4 casos de la posición relativa de dos rectas

Posición relativa de dos rectas: en el plano y en el espacio

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 1 día · Actualizado hace 1 día

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la posición relativa de dos rectas?
  2. Posición relativa por las pendientes
  3. Posición relativa con la ecuación general: coeficientes y vectores
  4. Posición relativa con un sistema de ecuaciones: el punto de corte
  5. Posición relativa de dos rectas en el espacio
  6. Resumen de lo importante
  7. Errores frecuentes
  8. 🧮 Calculadora de la posición relativa de dos rectas
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios resueltos de la posición relativa de dos rectas

¿Cuál es la posición relativa de dos rectas? La posición relativa de dos rectas en el plano puede ser de tres tipos: secantes si se cortan en un punto, paralelas si no tienen ningún punto en común y coincidentes si son la misma recta. En el espacio hay una cuarta posibilidad: que las rectas se crucen. En esta guía podrás entender las cuatro formas de decidirlo. Con muchos ejemplos y ejercicios con solución paso a paso y una calculadora.

⚡ La posición relativa de dos rectas en 30 segundos
Dadas \(r:\ A_1x+B_1y+C_1=0\) y \(s:\ A_2x+B_2y+C_2=0\), compara los coeficientes:
Secantes: \(\dfrac{A_1}{A_2}\neq\dfrac{B_1}{B_2}\)
Paralelas: \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}\neq\dfrac{C_1}{C_2}\)
Coincidentes: \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\)

Ejemplo: \(x+2y-4=0\) y \(3x-y+5=0\) cumplen \(\dfrac{1}{3}\neq\dfrac{2}{-1}\), así que son secantes.

¿Qué es la posición relativa de dos rectas?

Estudiar la posición relativa de dos rectas \(r\) y \(s\) es decidir cómo están colocadas una respecto a la otra. En el plano solo hay tres posibilidades, y se distinguen por el número de puntos que tienen en común, que es también el número de soluciones del sistema formado por sus dos ecuaciones:

PosiciónPuntos en comúnSistema de las dos ecuaciones
SecantesUno solo, el punto de corteCompatible determinado: una solución
ParalelasNingunoIncompatible: sin solución
CoincidentesTodos, porque son la misma rectaCompatible indeterminado: infinitas soluciones
Tres paneles con dos rectas r y s en el plano: secantes, que se cortan en un punto; paralelas, con la misma pendiente y distinta ordenada, que no se tocan; y coincidentes, con la misma pendiente y la misma ordenada, que son la misma recta

Hay cuatro formas de averiguar cuál es la posición. Elige según cómo te den las rectas:

MétodoCuándo se usaQué comparas
PendientesLa recta está en forma explícita, \(y=mx+n\)\(m\) y \(n\) de cada recta
CoeficientesLas rectas están en forma general, \(Ax+By+C=0\)\(A\), \(B\) y \(C\) de cada recta
Vectores directoresTienes un punto y un vector, o las ecuaciones paramétricas o continuasSi los vectores son proporcionales
Sistema de ecuacionesCon cualquier forma, y cuando quieres el punto de corteSi el sistema tiene una, ninguna o infinitas soluciones
💡 Rectas perpendiculares. Dos rectas perpendiculares son un caso particular de secantes: se cortan formando un ángulo recto. En el ejemplo 4 verás cómo reconocerlas. En el espacio, además, hay una cuarta posición, que se estudia al final.

Posición relativa por las pendientes

Si las rectas están en forma explícita, \(r:\ y=m_1x+n_1\) y \(s:\ y=m_2x+n_2\), basta comparar las pendientes \(m\) y las ordenadas en el origen \(n\):

CondiciónPosición
\(m_1\neq m_2\)Secantes
\(m_1=m_2\) y \(n_1\neq n_2\)Paralelas
\(m_1=m_2\) y \(n_1=n_2\)Coincidentes

Si la recta no está en forma explícita, se despeja la \(y\). De la ecuación general \(Ax+By+C=0\), con \(B\neq 0\), sale \(y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}\), así que la pendiente es \(m=-\dfrac{A}{B}\). Si necesitas repasar las formas de la recta, mira las ecuaciones de la recta.

Ejemplo 1: estudio la posición de \(r:\ y=2x+1\) y \(s:\ y=2x-3\).
  1. Comparo las pendientes: \(m_1=2\) y \(m_2=2\). Son iguales, así que las rectas son paralelas o coincidentes.
  2. Comparo las ordenadas: \(n_1=1\) y \(n_2=-3\). Son distintas.
  3. Conclusión: las rectas son paralelas.
Ejemplo 2: estudio la posición de \(r:\ 3x-2y+4=0\) y \(s:\ 6x-4y+8=0\).
  1. Despejo \(y\) en \(r\):\[-2y=-3x-4\]\[y=\frac{3}{2}x+2\]
  2. Despejo \(y\) en \(s\):\[-4y=-6x-8\]\[y=\frac{3}{2}x+2\]
  3. Conclusión: las dos tienen \(m=\dfrac{3}{2}\) y \(n=2\). Son la misma recta: coincidentes.
💡 Rectas verticales. Una recta \(x=a\) no tiene pendiente, así que este método no sirve. Dos rectas verticales \(x=2\) y \(x=5\) son paralelas, y una vertical \(x=2\) con una horizontal \(y=3\) son secantes. Para esos casos usa los coeficientes.
💡 Perpendiculares. Dos rectas con pendientes \(m_1\) y \(m_2\) son perpendiculares cuando \(m_1\cdot m_2=-1\). Por ejemplo, \(y=2x\) e \(y=-\dfrac{1}{2}x\) lo son, porque \(2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\).
4 casos de la posición relativa de dos rectas

Posición relativa con la ecuación general: coeficientes y vectores

Si las rectas están en forma general, \(r:\ A_1x+B_1y+C_1=0\) y \(s:\ A_2x+B_2y+C_2=0\), se comparan los coeficientes y no hace falta despejar nada:

CondiciónPosición
\(\dfrac{A_1}{A_2}\neq\dfrac{B_1}{B_2}\)Secantes
\(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}\neq\dfrac{C_1}{C_2}\)Paralelas
\(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\)Coincidentes

Es el mismo criterio de las pendientes, porque \(m=-\dfrac{A}{B}\). Cuando algún coeficiente vale 0 no se puede dividir, y conviene usar productos cruzados. Las rectas son secantes si:

\[D=A_1B_2-A_2B_1\neq 0\]

Si \(D=0\), las rectas son coincidentes cuando además \(A_1C_2-A_2C_1=0\) y \(B_1C_2-B_2C_1=0\), y paralelas en caso contrario.

Ejemplo 3: estudio la posición de \(r:\ 2x-3y+6=0\) y \(s:\ 4x-6y+1=0\).
  1. Calculo los tres cocientes:\[\frac{A_1}{A_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]\[\frac{B_1}{B_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\]\[\frac{C_1}{C_2}=\frac{6}{1}=6\]
  2. Comparo: los dos primeros son iguales, \(\dfrac{1}{2}\), pero el tercero es distinto, \(6\).
  3. Conclusión: las rectas son paralelas.
Ejemplo 4: estudio la posición de \(r:\ x+2y-4=0\) y \(s:\ 3x-y+5=0\).
  1. Calculo los cocientes de \(A\) y de \(B\):\[\frac{A_1}{A_2}=\frac{1}{3}\]\[\frac{B_1}{B_2}=\frac{2}{-1}=-2\]
  2. Comparo: \(\dfrac{1}{3}\neq-2\), así que las rectas son secantes.
  3. Perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si \(A_1A_2+B_1B_2=0\). Aquí:\[A_1A_2+B_1B_2=1\cdot 3+2\cdot(-1)=1\]Vale \(1\), no \(0\): son secantes, pero no perpendiculares.

Con los vectores directores

Un vector director de \(Ax+By+C=0\) es \(\vec{u}=(-B,\ A)\). Si tienes un punto y un vector de cada recta, o sus ecuaciones paramétricas o continuas, se compara la dirección:

  1. Vectores no proporcionales: las rectas son secantes. Se ve con \(m=u_1v_2-u_2v_1\neq 0\).
  2. Vectores proporcionales (\(m=0\)): las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlas, se comprueba si el punto \(Q\) de la segunda recta está en la primera, es decir, si \(\overrightarrow{PQ}\) es proporcional a \(\vec{u}\). Si lo es, son coincidentes, y si no, paralelas.
Ejemplo 5: la recta \(r\) pasa por \(P(1,\ 2)\) con vector director \(\vec{u}=(3,\ -2)\), y la recta \(s\) pasa por \(Q(4,\ 0)\) con vector director \(\vec{v}=(-6,\ 4)\).
  1. Comparo los vectores:\[m=u_1v_2-u_2v_1=3\cdot 4-(-2)\cdot(-6)\]\[=12-12=0\]Son proporcionales, porque \(\vec{v}=-2\vec{u}\). Las rectas son paralelas o coincidentes.
  2. Calculo \(\overrightarrow{PQ}=(4-1,\ 0-2)=(3,\ -2)\) y miro si es proporcional a \(\vec{u}\):\[u_1w_2-u_2w_1=3\cdot(-2)-(-2)\cdot 3\]\[=-6+6=0\]
  3. Conclusión: \(\overrightarrow{PQ}\) es proporcional a \(\vec{u}\), luego \(Q\) está en \(r\). Las rectas son coincidentes.

Posición relativa con un sistema de ecuaciones: el punto de corte

Los puntos comunes de dos rectas son las soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Por eso un sistema da la posición y, si las rectas se cortan, también el punto de corte. Con \(M\) la matriz de coeficientes y \(M^*\) la matriz ampliada, el teorema de Rouché-Frobenius lo resume así:

SistemaRangosRectas
Compatible determinado\(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=2\)Secantes
Incompatible\(\operatorname{rg}(M)=1\) y \(\operatorname{rg}(M^*)=2\)Paralelas
Compatible indeterminado\(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=1\)Coincidentes

Para calcular los rangos, mira el rango de una matriz. Para resolver el sistema puedes usar sustitución, igualación o reducción, como en los sistemas de ecuaciones, o la regla de Cramer. Con \(D=A_1B_2-A_2B_1\neq 0\), el punto de corte de dos rectas en forma general es:

\[x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{D}\]\[y=\frac{A_2C_1-A_1C_2}{D}\]
Ejemplo 6: hallo el punto de corte de \(r:\ x+2y-4=0\) y \(s:\ 3x-y+5=0\), que son las rectas del ejemplo 4.
  1. Calculo \(D\) con \(A_1=1\), \(B_1=2\), \(C_1=-4\), \(A_2=3\), \(B_2=-1\) y \(C_2=5\):\[D=1\cdot(-1)-3\cdot 2=-7\]
  2. Calculo \(x\):\[x=\frac{2\cdot 5-(-1)\cdot(-4)}{-7}=\frac{6}{-7}=-\frac{6}{7}\]
  3. Calculo \(y\):\[y=\frac{3\cdot(-4)-1\cdot 5}{-7}=\frac{-17}{-7}=\frac{17}{7}\]
  4. Compruebo en \(r\):\[-\frac{6}{7}+2\cdot\frac{17}{7}-4=\frac{-6+34-28}{7}=0\]
  5. Conclusión: las rectas son secantes y se cortan en \(P\left(-\dfrac{6}{7},\ \dfrac{17}{7}\right)\).
Las rectas x + 2y − 4 = 0 y 3x − y + 5 = 0 dibujadas sobre unos ejes con cuadrícula: la primera baja de izquierda a derecha, la segunda sube con fuerza, y se cortan en el punto P de coordenadas menos 6 séptimos y 17 séptimos
Ejemplo 7: estudio las posiciones de a) \(x+2y-3=0\) y \(2x+4y+5=0\), y b) \(x+2y-3=0\) y \(3x+6y-9=0\).
  1. Apartado a. Escribo el sistema como \(x+2y=3\) y \(2x+4y=-5\). Multiplico la primera ecuación por 2:\[2x+4y=6\]\[2x+4y=-5\]La misma expresión, \(2x+4y\), no puede valer \(6\) y \(-5\) a la vez. El sistema es incompatible y las rectas son paralelas. Con rangos, \(\operatorname{rg}(M)=1\) y \(\operatorname{rg}(M^*)=2\).
  2. Apartado b. Escribo el sistema como \(x+2y=3\) y \(3x+6y=9\). Si multiplico la primera ecuación por 3, sale \(3x+6y=9\), que es la segunda. Las dos ecuaciones dicen lo mismo, así que hay infinitas soluciones y las rectas son coincidentes. Con rangos, \(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=1\).

Posición relativa de dos rectas en el espacio

En el espacio hay una posición más. Dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas o secantes, y además pueden cruzarse: no se cortan y tampoco son paralelas, porque no están en un mismo plano. Es lo que pasa, por ejemplo, con un puente y la carretera que pasa por debajo.

Se parte de un punto y un vector director de cada recta: \(r\) pasa por \(P\) con vector \(\vec{u}\), y \(s\) pasa por \(Q\) con vector \(\vec{v}\). Si te dan las ecuaciones continuas, como \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{3}\), el punto es \((1,\ -1,\ 0)\) y el vector es \((2,\ -1,\ 3)\). La posición depende de los rangos de los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\):

\(\operatorname{rg}\{\vec{u},\vec{v}\}\)\(\operatorname{rg}\{\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{PQ}\}\)Posición
11Coincidentes
12Paralelas
22Secantes
23Se cruzan
Cuatro paneles con dos rectas r y s en el espacio: coincidentes, que son la misma recta; paralelas, con la misma dirección; secantes, que se cortan en un punto dentro de un plano; y rectas que se cruzan, una en un plano y la otra por encima sin llegar a tocarla

En la práctica se sigue este orden:

  1. Calculo \(\overrightarrow{PQ}=Q-P\).
  2. Miro si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son proporcionales. Si lo son, miro si \(\overrightarrow{PQ}\) también es proporcional a \(\vec{u}\): en ese caso son coincidentes, y si no, paralelas.
  3. Si no son proporcionales, calculo el determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\), por la regla de Sarrus, como en los determinantes. Si vale 0, las rectas están en un mismo plano y son secantes. Si no vale 0, se cruzan.
  4. Si son secantes, el punto de corte sale de resolver \(P+t\vec{u}=Q+s\vec{v}\).
Ejemplo 8: estudio la posición de la recta \(r\), que pasa por \(P(1,\ 0,\ 2)\) con \(\vec{u}=(2,\ 1,\ -1)\), y la recta \(s\), que pasa por \(Q(0,\ 3,\ 1)\) con \(\vec{v}=(1,\ -1,\ 2)\).
  1. Calculo \(\overrightarrow{PQ}=Q-P\):\[\overrightarrow{PQ}=(0-1,\ 3-0,\ 1-2)\]\[=(-1,\ 3,\ -1)\]
  2. Comparo \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\): \(\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}\), así que no son proporcionales. Las rectas son secantes o se cruzan.
  3. Calculo el determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\) por Sarrus:\[D\]\[=2\cdot(-1)\cdot(-1)+1\cdot 2\cdot(-1)\]\[+(-1)\cdot 1\cdot 3-(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\]\[-2\cdot 2\cdot 3-1\cdot 1\cdot(-1)\]\[D=2-2-3+1-12+1=-13\]
  4. Conclusión: \(D\neq 0\), luego \(\operatorname{rg}\{\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{PQ}\}=3\) y las rectas no están en un mismo plano. Las rectas se cruzan.
Ejemplo 9: estudio la recta \(r\), que pasa por \(P(1,\ -1,\ 4)\) con \(\vec{u}=(2,\ 1,\ -1)\), y la recta \(s\), que pasa por \(Q(0,\ 3,\ 0)\) con \(\vec{v}=(1,\ -1,\ 1)\), y hallo su punto de corte si lo hay.
  1. Calculo \(\overrightarrow{PQ}=(-1,\ 4,\ -4)\). Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no son proporcionales, porque \(\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}\).
  2. Determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\):\[D\]\[=2\cdot(-1)\cdot(-4)+1\cdot 1\cdot(-1)\]\[+(-1)\cdot 1\cdot 4-(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\]\[-2\cdot 1\cdot 4-1\cdot 1\cdot(-4)\]\[D=8-1-4+1-8+4=0\]Las rectas están en un mismo plano y no son paralelas: son secantes.
  3. Punto de corte. Igualo \(P+t\vec{u}=Q+s\vec{v}\), coordenada a coordenada:\[1+2t=s\]\[-1+t=3-s\]\[4-t=s\]
  4. Resuelvo. Con la primera y la tercera, \(1+2t=4-t\), luego \(t=1\) y \(s=3\). Compruebo en la segunda: \(-1+1=0\) y \(3-3=0\).
  5. Conclusión: las rectas son secantes. Sustituyo \(t=1\) en \(r\):\[(1+2\cdot 1,\ -1+1,\ 4-1)=(3,\ 0,\ 3)\]Se cortan en el punto \((3,\ 0,\ 3)\).
Ejemplo 10: la recta \(r\) pasa por \(P(1,\ 2,\ -1)\) con \(\vec{u}=(2,\ -4,\ 6)\), y la recta \(s\) tiene vector \(\vec{v}=(-1,\ 2,\ -3)\). Estudio la posición si \(s\) pasa por a) \(Q(3,\ -2,\ 5)\) o b) \(Q(3,\ -2,\ 4)\).
  1. Comparo \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\):\[\frac{-1}{2}=\frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}\]Son proporcionales (\(\vec{v}=-\dfrac{1}{2}\vec{u}\)), luego las rectas son paralelas o coincidentes.
  2. Apartado a. Calculo \(\overrightarrow{PQ}\):\[\overrightarrow{PQ}=(3-1,\ -2-2,\ 5-(-1))\]\[=(2,\ -4,\ 6)\]Es igual a \(\vec{u}\), así que \(Q\) está en \(r\): las rectas son coincidentes.
  3. Apartado b. \(\overrightarrow{PQ}=(2,\ -4,\ 5)\). Comparo con \(\vec{u}\):\[\frac{2}{2}=1,\qquad\frac{-4}{-4}=1,\qquad\frac{5}{6}\neq 1\]No es proporcional, así que \(Q\) no está en \(r\): las rectas son paralelas.
💡 Rectas dadas por dos planos. Si las rectas vienen como intersección de dos planos, cada una con dos ecuaciones, se forma un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas y se comparan los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada. También puedes pasar a un punto y un vector director y seguir el método anterior.

Resumen de lo importante

ConceptoQué recordar
Posiciones en el planoSecantes (un punto), paralelas (ninguno) y coincidentes (todos)
Pendientes\(m_1\neq m_2\): secantes. \(m_1=m_2\): paralelas si \(n_1\neq n_2\) y coincidentes si \(n_1=n_2\)
Coeficientes\(\dfrac{A_1}{A_2}\neq\dfrac{B_1}{B_2}\): secantes. Si son iguales, paralelas con \(\neq\dfrac{C_1}{C_2}\) y coincidentes con \(=\dfrac{C_1}{C_2}\)
Vector director\(\vec{u}=(-B,\ A)\). Si son proporcionales, paralelas o coincidentes
Sistema\(\operatorname{rg}(M)=2\): secantes. \(\operatorname{rg}(M)=1\): paralelas si \(\operatorname{rg}(M^*)=2\) y coincidentes si \(\operatorname{rg}(M^*)=1\)
Punto de corte\(x=\dfrac{B_1C_2-B_2C_1}{D}\) e \(y=\dfrac{A_2C_1-A_1C_2}{D}\), con \(D=A_1B_2-A_2B_1\)
Perpendiculares\(A_1A_2+B_1B_2=0\), o \(m_1\cdot m_2=-1\)
EspacioRangos de \(\{\vec{u},\vec{v}\}\) y de \(\{\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{PQ}\}\): 1 y 1 coincidentes, 1 y 2 paralelas, 2 y 2 secantes, 2 y 3 se cruzan

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Decir «paralelas» solo porque las pendientes coinciden. Si además las ordenadas son iguales, las rectas son coincidentes. Mira siempre \(n\), o el cociente de \(C\).
  • Olvidar el término independiente. Con \(2x-3y+6=0\) y \(4x-6y+1=0\) los cocientes de \(A\) y \(B\) son iguales, pero \(\dfrac{6}{1}\neq\dfrac{1}{2}\): son paralelas. Con \(4x-6y+12=0\) serían coincidentes.
  • Dividir entre 0. Con \(x-3=0\) e \(y+2=0\) hay coeficientes nulos y no se pueden hacer cocientes. Calcula \(D=A_1B_2-A_2B_1\), que vale \(1\), distinto de 0: son secantes.
  • Equivocar el signo de la pendiente. En \(Ax+By+C=0\) la pendiente es \(-\dfrac{A}{B}\), no \(\dfrac{A}{B}\). En \(3x-2y+4=0\) es \(\dfrac{3}{2}\).
  • Confundir la perpendicularidad. Las pendientes de rectas perpendiculares cumplen \(m_1\cdot m_2=-1\), no \(m_1\cdot m_2=1\).
  • En el espacio, creer que si no se cortan son paralelas. Pueden cruzarse. Son paralelas solo si los vectores directores son proporcionales.
  • Con vectores proporcionales, concluir «paralelas» sin más. Hay que ver si un punto de una recta está en la otra, porque pueden ser coincidentes, como en el ejemplo 5.

🧮 Calculadora de la posición relativa de dos rectas

Tienes dos pestañas. En «Rectas en el plano» eliges cómo tienes las rectas, con la ecuación general, con la pendiente y la ordenada, o con un punto y un vector director, y te digo si son secantes, paralelas o coincidentes, con el punto de corte y si son perpendiculares. En «Rectas en el espacio» escribes un punto y un vector director de cada recta y te digo si son coincidentes, paralelas, secantes o se cruzan, con el punto de corte si lo hay. El cálculo es exacto y explica cada paso.

Elige cómo tienes las rectas. Te digo si son secantes, paralelas o coincidentes, y si se cortan, en qué punto.

Recta \(r:\ A_1x+B_1y+C_1=0\)

Recta \(s:\ A_2x+B_2y+C_2=0\)

Escribe números enteros, decimales con coma o punto, o fracciones como 1/2. El cálculo es exacto.

🌍 Dónde aparece la posición relativa de dos rectas

🎓 Bachillerato y selectividadEn geometría analítica es habitual estudiar la posición de dos rectas, hallar su punto de corte o un parámetro. Mira los ejercicios 5, 8 y 10.
🚢 Rutas que se cortanDos barcos o dos aviones que siguen rutas rectas solo pueden chocar si las rutas se cortan. Si son paralelas, nunca coinciden en un punto.
🎮 Gráficos y videojuegosPara saber dónde choca un rayo de luz o un disparo con una pared se halla el punto de corte de dos rectas. Si son paralelas, no hay impacto.
🏗️ Diseño y construcciónLos raíles de una vía son paralelos y las esquinas de una pared son perpendiculares. Y en el espacio, dos tuberías pueden cruzarse sin tocarse.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Posiciones en el planoSecantes: un punto en común. Paralelas: ninguno. Coincidentes: todos, son la misma recta.
Por las pendientes\(m_1\neq m_2\): secantes. Si \(m_1=m_2\): paralelas con \(n_1\neq n_2\) y coincidentes con \(n_1=n_2\).
Por los coeficientes\(\dfrac{A_1}{A_2}\neq\dfrac{B_1}{B_2}\): secantes. Si son iguales, se mira \(\dfrac{C_1}{C_2}\): distinto, paralelas, e igual, coincidentes.
Con coeficientes nulosSi no se puede dividir, se usa \(D=A_1B_2-A_2B_1\). Con \(D\neq 0\) son secantes.
Punto de corteEs la solución del sistema de las dos ecuaciones. Con \(D\neq 0\) sirve la regla de Cramer.
Perpendiculares\(A_1A_2+B_1B_2=0\), o \(m_1\cdot m_2=-1\). Son un caso de rectas secantes.

⭐ Ejercicios resueltos de la posición relativa de dos rectas

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Son 10, ordenados de menos a más difícil. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

Nivel 1: identificar la posición

EJERCICIO 1Con las pendientes
📝 EnunciadoEstudia la posición relativa de cada pareja de rectas. a) \(y=3x-2\) e \(y=-x+6\). b) \(y=-\dfrac{1}{2}x+4\) y \(x+2y-8=0\). c) \(y=5x+1\) y \(10x-2y+3=0\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Las pendientes son \(m_1=3\) y \(m_2=-1\). Son distintas, así que las rectas son secantes.
  2. Apartado b. Despejo la \(y\) en la segunda recta:\[2y=-x+8\]\[y=-\frac{1}{2}x+4\]Tiene la misma pendiente y la misma ordenada que la primera, así que las rectas son coincidentes.
  3. Apartado c. Despejo la \(y\) en la segunda recta:\[-2y=-10x-3\]\[y=5x+\frac{3}{2}\]Las pendientes coinciden, \(m=5\), pero las ordenadas no: \(1\neq\dfrac{3}{2}\). Las rectas son paralelas.
✅ Resultado: a) Secantes. b) Coincidentes. c) Paralelas.
EJERCICIO 2Con los coeficientes
📝 EnunciadoEstudia la posición relativa de cada pareja de rectas. a) \(2x+3y-5=0\) y \(4x+6y-10=0\). b) \(3x-y+2=0\) y \(6x-2y+7=0\). c) \(x-4y+1=0\) y \(2x+y-3=0\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Calculo los tres cocientes:\[\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\]Los tres son iguales: las rectas son coincidentes.
  2. Apartado b. Calculo los tres cocientes:\[\frac{A_1}{A_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]\[\frac{B_1}{B_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\]\[\frac{C_1}{C_2}=\frac{2}{7}\]Los dos primeros coinciden, pero el tercero no: las rectas son paralelas.
  3. Apartado c. Calculo los cocientes de \(A\) y de \(B\):\[\frac{A_1}{A_2}=\frac{1}{2}\]\[\frac{B_1}{B_2}=\frac{-4}{1}=-4\]Son distintos: las rectas son secantes.
✅ Resultado: a) Coincidentes. b) Paralelas. c) Secantes.
EJERCICIO 3Rectas con coeficientes nulos
📝 EnunciadoEstudia la posición relativa de a) \(x-4=0\) e \(y+1=0\), y b) \(2x-6=0\) y \(3x-12=0\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Hay coeficientes nulos y no se puede dividir, así que uso \(D\), con \(A_1=1\), \(B_1=0\), \(A_2=0\) y \(B_2=1\):\[D=A_1B_2-A_2B_1=1\cdot 1-0\cdot 0=1\]Como \(D\neq 0\), las rectas son secantes. Son la vertical \(x=4\) y la horizontal \(y=-1\), y se cortan en \((4,\ -1)\).
  2. Apartado b. Las dos rectas no tienen \(y\), así que \(B_1=B_2=0\). Calculo \(D\):\[D=2\cdot 0-3\cdot 0=0\]Como \(D=0\), miro el término independiente:\[A_1C_2-A_2C_1=2\cdot(-12)-3\cdot(-6)\]\[=-24+18=-6\]No vale 0, luego las rectas son paralelas. Se ve también despejando: son las verticales \(x=3\) y \(x=4\).
✅ Resultado: a) Secantes, en el punto \((4,\ -1)\). b) Paralelas.

Nivel 2: punto de corte, parámetros y vectores

EJERCICIO 4Punto de corte y perpendicularidad
📝 EnunciadoHalla el punto de corte de \(2x+y-7=0\) y \(x-2y-1=0\), y averigua si son perpendiculares.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Con \(A_1=2\), \(B_1=1\), \(C_1=-7\), \(A_2=1\), \(B_2=-2\) y \(C_2=-1\), calculo \(D\):\[D=2\cdot(-2)-1\cdot 1=-5\]Como \(D\neq 0\), las rectas son secantes.
  2. Paso 2. Calculo el punto de corte:\[x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{D}\]\[=\frac{1\cdot(-1)-(-2)\cdot(-7)}{-5}=\frac{-15}{-5}=3\]\[y=\frac{A_2C_1-A_1C_2}{D}=\frac{1\cdot(-7)-2\cdot(-1)}{-5}\]\[=\frac{-5}{-5}=1\]
  3. Paso 3. Compruebo en las dos ecuaciones: \(2\cdot 3+1-7=0\) y \(3-2\cdot 1-1=0\).
  4. Paso 4. Perpendicularidad:\[A_1A_2+B_1B_2=2\cdot 1+1\cdot(-2)=0\]Vale 0, luego las rectas son perpendiculares.
✅ Resultado: Son secantes, se cortan en \((3,\ 1)\) y son perpendiculares.
EJERCICIO 5Un parámetro en las rectas
📝 EnunciadoEstudia la posición relativa de \(r:\ kx+4y-6=0\) y \(s:\ x+ky-3=0\) según los valores de \(k\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Las rectas son secantes si \(D\neq 0\):\[D=A_1B_2-A_2B_1=k\cdot k-1\cdot 4\]\[=k^2-4\]
  2. Paso 2. Busco cuándo \(D=0\):\[k^2-4=0\]\[k=2\quad\text{o}\quad k=-2\]Para cualquier otro valor de \(k\), las rectas son secantes.
  3. Paso 3. Si \(k=2\), las rectas son \(2x+4y-6=0\) y \(x+2y-3=0\). Los cocientes son \(\dfrac{2}{1}=\dfrac{4}{2}=\dfrac{-6}{-3}=2\), así que son coincidentes.
  4. Paso 4. Si \(k=-2\), las rectas son \(-2x+4y-6=0\) y \(x-2y-3=0\). Los cocientes son \(\dfrac{-2}{1}=\dfrac{4}{-2}=-2\), pero \(\dfrac{-6}{-3}=2\). Son paralelas.
✅ Resultado: Secantes si \(k\neq 2\) y \(k\neq -2\). Coincidentes si \(k=2\). Paralelas si \(k=-2\).
EJERCICIO 6Con los vectores directores
📝 EnunciadoLa recta \(r\) es \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}\). Estudia su posición respecto a a) \(s:\ x=3-4\lambda,\ y=-5+2\lambda\), y b) \(s^*:\ x=5-4\lambda,\ y=-5+2\lambda\).
Ver solución paso a paso
  1. Datos de \(r\). Pasa por \(P(1,\ -3)\) y tiene vector director \(\vec{u}=(2,\ -1)\).
  2. Apartado a. La recta \(s\) pasa por \(Q(3,\ -5)\) con \(\vec{v}=(-4,\ 2)\). Comparo los vectores:\[m=u_1v_2-u_2v_1=2\cdot 2-(-1)\cdot(-4)\]\[=4-4=0\]Son proporcionales, porque \(\vec{v}=-2\vec{u}\). Calculo \(\overrightarrow{PQ}=(2,\ -2)\) y miro si es proporcional a \(\vec{u}\):\[u_1w_2-u_2w_1=2\cdot(-2)-(-1)\cdot 2\]\[=-4+2=-2\]No vale 0, así que \(Q\) no está en \(r\): las rectas son paralelas.
  3. Apartado b. La recta \(s^*\) pasa por \(Q^*(5,\ -5)\) con el mismo vector \(\vec{v}\), así que otra vez \(m=0\). Ahora \(\overrightarrow{PQ^*}=(4,\ -2)\):\[u_1w_2-u_2w_1=2\cdot(-2)-(-1)\cdot 4\]\[=-4+4=0\]Es proporcional a \(\vec{u}\), luego \(Q^*\) está en \(r\): las rectas son coincidentes.
✅ Resultado: a) Paralelas. b) Coincidentes.

Nivel 3: rectas por un punto y rectas concurrentes

EJERCICIO 7Paralela y perpendicular por un punto
📝 EnunciadoDada la recta \(r:\ 2x-3y+5=0\) y el punto \(P(4,\ 1)\): a) halla la recta paralela a \(r\) que pasa por \(P\); b) halla la recta perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\); c) halla el punto en que esa perpendicular corta a \(r\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Una recta paralela a \(r\) tiene \(A\) y \(B\) proporcionales a los de \(r\). Tomo los mismos, \(2x-3y+C=0\), y obligo a que pase por \(P(4,\ 1)\):\[2\cdot 4-3\cdot 1+C=0\]\[C=-5\]La paralela es \(2x-3y-5=0\).
  2. Apartado b. Busco \(A_2x+B_2y+C=0\) con \(A_1A_2+B_1B_2=0\), es decir, \(2A_2-3B_2=0\). Sirven \(A_2=3\) y \(B_2=2\). Obligo a que \(3x+2y+C=0\) pase por \(P(4,\ 1)\):\[3\cdot 4+2\cdot 1+C=0\]\[C=-14\]La perpendicular es \(3x+2y-14=0\).
  3. Apartado c. Resuelvo el sistema de \(r\) y la perpendicular. Con \(A_1=2\), \(B_1=-3\), \(C_1=5\), \(A_2=3\), \(B_2=2\) y \(C_2=-14\):\[D=2\cdot 2-3\cdot(-3)=13\]\[x=\frac{(-3)\cdot(-14)-2\cdot 5}{13}=\frac{32}{13}\]\[y=\frac{3\cdot 5-2\cdot(-14)}{13}=\frac{43}{13}\]
✅ Resultado: a) \(2x-3y-5=0\). b) \(3x+2y-14=0\). c) \(\left(\dfrac{32}{13},\ \dfrac{43}{13}\right)\).
EJERCICIO 8Tres rectas por un mismo punto
📝 EnunciadoHalla \(k\) para que las rectas \(x+y-4=0\), \(2x-y-2=0\) y \(3x-y+k=0\) pasen por un mismo punto.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Hallo el punto de corte de las dos primeras. Sumo las dos ecuaciones:\[(x+y-4)+(2x-y-2)=0\]\[3x-6=0\]\[x=2\]Entonces \(y=4-x=2\). El punto es \((2,\ 2)\).
  2. Paso 2. La tercera recta tiene que pasar por \((2,\ 2)\):\[3\cdot 2-2+k=0\]\[k=-4\]
  3. Paso 3. Compruebo: con \(k=-4\) la tercera recta es \(3x-y-4=0\), y \(3\cdot 2-2-4=0\).
✅ Resultado: \(k=-4\). Las tres rectas se cortan en \((2,\ 2)\).

Nivel 4: rectas en el espacio

EJERCICIO 9Rectas secantes en el espacio
📝 EnunciadoEstudia la posición de las rectas\[r:\ \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}\]\[s:\ \frac{x-1}{1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-7}{-1}\]y halla el punto de corte si lo hay.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. De las ecuaciones saco \(P(1,\ -1,\ 2)\) y \(\vec{u}=(2,\ -1,\ 3)\) para \(r\), y \(Q(1,\ -6,\ 7)\) y \(\vec{v}=(1,\ 2,\ -1)\) para \(s\). Calculo \(\overrightarrow{PQ}=(0,\ -5,\ 5)\). Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no son proporcionales, porque \(\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{-1}{2}\).
  2. Paso 2. Calculo el determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\) por Sarrus:\[D\]\[=2\cdot 2\cdot 5+(-1)\cdot(-1)\cdot 0+3\cdot 1\cdot(-5)\]\[-3\cdot 2\cdot 0-2\cdot(-1)\cdot(-5)-(-1)\cdot 1\cdot 5\]\[D=20+0-15-0-10+5=0\]Las rectas están en un mismo plano y no son paralelas: son secantes.
  3. Paso 3. Igualo \(P+t\vec{u}=Q+s\vec{v}\):\[1+2t=1+s\]\[-1-t=-6+2s\]\[2+3t=7-s\]De la primera, \(s=2t\). En la segunda, \(-1-t=-6+4t\), luego \(t=1\) y \(s=2\). Compruebo en la tercera: \(2+3=5\) y \(7-2=5\).
  4. Paso 4. Sustituyo \(t=1\) en \(r\):\[(1+2,\ -1-1,\ 2+3)=(3,\ -2,\ 5)\]
✅ Resultado: Son secantes y se cortan en \((3,\ -2,\ 5)\).
EJERCICIO 10Un parámetro en el espacio
📝 EnunciadoLa recta \(r\) pasa por \(P(1,\ 0,\ 1)\) con vector director \(\vec{u}=(1,\ 2,\ -1)\), y la recta \(s\) pasa por \(Q(-2,\ a,\ -2)\) con vector director \(\vec{v}=(2,\ 1,\ 1)\). a) Halla \(a\) para que las rectas se corten. b) Halla el punto de corte. c) ¿Cómo son las rectas para cualquier otro valor de \(a\)?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no son proporcionales, porque \(\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{2}{1}\). Calculo \(\overrightarrow{PQ}=(-3,\ a,\ -3)\).
  2. Paso 2. Calculo el determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\) por Sarrus:\[D\]\[=1\cdot 1\cdot(-3)+2\cdot 1\cdot(-3)+(-1)\cdot 2\cdot a\]\[-(-1)\cdot 1\cdot(-3)-1\cdot 1\cdot a-2\cdot 2\cdot(-3)\]\[D=-3-6-2a-3-a+12=-3a\]
  3. Paso 3. Las rectas se cortan si \(D=0\). Entonces \(-3a=0\), luego \(a=0\).
  4. Paso 4. Con \(a=0\), es \(Q(-2,\ 0,\ -2)\). Igualo \(P+t\vec{u}=Q+s\vec{v}\):\[1+t=-2+2s\]\[2t=s\]\[1-t=-2+s\]De la segunda, \(s=2t\). En la primera, \(1+t=-2+4t\), luego \(t=1\) y \(s=2\). Compruebo en la tercera: \(1-1=0\) y \(-2+2=0\). Sustituyo \(t=1\) en \(r\):\[(1+1,\ 0+2,\ 1-1)=(2,\ 2,\ 0)\]
  5. Paso 5. Si \(a\neq 0\), entonces \(D\neq 0\) y las rectas no están en un mismo plano: se cruzan.
✅ Resultado: a) \(a=0\). b) \((2,\ 2,\ 0)\). c) Se cruzan.

❓ Preguntas frecuentes sobre la posición relativa de dos rectas

🤔 ¿Cuáles son las posiciones relativas de dos rectas?
En el plano, dos rectas pueden ser secantes, si se cortan en un punto, paralelas, si no tienen ningún punto en común, o coincidentes, si son la misma recta. En el espacio hay una cuarta posición: pueden cruzarse, cuando no se cortan y tampoco son paralelas. Las rectas perpendiculares son un caso particular de secantes.
🤔 ¿Cómo se sabe si dos rectas son paralelas o coincidentes?
Primero se comprueba que tienen la misma dirección: pendientes iguales, \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}\) o vectores directores proporcionales. Después se mira el término independiente: si \(\dfrac{C_1}{C_2}\) es distinto de esa razón, o las ordenadas son distintas, son paralelas, y si es igual, coincidentes. Por ejemplo, \(2x-3y+6=0\) y \(4x-6y+1=0\) son paralelas, y \(2x-3y+6=0\) y \(4x-6y+12=0\) son coincidentes.
🤔 ¿Cómo se halla el punto de corte de dos rectas?
Se resuelve el sistema formado por sus dos ecuaciones, por sustitución, igualación, reducción o con la regla de Cramer. Con \(D=A_1B_2-A_2B_1\neq 0\), sale \(x=\dfrac{B_1C_2-B_2C_1}{D}\) e \(y=\dfrac{A_2C_1-A_1C_2}{D}\). Por ejemplo, \(x+2y-4=0\) y \(3x-y+5=0\) se cortan en \(\left(-\dfrac{6}{7},\ \dfrac{17}{7}\right)\).
🤔 ¿Cuándo son perpendiculares dos rectas?
Cuando forman un ángulo recto. Con la ecuación general, si \(A_1A_2+B_1B_2=0\). Con las pendientes, si \(m_1\cdot m_2=-1\). Con los vectores directores, si su producto escalar vale 0. Por ejemplo, \(2x+y-7=0\) y \(x-2y-1=0\) son perpendiculares, porque \(2\cdot 1+1\cdot(-2)=0\).
🤔 ¿Cómo se estudia la posición relativa de dos rectas en el espacio?
Se toma un punto y un vector director de cada recta, \(P\) y \(\vec{u}\), \(Q\) y \(\vec{v}\), y se calcula \(\overrightarrow{PQ}\). Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son proporcionales, las rectas son paralelas, o coincidentes si \(\overrightarrow{PQ}\) también es proporcional a ellos. Si no lo son, se calcula el determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\): si vale 0 son secantes, y si no, se cruzan.
🤔 ¿Qué significa que dos rectas se cruzan?
Significa que no se cortan y tampoco son paralelas, porque no están en un mismo plano. Solo ocurre en el espacio: en el plano, dos rectas que no se cortan son siempre paralelas. Se detecta cuando \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no son proporcionales y el determinante de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{PQ}\) no vale 0.
📚 Resumen final
  • En el plano hay tres posiciones: secantes (un punto), paralelas (ninguno) y coincidentes (todos). En el espacio, además, las rectas pueden cruzarse.
  • Con las pendientes: \(m_1\neq m_2\) son secantes, y si \(m_1=m_2\), son paralelas con \(n_1\neq n_2\) y coincidentes con \(n_1=n_2\).
  • Con los coeficientes: \(\dfrac{A_1}{A_2}\neq\dfrac{B_1}{B_2}\) son secantes, y si son iguales se mira \(\dfrac{C_1}{C_2}\). Con coeficientes nulos se usa \(D=A_1B_2-A_2B_1\).
  • El punto de corte es la solución del sistema de las dos ecuaciones. Las rectas son perpendiculares si \(A_1A_2+B_1B_2=0\).
  • En el espacio se comparan \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), y después el determinante con \(\overrightarrow{PQ}\): si vale 0 son secantes, y si no, se cruzan.

Conclusión

Para estudiar la posición relativa de dos rectas, mira primero cómo te las dan y compara pendientes, coeficientes o vectores directores. Si las direcciones son distintas, las rectas son secantes y puedes hallar su punto de corte. Si coinciden, un punto de una recta decide entre paralelas y coincidentes. En el espacio, un determinante separa las secantes de las que se cruzan. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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