Orden de la jerarquía de operaciones

Jerarquía de operaciones: orden, reglas y ejercicios

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 6 horas · Actualizado hace 6 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la jerarquía de operaciones? Definición y para qué sirve
  2. Orden de las operaciones: los 4 niveles
  3. Jerarquía de operaciones con paréntesis, corchetes y llaves
  4. Jerarquía de operaciones con potencias y raíces
  5. Jerarquía de operaciones con números negativos
  6. Resumen de lo esencial
  7. Errores frecuentes
  8. 🧮 Calculadora de la jerarquía de operaciones
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios de jerarquía de operaciones resueltos

¿Qué es la jerarquía de operaciones y cómo se aplica? La jerarquía de operaciones es el orden en que se resuelven las operaciones de un cálculo para que todo el mundo llegue al mismo resultado. En esta guía te lo explico todo con detalle. Para mí lo más importante es ir de izquierda a derecha resolviendo lo que se pueda.

⚡ Jerarquía de operaciones en 30 segundos
Resuelve siempre en este orden: 1.º paréntesis, corchetes y llaves; 2.º potencias y raíces; 3.º multiplicaciones y divisiones; 4.º sumas y restas. Las operaciones del mismo nivel se hacen de izquierda a derecha.

Ejemplo: la multiplicación va antes que la suma, así que el resultado es \(11\) y no \(14\):
\[3+4\cdot 2=3+8=11\]

¿Qué es la jerarquía de operaciones? Definición y para qué sirve

La jerarquía de operaciones, también llamada orden o prioridad de las operaciones, es la regla que dice qué operación se hace primero cuando hay varias en una misma expresión. A esas expresiones se las llama operaciones combinadas.

Sin esa regla, un cálculo tan simple como \(3+4\cdot 2\) tendría dos resultados: \(14\) si sumas primero y \(11\) si multiplicas primero. Se acordó que la multiplicación tiene más prioridad que la suma, y por eso el resultado correcto es \(11\). Si tus operaciones llevan fracciones, mira también las operaciones combinadas con fracciones.

Ejemplo 1: resuelvo \(3+4\cdot 2\).
  1. Identifico las operaciones: hay una suma y una multiplicación.
  2. Hago primero la multiplicación, que tiene más prioridad:\[3+4\cdot 2=3+8\]
  3. Sumo:\[3+8=11\]Si hubieras sumado primero, habrías calculado \(7\cdot 2=14\), que es incorrecto.

Orden de las operaciones: los 4 niveles

Las operaciones se reparten en cuatro niveles. Se resuelven de arriba abajo, y cada nivel espera a que se terminen los anteriores:

Escalera de la jerarquía de operaciones con cuatro niveles de arriba abajo: paréntesis, corchetes y llaves; potencias y raíces; multiplicación y división; suma y resta. Dentro de un mismo nivel se opera de izquierda a derecha
NivelOperacionesEjemplo
1.ºParéntesis, corchetes y llaves\(2\cdot(3+4)=2\cdot 7=14\)
2.ºPotencias y raíces\(2+3^2=2+9=11\)
3.ºMultiplicaciones y divisiones\(10-2\cdot 3=10-6=4\)
4.ºSumas y restas\(7+5-2=12-2=10\)

Hay una regla clave: cuando varias operaciones son del mismo nivel, se resuelven de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen. La multiplicación y la división son del mismo nivel, y la suma y la resta también. Ninguna tiene prioridad sobre la otra.

Ejemplo 2: resuelvo \(8\div 4\cdot 2\) y \(10-3+2\).
  1. División y multiplicación: son del mismo nivel, así que voy de izquierda a derecha:\[8\div 4\cdot 2=2\cdot 2=4\]
  2. Resta y suma: también son del mismo nivel:\[10-3+2=7+2=9\]
  3. Un error muy frecuente: si multiplicas antes de dividir, sale \(8\div 8=1\), y si sumas antes de restar, sale \(10-5=5\). Los dos son incorrectos.

Veamos ahora un cálculo con los cuatro niveles. La figura muestra cada paso, con el color del nivel que se resuelve:

Resolución paso a paso de veinte menos tres por cuatro más dos entre paréntesis al cuadrado, dividido entre seis. Primero el paréntesis da 6, después la potencia da 36, luego el producto da 108 y la división da 18, y al final la resta da 2
Ejemplo 3: resuelvo \(20-3\cdot(4+2)^2\div 6\).
  1. Paréntesis: \(4+2=6\), y queda \(20-3\cdot 6^2\div 6\).
  2. Potencia: \(6^2=36\), y queda \(20-3\cdot 36\div 6\).
  3. Multiplicación y división, de izquierda a derecha:\[3\cdot 36=108\]\[108\div 6=18\]Queda \(20-18\).
  4. Resta:\[20-18=2\]
Orden de la jerarquía de operaciones

Jerarquía de operaciones con paréntesis, corchetes y llaves

Los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { } sirven para cambiar el orden normal: lo que va dentro se calcula primero. Con \(2\cdot(3+4)\) se suma antes de multiplicar, y el resultado es \(14\).

Cuando hay signos de agrupación dentro de otros, se empieza por el más interior y se sale hacia fuera: primero los paréntesis, después los corchetes y al final las llaves. Dentro de cada uno se aplica la jerarquía de siempre.

Ejemplo 4: resuelvo \(30-\{4+2\cdot[7-(5-2)]\}\).
  1. Paréntesis, el más interior: \(5-2=3\), y queda \(30-\{4+2\cdot[7-3]\}\).
  2. Corchete: \(7-3=4\), y queda \(30-\{4+2\cdot 4\}\).
  3. Llave: dentro, primero la multiplicación y luego la suma:\[4+2\cdot 4=4+8=12\]
  4. Resta final:\[30-12=18\]

La raya de fracción y el signo de raíz también agrupan, aunque no lleven paréntesis: se calcula todo lo que hay en el numerador, en el denominador o dentro de la raíz antes de dividir o de hallar la raíz.

Ejemplo 5: resuelvo \(\dfrac{3+5}{2\cdot 2}\) y \(\sqrt{9+16}\).
  1. Fracción: calculo el numerador y el denominador por separado y después divido:\[\dfrac{3+5}{2\cdot 2}=\dfrac{8}{4}=2\]
  2. Raíz: primero sumo lo que hay dentro y después hallo la raíz:\[\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]
  3. Cuidado: no es lo mismo que sumar las raíces, porque \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\).

Jerarquía de operaciones con potencias y raíces

Las potencias y las raíces van antes que la multiplicación, la división, la suma y la resta. Además, la potencia afecta solo a su base, que es el número o el paréntesis que tiene justo debajo. Por eso \(2\cdot 3^2=2\cdot 9=18\), y no \(6^2=36\). Si necesitas repasar cómo se calculan, mira las propiedades de las potencias.

Ejemplo 6: resuelvo \(5+2\cdot 3^2-\sqrt{49}\).
  1. Potencia y raíz: \(3^2=9\) y \(\sqrt{49}=7\), y queda \(5+2\cdot 9-7\).
  2. Multiplicación: \(2\cdot 9=18\), y queda \(5+18-7\).
  3. Suma y resta, de izquierda a derecha:\[5+18-7=23-7=16\]

Hay una excepción a la regla de «izquierda a derecha»: cuando una potencia tiene otra potencia en el exponente, se resuelve de arriba hacia abajo. Primero se calcula el exponente. Para las raíces, repasa las propiedades de las raíces.

Ejemplo 7: resuelvo \(2^{3^2}\) y lo comparo con \((2^3)^2\).
  1. Sin paréntesis: primero el exponente \(3^2=9\), y después \(2^9\):\[2^{3^2}=2^9=512\]
  2. Con paréntesis: primero la base \(2^3=8\), y después \(8^2\):\[(2^3)^2=8^2=64\]
  3. Conclusión: los paréntesis cambian el resultado, \(512\) frente a \(64\).

Jerarquía de operaciones con números negativos

Aquí está el error más popular. Un signo menos delante de una potencia no forma parte de la base si no hay paréntesis: \(-3^2\) se lee «menos el cuadrado de 3». Primero se hace la potencia, \(3^2=9\), y después se pone el signo, así que \(-3^2=-9\). En cambio, \((-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9\).

Comparación de menos tres al cuadrado sin paréntesis, donde la base es tres y el resultado es menos nueve, y de menos tres entre paréntesis al cuadrado, donde la base es menos tres y el resultado es nueve

Con otros signos, restar un número negativo equivale a sumar su opuesto: \(3-(-2)=3+2=5\). Y un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo del resultado de lo que hay dentro: \(-(2+3)=-5\). Para repasar la regla de los signos, mira los números enteros y las potencias de números negativos.

Ejemplo 8: resuelvo \(-2^2+(-2)^3\cdot 3\).
  1. Potencias: \(-2^2=-4\), porque la base es \(2\), y \((-2)^3=-8\), porque la base es \(-2\). Queda \(-4+(-8)\cdot 3\).
  2. Multiplicación: \((-8)\cdot 3=-24\), y queda \(-4+(-24)\).
  3. Suma:\[-4+(-24)=-28\]

Resumen de lo esencial

Todo lo importante en un solo sitio.

ConceptoQué recordar
Orden1.º paréntesis, corchetes y llaves; 2.º potencias y raíces; 3.º multiplicaciones y divisiones; 4.º sumas y restas
Mismo nivelDe izquierda a derecha: \(12\div 3\cdot 2=4\cdot 2=8\)
Signos anidadosDe dentro hacia fuera: \(2\cdot[1+(3-1)]=2\cdot 3=6\)
Fracción y raízAgrupan lo que contienen: \(\dfrac{3+5}{2\cdot 2}=2\) y \(\sqrt{9+16}=5\)
PotenciaAfecta solo a su base: \(2\cdot 3^2=18\)
Signo menos\(-3^2=-9\), pero \((-3)^2=9\)
Producto sin signoSe lee como multiplicación: \(2(3+4)=2\cdot 7=14\)

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Sumar antes de multiplicar. \(3+4\cdot 2=3+8=11\), y no \(7\cdot 2=14\).
  • Multiplicar antes de dividir. \(8\div 4\cdot 2=2\cdot 2=4\), y no \(8\div 8=1\). Son del mismo nivel y se va de izquierda a derecha.
  • Restar antes de sumar. \(10-3+2=7+2=9\), y no \(10-5=5\). También son del mismo nivel.
  • Meter el signo menos dentro de la base. \(-3^2=-9\), y no \(9\). Para que la base sea \(-3\) hacen falta paréntesis: \((-3)^2=9\).
  • Aplicar la potencia a todo el producto. \(2\cdot 3^2=2\cdot 9=18\), y no \((2\cdot 3)^2=36\).

🧮 Calculadora de la jerarquía de operaciones

Tienes tres pestañas. En «Expresión» escribes una operación combinada, con paréntesis, corchetes, llaves, potencias y raíces, y la resuelvo paso a paso, indicando el nivel que se aplica en cada paso. En «Comparar orden» eliges tres números y dos operaciones, y ves la diferencia entre aplicar la jerarquía e ir de izquierda a derecha. Y en «Paréntesis» ves cómo cambia el resultado según dónde pongas el paréntesis.

Escribe una operación combinada. La resuelvo paso a paso: primero los signos de agrupación, después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones y al final sumas y restas.

Admito números de hasta 6 cifras y 3 decimales (con coma o con punto), los signos + − × ÷ (también * / : y x), la potencia ^ con exponente entero, la raíz √ de cuadrados perfectos y los signos ( ), [ ] y { }. Hasta 40 caracteres.

🌍 Para qué sirve la jerarquía de operaciones

💻 Programación y hojas de cálculoPython, Excel y las calculadoras científicas aplican esta misma jerarquía. Si escribes 3+4*2 te dan \(11\), y para sumar primero tienes que escribir (3+4)*2, que da \(14\).
🛒 ComprasSi compras 3 camisetas de 12 euros y te descuentan 5 euros del total, pagas \(3\cdot 12-5=31\) euros. Si el descuento es de 5 euros por camiseta, pagas \(3\cdot(12-5)=21\) euros.
🌡️ TemperaturasPara pasar grados Celsius a Fahrenheit se usa \(1{,}8\cdot C+32\). Con 20 grados Celsius, primero se multiplica y después se suma: \(1{,}8\cdot 20+32=36+32=68\) grados Fahrenheit.
📐 GeometríaEl perímetro de un rectángulo de 5 por 3 es \(2\cdot(5+3)=16\). Sin el paréntesis, \(2\cdot 5+3=13\) sería otro número, y el cálculo estaría mal.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Jerarquía de operacionesEs el orden en que se resuelven las operaciones de una expresión para que el resultado sea siempre el mismo.
Los 4 niveles1.º paréntesis, corchetes y llaves; 2.º potencias y raíces; 3.º multiplicaciones y divisiones; 4.º sumas y restas.
Mismo nivelSe resuelve de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen: \(12\div 3\cdot 2=4\cdot 2=8\).
Signos de agrupaciónSe empieza por el más interior y se sale hacia fuera: primero los paréntesis, luego los corchetes y al final las llaves.
Potencia y signo menos\(-3^2=-9\), porque la base es \(3\). Con paréntesis, \((-3)^2=9\), porque la base es \(-3\).
PEMDAS y BODMASSon siglas inglesas del mismo orden. La multiplicación y la división son del mismo nivel, y la suma y la resta también.

⭐ Ejercicios de jerarquía de operaciones resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

EJERCICIO 1Sin signos de agrupación
📝 EnunciadoCalcula \(12-3\cdot 2+8\div 4\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Primero las multiplicaciones y divisiones: \(3\cdot 2=6\) y \(8\div 4=2\). Queda \(12-6+2\).
  2. Paso 2. Después las sumas y restas, de izquierda a derecha:\[12-6+2=6+2=8\]
✅ Resultado: \(8\).
EJERCICIO 2Con una potencia
📝 EnunciadoCalcula \(24\div 4\cdot 3-2^3\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Primero la potencia: \(2^3=8\). Queda \(24\div 4\cdot 3-8\).
  2. Paso 2. Ahora la división y la multiplicación, de izquierda a derecha:\[24\div 4=6\]\[6\cdot 3=18\]Queda \(18-8\).
  3. Paso 3. Resto:\[18-8=10\]
✅ Resultado: \(10\).
EJERCICIO 3Con paréntesis y corchetes
📝 EnunciadoCalcula \(5\cdot[3+(8-2)\div 3]-4\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El paréntesis más interior: \(8-2=6\). Queda \(5\cdot[3+6\div 3]-4\).
  2. Paso 2. Dentro del corchete, primero la división y luego la suma:\[6\div 3=2\]\[3+2=5\]Queda \(5\cdot 5-4\).
  3. Paso 3. Multiplico y resto:\[5\cdot 5-4=25-4=21\]
✅ Resultado: \(21\).
EJERCICIO 4Con paréntesis, corchetes y llaves
📝 EnunciadoCalcula \(2+3\cdot\{4-[1+(7-5)^2]\}\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El paréntesis: \(7-5=2\). Queda \(2+3\cdot\{4-[1+2^2]\}\).
  2. Paso 2. Dentro del corchete, primero la potencia y luego la suma:\[2^2=4\]\[1+4=5\]Queda \(2+3\cdot\{4-5\}\).
  3. Paso 3. La llave: \(4-5=-1\). Queda \(2+3\cdot(-1)\).
  4. Paso 4. Multiplico y sumo:\[2+3\cdot(-1)=2+(-3)=-1\]
✅ Resultado: \(-1\).
EJERCICIO 5Con números negativos
📝 EnunciadoCalcula \(-4^2+(-3)\cdot(-2)^3\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Las potencias: \(-4^2=-16\), porque la base es \(4\), y \((-2)^3=-8\), porque la base es \(-2\). Queda \(-16+(-3)\cdot(-8)\).
  2. Paso 2. La multiplicación: \((-3)\cdot(-8)=24\), porque menos por menos da más. Queda \(-16+24\).
  3. Paso 3. Sumo:\[-16+24=8\]
✅ Resultado: \(8\).
EJERCICIO 6Con fracción y raíz
📝 EnunciadoCalcula \(\dfrac{6+2\cdot 5}{2^3}+\sqrt{25-9}\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El numerador: primero la multiplicación y luego la suma, \(6+2\cdot 5=6+10=16\). El denominador: \(2^3=8\).
  2. Paso 2. La fracción vale \(\dfrac{16}{8}=2\).
  3. Paso 3. La raíz agrupa lo que tiene dentro: \(\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\).
  4. Paso 4. Sumo:\[2+4=6\]
✅ Resultado: \(6\).

❓ Preguntas frecuentes sobre la jerarquía de operaciones

🤔 ¿Qué es la jerarquía de operaciones?
Es el conjunto de reglas que indica en qué orden se resuelven las operaciones de una expresión. Gracias a ella, \(3+4\cdot 2\) vale siempre \(11\), porque la multiplicación se hace antes que la suma.
🤔 ¿Cuál es el orden de las operaciones?
Primero se resuelven los paréntesis, corchetes y llaves, empezando por el más interior. Después las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y divisiones y, al final, las sumas y restas. Las operaciones del mismo nivel se hacen de izquierda a derecha.
🤔 ¿Qué va primero, la multiplicación o la división?
Ninguna de las dos: son del mismo nivel y se hace primero la que aparece más a la izquierda. Por ejemplo, \(8\div 4\cdot 2=2\cdot 2=4\), y no \(8\div 8=1\).
🤔 ¿Cuánto es −3² y cuánto es (−3)²?
Sin paréntesis, \(-3^2=-9\), porque la base es \(3\) y el signo menos se aplica después. Con paréntesis, \((-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9\), porque la base es \(-3\).
🤔 ¿Qué significan PEMDAS y BODMAS?
Son reglas mnemotécnicas inglesas para recordar el orden de las operaciones: paréntesis, exponentes, multiplicación y división, y suma y resta. La multiplicación y la división son del mismo nivel, y la suma y la resta también, aunque las siglas las pongan en orden.
🤔 ¿Cómo se resuelven los paréntesis, corchetes y llaves?
De dentro hacia fuera: primero los paréntesis, después los corchetes y al final las llaves. Dentro de cada uno se aplica la jerarquía normal. Por ejemplo, \(2\cdot[1+(3-1)]=2\cdot[1+2]=2\cdot 3=6\).
📚 Resumen final
  • La jerarquía de operaciones es el orden en que se resuelve una expresión: paréntesis, potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones, y sumas y restas.
  • Las operaciones del mismo nivel se resuelven de izquierda a derecha: \(8\div 4\cdot 2=4\).
  • Los signos de agrupación se resuelven de dentro hacia fuera, y la raya de fracción y la raíz también agrupan.
  • La potencia afecta solo a su base: \(2\cdot 3^2=18\).
  • El signo menos delante de una potencia no es parte de la base: \(-3^2=-9\), pero \((-3)^2=9\).

Conclusión

Para aplicar la jerarquía de operaciones, resuelve primero los paréntesis, corchetes y llaves, después las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones y al final las sumas y restas. Si hay varias operaciones del mismo nivel, ve de izquierda a derecha. Practica con los ejercicios y verifica tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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