Proporcionalidad directa e inversa: ejemplos y problemas ✨

Q: ¿Qué es la constante de proporcionalidad?

Es el número k que resume la relación entre las dos magnitudes. En la proporcionalidad directa es k = y / x, como el precio por kilo. En la inversa es k = x · y, como los días que tardaría un solo obrero.

Q: ¿Cómo se resuelve una regla de tres directa e inversa?

Si a corresponde a b y quiero saber a qué corresponde c: en la directa planteo a / c = b / x y resulta x = c · b / a; en la inversa planteo a / c = x / b y resulta x = a · b / c. Con 3 kg a 4,5 € (directa), 7 kg cuestan 7 · 4,5 / 3 = 10,5 €.

Q: ¿Cómo son las gráficas de la proporcionalidad directa e inversa?

La directa, y = k · x, es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es k. La inversa, y = k / x, es una hipérbola que se acerca a los ejes sin tocarlos.

Justo Fernández

hace 6 días · Actualizado hace 6 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la proporcionalidad? Magnitudes, razones y proporciones
Proporcionalidad directa
Proporcionalidad inversa
Cómo distinguir la proporcionalidad directa de la inversa
Problemas de proporcionalidad: regla de tres y reducción a la unidad
Porcentajes: un caso de proporcionalidad directa
Repartos proporcionales directos e inversos
Proporcionalidad compuesta
Chuleta: fórmulas de proporcionalidad directa e inversa
🧮 Calculadora de proporcionalidad directa e inversa
🧠 Flashcards para memorizar
⭐ Ejercicios de proporcionalidad directa e inversa resueltos

¿Dudas si en un problema tienes que multiplicar o dividir? Casi siempre la clave está en reconocer si las magnitudes son proporcionales y de qué tipo. La proporcionalidad directa e inversa sirve para resolver reglas de tres, calcular descuentos, repartir dinero o cambiar las cantidades de una receta. En esta guía te lo explico todo. Con ejemplos resueltos, una calculadora y ejercicios con solución.

⚡ Proporcionalidad directa e inversa en 30 segundos
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número: su cociente es constante. Son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida entre él. Su producto es constante. Para decidir cuál es, me pregunto: si una se hace el doble, ¿la otra se hace el doble o la mitad?

¿Qué es la proporcionalidad? Magnitudes, razones y proporciones

Una magnitud es cualquier cantidad que se puede medir o contar: el peso, el precio, el tiempo, la velocidad, el número de personas… En muchos problemas dos magnitudes están relacionadas, de manera que si cambia una, cambia la otra. Cuando esa relación sigue una regla fija, hablamos de proporcionalidad.

Para estudiarla necesito dos ideas previas, que enlazan con las fracciones:

Una razón es el cociente de dos cantidades, \(\dfrac{a}{b}\). Si 3 kg de naranjas cuestan 4,50 €, la razón entre el precio y los kilos es \(\dfrac{4{,}5}{3}=1{,}5\) euros por kilo.
Una proporción es la igualdad de dos razones, \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\). En toda proporción se cumple \(a\cdot d=b\cdot c\). Por ejemplo, \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}\) y \(2\cdot 15=3\cdot 10=30\), igual que en las fracciones equivalentes.

Hay dos formas fundamentales de relacionar magnitudes. Esta tabla las compara de un vistazo y el resto del artículo las explica con detalle:

	Directa	Inversa
Si una se multiplica por 2	La otra se multiplica por 2	La otra se divide entre 2
Qué permanece constante	El cociente \(\dfrac{y}{x}=k\)	El producto \(x\cdot y=k\)
Fórmula	\(y=k\cdot x\)	\(y=\dfrac{k}{x}\)
Gráfica	Recta que pasa por el origen	Hipérbola
Ejemplo	Kilos de fruta y precio	Obreros y días de trabajo

💡 Idea clave: el número \(k\), llamado constante de proporcionalidad, resume toda la relación. Si lo conoces, puedes calcular cualquier valor sin necesidad de plantear una regla de tres cada vez.

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Más cantidad de una significa más cantidad de la otra, siempre en la misma proporción.

Veamos un ejemplo. Las naranjas cuestan 1,50 € el kilo, así que el precio que pago depende de los kilos que compre:

Kilos \(x\)	Precio \(y\) en €	Cociente \(\dfrac{y}{x}\)
1	1,5	1,5
2	3	1,5
3	4,5	1,5
4	6	1,5
5	7,5	1,5
10	15	1,5

Fíjate en que al pasar de 2 kg a 4 kg, el precio pasa de 3 € a 6 €: las dos magnitudes se duplican. Además, el cociente \(\dfrac{y}{x}\) es el mismo en todas las filas, 1,5. Ese valor es la constante de proporcionalidad directa.

\[k=\frac{y}{x}\]\[y=k\cdot x\]En este ejemplo, \(y=1{,}5\cdot x\).

Cómo comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa

Calculo el cociente \(\dfrac{y}{x}\) en cada pareja de valores.
Si todos los cocientes son iguales, la relación es directa y \(k\) es ese valor.
Si algún cociente es distinto, no es de proporcionalidad directa.

Ejemplo: ¿Son directamente proporcionales las magnitudes de esta tabla?

\(x\)	\(y\)	\(\dfrac{y}{x}\)
1	3	3
2	5	2,5
3	7	\(\approx 2{,}33\)
4	9	2,25

Los cocientes \(3\), \(2{,}5\), \(2{,}33\) y \(2{,}25\) no son iguales, así que no es proporcionalidad directa, aunque las dos magnitudes crezcan a la vez.

La gráfica: una recta que pasa por el origen

Si represento los pares \((x,\,y)\) de una proporcionalidad directa, los puntos quedan alineados sobre una recta que pasa por el origen. La fórmula \(y=k\cdot x\) es la ecuación de una recta cuya pendiente es la constante \(k\). Cuanto mayor es \(k\), más inclinada es la recta.

Gráfica de la proporcionalidad directa entre los kilos de naranjas y el precio: una recta que pasa por el origen con los puntos (2 ; 3) y (4 ; 6), donde al duplicar los kilos se duplica el precio

Ejemplo gráfico de la proporcionalidad directa e inversa

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida entre ese número (y al revés). Más cantidad de una significa menos cantidad de la otra, pero de una forma exacta.

Ejemplo: 4 obreros tardan 6 días en pintar una fachada. Suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo, ¿cuántos días tardarían otras cantidades de obreros?

Obreros \(x\)	Días \(y\)	Producto \(x\cdot y\)
1	24	24
2	12	24
3	8	24
4	6	24
6	4	24
8	3	24
12	2	24

Cada vez que se duplica el número de obreros (de 2 a 4, de 3 a 6, de 4 a 8…), los días se reducen a la mitad. Ahora lo que no cambia es el producto \(x\cdot y\), que siempre vale 24. Ese valor es la constante de proporcionalidad inversa: son los días que tardaría un solo obrero.

\[k=x\cdot y\]\[y=\frac{k}{x}\]En este ejemplo, \(y=\dfrac{24}{x}\).

Cómo comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa

Calculo el producto \(x\cdot y\) en cada pareja de valores.
Si todos los productos son iguales, la relación es inversa y \(k\) es ese valor.
Si algún producto es distinto, no es de proporcionalidad inversa.

Ejemplo: Con los valores \(x=2,\ 4,\ 6\) e \(y=9,\ 5,\ 3\), cuando \(x\) crece, \(y\) disminuye. ¿Es inversa? Calculo los productos: \(2\cdot 9=18\), \(4\cdot 5=20\) y \(6\cdot 3=18\). No son iguales, así que no es proporcionalidad inversa.

La gráfica: una hipérbola

Los puntos de una proporcionalidad inversa no están alineados: forman una curva llamada hipérbola, que se acerca a los ejes pero nunca los toca. Es la gráfica de una función racional de la forma \(y=\dfrac{k}{x}\). Un detalle curioso: el rectángulo que cada punto forma con los ejes siempre tiene la misma área, igual a \(k\).

Gráfica de la proporcionalidad inversa entre obreros y días: una hipérbola con los puntos (2 ; 12) y (4 ; 6), donde los rectángulos que forman con los ejes tienen área 24 y al duplicar los obreros los días se reducen a la mitad

💡 No pasa por el origen. En la proporcionalidad inversa no existe el valor \(y\) para \(x=0\): no se puede dividir entre cero. Con 0 obreros, la fachada no se pintaría nunca.

Cómo distinguir la proporcionalidad directa de la inversa

Antes de calcular nada, hazte esta pregunta: si una magnitud se hace el doble, ¿qué le pasa a la otra?

Si se hace el doble, la proporcionalidad es directa.
Si se hace la mitad, la proporcionalidad es inversa.
Si no ocurre ni una cosa ni la otra, no hay proporcionalidad.

Estas son algunas situaciones habituales:

Situación	Tipo	Por qué
Kilos de manzanas y precio	Directa	El doble de kilos cuesta el doble.
Litros de gasolina y kilómetros que recorre un coche	Directa	Con el doble de gasolina recorre el doble.
Obreros y días que tardan en una obra	Inversa	El doble de obreros tarda la mitad de días.
Velocidad y tiempo para recorrer 120 km	Inversa	Si va el doble de rápido, tarda la mitad.
Grifos abiertos y tiempo en llenar un depósito	Inversa	Con el doble de grifos se llena en la mitad de tiempo.
Edad y estatura de una persona	Ninguna	Crecen, pero a un ritmo irregular.
Lado de un cuadrado y su área	Ninguna	Con el doble de lado, el área se hace cuatro veces mayor.

⚠️ Que las dos suban no basta. Para que haya proporcionalidad directa, una tiene que subir en la misma proporción que la otra. La edad y la estatura aumentan a la vez, pero no son directamente proporcionales. Y si una sube y la otra baja, tampoco tiene que ser inversa: tiene que bajar exactamente en la misma proporción.

Problemas de proporcionalidad: regla de tres y reducción a la unidad

Hay dos métodos para resolver los problemas de proporcionalidad: la regla de tres y la reducción a la unidad. Los dos dan siempre el mismo resultado, así que puedes usar el que te resulte más cómodo. Ordeno los datos así: si \(a\) corresponde a \(b\), ¿a cuánto corresponde \(c\)?

Tipo	Planteo	Resultado
Directa	\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{x}\)	\(x=\dfrac{c\cdot b}{a}\)
Inversa	\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{x}{b}\)	\(x=\dfrac{a\cdot b}{c}\)

Regla de tres directa

Ejemplo: 3 kg de naranjas cuestan 4,50 €. ¿Cuánto cuestan 7 kg?

Identifico el tipo. Más kilos cuestan más dinero: es directa.
Planteo la proporción:\[\frac{3}{7}=\frac{4{,}5}{x}\]
Despejo \(x\):\[x=\frac{7\cdot 4{,}5}{3}=\frac{31{,}5}{3}=10{,}5\]
Respuesta: 7 kg cuestan 10,50 €.
Por reducción a la unidad: 1 kg cuesta \(4{,}5:3=1{,}5\) € y 7 kg cuestan \(7\cdot 1{,}5=10{,}5\) €.

Regla de tres inversa

Ejemplo: 4 obreros tardan 6 días en pintar una fachada. ¿Cuántos días tardarán 3 obreros?

Identifico el tipo. Con menos obreros se tarda más días: es inversa.
Planteo la proporción, invirtiendo una de las razones:\[\frac{4}{3}=\frac{x}{6}\]
Despejo \(x\):\[x=\frac{4\cdot 6}{3}=\frac{24}{3}=8\]
Respuesta: 3 obreros tardarán 8 días.
Por reducción a la unidad: un solo obrero tardaría \(4\cdot 6=24\) días y 3 obreros tardarán \(24:3=8\) días.

💡 Comprueba que el resultado tiene sentido. Con menos obreros, el trabajo tiene que tardar más días. Si te sale un número menor, has usado la regla equivocada. Puedes verificar tus problemas con la calculadora de regla de tres.

Porcentajes: un caso de proporcionalidad directa

Un porcentaje es una razón con denominador 100, y calcularlo es resolver una proporcionalidad directa: el 100 % corresponde a la cantidad total y el \(r\,\%\) corresponde a la parte que busco.

Ejemplo: una chaqueta cuesta 80 € y tiene un 15 % de descuento. ¿Cuánto me descuentan y cuánto pago?

Planteo la proporción. El 100 % son 80 € y el 15 % son \(x\) euros:\[\frac{100}{15}=\frac{80}{x}\]
Despejo \(x\):\[x=\frac{15\cdot 80}{100}=12\]
Precio final: \(80-12=68\) €.
Otra forma. Pagar el 85 % es multiplicar por \(0{,}85\): \(80\cdot 0{,}85=68\) €.

De ahí sale un atajo muy útil para aumentos y descuentos: en lugar de calcular la parte y sumarla o restarla, multiplico directamente por un factor.

Variación	Factor	Ejemplo
Aumento del 21 %	\(1+0{,}21=1{,}21\)	\(50\cdot 1{,}21=60{,}5\) €
Descuento del 15 %	\(1-0{,}15=0{,}85\)	\(80\cdot 0{,}85=68\) €
Aumento del 5 %	\(1+0{,}05=1{,}05\)	\(200\cdot 1{,}05=210\) €

Para practicar más, tienes la calculadora de porcentajes, la guía de cómo calcular porcentajes y una colección de problemas de porcentajes.

Repartos proporcionales directos e inversos

Otro problema clásico es repartir una cantidad entre varias personas según unos números. Hay dos tipos, y la diferencia es la misma que entre la proporcionalidad directa y la inversa.

Reparto directamente proporcional

Cada persona recibe una parte tanto mayor cuanto mayor es su número. El método es siempre el mismo: sumo los números, divido el total entre esa suma para saber cuánto vale una parte y multiplico cada número por ese valor.

Ejemplo: tres amigos, A, B y C, ganan un premio de 300 € y lo reparten en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5, que son las participaciones que compró cada uno.

Sumo los números: \(2+3+5=10\) partes.
Valor de una parte: \(\dfrac{300}{10}=30\) €.
Reparto:\[A:\ 2\cdot 30=60\]\[B:\ 3\cdot 30=90\]\[C:\ 5\cdot 30=150\]
Compruebo: \(60+90+150=300\) €.

Reparto inversamente proporcional

Ahora cada persona recibe una parte tanto menor cuanto mayor es su número. Repartir de forma inversamente proporcional a unos números es repartir de forma directamente proporcional a sus inversos.

Ejemplo: un premio de 300 € se reparte entre tres trabajadores, A, B y C, en partes inversamente proporcionales a sus faltas de asistencia: 2, 3 y 6.

Escribo los inversos: \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{3}\) y \(\dfrac{1}{6}\).
Los pongo con el mismo denominador: \(\dfrac{3}{6}\), \(\dfrac{2}{6}\) y \(\dfrac{1}{6}\). Es lo mismo que repartir en partes directamente proporcionales a 3, 2 y 1.
Sumo: \(3+2+1=6\) partes, y una parte vale \(\dfrac{300}{6}=50\) €.
Reparto:\[A:\ 3\cdot 50=150\]\[B:\ 2\cdot 50=100\]\[C:\ 1\cdot 50=50\]
Compruebo: \(150+100+50=300\) € y, además, \(150\cdot 2=100\cdot 3=50\cdot 6=300\): la parte por las faltas es constante, como en toda proporcionalidad inversa.

Dos barras que reparten 300 euros: en el reparto directo a 2, 3 y 5 tocan 60, 90 y 150 euros; en el reparto inverso a 2, 3 y 6 faltas tocan 150, 100 y 50 euros

💡 Truco para repartos inversos: multiplica todos los inversos por el mínimo común múltiplo de los números (aquí, 6). Así los inversos se convierten en números enteros y el reparto pasa a ser uno directo.

Proporcionalidad compuesta

Cuando en el problema intervienen tres o más magnitudes, la proporcionalidad es compuesta, y se resuelve con la regla de tres compuesta. El método consiste en comparar cada magnitud con la incógnita por separado y multiplicar los factores que resultan.

Ejemplo: 6 obreros que trabajan 8 horas al día tardan 10 días en terminar una obra. ¿Cuántos días tardarán 8 obreros trabajando 5 horas al día?

Obreros	Horas al día	Días
6	8	10
8	5	\(x\)

Comparo cada magnitud con los días. Con más obreros se tardan menos días: inversa. Con más horas al día también se tardan menos días: inversa.
Planteo. Parto de los 10 días y aplico una razón invertida por cada magnitud:\[x=10\cdot\frac{6}{8}\cdot\frac{8}{5}\]
Calculo:\[x=\frac{10\cdot 6\cdot 8}{8\cdot 5}=\frac{480}{40}=12\]
Compruebo: la obra necesita \(6\cdot 8\cdot 10=480\) horas de obrero. Ahora se trabajan \(8\cdot 5=40\) horas de obrero cada día, y \(480:40=12\) días.

Chuleta: fórmulas de proporcionalidad directa e inversa

Esta tabla reúne todo lo que necesitas recordar. En la regla de tres, \(a\) corresponde a \(b\) y \(c\) corresponde a la incógnita \(x\).

	Directa	Inversa
Constante	\(k=\dfrac{y}{x}\)	\(k=x\cdot y\)
Relación	\(y=k\cdot x\)	\(y=\dfrac{k}{x}\)
Dos parejas	\(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\)	\(x_1y_1=x_2y_2\)
Regla de tres	\(x=\dfrac{c\cdot b}{a}\)	\(x=\dfrac{a\cdot b}{c}\)
Gráfica	Recta por el origen	Hipérbola
Reparto	Proporcional a los números	Proporcional a sus inversos

Errores frecuentes con la proporcionalidad directa e inversa

⚠️ Errores que veo a menudo:

Aplicar una regla de tres directa cuando es inversa. Si con más obreros te sale que tardan más días, el resultado no tiene sentido.
Pensar que si una magnitud crece, la otra también es directamente proporcional. Tiene que crecer en la misma proporción: la edad y la estatura no lo hacen.
Confundir el cociente con el producto constante. En la directa es constante \(\dfrac{y}{x}\); en la inversa, \(x\cdot y\).
Multiplicar en cruz de forma equivocada en la inversa. Recuerda: \(x=\dfrac{a\cdot b}{c}\), con los datos de la primera fila en el numerador.
Mezclar unidades. Si un dato está en minutos y otro en horas, pásalos a la misma unidad antes de calcular.
En un reparto inverso, repartir proporcionalmente a los números en vez de a sus inversos.
Olvidar comprobar la tabla. No basta con ver que dos parejas coinciden: tienen que cumplirlo todas.
Calcular el porcentaje al revés. Si un televisor con IVA cuesta 242 €, el precio sin IVA no es \(242-21=221\), sino \(242:1{,}21=200\).

🧮 Calculadora de proporcionalidad directa e inversa

Tienes tres pestañas. En la primera resuelves una regla de tres, directa o inversa, y te explico cada paso. En la segunda escribes una tabla de valores y te digo si es de proporcionalidad directa, inversa o ninguna, con su constante. En la tercera haces un reparto proporcional directo o inverso. Si prefieres otra herramienta, también tienes la calculadora de semejanza y proporcionalidad.

🌍 Proporcionalidad directa e inversa en la vida real

🍳 CocinaPara pasar una receta de 4 a 6 personas multiplico todos los ingredientes por \(\dfrac{6}{4}\). Es proporcionalidad directa.

🚗 ViajesPara recorrer la misma distancia, a más velocidad se tarda menos tiempo. La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales.

🗺️ Mapas y planosLa escala es una razón constante entre la medida del plano y la real. Puedes practicar con la calculadora de semejanza y proporcionalidad.

⚡ FísicaEn la ley de Ohm, \(V=R\cdot I\), el voltaje y la intensidad son directamente proporcionales. En la ley de Boyle, \(P\cdot V=k\), la presión y el volumen de un gas son inversamente proporcionales.

🏗️ TrabajoCuántos obreros, máquinas o grifos hacen falta para terminar una tarea a tiempo es un problema típico de proporcionalidad inversa.

🛒 ComprasEl precio es directamente proporcional a la cantidad que compras, y las rebajas y el IVA son porcentajes.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Razón y proporción

Una razón es un cociente \(\dfrac{a}{b}\). Una proporción es una igualdad de razones, \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), y cumple \(a\cdot d=b\cdot c\).

Proporcionalidad directa

Si una magnitud se multiplica por un número, la otra también. El cociente es constante: \(\dfrac{y}{x}=k\) y \(y=k\cdot x\).

Proporcionalidad inversa

Si una magnitud se multiplica por un número, la otra se divide entre él. El producto es constante: \(x\cdot y=k\) y \(y=\dfrac{k}{x}\).

¿Cómo las distingo?

Pregunto qué le pasa a una magnitud si la otra se hace el doble: si se hace el doble, directa; si se hace la mitad, inversa.

Regla de tres directa

Si \(a\) corresponde a \(b\) y \(c\) corresponde a \(x\): \(x=\dfrac{c\cdot b}{a}\).

Regla de tres inversa

Si \(a\) corresponde a \(b\) y \(c\) corresponde a \(x\): \(x=\dfrac{a\cdot b}{c}\).

Gráficas

La directa es una recta que pasa por el origen y la inversa es una hipérbola que no toca los ejes.

Repartos

Reparto directo: partes proporcionales a los números. Reparto inverso: partes proporcionales a sus inversos \(\dfrac{1}{v}\).

⭐ Ejercicios de proporcionalidad directa e inversa resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende.

EJERCICIO 1Tabla de proporcionalidad directa

📝 EnunciadoEsta tabla relaciona los metros de tela que compro con lo que pago. a) ¿Es de proporcionalidad directa? b) Halla la constante y escribe la fórmula. c) ¿Cuánto pagaré por 20 metros?

Metros \(x\)	Precio \(y\) en €
2	3
5	7,5
8	12
12	18

Ver solución paso a paso

Paso 1. Calculo el cociente \(\dfrac{y}{x}\) de cada pareja:\[\frac{3}{2}=1{,}5\qquad\frac{7{,}5}{5}=1{,}5\]\[\frac{12}{8}=1{,}5\qquad\frac{18}{12}=1{,}5\]
Paso 2. Los cuatro cocientes son iguales, así que es directa y la constante es \(k=1{,}5\):\[y=1{,}5\cdot x\]
Paso 3. Para \(x=20\):\[y=1{,}5\cdot 20=30\]

✅ Resultado: a) Sí, es directa. b) \(k=1{,}5\) y \(y=1{,}5\cdot x\). c) 30 €.

EJERCICIO 2Tabla de proporcionalidad inversa

📝 EnunciadoVarios amigos se reparten a partes iguales el gasto de una excursión. La tabla dice lo que paga cada uno según cuántos van. a) ¿Es de proporcionalidad inversa? b) Halla la constante y escribe la fórmula. c) ¿Cuánto paga cada uno si van 9 amigos?

Amigos \(x\)	Pago de cada uno \(y\) en €
2	18
3	12
4	9
6	6

Ver solución paso a paso

Paso 1. Calculo el producto \(x\cdot y\) de cada pareja:\[2\cdot 18=36\qquad 3\cdot 12=36\]\[4\cdot 9=36\qquad 6\cdot 6=36\]
Paso 2. Los cuatro productos son iguales, así que es inversa y la constante es \(k=36\), que es el gasto total:\[y=\frac{36}{x}\]
Paso 3. Para \(x=9\):\[y=\frac{36}{9}=4\]

✅ Resultado: a) Sí, es inversa. b) \(k=36\) y \(y=\dfrac{36}{x}\). c) 4 € cada uno.

EJERCICIO 3Distinguir el tipo de relación

📝 EnunciadoDi si estas parejas de magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos: a) kilos de pan y precio. b) número de obreros y días que tardan en una obra. c) edad y estatura de una persona. d) velocidad de un tren y tiempo que tarda en recorrer 300 km. e) lado de un cuadrado y su perímetro. f) lado de un cuadrado y su área.

Ver solución paso a paso

a) El doble de kilos cuesta el doble: directa.
b) El doble de obreros tarda la mitad de días: inversa.
c) Crecen a la vez, pero no en la misma proporción: ninguna.
d) Si va el doble de rápido, tarda la mitad de tiempo: inversa.
e) El perímetro es \(P=4\cdot l\). Con el doble de lado, el doble de perímetro: directa.
f) El área es \(A=l^2\). Con el doble de lado, el cuádruple de área: ninguna.

✅ Resultado: a) Directa. b) Inversa. c) Ninguna. d) Inversa. e) Directa. f) Ninguna.

EJERCICIO 4Regla de tres directa

📝 Enunciado5 entradas de cine cuestan 42 €. ¿Cuánto cuestan 8 entradas?

Ver solución paso a paso

Paso 1. Más entradas cuestan más dinero: es directa.
Paso 2. Planteo la proporción:\[\frac{5}{8}=\frac{42}{x}\]
Paso 3. Despejo \(x\):\[x=\frac{8\cdot 42}{5}=\frac{336}{5}=67{,}2\]

✅ Resultado: 8 entradas cuestan 67,20 €.

EJERCICIO 5Regla de tres inversa

📝 EnunciadoUn coche que va a 90 km/h tarda 4 horas en hacer un trayecto. ¿Cuánto tardará si va a 120 km/h?

Ver solución paso a paso

Paso 1. A más velocidad se tarda menos tiempo: es inversa.
Paso 2. Planteo la proporción, invirtiendo una de las razones:\[\frac{90}{120}=\frac{x}{4}\]
Paso 3. Despejo \(x\):\[x=\frac{90\cdot 4}{120}=\frac{360}{120}=3\]

✅ Resultado: Tardará 3 horas.

EJERCICIO 6Reducción a la unidad

📝 EnunciadoResuelve por reducción a la unidad. a) 12 bolígrafos cuestan 9 €. ¿Cuánto cuestan 20 bolígrafos? b) 4 grifos llenan un depósito en 9 horas. ¿Cuánto tardarán 6 grifos?

Ver solución paso a paso

Paso 1. Apartado a). Es directa. Un bolígrafo cuesta \(9:12=0{,}75\) €.
Paso 2. Apartado a). Veinte bolígrafos cuestan:\[20\cdot 0{,}75=15\]
Paso 3. Apartado b). Es inversa. Un solo grifo tardaría:\[4\cdot 9=36\ \text{horas}\]
Paso 4. Apartado b). Seis grifos tardarán:\[36:6=6\ \text{horas}\]

✅ Resultado: a) 15 €. b) 6 horas.

EJERCICIO 7Porcentajes con proporcionalidad

📝 EnunciadoUn móvil cuesta 250 € y su precio baja un 18 %. a) ¿Cuántos euros se descuentan? b) ¿Cuál es el precio final? c) Un televisor cuesta 363 € con un 21 % de IVA incluido. ¿Cuánto costaba sin IVA?

Ver solución paso a paso

Paso 1. Apartado a). El 100 % son 250 € y el 18 % son \(x\) euros:\[\frac{100}{18}=\frac{250}{x}\]\[x=\frac{18\cdot 250}{100}=45\]
Paso 2. Apartado b). El precio final es \(250-45=205\) €.
Paso 3. Apartado c). Con el IVA, el precio sin IVA se convierte en el 121 %. Entonces el 121 % son 363 € y el 100 % son \(x\) euros:\[\frac{121}{100}=\frac{363}{x}\]
Paso 4. Apartado c). Despejo \(x\):\[x=\frac{100\cdot 363}{121}=300\]

✅ Resultado: a) 45 €. b) 205 €. c) 300 €.

EJERCICIO 8Reparto directamente proporcional

📝 EnunciadoTres hermanos reciben una herencia de 840 €, que se reparte en partes directamente proporcionales a las horas que trabajó cada uno en el negocio familiar: 3, 4 y 5. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución paso a paso

Paso 1. Sumo los números: \(3+4+5=12\) partes.
Paso 2. Una parte vale \(\dfrac{840}{12}=70\) €.
Paso 3. Multiplico cada número por 70:\[3\cdot 70=210\]\[4\cdot 70=280\]\[5\cdot 70=350\]
Paso 4. Compruebo: \(210+280+350=840\) €.

✅ Resultado: Reciben 210 €, 280 € y 350 €.

EJERCICIO 9Reparto inversamente proporcional

📝 EnunciadoTres amigos juegan a un concurso con un premio de 560 € que se reparte en partes inversamente proporcionales al número de errores que cometió cada uno: 2, 4 y 8. ¿Cuánto recibe cada uno?

Ver solución paso a paso

Paso 1. Escribo los inversos y los pongo con el mismo denominador:\[\frac{1}{2}=\frac{4}{8}\qquad\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\qquad\frac{1}{8}\]Es lo mismo que repartir en partes directamente proporcionales a 4, 2 y 1.
Paso 2. Sumo: \(4+2+1=7\) partes, y una parte vale \(\dfrac{560}{7}=80\) €.
Paso 3. Reparto:\[4\cdot 80=320\]\[2\cdot 80=160\]\[1\cdot 80=80\]
Paso 4. Compruebo: \(320+160+80=560\) € y \(320\cdot 2=160\cdot 4=80\cdot 8=640\).

✅ Resultado: Reciben 320 €, 160 € y 80 €.

EJERCICIO 10Problema de proporcionalidad compuesta

📝 Enunciado8 máquinas producen 960 piezas en 6 horas. ¿Cuántas piezas producirán 5 máquinas en 9 horas?

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Paso 1. Comparo cada magnitud con las piezas. Con menos máquinas se producen menos piezas: directa. Con más horas se producen más piezas: directa.
Paso 2. Planteo:\[x=960\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{9}{6}\]
Paso 3. Calculo:\[x=\frac{960\cdot 5\cdot 9}{8\cdot 6}=\frac{43200}{48}=900\]
Paso 4. Compruebo: una máquina produce \(\dfrac{960}{8\cdot 6}=20\) piezas por hora, y \(5\cdot 9\cdot 20=900\).

✅ Resultado: Producirán 900 piezas.

❓ Preguntas frecuentes sobre la proporcionalidad directa e inversa

🤔 ¿Qué es la proporcionalidad directa?

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Su cociente \(\dfrac{y}{x}\) es constante y vale la constante de proporcionalidad \(k\), de modo que \(y=k\cdot x\). Por ejemplo, si 3 kg de naranjas cuestan 4,50 €, entonces \(k=1{,}5\) euros por kilo.

🤔 ¿Qué es la proporcionalidad inversa?

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida entre ese número. Su producto \(x\cdot y\) es constante y la relación es \(y=\dfrac{k}{x}\). Por ejemplo, si 4 obreros tardan 6 días, 8 obreros tardan 3 días, porque \(4\cdot 6=8\cdot 3=24\).

🤔 ¿Cómo sé si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales?

Me pregunto qué le pasa a una si la otra se hace el doble: si se hace el doble, es directa; si se hace la mitad, es inversa. Con una tabla de valores, calculo \(\dfrac{y}{x}\) en cada pareja (si son todos iguales, es directa) y \(x\cdot y\) (si son todos iguales, es inversa). Si no ocurre ninguna de las dos cosas, no hay proporcionalidad.

🤔 ¿Qué es la constante de proporcionalidad?

Es el número \(k\) que resume la relación entre las dos magnitudes. En la proporcionalidad directa es \(k=\dfrac{y}{x}\), como el precio por kilo. En la inversa es \(k=x\cdot y\), como los días que tardaría un solo obrero.

🤔 ¿Cómo se resuelve una regla de tres directa e inversa?

Si \(a\) corresponde a \(b\) y quiero saber a qué corresponde \(c\): en la directa planteo \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{x}\) y resulta \(x=\dfrac{c\cdot b}{a}\); en la inversa planteo \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{x}{b}\) y resulta \(x=\dfrac{a\cdot b}{c}\). Con 3 kg a 4,5 € (directa), 7 kg cuestan \(\dfrac{7\cdot 4{,}5}{3}=10{,}5\) €.

🤔 ¿Cómo son las gráficas de la proporcionalidad directa e inversa?

La directa, \(y=k\cdot x\), es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es \(k\). La inversa, \(y=\dfrac{k}{x}\), es una hipérbola que se acerca a los ejes sin tocarlos.

🤔 ¿Los porcentajes son proporcionalidad directa?

Sí. Calcular un porcentaje es resolver una regla de tres directa en la que el 100 % corresponde a la cantidad total. Por ejemplo, el 15 % de 80 € es \(\dfrac{15\cdot 80}{100}=12\) €.

🤔 Si dos magnitudes aumentan a la vez, ¿son directamente proporcionales?

No necesariamente. Tienen que aumentar en la misma proporción, es decir, con un cociente \(\dfrac{y}{x}\) constante. Con \(x=1,\ 2,\ 3,\ 4\) e \(y=3,\ 5,\ 7,\ 9\) las dos crecen, pero los cocientes valen \(3\), \(2{,}5\), \(2{,}33\) y \(2{,}25\), así que no hay proporcionalidad directa.

📚 Resumen final

Directa: si una magnitud se multiplica por un número, la otra también. \(\dfrac{y}{x}=k\) y \(y=k\cdot x\). Su gráfica es una recta que pasa por el origen.
Inversa: si una magnitud se multiplica por un número, la otra se divide entre él. \(x\cdot y=k\) y \(y=\dfrac{k}{x}\). Su gráfica es una hipérbola.
Para distinguirlas, pregunto qué le pasa a una magnitud cuando la otra se hace el doble.
Regla de tres directa: \(x=\dfrac{c\cdot b}{a}\). Regla de tres inversa: \(x=\dfrac{a\cdot b}{c}\).
Los porcentajes son proporcionalidad directa.
Reparto directo: proporcional a los números. Reparto inverso: proporcional a sus inversos.
Si hay tres o más magnitudes, comparo cada una con la incógnita y multiplico los factores.

Conclusión

La proporcionalidad directa e inversa se reduce a una pregunta: qué le pasa a una magnitud cuando la otra se hace el doble. Si se hace el doble, el cociente es constante y la gráfica es una recta; si se hace la mitad, el producto es constante y la gráfica es una hipérbola. Con eso resuelves reglas de tres, porcentajes y repartos sin dudar entre multiplicar o dividir. Practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...