor más cercano. Si queda justo en medio de dos, toma la media de los dos \(z\). Y si la probabilidad pedida es menor que 0,5, \(z\) es negativo: busca \(1-p\) y cambia el signo al final.

Ejemplo 1: las estaturas siguen una \(N(170,\ 8)\). ¿A partir de qué estatura está el 10 % más alto?
  1. Planteo. Busco \(x\) con \(P(X\ge x)=0{,}10\), que es lo mismo que \(P(X\le x)=0{,}90\).
  2. Busco \(0{,}90\) en el cuerpo de la tabla. No está exacto. Los valores más próximos son \(0{,}8997\), en \(z=1{,}28\), y \(0{,}9015\), en \(z=1{,}29\). Me quedo con el más cercano, \(0{,}8997\), así que \(z=1{,}28\).
  3. Deshago la tipificación:\[x=\mu+z\sigma=170+1{,}28\cdot 8=180{,}24\]
  4. Conclusión: el 10 % más alto mide aproximadamente 180,24 cm o más.
Ejemplo 2: con la misma \(N(170,\ 8)\), busco el intervalo centrado en la media que contiene al 95 % de las personas.
  1. Reparto las colas. Fuera del intervalo queda el 5 %, y por simetría el 2,5 % a cada lado. Busco \(z\) con:\[\Phi(z)=0{,}95+0{,}025=0{,}975\]
  2. Busco \(0{,}9750\) en la tabla: está en la fila \(1{,}9\) y en la columna \(0{,}06\). Entonces \(z=1{,}96\).
  3. Deshago la tipificación con \(x=\mu\pm z\sigma\):\[x_1=170-1{,}96\cdot 8=154{,}32\]\[x_2=170+1{,}96\cdot 8=185{,}68\]
  4. Conclusión: el 95 % de las personas mide entre 154,32 y 185,68 cm. Es casi el intervalo \(170\pm 2\cdot 8\) de la regla 68-95-99,7.

Hay unos pocos valores de \(z\) que se usan constantemente. Se les llama valores críticos:

\(\Phi(z)\)Valor \(z\)Intervalo central
\(0{,}90\)\(1{,}28\)del 80 %
\(0{,}95\)\(1{,}645\)del 90 %
\(0{,}975\)\(1{,}96\)del 95 %
\(0{,}99\)\(2{,}33\)del 98 %
\(0{,}995\)\(2{,}575\)del 99 %

Los valores \(1{,}645\) y \(2{,}575\) son el punto medio de dos casillas de la tabla: \(0{,}95\) queda justo entre \(0{,}9495\) y \(0{,}9505\), y \(0{,}995\) entre \(0{,}9949\) y \(0{,}9951\). Son los que se usan en los intervalos de confianza de la inferencia estadística.

Aproximación de la distribución binomial por la normal

Calcular probabilidades de una distribución binomial \(B(n,p)\) con \(n\) grande es muy pesado. Si \(n\) es grande y \(p\) no está cerca de 0 ni de 1, se puede aproximar por una normal con la misma media y la misma desviación típica:

\[B(n,p)\approx N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\]

La aproximación es buena cuando \(np\ge 5\) y \(n(1-p)\ge 5\), que también se escribe \(nq\ge 5\) con \(q=1-p\). Algunos libros piden 10. Como la binomial es discreta y la normal es continua, se aplica la corrección de continuidad, que consiste en sumar o restar 0,5 a los valores. Llamo \(Y\) a la normal:

BinomialNormal con corrección
\(P(X\le k)\)\(P(Y\le k+0{,}5)\)
\(P(X\ge k)\)\(P(Y\ge k-0{,}5)\)
\(P(X=k)\)\(P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)\)
\(P(a\le X\le b)\)\(P(a-0{,}5\le Y\le b+0{,}5)\)
Barras de la distribución binomial B(20; 0,5) con la curva de la normal de media 10 superpuesta; las barras de 0 a 12 están coloreadas y una línea discontinua en 12,5 marca la corrección de continuidad
Ejemplo 1: lanzo una moneda 100 veces. Calculo la probabilidad de obtener 55 caras o menos. Es \(X\sim B(100;\ 0{,}5)\) y busco \(P(X\le 55)\).
  1. Compruebo las condiciones: \(np=100\cdot 0{,}5=50\ge 5\) y \(n(1-p)=50\ge 5\).
  2. Calculo los parámetros:\[\mu=np=50\qquad\sigma=\sqrt{np(1-p)}\]\[=\sqrt{25}=5\]Entonces \(Y\sim N(50,\ 5)\).
  3. Aplico la corrección de continuidad: \(P(X\le 55)\approx P(Y\le 55{,}5)\).
  4. Tipifico y busco:\[z=\frac{55{,}5-50}{5}=1{,}1\]\[P(Z\le 1{,}1)=\Phi(1{,}1)=0{,}8643\]
  5. Comparo: el valor exacto con la binomial es \(0{,}8644\). La aproximación es muy buena.
Ejemplo 2: con la misma moneda, calculo \(P(X\ge 60)\).
  1. Corrección: \(P(X\ge 60)\approx P(Y\ge 59{,}5)\).
  2. Tipifico:\[z=\frac{59{,}5-50}{5}=1{,}9\]
  3. Complementario:\[P(Z\ge 1{,}9)=1-\Phi(1{,}9)=1-0{,}9713\]\[=0{,}0287\]El valor exacto es \(0{,}0284\).
⚠️ No olvides la corrección de continuidad. Si en el ejemplo 1 calculas \(P(Y\le 55)\) sin sumar 0,5, sale \(z=1\) y \(\Phi(1)=0{,}8413\), bastante más lejos del valor exacto \(0{,}8644\) que el \(0{,}8643\) de antes.

La pestaña «Binomial» de la calculadora hace todo esto por ti y compara con el valor exacto. Si quieres repasar la distribución binomial, mira antes el artículo sobre la distribución binomial, y para más contexto, el de probabilidad.

Chuleta: fórmulas y valores de la distribución normal

Todo lo importante en un solo sitio.

Fórmulas

NombreFórmula
Notación\(X\sim N(\mu,\sigma)\)
Estándar\(Z\sim N(0,\ 1)\)
Tipificación\(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)
Acumulada\(P(X\le a)\)\(=\Phi\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
Complemento\(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\)
Simetría\(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\)\(P(Z\ge -a)=\Phi(a)\)
Entre a y b\(P(a\le Z\le b)\)\(=\Phi(b)-\Phi(a)\)
Valor desde \(z\)\(x=\mu+z\sigma\)
Intervalo 95 %\(\mu\pm 1{,}96\,\sigma\)

Aproximación de la binomial por la normal

\[B(n,p)\approx N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\]\[P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\]

Valores de la tabla que conviene recordar

\(z\)\(\Phi(z)\)
\(0\)\(0{,}5000\)
\(0{,}5\)\(0{,}6915\)
\(1\)\(0{,}8413\)
\(1{,}5\)\(0{,}9332\)
\(2\)\(0{,}9772\)
\(2{,}5\)\(0{,}9938\)
\(3\)\(0{,}9987\)

Para tener más fórmulas, consulta el formulario de fórmulas de estadística y el de probabilidad.

Errores frecuentes con la distribución normal

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • No tipificar. La tabla es solo de la \(N(0,1)\). No se puede buscar \(182\) en ella: primero hay que calcular \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\).
  • Dividir entre la varianza. Con \(\sigma=8\) se divide entre \(8\), no entre \(8^2=64\).
  • Olvidar el complementario. \(P(Z\ge a)\) no es \(\Phi(a)\), es \(1-\Phi(a)\). Con \(a=1{,}5\): \(1-0{,}9332=0{,}0668\), no \(0{,}9332\).
  • Buscar un \(z\) negativo en la tabla. No está. Usa \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\). Por ejemplo, \(\Phi(-1{,}25)=1-\Phi(1{,}25)\).
  • Restar al revés. En \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\) se resta el mayor menos el menor. Si te sale negativo, hay un error.
  • Leer mal la fila y la columna. La fila es la parte entera y el primer decimal, y la columna el segundo. \(1{,}96\) está en la fila \(1{,}9\) y en la columna \(0{,}06\), no en la fila \(1{,}6\) y la columna \(0{,}09\). Y \(z=1{,}333\) se redondea a \(1{,}33\), no a \(1{,}3\).
  • Confundir tablas. Algunas dan \(P(0\le Z\le z)\) en vez de \(P(Z\le z)\). Mira qué valor da \(z=0\): si es \(0{,}5000\), es la acumulada, y si es \(0{,}0000\), hay que sumar 0,5.
  • Aproximar la binomial sin corrección de continuidad o sin comprobar que \(np\ge 5\) y \(n(1-p)\ge 5\). Con \(B(100;\ 0{,}5)\), \(P(X\le 55)\) sale \(0{,}8413\) sin corrección y \(0{,}8643\) con ella. El valor exacto es \(0{,}8644\).

🧮 Calculadora de la distribución normal

Tienes tres pestañas. En «Probabilidad» das la media, la desviación típica y el valor, y calculo \(P(X\le a)\), \(P(X\ge a)\) o \(P(a\le X\le b)\): tipifico, leo la tabla y te explico cada paso. En «Valor x» haces el camino de vuelta: das una probabilidad y calculo el valor \(x\) o el intervalo central. Y en «Binomial» aproximo una \(B(n,p)\) por una normal con la corrección de continuidad y la comparo con el valor exacto.

Elige qué probabilidad quieres. Tipifico el valor, lo busco en la tabla N(0,1) y te explico cada paso.

Números con coma o con punto y hasta 3 decimales. La desviación típica tiene que ser mayor que 0.

🌍 La distribución normal en la vida real

📏 Medidas del cuerpoLa estatura, el peso o la presión arterial de una población grande se distribuyen de forma muy parecida a una normal.
🎓 Tests y exámenesLos tests de cociente intelectual se construyen con media 100 y desviación típica 15.
🏭 Control de calidadLas piezas de una fábrica nunca salen exactamente iguales y sus medidas se reparten como una normal.
🧪 Errores de medidaLos errores aleatorios al medir siguen una normal centrada en cero. Fue la aplicación con la que Gauss dio a la campana su nombre.
📊 Inferencia estadísticaLos intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis usan los valores críticos de la normal. Lo verás en la inferencia estadística.
🎲 Sumas de muchos azaresLa suma o la media de muchas variables independientes se parece a una normal, aunque cada una no lo sea. Por eso la distribución binomial con \(n\) grande se aproxima con una campana.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Distribución normalVariable continua con gráfica en forma de campana simétrica. Se escribe \(X\sim N(\mu,\sigma)\): \(\mu\) es la media, que marca el centro, y \(\sigma\) la desviación típica, que mide la dispersión. El área total vale 1.
Normal estándar y tipificaciónLa \(N(0,\ 1)\) es la que tiene tabla. Para pasar de \(X\sim N(\mu,\sigma)\) a ella se resta la media y se divide entre la desviación típica:\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
Leer la tablaLa tabla da \(\Phi(z)=P(Z\le z)\). La fila es la parte entera y el primer decimal de \(z\), y la columna el segundo decimal. Por ejemplo, \(\Phi(1{,}96)=0{,}9750\).
Complementario y simetría\(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\) y \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\). Por tanto, \(P(Z\le -a)=P(Z\ge a)\).
Entre dos valores\(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Se resta el mayor menos el menor, después de tipificar los dos extremos.
Regla 68-95-99,7En una normal, el 68,27 % de los valores está en \(\mu\pm\sigma\), el 95,45 % en \(\mu\pm2\sigma\) y el 99,73 % en \(\mu\pm3\sigma\).
Problema inversoBusco la probabilidad en el cuerpo de la tabla, leo \(z\) y calculo \(x=\mu+z\sigma\). Valores críticos habituales: \(1{,}28\), \(1{,}645\), \(1{,}96\), \(2{,}33\) y \(2{,}575\).
Binomial a normalSi \(np\ge 5\) y \(n(1-p)\ge 5\), \(B(n,p)\approx N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\). Con corrección de continuidad: \(P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\).

⭐ Ejercicios de distribución normal resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Leer la tabla N(0,1)
📝 EnunciadoCon la tabla de la \(N(0,\ 1)\), calcula:
  • a) \(P(Z\le 1{,}25)\)
  • b) \(P(Z\ge 0{,}80)\)
  • c) \(P(Z\le -1{,}5)\)
  • d) \(P(-1\le Z\le 1{,}9)\)
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Está directo en la tabla, fila \(1{,}2\) y columna \(0{,}05\):\[P(Z\le 1{,}25)=\Phi(1{,}25)=0{,}8944\]
  2. Apartado b. Es el complementario:\[P(Z\ge 0{,}80)=1-\Phi(0{,}80)\]\[=1-0{,}7881=0{,}2119\]
  3. Apartado c. Por simetría:\[P(Z\le -1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332\]\[=0{,}0668\]
  4. Apartado d. Resto dos acumuladas. \(\Phi(1{,}9)=0{,}9713\) y \(\Phi(-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\):\[P(-1\le Z\le 1{,}9)=0{,}9713-0{,}1587\]\[=0{,}8126\]
✅ Resultado: a) \(0{,}8944\). b) \(0{,}2119\). c) \(0{,}0668\). d) \(0{,}8126\).
EJERCICIO 2Peso de unos paquetes
📝 EnunciadoEl peso de los paquetes de arroz de una fábrica sigue una \(N(500,\ 10)\), en gramos. Calcula la probabilidad de que un paquete pese: a) menos de 485 g y b) más de 512 g.
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Tipifico:\[z=\frac{485-500}{10}=-1{,}5\]Por simetría:\[P(X\lt 485)=P(Z\lt -1{,}5)\]\[=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668\]
  2. Apartado b. Tipifico:\[z=\frac{512-500}{10}=1{,}2\]Es el complementario:\[P(X\gt 512)=1-\Phi(1{,}2)=1-0{,}8849\]\[=0{,}1151\]
✅ Resultado: a) \(0{,}0668\), el 6,68 %. b) \(0{,}1151\), el 11,51 %.
EJERCICIO 3Notas de un examen
📝 EnunciadoLas notas de un examen siguen una \(N(6;\ 1{,}5)\). Calcula la probabilidad de a) aprobar, es decir, sacar 5 o más, y b) sacar 9 o más.
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Tipifico:\[z=\frac{5-6}{1{,}5}=-\frac{2}{3}\approx -0{,}67\]Uso la simetría:\[P(X\ge 5)=P(Z\ge -0{,}67)=\Phi(0{,}67)\]\[=0{,}7486\]Con el valor exacto \(z=-\dfrac{2}{3}\) saldría \(0{,}7475\), por el redondeo de \(z\).
  2. Apartado b. Tipifico:\[z=\frac{9-6}{1{,}5}=2\]\[P(X\ge 9)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772\]\[=0{,}0228\]
✅ Resultado: a) \(0{,}7486\), aprueba el 74,86 %. b) \(0{,}0228\), el 2,28 % saca 9 o más.
EJERCICIO 4Cociente intelectual entre dos valores
📝 EnunciadoEl cociente intelectual de una población sigue una \(N(100,\ 15)\). Calcula la probabilidad de que una persona tenga entre 90 y 120.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Tipifico los dos extremos y los redondeo a dos decimales:\[z_1=\frac{90-100}{15}=-\frac{2}{3}\approx -0{,}67\qquad z_2\]\[=\frac{120-100}{15}=\frac{4}{3}\approx 1{,}33\]
  2. Paso 2. Resto las dos acumuladas:\[P(-0{,}67\le Z\le 1{,}33)\]\[=\Phi(1{,}33)-\Phi(-0{,}67)\]
  3. Paso 3. \(\Phi(1{,}33)=0{,}9082\) y \(\Phi(-0{,}67)=1-0{,}7486=0{,}2514\):\[0{,}9082-0{,}2514=0{,}6568\]Con los valores exactos de \(z\) saldría \(0{,}6563\).
✅ Resultado: \(P(90\le X\le 120)=0{,}6568\), alrededor del 65,7 %.
EJERCICIO 5Estatura que deja por debajo al 20 %
📝 EnunciadoLas estaturas de un grupo siguen una \(N(170,\ 8)\). ¿Qué estatura deja por debajo al 20 % de las personas?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Planteo. Busco \(x\) con \(P(X\le x)=0{,}20\). Como \(0{,}20\) es menor que \(0{,}5\), \(z\) es negativo.
  2. Paso 2. Valor simétrico. Busco \(1-0{,}20=0{,}80\) en el cuerpo de la tabla. Los valores más próximos son \(0{,}7995\), en \(z=0{,}84\), y \(0{,}8023\), en \(z=0{,}85\). Me quedo con \(0{,}7995\) y cambio el signo: \(z=-0{,}84\).
  3. Paso 3. Deshago la tipificación:\[x=\mu+z\sigma=170+(-0{,}84)\cdot 8\]\[=163{,}28\]
✅ Resultado: \(x=163{,}28\) cm. El 20 % de las personas mide menos que eso.
EJERCICIO 6Hallar la media
📝 EnunciadoUna variable \(X\sim N(\mu,\ 4)\) cumple \(P(X\le 20)=0{,}9332\). Calcula \(\mu\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Tipifico: \(P(X\le 20)=P\left(Z\le\dfrac{20-\mu}{4}\right)=0{,}9332\).
  2. Paso 2. Busco \(0{,}9332\) en el cuerpo de la tabla: está en la fila \(1{,}5\) y en la columna \(0{,}00\). Entonces \(\dfrac{20-\mu}{4}=1{,}5\).
  3. Paso 3. Despejo \(\mu\):\[20-\mu=1{,}5\cdot 4=6\]\[\mu=20-6=14\]
✅ Resultado: \(\mu=14\).
EJERCICIO 7Hallar la desviación típica
📝 EnunciadoUna variable \(X\sim N(50,\ \sigma)\) cumple \(P(X\gt 60)=0{,}0668\). Calcula \(\sigma\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Paso al complementario:\[P(X\le 60)=1-0{,}0668=0{,}9332\]
  2. Paso 2. Tipifico: \(P\left(Z\le\dfrac{60-50}{\sigma}\right)=0{,}9332\). En la tabla, \(0{,}9332\) corresponde a \(z=1{,}5\). Entonces:\[\frac{60-50}{\sigma}=1{,}5\]
  3. Paso 3. Despejo \(\sigma\):\[\sigma=\frac{10}{1{,}5}=\frac{20}{3}\approx 6{,}67\]
✅ Resultado: \(\sigma=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67\).
EJERCICIO 8Moneda lanzada 100 veces
📝 EnunciadoSe lanza una moneda 100 veces. Calcula, con la aproximación normal, la probabilidad de obtener entre 45 y 55 caras, ambos incluidos.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. \(X\sim B(100;\ 0{,}5)\). Se cumple \(np=50\ge 5\) y \(n(1-p)=50\ge 5\), así que aproximo por \(Y\sim N(50,\ 5)\), con \(\sigma=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=5\).
  2. Paso 2. Corrección de continuidad:\[P(45\le X\le 55)\approx P(44{,}5\le Y\le 55{,}5)\]
  3. Paso 3. Tipifico:\[z_1=\frac{44{,}5-50}{5}=-1{,}1\qquad z_2\]\[=\frac{55{,}5-50}{5}=1{,}1\]
  4. Paso 4. Por simetría:\[\Phi(1{,}1)-\Phi(-1{,}1)=2\Phi(1{,}1)-1\]\[=2\cdot 0{,}8643-1=0{,}7286\]
✅ Resultado: \(P(45\le X\le 55)\approx 0{,}7286\). El valor exacto con la binomial es \(0{,}7287\).
EJERCICIO 9Intervalo del 95 % para el peso al nacer
📝 EnunciadoEl peso de los recién nacidos sigue una \(N(3300,\ 450)\), en gramos. Halla el intervalo centrado en la media que contiene al 95 % de los pesos.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Fuera del intervalo queda el 5 %, es decir, el 2,5 % en cada cola. Busco \(z\) con \(\Phi(z)=0{,}975\): en la tabla, \(z=1{,}96\).
  2. Paso 2. Calculo la distancia a la media:\[z\sigma=1{,}96\cdot 450=882\]
  3. Paso 3. Los extremos son:\[3300-882=2418\qquad 3300+882\]\[=4182\]
✅ Resultado: El 95 % de los recién nacidos pesa entre \(2418\) g y \(4182\) g.
EJERCICIO 10Control de calidad
📝 EnunciadoLa longitud de unos tornillos sigue una \(N(20;\ 0{,}2)\), en mm. Se rechaza el tornillo si mide menos de 19,7 mm o más de 20,3 mm. ¿Qué proporción de tornillos se rechaza?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Tipifico los límites:\[z_1=\frac{19{,}7-20}{0{,}2}=-1{,}5\qquad z_2\]\[=\frac{20{,}3-20}{0{,}2}=1{,}5\]
  2. Paso 2. Se rechaza si \(X\lt 19{,}7\) o \(X\gt 20{,}3\), es decir, si \(Z\lt -1{,}5\) o \(Z\gt 1{,}5\). Cada cola vale:\[P(Z\gt 1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332\]\[=0{,}0668\]
  3. Paso 3. Por simetría las dos colas son iguales:\[P(\text{rechazo})=2\cdot 0{,}0668=0{,}1336\]
✅ Resultado: Se rechaza el \(0{,}1336\), es decir, el 13,36 % de los tornillos.

❓ Preguntas frecuentes sobre la distribución normal

🤔 ¿Qué es la distribución normal?
Es la distribución de probabilidad de una variable continua cuya gráfica es una campana simétrica centrada en la media \(\mu\), con desviación típica \(\sigma\). Se escribe \(N(\mu,\sigma)\). Describe muchas variables reales, como estaturas, pesos o errores de medida, y es la base de la inferencia estadística.
🤔 ¿Cómo se usa la tabla de la normal N(0,1)?
Se tipifica la variable, \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\), y se redondea \(z\) a dos decimales. La fila de la tabla da la parte entera y el primer decimal de \(z\), la columna da el segundo decimal, y en el cruce está \(\Phi(z)=P(Z\le z)\). Por ejemplo, \(\Phi(1{,}96)=0{,}9750\).
🤔 ¿Qué significa tipificar una variable normal?
Es pasar de \(X\sim N(\mu,\sigma)\) a \(Z\sim N(0,\ 1)\) con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\). Restar la media centra la campana en 0 y dividir entre la desviación típica cambia la escala. Así todas las normales se calculan con la misma tabla.
🤔 ¿Cómo se calcula la probabilidad de un valor mayor que z o de un z negativo?
Para un valor mayor que \(a\): \(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\). Para un \(z\) negativo se usa la simetría: \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\). Por ejemplo, \(P(Z\le -1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056\).
🤔 ¿Qué es la regla 68-95-99,7?
En una distribución normal, el 68,27 % de los valores está a menos de una desviación típica de la media, el 95,45 % a menos de dos y el 99,73 % a menos de tres. Sirve para estimar probabilidades sin tabla.
🤔 ¿Cómo se halla el valor x que deja una probabilidad dada?
Se busca la probabilidad en el cuerpo de la tabla, se lee \(z\) y se calcula \(x=\mu+z\sigma\). Si la probabilidad es menor que 0,5, \(z\) es negativo: se busca \(1-p\) y se cambia el signo. Por ejemplo, en una \(N(170,\ 8)\), el valor con \(z=1{,}28\) es \(170+1{,}28\cdot 8=180{,}24\).
🤔 ¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?
Cuando \(n\) es grande y se cumple \(np\ge 5\) y \(n(1-p)\ge 5\); algunos libros piden 10. Se usa \(N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\) con la corrección de continuidad, que suma o resta 0,5 a los valores.
🤔 ¿Por qué la probabilidad de un valor exacto es 0 en una variable normal?
En una variable continua la probabilidad es un área, y un punto no tiene área. Por eso \(P(X=a)=0\) y \(P(X\le a)=P(X\lt a)\). Solo tienen probabilidad positiva los intervalos.
📚 Resumen final
  • La distribución normal \(N(\mu,\sigma)\) es una campana simétrica con centro en la media \(\mu\) y dispersión \(\sigma\). El área total vale 1.
  • Regla 68-95-99,7: el 68,27 %, el 95,45 % y el 99,73 % de los valores están a una, dos y tres desviaciones típicas de la media.
  • Para calcular probabilidades se tipifica, \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\), y se lee \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) en la tabla.
  • Casos: \(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\), \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\) y \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\).
  • Problema inverso: se busca la probabilidad en la tabla y se calcula \(x=\mu+z\sigma\). Valores críticos: \(1{,}28\), \(1{,}645\), \(1{,}96\), \(2{,}33\) y \(2{,}575\).
  • Una binomial con \(np\ge 5\) y \(n(1-p)\ge 5\) se aproxima por una normal, sumando o restando 0,5 por la corrección de continuidad.

Conclusión

La distribución normal es el modelo más usado de la estadística porque describe muchos fenómenos reales y porque todas las normales se reducen a una sola, la N(0,1), con la tipificación. Para calcular una probabilidad, tipifica, lee la tabla y aplica el complementario, la simetría o la resta. Si te dan la probabilidad, haz el camino inverso deshaciendo la tipificación. Y si trabajas con una binomial grande, aproxímala por una normal sin olvidar la corrección de continuidad. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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