Ejemplo de un diagrama de árbol

Diagrama de árbol en probabilidad

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 22 horas · Actualizado hace 22 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es un diagrama de árbol? Definición y partes
  2. Reglas del diagrama de árbol: multiplicar y sumar
  3. Cómo hacer un diagrama de árbol paso a paso
  4. Diagrama de árbol con reposición y sin reposición
  5. Diagrama de árbol con probabilidad total y fórmula de Bayes
  6. Resumen de lo esencial
  7. Errores frecuentes
  8. 🧮 Calculadora del diagrama de árbol paso a paso
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios de diagrama de árbol resueltos

¿Qué es un diagrama de árbol y cómo se hace? Un diagrama de árbol es un esquema de ramas que muestra todos los resultados de un experimento que se hace por etapas, con la probabilidad de cada camino. En esta guía tienes sus reglas, cómo construirlo paso a paso, ejemplos con y sin reposición, la probabilidad total y una calculadora.

⚡ Diagrama de árbol en 30 segundos
Cada camino del árbol es un resultado posible. Para su probabilidad se multiplican las probabilidades de sus ramas, y para un suceso con varios caminos se suman las probabilidades de esos caminos:
\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\]
Las ramas que salen de un mismo nodo siempre suman \(1\).

Ejemplo: una urna tiene 3 bolas rojas y 2 negras. Si sacas dos bolas sin devolverlas, la probabilidad de que las dos sean rojas es \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}\).

¿Qué es un diagrama de árbol? Definición y partes

Un diagrama de árbol es un dibujo con forma de árbol que organiza los resultados de un experimento aleatorio que se realiza por etapas, como lanzar dos monedas o sacar dos bolas de una urna. Se lee de izquierda a derecha: de cada resultado de una etapa salen nuevas ramas con los resultados de la etapa siguiente.

Esta figura es el diagrama de árbol de una urna con 3 bolas rojas (\(R\)) y 2 negras (\(N\)), de la que se sacan dos bolas devolviendo la primera. Sobre cada rama está su probabilidad.

Diagrama de árbol de dos extracciones con reposición de una urna con tres bolas rojas y dos negras. De cada bola sale la misma pareja de ramas, con probabilidades tres quintos y dos quintos. Los cuatro caminos tienen probabilidades nueve veinticinco, seis veinticinco, seis veinticinco y cuatro veinticinco, y los de igual color, resaltados, suman trece veinticinco
ParteQué esEn la figura
NodoPunto del que salen ramas. Representa el momento en que se hace una extracciónEn la figura, cada círculo y el punto inicial
RamaLínea que une dos nodos. Representa un resultado de una etapaEn la figura, cada una de las 6 líneas
Probabilidad de la ramaNúmero escrito sobre la ramaEn la figura, \(\dfrac{3}{5}\) para roja y \(\dfrac{2}{5}\) para negra
CaminoRecorrido desde el punto inicial hasta el final. Es un resultado completo del experimentoEn la figura, el camino RN es roja y después negra
Probabilidad del caminoProducto de las probabilidades de sus ramasEn la figura, \(P(RN)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}\)

El árbol tiene un camino por cada resultado posible: \(RR\), \(RN\), \(NR\) y \(NN\). Como entre los cuatro cubren todos los casos, sus probabilidades suman \(1\):

\[\dfrac{9}{25}+\dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25}+\dfrac{4}{25}=1\]

Un suceso es un conjunto de caminos. Por ejemplo, «las dos bolas son del mismo color» está formado por los caminos \(RR\) y \(NN\).

Ejemplo 1: con el árbol de la figura, calculo la probabilidad de sacar primero una bola roja y después una negra.
  1. Busco el camino: roja en la primera extracción y negra en la segunda es el camino \(RN\).
  2. Multiplico las probabilidades de sus ramas:\[P(RN)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}\]
  3. Lo paso a decimal y a porcentaje: \(\dfrac{6}{25}=0{,}24\), es decir, un 24 %.

Reglas del diagrama de árbol: multiplicar y sumar

Para calcular probabilidades con un árbol bastan tres reglas y una comprobación. La regla del producto sale de la probabilidad condicionada: \(P(B\mid A)\) es la probabilidad de \(B\) sabiendo que ya ha ocurrido \(A\). Si quieres practicarla, mira los problemas de probabilidad condicionada.

ReglaQué hagoEjemplo con la urna
1. Ramas de un nodoSumo sus probabilidades y debe salir \(1\)Ejemplo: \(\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1\)
2. CaminoMultiplico las probabilidades de sus ramasEjemplo: \(P(RR)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}\)
3. SucesoSumo las probabilidades de los caminos que lo formanEjemplo: \(P(\text{mismo color})=\dfrac{9}{25}+\dfrac{4}{25}=\dfrac{13}{25}\)
ComprobaciónSumo todos los caminos y debe salir \(1\)Ejemplo: \(\dfrac{9}{25}+\dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25}+\dfrac{4}{25}=1\)

La regla del producto para dos etapas es esta:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\]

Un truco para no equivocarte: la «y» se traduce en multiplicar, porque en un camino pasan las dos cosas, y la «o» se traduce en sumar, porque es un camino u otro. Para multiplicar las fracciones de las ramas, repasa la multiplicación de fracciones.

Ejemplo 2: con la misma urna y con reposición, calculo la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.
  1. Busco los caminos del suceso: son \(RR\) y \(NN\), los resaltados en la figura.
  2. Multiplico por las ramas de cada camino:\[P(RR)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}\]\[P(NN)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}\]
  3. Sumo los dos caminos:\[P=\dfrac{9}{25}+\dfrac{4}{25}=\dfrac{13}{25}=0{,}52\]Es decir, un 52 %.
Ejemplo 3: con la misma urna y con reposición, calculo la probabilidad de que la segunda bola sea roja.
  1. Busco los caminos del suceso: la segunda es roja en \(RR\) y en \(NR\).
  2. Sumo sus probabilidades:\[P=\dfrac{9}{25}+\dfrac{6}{25}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}\]
  3. Observo: sale lo mismo que la probabilidad de roja en la primera extracción. Con reposición, la primera bola no cambia la segunda.
Ejemplo de un diagrama de árbol

Cómo hacer un diagrama de árbol paso a paso

Sigue siempre el mismo orden y no te perderás, por complicado que sea el experimento:

  1. Identifica las etapas del experimento: cuántas veces se repite o qué sucede en cada paso.
  2. Dibuja las ramas de la primera etapa y escribe su probabilidad sobre cada una.
  3. De cada rama, dibuja las ramas de la segunda etapa con sus probabilidades. Son condicionadas: dependen de lo que ocurrió antes.
  4. Comprueba que las ramas de cada nodo suman \(1\).
  5. Multiplica las probabilidades de las ramas de cada camino y escribe el resultado al final.
  6. Suma los caminos que forman el suceso que te piden.
Ejemplo 4: lanzo una moneda dos veces. Calculo la probabilidad de obtener al menos una cara.
  1. Etapas y ramas: hay dos etapas, los dos lanzamientos. En cada una salen cara (\(C\)) o cruz (\(X\)), cada una con probabilidad \(\dfrac{1}{2}\).
  2. Multiplico por cada camino: los cuatro caminos valen \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\).
  3. Sumo los caminos con alguna cara: son \(CC\), \(CX\) y \(XC\):\[P=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\]
  4. Compruebo con el suceso contrario: solo falla \(XX\), así que \(P=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
CaminoCCCXXCXX
Probabilidad\(\dfrac{1}{4}\)\(\dfrac{1}{4}\)\(\dfrac{1}{4}\)\(\dfrac{1}{4}\)

Con más etapas el árbol crece rápido. El número de caminos es el producto del número de ramas de cada etapa, que es el principio de multiplicación de la combinatoria. Con tres lanzamientos de moneda hay \(2\cdot 2\cdot 2=8\) caminos.

Ejemplo 5: lanzo una moneda tres veces. Calculo la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
  1. Caminos del árbol: hay \(8\) y cada uno vale \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\).
  2. Caminos con exactamente dos caras: son \(CCX\), \(CXC\) y \(XCC\), tres en total.
  3. Los sumo:\[P=3\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}=0{,}375\]Es decir, un 37,5 %.

Diagrama de árbol con reposición y sin reposición

Cuando sacas bolas, cartas o piezas de un conjunto, importa si el elemento extraído se devuelve o no. Eso cambia las probabilidades de la segunda etapa y, con ellas, el árbol:

AspectoCon reposiciónSin reposición
El elemento extraídoSe devuelveNo se devuelve
Elementos en la 2.ª extracciónLos mismos que al principioUno menos
Ramas de la 2.ª etapaIguales en todos los nodosCambian según la 1.ª extracción
SucesosIndependientesDependientes
\(P(RR)\) con 3 R y 2 N\(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}\)\(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}\)

Con la misma urna de 3 rojas y 2 negras, pero sin devolver la primera bola, el árbol es este. Si la primera es roja, quedan 4 bolas (2 rojas y 2 negras) y las ramas valen \(\dfrac{2}{4}\) y \(\dfrac{2}{4}\). Si la primera es negra, quedan 3 rojas y 1 negra, y las ramas valen \(\dfrac{3}{4}\) y \(\dfrac{1}{4}\).

Diagrama de árbol de dos extracciones sin reposición de una urna con tres bolas rojas y dos negras. Tras sacar una bola roja quedan cuatro bolas con dos rojas y dos negras, y tras sacar una negra quedan tres rojas y una negra. Los cuatro caminos valen tres décimos, tres décimos, tres décimos y un décimo, y los de igual color, resaltados, suman dos quintos
Ejemplo 6: con la urna de 3 rojas y 2 negras, sin reposición, calculo la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.
  1. Caminos del suceso: \(RR\) y \(NN\).
  2. Multiplico por las ramas de cada camino:\[P(RR)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\]\[P(NN)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}\]
  3. Sumo:\[P=\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}=0{,}4\]Es un 40 %, menos que el 52 % que salía con reposición.

Cuando el suceso es «al menos uno», suele ser más corto usar el suceso contrario: la probabilidad de «al menos uno» es \(1\) menos la probabilidad de «ninguno».

Ejemplo 7: una urna tiene 4 bolas rojas y 6 negras. Saco dos bolas con reposición. Calculo la probabilidad de que salga al menos una roja.
  1. Suceso contrario: ninguna roja, es decir, el camino \(NN\).
  2. Su probabilidad:\[P(NN)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{36}{100}=\dfrac{9}{25}\]
  3. Resto a 1:\[P=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}=0{,}64\]Es decir, un 64 %.
Ejemplo 8: con la misma urna de 4 rojas y 6 negras, saco ahora tres bolas sin reposición. Calculo la probabilidad de que salga al menos una roja.
  1. Por qué usar el suceso contrario: con tres etapas el árbol tiene \(8\) caminos, y «ninguna roja» es solo uno: \(NNN\).
  2. Su probabilidad: el número de bolas baja en cada extracción.\[P(NNN)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{120}{720}=\dfrac{1}{6}\]
  3. Resto a 1:\[P=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\]

Diagrama de árbol con probabilidad total y fórmula de Bayes

Cuando el experimento empieza eligiendo entre varias opciones, como una máquina, una urna o un grupo de personas, el árbol permite calcular la probabilidad total de un suceso: se suman los caminos que acaban en él. Con el mismo árbol se aplica después la fórmula de Bayes para saber de qué rama venía. La teoría completa está en el teorema de la probabilidad total y en el teorema de Bayes.

Ejemplo 9: una fábrica tiene dos máquinas. La máquina A produce el 60 % de las piezas y la B el 40 %. El 2 % de las piezas de A y el 5 % de las de B son defectuosas (D). Calculo la probabilidad de que una pieza sea defectuosa y, si lo es, de que venga de A.
  1. Dibujo el árbol: primero la máquina, con \(0{,}6\) y \(0{,}4\), y después si la pieza es defectuosa o no, como en la figura.
  2. Multiplico los caminos que acaban en D:\[P(A\cap D)=0{,}6\cdot 0{,}02=0{,}012\]\[P(B\cap D)=0{,}4\cdot 0{,}05=0{,}020\]
  3. Los sumo, y es la probabilidad total:\[P(D)=0{,}012+0{,}020=0{,}032\]Es decir, un 3,2 %.
  4. Aplico Bayes: entre los caminos que acaban en D, el de A pesa:\[P(A\mid D)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}=\dfrac{3}{8}\]\[=0{,}375\]Es decir, un 37,5 %. Aunque A produce el 60 % de las piezas, solo es la causa del 37,5 % de las defectuosas.
Diagrama de árbol de una fábrica con dos máquinas. La máquina A produce el sesenta por ciento de las piezas y la B el cuarenta por ciento. Una pieza de A es defectuosa con probabilidad cero coma cero dos y una de B con probabilidad cero coma cero cinco. Los caminos que acaban en pieza defectuosa, resaltados, valen cero coma cero doce y cero coma cero veinte, y suman cero coma cero treinta y dos
Qué preguntoQué hago en el árbol
Probabilidad total \(P(D)\)Sumo todos los caminos que acaban en D
Probabilidad de la rama sabiendo el final \(P(A\mid D)\)Divido el camino de A que acaba en D entre la suma de todos los que acaban en D

Resumen de lo esencial

Todo lo importante en un solo sitio.

ConceptoQué recordar
DefiniciónEsquema de ramas con los resultados de un experimento por etapas y la probabilidad de cada camino
Nodo y ramaCada nodo es un momento del experimento y cada rama es un resultado con su probabilidad
Regla 1Las ramas que salen de un nodo suman \(1\)
Regla 2: caminoSe multiplican sus ramas: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\)
Regla 3: sucesoSe suman los caminos que lo forman
ComprobaciónTodos los caminos suman \(1\)
Con reposiciónLas ramas de la 2.ª etapa son iguales y los sucesos son independientes: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\)
Sin reposiciónHay un elemento menos y las ramas cambian: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}\)
Suceso contrario\(P(\text{al menos uno})=1-P(\text{ninguno})\)
Probabilidad total y Bayes\(P(D)\) suma los caminos que acaban en \(D\), y \(P(A\mid D)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}\)

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Sumar en lugar de multiplicar a lo largo de un camino. Sin reposición, \(P(RR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\), y no \(\frac{3}{5}+\frac{2}{4}\).
  • Usar las mismas probabilidades cuando no hay reposición. Si no devuelves la bola, la segunda etapa cambia. Con 3 rojas y 2 negras, tras sacar una roja la probabilidad de otra roja es \(\frac{2}{4}\), y no \(\frac{3}{5}\).
  • Dibujar ramas que no suman 1. Si las ramas de un nodo no suman \(1\), falta un resultado o hay un error en una fracción. Compruébalo siempre antes de multiplicar.
  • Olvidar un camino del suceso. «Una bola de cada color» son \(RN\) y \(NR\). Con reposición en la urna de 3 rojas y 2 negras vale \(\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}\), y no \(\frac{6}{25}\).
  • Confundir \(P(B\mid A)\) con \(P(A\mid B)\). En la fábrica, \(P(D\mid A)=0{,}02\), pero \(P(A\mid D)=\frac{3}{8}\). No son lo mismo.

🧮 Calculadora del diagrama de árbol paso a paso

Tienes tres pestañas. En «Dos extracciones» escribes cuántas bolas rojas y negras hay, eliges si es con o sin reposición y el suceso que buscas, y te doy las ramas, los cuatro caminos y la probabilidad. En «Total y Bayes» escribes \(P(A)\), \(P(B\mid A)\) y \(P(B\mid\overline{A})\) como fracción, decimal o porcentaje, y calculo la probabilidad total de \(B\) y la de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\). Y en «Tres extracciones» haces lo mismo con tres bolas, y ves los ocho caminos agrupados por número de rojas. En los tres casos ves el desarrollo paso a paso.

Urna con bolas rojas (\(R\)) y negras (\(N\)). Dibujo el árbol de dos extracciones, multiplico por las ramas y sumo los caminos del suceso A.

Extracción

Suceso A

Escribe cuántas bolas de cada color hay, de 0 a 99. Admite urnas con una sola clase de bolas.

🌍 Para qué sirve el diagrama de árbol

🧬 GenéticaSi los dos progenitores tienen genotipo Aa, cada hijo recibe A o a de cada uno, con probabilidad \(\dfrac{1}{2}\). El árbol tiene 4 caminos, y solo uno da el genotipo aa: \(P(aa)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\).
🏥 Pruebas médicasSi una enfermedad afecta al 1 % de la población y la prueba da un 10 % de falsos positivos, solo un 8,76 % de los positivos están realmente enfermos. El árbol con la fórmula de Bayes lo explica.
🏭 Control de calidadComo en la fábrica del Ejemplo 9, el árbol reparte las piezas defectuosas entre las máquinas: \(\dfrac{3}{8}\) vienen de A y \(\dfrac{5}{8}\) de B.
🃏 Juegos de cartasEn una baraja española de 40 cartas hay 10 oros. La probabilidad de sacar dos oros seguidos, sin devolver la primera carta, es \(\dfrac{10}{40}\cdot\dfrac{9}{39}=\dfrac{3}{52}\).

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Diagrama de árbolEsquema de ramas que muestra los resultados de un experimento por etapas. Cada camino es un resultado y lleva escrita su probabilidad.
Regla del productoLa probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\).
Regla de la sumaLa probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los caminos que lo forman. La «y» multiplica y la «o» suma.
Con y sin reposiciónCon reposición, las ramas de la segunda etapa son iguales en todos los nodos. Sin reposición cambian, porque queda un elemento menos.
ComprobacionesLas ramas de cada nodo suman \(1\), y todos los caminos del árbol también suman \(1\).
Total y BayesLa probabilidad total suma los caminos que acaban en \(D\). Bayes divide un camino entre esa suma: \(P(A\mid D)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}\).

⭐ Ejercicios de diagrama de árbol resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

EJERCICIO 1Una moneda trucada
📝 EnunciadoUna moneda trucada sale cara con probabilidad \(\dfrac{2}{3}\). La lanzas dos veces. Calcula la probabilidad de obtener una cara y una cruz, en cualquier orden.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Las ramas de cada lanzamiento son \(P\left(C\right)=\dfrac{2}{3}\) y \(P\left(X\right)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\).
  2. Paso 2. Los caminos con una cara y una cruz son \(CX\) y \(XC\):\[P(CX)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}\]\[P(XC)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}\]
  3. Paso 3. Sumo los dos caminos:\[P=\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}\]
✅ Resultado: \(\dfrac{4}{9}\), es decir, un 44,4 %.
EJERCICIO 2Dos bolas de distinto color
📝 EnunciadoUna urna tiene 5 bolas rojas y 3 negras. Sacas dos bolas sin reposición. Calcula la probabilidad de que sean de distinto color.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. La primera extracción tiene 8 bolas: \(P\left(R\right)=\dfrac{5}{8}\) y \(P\left(N\right)=\dfrac{3}{8}\).
  2. Paso 2. Sin devolver la bola, quedan 7. Tras una roja, hay 3 negras entre 7: \(P(N\mid R)=\dfrac{3}{7}\). Tras una negra, hay 5 rojas entre 7: \(P(R\mid N)=\dfrac{5}{7}\).
  3. Paso 3. Los caminos de distinto color son \(RN\) y \(NR\):\[P(RN)=\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{56}\]\[P(NR)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{5}{7}=\dfrac{15}{56}\]
  4. Paso 4. Los sumo:\[P=\dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}\]
✅ Resultado: \(\dfrac{15}{28}\), es decir, un 53,6 %.
EJERCICIO 3Dos ases seguidos
📝 EnunciadoEn una baraja española de 40 cartas hay 4 ases. Sacas dos cartas sin reposición. Calcula la probabilidad de que las dos sean ases.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. En la primera carta hay 4 ases entre 40:\[P(\text{as})=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}\]
  2. Paso 2. Si salió un as, quedan 3 ases entre 39 cartas:\[P(\text{as}\mid\text{as})=\dfrac{3}{39}=\dfrac{1}{13}\]
  3. Paso 3. Multiplico las ramas del camino:\[P=\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{130}\]
✅ Resultado: \(\dfrac{1}{130}\), es decir, un 0,77 %.
EJERCICIO 4Dos tiros libres
📝 EnunciadoUn jugador encesta un tiro libre con probabilidad \(0{,}7\), y los tiros son independientes. Lanza dos. Calcula la probabilidad de que enceste al menos uno.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Uso el suceso contrario: no encestar ninguno. Fallar un tiro tiene probabilidad \(1-0{,}7=0{,}3\).
  2. Paso 2. El camino «fallar los dos» vale:\[P=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09\]
  3. Paso 3. Resto a \(1\):\[P(\text{al menos uno})=1-0{,}09=0{,}91\]
✅ Resultado: \(0{,}91\), es decir, un 91 %.
EJERCICIO 5Una prueba médica
📝 EnunciadoEl 1 % de una población tiene una enfermedad. Una prueba da positivo en el 95 % de los enfermos y en el 10 % de los sanos. Calcula la probabilidad de dar positivo y la de estar enfermo si das positivo.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Dibujo el árbol. Primera etapa: enfermo (E) con \(0{,}01\) y sano con \(0{,}99\). Segunda etapa: positivo (\(+\)) con \(0{,}95\) si estás enfermo y con \(0{,}10\) si estás sano.
  2. Paso 2. Multiplico los caminos que acaban en positivo:\[P(E\cap +)=0{,}01\cdot 0{,}95=0{,}0095\]\[P(\text{sano}\cap +)=0{,}99\cdot 0{,}10=0{,}099\]
  3. Paso 3. Los sumo para hallar la probabilidad total:\[P(+)=0{,}0095+0{,}099=0{,}1085\]
  4. Paso 4. Aplico Bayes:\[P(E\mid +)=\dfrac{0{,}0095}{0{,}1085}=\dfrac{19}{217}\approx 0{,}0876\]
✅ Resultado: \(P(+)=0{,}1085\), un 10,85 %, y \(P(E\mid +)=\dfrac{19}{217}\approx 0{,}0876\), un 8,76 %.
EJERCICIO 6Dos urnas
📝 EnunciadoLa urna I tiene 3 bolas rojas y 1 negra, y la urna II tiene 1 roja y 3 negras. Eliges una urna al azar y sacas una bola. Calcula la probabilidad de que sea roja y, si es roja, la probabilidad de que venga de la urna I.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Primera etapa: cada urna tiene probabilidad \(\dfrac{1}{2}\). Segunda etapa: \(P(\text{roja}\mid I)=\dfrac{3}{4}\) y \(P(\text{roja}\mid II)=\dfrac{1}{4}\).
  2. Paso 2. Multiplico los caminos que acaban en roja:\[P(I\cap\text{roja})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}\]\[P(II\cap\text{roja})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\]
  3. Paso 3. Los sumo:\[P(\text{roja})=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\]
  4. Paso 4. Aplico Bayes:\[P(I\mid\text{roja})=\dfrac{3/8}{1/2}=\dfrac{3}{4}\]Lo puedes comprobar en la pestaña «Total y Bayes», con A la urna I y B sacar roja: \(P(A)=1/2\), \(P(B\mid A)=3/4\) y \(P(B\mid\overline{A})=1/4\).
✅ Resultado: \(P(\text{roja})=\dfrac{1}{2}\) y \(P(I\mid\text{roja})=\dfrac{3}{4}\).

❓ Preguntas frecuentes sobre el diagrama de árbol

🤔 ¿Qué es un diagrama de árbol?
Es un esquema con forma de árbol que muestra todos los resultados posibles de un experimento que se hace por etapas, con la probabilidad de cada rama y de cada camino. Por ejemplo, el de lanzar una moneda dos veces tiene 4 caminos de probabilidad \(\dfrac{1}{4}\).
🤔 ¿Cómo se hace un diagrama de árbol?
Se identifican las etapas, se dibujan las ramas de la primera etapa con su probabilidad y, de cada una, las de la segunda, y así hasta el final. Después se comprueba que las ramas de cada nodo suman \(1\) y se multiplican las de cada camino.
🤔 ¿Cuándo se multiplica y cuándo se suma en un diagrama de árbol?
Se multiplica a lo largo de cada camino, porque tienen que ocurrir todos sus pasos. Se suma entre caminos, porque el suceso ocurre por un camino u otro. Con 3 rojas y 2 negras sin reposición, \(P(RR)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}\) y \(P(\text{mismo color})=\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{5}\).
🤔 ¿Qué diferencia hay entre con reposición y sin reposición?
Con reposición se devuelve el elemento y las ramas de la segunda etapa son iguales en todos los nodos. Sin reposición no se devuelve, queda uno menos y las ramas de la segunda etapa cambian según lo que salió antes.
🤔 ¿Cuántos caminos tiene un diagrama de árbol?
Tantos como el producto del número de ramas de cada etapa. Con tres lanzamientos de una moneda hay \(2\cdot 2\cdot 2=8\) caminos, y con dos extracciones de una urna con dos colores hay \(2\cdot 2=4\).
🤔 ¿Para qué sirve el diagrama de árbol en la probabilidad total y en Bayes?
Sirve para ordenar los datos: los caminos que acaban en un suceso se suman y dan su probabilidad total, y el camino que te interesa dividido entre esa suma da la probabilidad de Bayes. En la fábrica del Ejemplo 9, \(P(D)=0{,}032\) y \(P(A\mid D)=\dfrac{3}{8}\).
📚 Resumen final
  • Un diagrama de árbol muestra los resultados de un experimento por etapas: cada camino es un resultado y cada rama lleva su probabilidad.
  • Las ramas que salen de un nodo suman \(1\), y todos los caminos del árbol también suman \(1\).
  • Se multiplica a lo largo de cada camino y se suma entre los caminos del suceso: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\).
  • Con reposición las ramas de la segunda etapa son iguales, y sin reposición cambian porque queda un elemento menos.
  • Para la probabilidad total se suman los caminos que acaban en el suceso, y la fórmula de Bayes divide un camino entre esa suma.

Conclusión

Para hacer un diagrama de árbol, identifica las etapas, dibuja las ramas con sus probabilidades, multiplica a lo largo de cada camino y suma los caminos del suceso que te piden. Comprueba siempre que las ramas de cada nodo suman uno, practica con los ejercicios y verifica tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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