ejemplo de función afín

Función afín y pendiente de una recta

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 2 días · Actualizado hace 1 día

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es una función afín? Definición y fórmula
  2. ¿Qué es la pendiente de una recta y cómo se interpreta?
  3. Ordenada en el origen y puntos de corte con los ejes
  4. Cómo representar gráficamente una función afín paso a paso
  5. Diferencia entre función lineal, afín y constante
  6. Cómo calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos
  7. Cómo hallar la ecuación de la recta: pendiente y punto, o dos puntos
  8. Rectas paralelas y perpendiculares: relación entre pendientes
  9. Dominio, recorrido, continuidad y cero de la función afín
  10. Tabla resumen
  11. ⭐ Ejercicios de función afín resueltos

¿Qué es una función afín y cómo se calcula la pendiente de una recta? Una función afín se escribe como y = mx + n: su gráfica es una recta, m indica cuánto sube o baja y n dónde corta el eje vertical. Aquí aprenderás a interpretar ambos parámetros, obtener la ecuación de una recta a partir de dos puntos, dibujarla y practicar con un ejercicios resueltos.

¿Qué es una función afín? Definición y fórmula

Una función afín es una función de la forma \(f(x)=mx+n\), donde \(m\) y \(n\) son números reales. Su representación en el plano cartesiano es una recta no vertical. En muchos libros de ESO se reserva «función afín» para \(n\ne0\), y se estudian por separado las funciones lineales \(y=mx\) y las constantes \(y=n\); en un sentido amplio, las tres pertenecen a la familia \(mx+n\).

\[\boxed{y=mx+n}\]
ElementoSignificadoEn y = 2x + 1
xVariable independienteElegimos x = 0, 1, 2…
y = f(x)Valor que se obtiene para cada xSi x = 2, y = 5
mPendiente o variación2: sube dos unidades por cada unidad de x
nOrdenada en el origen1: pasa por (0,1)
💡 Recuerda: el término independiente no indica dónde la recta corta el eje horizontal, sino el eje Y. Para repasar la representación de funciones consulta cómo representar funciones fácilmente.

¿Qué es la pendiente de una recta y cómo se interpreta?

La pendiente \(m\) mide el cambio de la coordenada vertical cuando cambia la horizontal. Para dos puntos distintos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\) de una recta no vertical:

\[\boxed{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}}\quad (x_2\ne x_1)\]

Si la pendiente es \(m=2\), cada vez que avanzamos 1 unidad hacia la derecha, subimos 2. Si \(m=-\tfrac12\), al avanzar 2 unidades bajamos 1. El signo de la pendiente indica si la función crece, decrece o es constante.

Gráfica de y igual a 2x más 1 con los puntos (0,1), (1,3), avance horizontal 1 y ascenso 2
En y = 2x + 1, por cada unidad que avanza x, y aumenta dos; la recta corta al eje vertical en 1.
PendienteQué ocurre al aumentar xEjemplo
\(m>0\)La recta sube; función creciente\(y=3x+1\)
\(m<0\)La recta baja; función decreciente\(y=-2x+1\)
\(m=0\)La recta es horizontal; función constante\(y=4\)
Comparación de una recta creciente con pendiente positiva, otra decreciente con pendiente negativa y una horizontal con pendiente cero
Las tres rectas comparten la ordenada en el origen n = 1, pero su pendiente determina el sentido de crecimiento.
⚠️ Una recta vertical no tiene pendiente definida. Por ejemplo, \(x=3\) no puede escribirse como una función \(y=f(x)\), porque a \(x=3\) le corresponden muchos valores de y.

Ordenada en el origen y puntos de corte con los ejes

En \(y=mx+n\), el número \(n\) es la ordenada en el origen: el punto donde la recta corta el eje Y es \((0,n)\), porque al sustituir \(x=0\), resulta \(y=n\).

\[x=0\ \Longrightarrow\ y=n\quad\Rightarrow\quad(0,n)\]

Para hallar el punto de corte con el eje X se hace \(y=0\). Si \(m\ne0\), el corte es \(\bigl(-\frac{n}{m},0\bigr)\).

\[0=mx+n\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{n}{m}\]
Ejemplo 1. Cortes de y = 2x + 4

La ordenada en el origen es 4, por lo que corta el eje Y en \((0,4)\). Para encontrar el corte horizontal resolvemos \(0=2x+4\), de donde \(x=-2\). El punto de corte con el eje X es \((-2,0)\).

Casos especiales: en \(y=3\) no existe corte con el eje X; en \(y=0\), toda la recta coincide con dicho eje. Si \(n=0\) y \(m\ne0\), el corte con ambos ejes es el origen.

Cómo representar gráficamente una función afín paso a paso

Una recta queda determinada por dos puntos distintos. Para dibujar la gráfica de \(y=mx+n\) puedes construir una tabla de valores o partir de su corte con el eje vertical y aplicar la pendiente.

Ejemplo 2. Dibujar y = 2x + 1
  1. Identifica la pendiente y la ordenada: \(m=2\) y \(n=1\).
  2. Coloca el primer punto: \((0,1)\).
  3. Utiliza la pendiente: avanza 1 unidad a la derecha y sube 2. Obtienes \((1,3)\).
  4. Traza la recta que pasa por ambos puntos y prolóngala.
x−1012
y = 2x + 1−1135

Los cuatro puntos \((-1,-1)\), \((0,1)\), \((1,3)\) y \((2,5)\) están alineados. Consulta más técnicas y ejemplos en ejercicios de funciones resueltos.

Diferencia entre función lineal, afín y constante

En los temarios escolares se distinguen estas tres formas para reconocer rápidamente qué recta representan. Matemáticamente todas responden a \(y=mx+n\), con valores particulares de los parámetros.

TipoFormaCaracterística
Lineal (proporcionalidad directa)\(y=mx\)\(n=0\); pasa por el origen
Afín (sentido escolar habitual)\(y=mx+n\)\(n\ne0\); corta el eje Y fuera del origen
Constante\(y=n\)\(m=0\); recta horizontal
Gráficas comparadas de función lineal y=1,25x, afín y=1,25x+2 y constante y=2
La lineal pasa por (0,0); la afín con n = 2 está desplazada verticalmente, y la constante es horizontal.
💡 ¿Qué tienen en común? Las tres pueden escribirse con la expresión general \(mx+n\). Si \(n=0\), se obtiene una función lineal, y si \(m=0\), una función constante. Por eso conviene identificar qué convención utiliza tu libro de texto.
ejemplo de función afín

Cómo calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos

Si conoces dos puntos de una recta, puedes hallar su pendiente sin tener la ecuación. Resta las coordenadas y en el mismo orden: la diferencia de las y arriba y la diferencia de las x abajo.

\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]
Ejemplo 3. A(−1, −1) y B(2, 5)
  1. Calculamos la variación vertical: \(5-(-1)=6\).
  2. Calculamos la variación horizontal: \(2-(-1)=3\).
  3. Dividimos: \(m=\frac63=2\).
\[\boxed{m=\frac{5-(-1)}{2-(-1)}=\frac63=2}\]
⚠️ No mezcles el orden de las restas. Tanto \((y_B-y_A)/(x_B-x_A)\) como \((y_A-y_B)/(x_A-x_B)\) dan el mismo resultado, pero si cambias el orden solo en el numerador, cambias incorrectamente el signo.

Si quieres profundizar en las distintas expresiones de una recta, visita ecuaciones de la recta.

Cómo hallar la ecuación de la recta: pendiente y punto, o dos puntos

Puedes determinar \(y=mx+n\) con una pendiente y un punto, o con dos puntos distintos que no estén uno encima del otro en la misma vertical. Hay dos métodos equivalentes.

Método 1. Conocer la pendiente y un punto

Sustituye el punto \((x_0,y_0)\) en \(y=mx+n\) y despeja \(n\). También puedes usar directamente la ecuación punto-pendiente:

\[\boxed{y-y_0=m(x-x_0)}\]
Ejemplo 4. Pendiente −2 y punto P(1, 3)

Sustituimos \(x=1\), \(y=3\) y \(m=-2\): \(3=-2\cdot1+n\), así que \(n=5\). La función es \(\boxed{y=-2x+5}\).

Método 2. Conocer dos puntos

  1. Calcula m con la fórmula de la pendiente.
  2. Elige cualquiera de los dos puntos y sustitúyelo en \(y=mx+n\).
  3. Despeja n y escribe la ecuación.
  4. Comprueba que el otro punto también cumple la expresión.

Si los dos puntos tienen la misma coordenada x y distintas coordenadas y, su recta es vertical y no admite la forma de función \(y=mx+n\).

Rectas paralelas y perpendiculares: relación entre pendientes

En el plano, dos rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente. Si además comparten la misma ordenada en el origen, en realidad son la misma recta. Para rectas distintas de pendientes no nulas, son perpendiculares cuando el producto de las pendientes vale \(-1\).

\[\text{Paralelas:}\ m_1=m_2\qquad \text{Perpendiculares:}\ m_1m_2=-1\]
Ejemplo 5. Rectas con m = 2

La recta \(y=2x-3\) es paralela a \(y=2x+5\) porque ambas tienen pendiente 2. Una perpendicular a ellas tiene pendiente \(-\frac12\), por ejemplo \(y=-\frac12x+1\).

💡 Excepción útil: una recta horizontal es perpendicular a una vertical. La vertical no tiene pendiente numérica, por eso no puedes aplicar a ese par la fórmula del producto de pendientes.

Dominio, recorrido, continuidad y cero de la función afín

Si trabajamos con la función completa, sin restricciones de contexto, su dominio es \(\mathbb{R}\) y es continua para todos los números reales. El recorrido depende del valor de la pendiente:

PropiedadSi m ≠ 0Si m = 0
Dominio\(\mathbb R\)\(\mathbb R\)
Recorrido\(\mathbb R\)\(\{n\}\)
ContinuidadContinua en todo \(\mathbb R\)Continua en todo \(\mathbb R\)
Cero de la función\(x=-n/m\)Ninguno si n ≠ 0; todos si n = 0
MonotoníaCreciente si m > 0; decreciente si m < 0Constante

En una aplicación real puede cambiar el dominio permitido: por ejemplo, no existen −3 viajes ni un consumo de agua negativo. Puedes repasar este concepto en dominio de una función.

Aplicaciones de la función afín en la vida cotidiana

Las funciones afines permiten representar un coste fijo más un coste variable, una temperatura que cambia a ritmo constante o una magnitud que disminuye uniformemente.

🚕 Precio de un taxi\(C(k)=4+1{,}5k\): 4 € de bajada de bandera y 1,50 € por kilómetro.
📦 Envíos\(P(w)=3+0{,}8w\): 3 € de tarifa inicial y 0,80 € por kilogramo en el modelo simplificado.
🌡️ Conversión de temperatura\(F(C)=\frac95C+32\): ejemplo clásico de función afín.
💧 Depósito\(V(t)=80-5t\): comienza con 80 L y pierde 5 L por minuto (hasta vaciarse).

Errores frecuentes

⚠️ Comprueba estos errores antes de entregar un examen:
  1. Confundir m con n. En \(y=3x-2\), la pendiente es 3 y el corte vertical es −2.
  2. Suponer que toda recta pasa por el origen. Solo lo hace cuando \(n=0\).
  3. Restar las coordenadas en distinto orden. Conserva el mismo orden entre numerador y denominador.
  4. Interpretar una pendiente negativa como una recta a la izquierda. Significa que la y baja al avanzar hacia la derecha.
  5. Calcular pendiente para x iguales. Una recta vertical no tiene pendiente definida y no es una función y=f(x).
  6. Olvidar el dominio real del problema. En una tarifa por kilómetros, normalmente \(x\ge0\).

Tabla resumen

Pregunta habitualRegla
¿Forma general?\(y=mx+n\)
¿Pendiente desde dos puntos?\(m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)\), si \(x_1\ne x_2\)
¿Corte con el eje Y?\((0,n)\)
¿Corte con el eje X?\((-n/m,0)\), si \(m\ne0\)
¿Función creciente?\(m>0\)
¿Función decreciente?\(m<0\)
¿Constante?\(m=0\)
¿Rectas paralelas distintas?Misma m, distinta n
¿Punto-pendiente?\(y-y_0=m(x-x_0)\)

⭐ Ejercicios de función afín resueltos

Intenta resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. La dificultad aumenta desde identificar \(m\) y \(n\), hasta obtener ecuaciones a partir de puntos y resolver un problema de aplicación.

EJERCICIO 1Identificar m y n
📝 Enunciado

En la función \(f(x)=-3x+4\), determina la pendiente, la ordenada en el origen y \(f(2)\).

Ver solución paso a paso
  1. Comparamos con \(f(x)=mx+n\): \(m=-3\) y \(n=4\).
  2. El punto de corte vertical es \((0,4)\).
  3. Sustituimos \(x=2\): \(f(2)=-3\cdot2+4=-2\).
✅ Resultado: \(\boxed{m=-3,\ n=4,\ f(2)=-2}\).
EJERCICIO 2Completar una tabla y representar la recta
📝 Enunciado

Para \(y=2x-1\), calcula la imagen de \(x=-1,0,1,2\) e indica dos puntos suficientes para dibujarla.

Ver solución paso a paso
  1. Sustituimos \(x=-1\): \(y=-3\).
  2. Para \(x=0\), \(y=-1\); para \(x=1\), \(y=1\); para \(x=2\), \(y=3\).
  3. Con \((0,-1)\) y \((1,1)\) dibujamos la recta; también pasan por ella los otros dos puntos.
✅ Resultado: \(\boxed{(-1,-3),(0,-1),(1,1),(2,3)}\).
EJERCICIO 3Pendiente a partir de dos puntos
📝 Enunciado

Halla la pendiente de la recta que pasa por \(A(1,2)\) y \(B(4,8)\).

Ver solución paso a paso
  1. Aplicamos \(m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)\).
  2. Restamos las ordenadas: \(8-2=6\).
  3. Restamos las abscisas: \(4-1=3\), y dividimos \(6/3=2\).
✅ Resultado: \(\boxed{m=2}\).
EJERCICIO 4Hallar la ecuación con un punto y una pendiente
📝 Enunciado

Una recta tiene pendiente \(m=-\frac12\) y pasa por \(P(2,3)\). Calcula su ecuación y el corte con el eje X.

Ver solución paso a paso
  1. Escribimos \(y=-\frac12x+n\).
  2. Sustituimos \(P(2,3)\): \(3=-1+n\), luego \(n=4\).
  3. Para el corte con X hacemos \(0=-\frac12x+4\), por lo que \(x=8\).
✅ Resultado: \(\boxed{y=-\frac12x+4}\); corte \(\boxed{(8,0)}\).
EJERCICIO 5Ecuación de la recta por dos puntos
📝 Enunciado

Calcula la ecuación de la recta que pasa por \(A(-2,5)\) y \(B(2,-3)\).

Ver solución paso a paso
  1. La pendiente es \(m=\frac{-3-5}{2-(-2)}=\frac{-8}{4}=-2\).
  2. Sustituimos el punto \(B\): \(-3=-2\cdot 2+n\), de donde \(n=1\).
  3. Comprobamos con A: \(-2(-2)+1=5\), correcto.
✅ Resultado: \(\boxed{y=-2x+1}\).
EJERCICIO 6Problema aplicado: tarifa con coste fijo
📝 Enunciado

Una empresa cobra 6 € fijos y 0,18 € por kilómetro. Escribe la función de coste, calcula el precio para 25 km y averigua cuántos km corresponden a 15 €.

Ver solución paso a paso
  1. El coste fijo es la ordenada \(n=6\) y el precio por km es la pendiente \(m=0{,}18\).
  2. La función es \(C(x)=6+0{,}18x\), con \(x\ge0\).
  3. Para 25 km: \(C(25)=6+0{,}18\cdot25=10{,}50\) €.
  4. Para 15 €: \(15=6+0{,}18x\), así \(x=9/0{,}18=50\) km.
✅ Resultado: \(\boxed{C(x)=6+0{,}18x}\), \(\boxed{C(25)=10{,}50\,\text{€}}\), \(\boxed{x=50\ \mathrm{km}}\).

Si quieres más práctica, visita ejercicios de funciones resueltos y ecuaciones de la recta.

❓Preguntas frecuentes sobre función afín y pendiente

¿Qué es una función afín?
Es una función de la forma \(y=mx+n\), cuya gráfica es una recta no vertical. \(m\) representa la pendiente y \(n\) el corte con el eje Y. En algunos cursos se reserva el término para \(n\ne0\).
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?
Si conoces la ecuación \(y=mx+n\), la pendiente es el coeficiente \(m\). Con dos puntos, calcula \(m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)\) siempre que \(x_1\ne x_2\).
¿Qué diferencia hay entre función lineal y función afín?
En la clasificación escolar habitual, la lineal es \(y=mx\) y pasa por el origen; la afín es \(y=mx+n\), normalmente con \(n\ne0\). En sentido amplio, la lineal es un caso particular de función afín.
¿Cómo se dibuja la gráfica de una función afín?
Marca el punto \((0,n)\); utiliza la pendiente para calcular un segundo punto, o construye una tabla con dos valores diferentes de x. Después traza la recta que pasa por ellos.
¿Qué significa que la pendiente sea negativa o cero?
Con \(m<0\), la función es decreciente: al aumentar x, disminuye y. Si \(m=0\), la función es constante y la gráfica es horizontal.
¿Cómo encuentro la ecuación de una recta a partir de dos puntos?
Primero calcula \(m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)\) y luego sustituye las coordenadas de uno de los puntos en \(y=mx+n\) para hallar \(n\). Si los puntos comparten la misma x, la recta es vertical y no representa una función afín de x.
📚 Resumen final: una función afín se describe con \(y=mx+n\): m mide cómo varía la recta y n marca el corte con el eje vertical. Con dos puntos distintos de x diferentes puedes calcular la pendiente, obtener n y representar la función.

Conclusión

La clave para dominar las funciones afines es interpretar correctamente la pendiente y la ordenada en el origen, comprobar los signos y practicar la obtención de ecuaciones. Utiliza el explorador para visualizar cómo cambia la recta y vuelve a los seis ejercicios hasta resolverlos sin ayuda.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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