Cómo sacar factor común de un polinomio

¿Cómo puedo sacar  factor común en una expresión algebraica?

El dichoso factor común suele dar bastantes problemas a los alumnos. A veces no entienden bien el concepto. Por eso, en esta entrada quiero que te quede muy claro, porque así te será mucho más fácil trabajar con polinomios.

¿Te acuerdas de la propiedad distributiva?

2·(3+4)=2·3 + 2·4 , en general se cumple que  a·(b+c) = a·b + a·c

No hay que ir muy lejos, sólo al revés, obtener el factor común es el proceso contrario.

Es decir: ab+ ac = a(b+c)

Fíjate que el factor a, que se repite, el llamado factor común, lo “saco fuera” en el segundo miembro de la ecuación.

Te preguntarás ¿para qué narices necesito volver para atrás? Pronto lo sabrás ...

Si en lugar de leer, prefieres una explicación en vídeo, aquí la tienes:

¿Qué es el factor común?

Primero debes saber que factor es cualquier expresión que multiplica a otra, y común significa que se repite en todos los términos.

Sacar factor común consiste en separar la expresión que se repite en todos los términos, y situarla en el segundo miembro (después de la igualdad). Esta expresión multiplicará a los demás factores que no se repiten, incluyendo su signo.

Menudo rollo te he soltado!  Mejor que lo entiendas con los siguientes ejemplos, porque como dice el refrán, unas ecuaciones valen más que mil palabras …

\(5xy+5xz=5x(y+z)\)\(12x+6xy+6xz =6x(2+y+z)\)

En este ejemplo, debes darte cuenta que 12x=2·6·x, y puedo “sacar fuera” el 6x, porque se repite en todos los términos

\(2{ x }^{ 2 }+x=2xx+x=x(2x+1)\)

¡Cuidado!, no te olvides del 1, que aunque no lo veas, es un número omnipresente que está por todos lados. En el ejemplo anterior, está multiplicando a la x.

Cómo sacar factor común. Paso a paso

¿Tienes buena vista? Es importante tenerla, aunque no lleves gafas.

Primer paso: Debes identificar el factor que se repite en todos los términos (el factor común).

\(3xy+3zy=\)

En este caso se repite 3y en todos los términos, 3y es el factor común

Segundo paso: Poner el factor común delante y abrir paréntesis:
\(=3y(\)

Tercer paso: En el paréntesis deben entrar todos los factores que no se repitan de cada uno de los términos, incluyendo los signos.
\(=3y(x+z)\)

Veamos otro ejemplo, para que te quede más claro:
\(4{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+6x\)\(2·2·x·x·x+2·x·x+3·2·x\)\(2x·(2{ x }^{ 2 }+x+3)\)

Puedes hacerlo mentalmente, pero para que lo veas más claro, he hecho la descomposición factorial de todos los términos.

Siempre se siguen los mismos pasos:

1) Identificación del factor común. En este caso 2x
2) Extracción. Ponemos 2x delante multiplicando y abrimos paréntesis:
= 2x·(
3) Factorización. En el paréntesis entran los factores de cada término que no se repiten, incluyendo su signo.

\(=2x·(2{ x }^{ 2 }+x+3)\)

Es sencillo saber si lo has hecho bien en cualquier ejercicio de este tipo. Si aplicas la propiedad distributiva y vuelves al polinomio inicial, lo tienes bien.

Sacar factor común en expresiones más complejas

No siempre es tan sencillo. En muchas ocasiones se complica, y cuesta más “encontrar” el factor común.
El truco está en “sacar fuera lo máximo posible”, todo aquello que se repita en cada uno de los diferentes términos.
Espero que con este último ejemplo puedas despejar todas tus dudas.

\(16{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }+10{ x }^{ 2 }y+14{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }\)

Primero debes analizar la parte numérica. En este caso todos los números son pares:
16=2·8, 10=2·5, 14=2·7
Lo máximo que puedo sacar es un 2

En cuanto a la parte literal, puedo extraer de cada término \({ x }^{ 2 }y\)

Es decir, el factor común en este caso es \(2{ x }^{ 2 }y\)Ahora solo te queda poner los factores de cada término que no se repiten, incluyendo su signo. Nos quedará esto:
\(16{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }+10{ x }^{ 2 }y+14{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }=2{ x }^{ 2 }y·(8xy+5+7{ y }^{ 2 })\)

Puedes ver mentalmente lo que debe entrar en el paréntesis, pero si no lo tienes claro, puedes dividir cada término del polinomio entre el factor común.
Primer término del polinomio entre el factor común:

Segundo término del polinomio entre el factor común:

Tercer término del polinomio entre el factor común:

Y colocamos cada resultado entre paréntesis multiplicado todo por  \(2{ x }^{ 2 }y\)

¿Para que narices me sirve obtener el factor común?

Otra gran pregunta, no tan filosófica como esta otra: ¿Para qué sirven las matemáticas?

Principalmente, sacar factor común es importante para factorizar polinomios de forma rápida y eficaz. Y esto te llevará a resolver ecuaciones con mayor seguridad.

Todo sirve para algo en esta vida. De todo se aprende, y los beneficios de las matemáticas son enormes.

¿Te atreves con estos ejercicios? Encuentra el factor común

Tu turno. Vamos a comprobar si lo has entendido todo. Recuerda que practicar es fundamental, aprendemos matemáticas haciendo matemáticas.

1) \(7x+7=\)

2) \(3{ x }^{ 2 }+x=\)

3) \(5{ x }^{ 2 }-10x=\)

4) \(3{ x }^{ 3 }-9{ x }^{ 2 }+6x=\)

5) \(2x{ y }^{ 2 }+10{ x }^{ 2 }y=\)

6) \(21{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }{ z }^{ 3 }+14{ x }^{ 3 }yz+7{ x }^{ 2 }y{ z }^{ 2 }=\)

No mires las soluciones todavía, ehhh.  ¡Recuerda que se aprende matemáticas haciendo matemáticas!

Soluciones

1) \(7·(x+1)\)

2)  \(x·(3x+1)\)

3) \(5x·(x-2)\)

4) \(3x·({ x }^{ 2 }-3x+2)\)

5) \(2xy·(y+5x)\)

6) \(7{ x }^{ 2 }yz·(3y{ z }^{ 2 }+2x+z)\)

¿Tienes dudas en algún ejercicio de clase? Indícalo en los comentarios

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