🔎 Índice de contenidos
- ¿Qué es una función matemática? Definición y ejemplo
- Partes de una función: variable, imagen, dominio y recorrido
- Formas de representar una función: fórmula, tabla, gráfica y enunciado
- ¿Cómo saber si una gráfica representa una función?
- Dominio y recorrido de una función: cómo calcularlos
- Tipos de funciones matemáticas: clasificación con ejemplos
- Características de una función: crecimiento, extremos, continuidad y más
- Cómo calcular la imagen y la preimagen de una función
- Cómo representar gráficamente una función paso a paso
- Operaciones con funciones, composición y función inversa
- ¿Para qué sirven las funciones matemáticas en la vida real?
- Resumen de funciones: fórmulas y gráficas principales
- ⭐ Ejercicios de funciones resueltos
¿Qué son las funciones matemáticas y para qué sirven? Una función matemática es una relación que asigna a cada valor permitido de entrada un único valor de salida. Se escribe normalmente como \(y=f(x)\), pero lo importante no es memorizar símbolos: es comprender cómo cambia una cantidad cuando cambia otra. En esta guía lo entenderás todo.
¿Qué es una función matemática? Definición y ejemplo
Una función es una regla de correspondencia que relaciona elementos de dos conjuntos: a cada valor del conjunto de partida, llamado dominio, le asigna exactamente una imagen. El resultado puede coincidir para diferentes entradas, pero una misma entrada no puede tener dos salidas distintas.
\[f:A\longrightarrow B,\qquad x\longmapsto f(x)\]
En las funciones numéricas solemos usar \(x\) para la variable independiente e \(y=f(x)\) para la dependiente. Por ejemplo, \(f(x)=2x+1\) multiplica cada entrada por 2 y suma 1.
| Entrada \(x\) | Operación | Salida \(f(x)\) |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(2(-1)+1\) | \(-1\) |
| \(0\) | \(2\cdot0+1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\cdot1+1\) | \(3\) |
| \(2\) | \(2\cdot2+1\) | \(5\) |
En una frase: una función puede llevar entradas distintas al mismo resultado. Lo que no puede hacer es asignar dos resultados diferentes a una misma entrada.
Partes de una función: variable, imagen, dominio y recorrido
Antes de estudiar los tipos, conviene distinguir cuatro ideas que aparecerán continuamente en los problemas de funciones.
| Concepto | Significado | En \(f(x)=x^2\) |
|---|---|---|
| Variable independiente | Valor de entrada que podemos elegir dentro del dominio | \(x\) |
| Variable dependiente | Resultado que depende de la entrada | \(y=f(x)=x^2\) |
| Dominio | Conjunto de entradas permitidas | \(\mathbb{R}\) |
| Recorrido o imagen | Conjunto de valores que la función alcanza | \([0,+\infty)\) |
La expresión \(f(2)\) significa valor de la función cuando \(x=2\), no multiplicación de \(f\) por 2. Por ejemplo, en \(f(x)=x^2\), se cumple \(f(2)=4\) y también \(f(-2)=4\): las dos entradas comparten imagen.
Precisión importante: el codominio es el conjunto de llegada elegido al definir la función, mientras que el recorrido son las salidas realmente obtenidas. No tienen por qué coincidir. Puedes ampliar el cálculo del dominio en dominio de una función.
Formas de representar una función: fórmula, tabla, gráfica y enunciado
Una función se puede describir de distintas maneras. Lo esencial es que todas representan la misma regla entre entradas y salidas:
🗣️ Enunciado«Cada cuaderno cuesta 3 € y hay 2 € de gasto fijo».
✍️ Fórmula\(C(n)=3n+2\), donde \(n\) es el número de cuadernos.
📊 TablaPara \(n=0,1,2,3\), el coste es \(2,5,8,11\) euros.
📈 GráficaLos pares \((n,C(n))\) se colocan en un plano de coordenadas.
En este ejemplo, como el número de cuadernos es un número entero no negativo, la gráfica real está formada por puntos aislados. No debemos unirlos como si pudiéramos comprar cualquier fracción de cuaderno. En cambio, cuando el dominio es continuo, como el tiempo, suele tener sentido dibujar una línea o curva.
Ejemplo 1. Traducir un enunciado a una función
Un taxi cobra 4 € al subir y 1,50 € por kilómetro. Si \(d\) representa los kilómetros recorridos (con \(d\ge0\)), el precio es:
\[P(d)=4+1{,}5d\]
Para 6 km, \(P(6)=4+1{,}5\cdot6=13\) €. La tarifa inicial es la ordenada en el origen y el coste por kilómetro es la pendiente.
¿Cómo saber si una gráfica representa una función?
Utiliza la prueba de la recta vertical: si existe una recta vertical que corta la gráfica en dos o más puntos diferentes, la relación no representa \(y=f(x)\), porque a un mismo valor de \(x\) le corresponderían varias \(y\).
Un ejemplo clásico es la circunferencia \(x^2+y^2=4\). Cuando \(x=0\), aparecen \(y=2\) y \(y=-2\), así que no define una única función \(y=f(x)\) sin elegir una de las ramas.
Ojo: una función sí puede cortar una recta horizontal varias veces. Por ejemplo, \(y=x^2\) corta la horizontal \(y=4\) en \(x=-2\) y \(x=2\); eso no impide que sea una función.
Dominio y recorrido de una función: cómo calcularlos
Cuando una función viene dada por una fórmula, su dominio real natural son, salvo que se indique otro, los valores reales de \(x\) para los que la expresión está definida. Para encontrarlo hay que buscar restricciones.
| Tipo de expresión | Qué comprobar | Ejemplo de dominio |
|---|---|---|
| Polinomio \(x^2-3x+1\) | No tiene restricciones | \(\mathbb{R}\) |
| Fracción \(1/(x-2)\) | Denominador distinto de 0 | \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) |
| Raíz \(\sqrt{x+3}\) | Radicando mayor o igual que 0 | \([-3,+\infty)\) |
| Logaritmo \(\ln(x-1)\) | Argumento estrictamente positivo | \((1,+\infty)\) |
El recorrido responde a otra pregunta: ¿qué valores puede producir la función? En \(f(x)=x^2\) el resultado nunca es negativo, por lo que \(\operatorname{Im}(f)=[0,+\infty)\).
Ejemplo 2. Hallar el dominio de una función racional
Para \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-3}\), el denominador se anula en \(x=3\). Por tanto:
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,3)\cup(3,+\infty)\]
El 3 no está permitido, aunque podamos evaluar la función en números tan cercanos a él como queramos, siempre que sean distintos.
Para repasar el procedimiento con más casos, visita cómo calcular el dominio de una función.
Tipos de funciones matemáticas: clasificación con ejemplos
Las funciones se clasifican según su expresión algebraica o sus propiedades. No existe una única lista que las separe en categorías excluyentes: una función puede ser polinómica y cuadrática al mismo tiempo, o periódica y trigonométrica.
| Tipo | Expresión de ejemplo | Forma o rasgo característico |
|---|---|---|
| Constante | \(f(x)=3\) | Recta horizontal; siempre da el mismo valor |
| Lineal (proporcionalidad directa) | \(f(x)=2x\) | Recta que pasa por el origen |
| Afín | \(f(x)=2x+1\) | Recta con pendiente y ordenada en el origen |
| Cuadrática | \(f(x)=x^2-4\) | Parábola |
| Polinómica | \(f(x)=x^3-x\) | Combinación de potencias enteras no negativas de \(x\) |
| Racional | \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) | Cociente de polinomios; posibles valores excluidos |
| Radical | \(f(x)=\sqrt{x}\) | Puede restringir el dominio |
| Valor absoluto | \(f(x)=|x|\) | Gráfica en forma de V |
| Exponencial | \(f(x)=2^x\) | Crecimiento multiplicativo |
| Logarítmica | \(f(x)=\log_2 x\) | Inversa de una exponencial; \(x\) positivo |
| Trigonométrica | \(f(x)=\operatorname{sen}x\) | Comportamiento periódico |
| Definida a trozos | \(f(x)=\begin{cases}x,&x<0\\x^2,&x\ge0\end{cases}\) | Distintas reglas según el intervalo de \(x\) |
Funciones constantes, lineales y afines
La función constante \(f(x)=b\) no cambia cuando varía \(x\). La lineal de proporcionalidad directa \(f(x)=mx\) pasa por el origen. La afín \(f(x)=mx+n\) añade una ordenada en el origen, \(n\), y su pendiente es \(m\). En algunos libros se llama «lineal» a toda función de primer grado; por eso es útil comprobar la convención del tema.
Si quieres aprender a obtener una recta a partir de puntos, consulta ecuaciones de la recta.
Funciones cuadráticas y polinómicas
La cuadrática tiene forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), con \(a\ne0\). Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba si \(a>0\) y hacia abajo si \(a<0\). Las polinómicas incluyen también funciones cúbicas, de cuarto grado, etc.
Funciones racionales, radicales y de valor absoluto
Una función racional es el cociente de dos polinomios y excluye los ceros del denominador. Una radical con raíz de índice par necesita radicando no negativo en los reales. La función valor absoluto \(|x|\) expresa la distancia a cero y presenta un mínimo en el origen.
Amplía las funciones con fracciones en funciones racionales y las funciones con varias expresiones en funciones definidas a trozos.
Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
En las exponenciales de base \(a>0\), \(a\ne1\), la variable aparece en el exponente: \(a^x\). La logarítmica de esa base, \(\log_a x\), deshace la exponencial. El seno y el coseno modelizan fenómenos que se repiten; tienen período \(2\pi\) si el argumento se mide en radianes.
En el artículo funciones exponenciales explicamos con más detalle sus gráficas y propiedades.
Características de una función: crecimiento, extremos, continuidad y más
Reconocer el tipo de una función es útil, pero interpretar su comportamiento es todavía más importante. Estas son las propiedades que conviene estudiar en una gráfica:
| Característica | Qué observar | Ejemplo |
|---|---|---|
| Crecimiento y decrecimiento | Si la salida sube o baja al aumentar \(x\) | \(2x+1\) crece; \(-x\) decrece |
| Máximos y mínimos | Valores máximos o mínimos locales o absolutos | \(x^2\) tiene mínimo absoluto 0 |
| Continuidad | Si aparecen saltos, agujeros o rupturas | \(1/x\) no está definida en 0 |
| Simetría | Función par: \(f(-x)=f(x)\); impar: \(f(-x)=-f(x)\) | \(x^2\) es par; \(x^3\) es impar |
| Periodicidad | Si repite valores tras un desplazamiento \(T>0\) | \(\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x\) |
| Cortes con los ejes | \(f(0)\) para el eje vertical y \(f(x)=0\) para el horizontal | \(x-3\) corta el eje \(x\) en 3 |
Estas propiedades ayudan a interpretar problemas reales y a realizar un estudio completo de una función. Si tienes dudas sobre saltos y puntos no definidos, repasa continuidad de una función.
Recuerda: una función puede ser creciente en un intervalo y decreciente en otro. Por ejemplo, \(x^2\) decrece en \(( -\infty,0]\) y crece en \([0,+\infty)\). No basta con decir que una parábola «crece» sin indicar dónde.
Cómo calcular la imagen y la preimagen de una función
Para obtener la imagen de un número, sustituyes ese valor por \(x\). Para hallar una preimagen de un resultado, resuelves la ecuación \(f(x)=y\) con ese resultado fijado. Una imagen es única para cada entrada; una salida puede tener varias preimágenes.
Ejemplo 3. Imagen y preimágenes en una cuadrática
Sea \(f(x)=x^2-1\).
- Imagen de 3: \(f(3)=3^2-1=8\).
- Preimágenes de 8: resolvemos \(x^2-1=8\), así que \(x=3\) o \(x=-3\).
- El valor 8 tiene dos preimágenes, pero la función sigue estando bien definida.
Cómo representar gráficamente una función paso a paso
Para dibujar una gráfica sencilla no hace falta conocer todas las técnicas de cálculo. Sigue un procedimiento ordenado:
- Identifica el dominio. Si hay fracciones, raíces o logaritmos, comprueba sus restricciones.
- Calcula una tabla de valores. Elige entradas relevantes y anota sus imágenes.
- Marca los puntos. Sitúa cada par \((x,f(x))\) en los ejes cartesianos.
- Busca rasgos especiales. Cortes con los ejes, vértices, simetrías, agujeros y asíntotas.
- Dibuja según el comportamiento. Une los puntos solo cuando el dominio y la forma de la función lo permitan; no inventes conexiones a través de discontinuidades.
Ejemplo 4. Representar \(f(x)=-x+2\)
Calculamos tres puntos:
| \(x\) | \(f(x)=-x+2\) | Punto |
|---|---|---|
| 0 | 2 | \((0,2)\) |
| 1 | 1 | \((1,1)\) |
| 2 | 0 | \((2,0)\) |
Como es una función afín de dominio real, los puntos pertenecen a una misma recta. Su pendiente es \(-1\) y su corte con el eje vertical es 2.
Para un método más amplio, consulta cómo representar funciones fácilmente.
Operaciones con funciones, composición y función inversa
Si dos funciones están definidas donde queremos operar, podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas, evitando los puntos donde el denominador sea cero.
\[(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (fg)(x)=f(x)g(x)\]
La composición significa aplicar una función y luego otra:
\[(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\]
Ejemplo 5. Componer dos funciones
Sean \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x+1\). Entonces \((f\circ g)(x)=(x+1)^2\), mientras que \((g\circ f)(x)=x^2+1\). Por tanto, el orden importa.
Una función inversa permite recuperar la entrada desde la salida cuando cada valor del recorrido tiene una única preimagen. Por ejemplo, \(f(x)=2x+3\) tiene inversa \(f^{-1}(x)=(x-3)/2\). En cambio, \(f(x)=x^2\) no tiene inversa como función de \(\mathbb R\) en \(\mathbb R\) sin restringir su dominio, porque \(x\) y \(-x\) producen el mismo cuadrado.
¿Para qué sirven las funciones matemáticas en la vida real?
Las funciones modelizan relaciones entre variables y permiten predecir, comparar y tomar decisiones. Algunos ejemplos cotidianos:
🚕 TransporteTarifa fija más precio por kilómetro: función afín.
⚽ FísicaAltura de un objeto lanzado frente al tiempo: a menudo una función cuadrática en modelos sencillos.
🏦 Interés compuestoEl capital puede seguir un modelo exponencial con períodos de capitalización regulares.
🌡️ TemperaturaConversión de grados Celsius a Fahrenheit: función afín.
🎵 Ondas y sonidoOscilaciones periódicas que pueden aproximarse mediante senos y cosenos.
🏭 ProducciónCostes e ingresos modelizados en función de las unidades fabricadas.
El modelo solo es útil si respetamos las condiciones del problema: una fórmula puede ser válida matemáticamente para todos los reales, pero físicamente solo para distancias, tiempos o cantidades no negativos.
Errores frecuentes al estudiar funciones
⚠️ Evita estas confusiones:
- Interpretar \(f(3)\) como \(3f\). Es el valor de salida cuando la entrada es 3.
- Confundir dominio con recorrido. El primero habla de entradas; el segundo, de salidas.
- Creer que distintas entradas no pueden tener la misma imagen. Sí pueden: en \(x^2\), \(-2\) y 2 dan 4.
- Dividir entre cero o calcular raíces pares de negativos reales. Antes de sustituir, revisa el dominio.
- Unir puntos que no deben unirse. Algunas funciones tienen dominios discretos o discontinuidades.
- Confundir una gráfica cualquiera con una función. Aplica la prueba vertical para detectar más de una salida por entrada.
Resumen de funciones: fórmulas y gráficas principales
Esta tabla de consulta rápida te ayudará a identificar cada familia antes de resolver un ejercicio:
| Función | Ejemplo | Dominio real | Recorrido |
|---|---|---|---|
| Constante | \(f(x)=3\) | \(\mathbb R\) | \(\{3\}\) |
| Afín creciente | \(f(x)=2x+1\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) |
| Cuadrática | \(f(x)=x^2\) | \(\mathbb R\) | \([0,+\infty)\) |
| Racional | \(f(x)=1/x\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) |
| Radical | \(f(x)=\sqrt{x}\) | \([0,+\infty)\) | \([0,+\infty)\) |
| Exponencial | \(f(x)=2^x\) | \(\mathbb R\) | \((0,+\infty)\) |
| Logarítmica | \(f(x)=\ln x\) | \((0,+\infty)\) | \(\mathbb R\) |
| Trigonométrica | \(f(x)=\operatorname{sen}x\) | \(\mathbb R\) | \([-1,1]\) |
Consejo de estudio: cuando te den una función, empieza siempre por su dominio; después observa qué tipo es, cómo se comporta y cómo puede representarse.
⭐ Ejercicios de funciones resueltos
Resuelve los seis ejercicios antes de abrir cada solución. Empiezan con cálculos directos y terminan con operaciones que combinan varias ideas.
EJERCICIO 1Evaluar una función
📝 Enunciado
Sea \(f(x)=3x-2\). Calcula \(f(-1)\) y \(f(4)\).
Ver solución paso a paso
- Sustituimos \(x=-1\): \(f(-1)=3(-1)-2=-5\).
- Sustituimos \(x=4\): \(f(4)=3\cdot4-2=10\).
- Cada entrada produce un valor único.
✅ Resultado: \(\boxed{f(-1)=-5,\quad f(4)=10}\)
EJERCICIO 2Decidir si una tabla es una función
📝 Enunciado
La relación tiene los pares \((1,3)\), \((2,5)\), \((1,7)\) y \((3,9)\). ¿Es una función?
Ver solución paso a paso
- Buscamos si alguna entrada se repite con salidas diferentes.
- La entrada \(x=1\) aparece con \(y=3\) y \(y=7\).
- Por tanto, no hay una imagen única para \(x=1\).
✅ Resultado: No es una función porque a \(x=1\) le corresponden dos salidas distintas.
EJERCICIO 3Representar una recta mediante una tabla
📝 Enunciado
Dibuja \(f(x)=-x+3\) e identifica su pendiente y sus cortes con los ejes.
Ver solución paso a paso
- Construimos tres pares: \(f(0)=3\), \(f(1)=2\) y \(f(3)=0\).
- Marcamos \((0,3)\), \((1,2)\) y \((3,0)\) en el plano.
- Al ser afín con dominio real, su gráfica es la recta que pasa por esos puntos. La pendiente es el coeficiente de \(x\): \(-1\).
✅ Resultado: Pendiente \(m=-1\); cortes \(\boxed{(0,3)}\) y \(\boxed{(3,0)}\).
EJERCICIO 4Calcular un dominio con dos restricciones
📝 Enunciado
Halla el dominio de \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}\).
Ver solución paso a paso
- La raíz exige \(x+2\ge0\), es decir, \(x\ge-2\).
- El denominador no puede ser cero: \(x-1\ne0\), luego \(x\ne1\).
- Combinamos ambas condiciones e incluimos \(-2\), porque la raíz vale 0 y el denominador no se anula allí.
✅ Resultado: \(\boxed{\operatorname{Dom}(f)=[-2,1)\cup(1,+\infty)}\).
EJERCICIO 5Estudiar una función cuadrática
📝 Enunciado
Para \(f(x)=x^2-4x+3\), calcula el vértice, los cortes con el eje \(x\) y el recorrido.
Ver solución paso a paso
- Completamos el cuadrado: \(f(x)=(x-2)^2-1\).
- El vértice es \((2,-1)\), mínimo porque el coeficiente de \(x^2\) es positivo.
- Factorizamos: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), así que corta el eje horizontal en \(x=1\) y \(x=3\).
- El valor mínimo es \(-1\), por tanto el recorrido empieza allí y continúa hacia arriba.
✅ Resultado: Vértice \(\boxed{(2,-1)}\); ceros \(\boxed{1,3}\); recorrido \(\boxed{[-1,+\infty)}\).
EJERCICIO 6Componer funciones y comparar dominios
📝 Enunciado
Sean \(f(x)=\sqrt{x-1}\) y \(g(x)=2x+3\). Calcula \((f\circ g)(x)\) y \((g\circ f)(x)\), indicando sus dominios.
Ver solución paso a paso
- Para \(f\circ g\): sustituimos \(g(x)\) en \(f\): \(f(g(x))=\sqrt{(2x+3)-1}=\sqrt{2x+2}\).
- Exigimos \(2x+2\ge0\): el dominio de \(f\circ g\) es \([-1,+\infty)\).
- Para \(g\circ f\): sustituimos \(f(x)\) en \(g\): \(g(f(x))=2\sqrt{x-1}+3\).
- La raíz requiere \(x-1\ge0\): el dominio de \(g\circ f\) es \([1,+\infty)\).
✅ Resultado: \(\boxed{(f\circ g)(x)=\sqrt{2x+2}}\), dominio \([-1,+\infty)\); \(\boxed{(g\circ f)(x)=2\sqrt{x-1}+3}\), dominio \([1,+\infty)\).
Para practicar otros tipos de problemas, consulta ejercicios de funciones resueltos.
❓ Preguntas frecuentes sobre funciones matemáticas
Estas son las seis dudas básicas que conviene dominar para interpretar y resolver ejercicios de funciones.
¿Qué es una función matemática con un ejemplo?
Es una regla que asigna una única salida a cada entrada permitida. Por ejemplo, \(f(x)=2x+1\) asigna 7 a la entrada 3, porque \(f(3)=7\).
¿Cuál es la diferencia entre dominio y recorrido?
El dominio contiene los valores que podemos introducir en la función. El recorrido o imagen contiene los resultados que realmente puede producir. En \(f(x)=x^2\), el dominio real es \(\mathbb R\) y el recorrido \([0,+\infty)\).
¿Cómo saber si una gráfica es una función?
Aplica la prueba de la recta vertical: ninguna recta vertical puede cortar la gráfica en más de un punto. Si la corta dos veces, una misma entrada tiene dos salidas y no es una función de \(x\).
¿Cuáles son los principales tipos de funciones?
Los tipos más habituales son constantes, lineales, afines, cuadráticas, polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También pueden definirse a trozos.
¿En qué se diferencian una función lineal y una afín?
En la convención escolar de proporcionalidad, la función lineal tiene forma \(f(x)=mx\) y pasa por el origen, mientras que la afín tiene forma \(f(x)=mx+n\). Algunos manuales llaman lineal a cualquier función de primer grado.
¿Cómo se calcula la imagen de un número en una función?
Se sustituye ese número por \(x\) en la fórmula y se opera. Por ejemplo, si \(f(x)=x^2-1\), entonces \(f(4)=16-1=15\). Primero hay que comprobar que la entrada pertenece al dominio.
📚 Resumen final: una función asigna a cada entrada una sola imagen. Para estudiarla, identifica su dominio, calcula valores, analiza el recorrido y reconoce la familia a la que pertenece. Los gráficos te permiten ver cortes, crecimiento, extremos y discontinuidades.
Conclusión
La clave no está en aprender una lista de expresiones de memoria, sino en interpretar qué entra, qué sale y cómo cambia el resultado. Empieza con funciones afines y cuadráticas, practica el dominio de racionales y radicales y después amplía tu estudio a exponenciales, logaritmos y trigonometría.
Sigue aprendiendo
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