Ejemplo visual de la ecuación de la circunferencia

Ecuación de la circunferencia: fórmulas y ejercicios resueltos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 5 horas · Actualizado hace 5 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la ecuación de la circunferencia?
  2. Ecuación reducida de la circunferencia: centro y radio
  3. Ecuación general de la circunferencia
  4. Cómo hallar la ecuación de una circunferencia
  5. Posición de un punto y de una recta respecto a una circunferencia
  6. Resumen de lo más importante
  7. Errores frecuentes
  8. 🧮 Calculadora de la ecuación de la circunferencia
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios resueltos de la ecuación de la circunferencia

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia? La ecuación de la circunferencia de centro \(C(a,b)\) y radio \(r\) es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Es la forma reducida, y al desarrollar los cuadrados sale la forma general \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\). En esta guía lo entenderás todo. Tienes muchos ejemplos y ejercicios interactivos resueltos paso a paso.

⚡ La ecuación de la circunferencia en 30 segundos
Si el centro es \(C(a,b)\) y el radio es \(r\), la ecuación reducida es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Para pasar a la general, desarrolla los cuadrados y lleva todo al primer miembro.

Ejemplo: con centro \(C(3,\ -2)\) y radio \(4\):
\[(x-3)^2+(y+2)^2=16\]\[x^2+y^2-6x+4y-3=0\]

¿Qué es la ecuación de la circunferencia?

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia \(r\), el radio, de un punto fijo \(C\), el centro. Su ecuación es la condición que cumplen las coordenadas \((x,y)\) de esos puntos, y solo las de ellos. Es una de las cónicas, junto con la elipse, la parábola y la hipérbola.

Se deduce en tres pasos. Sea \(P(x,y)\) un punto cualquiera de la circunferencia y \(C(a,b)\) su centro:

  1. Distancia. El segmento \(CP\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(x-a\) e \(y-b\). Por el teorema de Pitágoras, \(d(P,C)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\).
  2. Condición. \(P\) está en la circunferencia cuando esa distancia es el radio: \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\).
  3. Ecuación. Elevo al cuadrado los dos miembros, para quitar la raíz:\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
Circunferencia de centro C con coordenadas a y b y radio r: un punto P de coordenadas x e y está en ella si su distancia a C es r, y el triángulo rectángulo de catetos x menos a e y menos b da la ecuación por Pitágoras
💡 Circunferencia y círculo no son lo mismo. La circunferencia es solo la línea, y su ecuación lleva un signo «=». El círculo es la región que encierra, con todos los puntos de dentro, y se escribe con una desigualdad: \((x-a)^2+(y-b)^2\le r^2\).

Ecuación reducida de la circunferencia: centro y radio

La ecuación reducida, también llamada ordinaria o canónica, es la que deja ver el centro y el radio a simple vista. Si el centro es \(C(a,b)\) y el radio es \(r\):

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

Si el centro es el origen, \(a=0\) y \(b=0\), queda \(x^2+y^2=r^2\). Para leer los datos, fíjate en dos cosas: dentro del paréntesis el signo es el contrario al de la coordenada del centro, y el número del segundo miembro es \(r^2\), no \(r\).

EcuaciónCentroRadio
\((x-3)^2+(y-5)^2=16\)\((3,\ 5)\)\(4\)
\((x+2)^2+(y-1)^2=9\)\((-2,\ 1)\)\(3\)
\(x^2+(y+4)^2=7\)\((0,\ -4)\)\(\sqrt{7}\)
\(x^2+y^2=25\)\((0,\ 0)\)\(5\)
Ejemplo 1: escribo la ecuación de la circunferencia de centro \(C(3,\ -2)\) y radio \(4\).
  1. Identifico los datos: \(a=3\), \(b=-2\) y \(r=4\).
  2. Sustituyo en la ecuación reducida:\[(x-3)^2+(y-(-2))^2=4^2\]
  3. Simplifico los signos y calculo \(r^2\):\[(x-3)^2+(y+2)^2=16\]
  4. Conclusión: la ecuación es \((x-3)^2+(y+2)^2=16\). Compruebo con el punto \((7,\ -2)\), que está a 4 unidades del centro:\[(7-3)^2+(-2+2)^2=16+0=16\]
Circunferencia de centro C(3, −2) y radio 4 dibujada sobre unos ejes con cuadrícula y con cuatro puntos marcados: su ecuación reducida es (x − 3)² + (y + 2)² = 16
Ejemplo 2: hallo la circunferencia de centro \(C(2,\ -1)\) que pasa por el punto \(P(5,\ 3)\).
  1. El radio es la distancia del centro al punto:\[r=d(C,P)=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-1))^2}\]\[=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\]
  2. Sustituyo el centro y el radio:\[(x-2)^2+(y+1)^2=5^2\]\[(x-2)^2+(y+1)^2=25\]
  3. Conclusión: la ecuación es \((x-2)^2+(y+1)^2=25\).
💡 Ecuaciones paramétricas. La misma circunferencia se puede describir con \(x=a+r\cos t\) e \(y=b+r\sin t\), con \(t\) entre \(0\) y \(2\pi\). Cada valor de \(t\) da un punto.
Ejemplo visual de la ecuación de la circunferencia

Ecuación general de la circunferencia

Si desarrollas los cuadrados de la ecuación reducida y llevas todo al primer miembro, obtienes la ecuación general:

\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]

Con el producto notable \((x-a)^2=x^2-2ax+a^2\), los coeficientes valen \(D=-2a\), \(E=-2b\) y \(F=a^2+b^2-r^2\). Al despejar, el centro y el radio salen directamente de \(D\), \(E\) y \(F\):

\[C\left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right)\]\[r^2=\frac{D^2}{4}+\frac{E^2}{4}-F\]

Por ejemplo, desarrollo la ecuación del ejemplo 1:\[(x-3)^2+(y+2)^2=16\]\[x^2-6x+9+y^2+4y+4=16\]\[x^2+y^2-6x+4y-3=0\]Aquí \(D=-6\), \(E=4\) y \(F=9+4-16=-3\).

No toda ecuación de esa forma es una circunferencia. Calcula \(r^2=\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F\) y mira su signo:

SiEntonces
\(r^2\gt 0\)Es una circunferencia de radio \(r=\sqrt{r^2}\)
\(r^2=0\)Es un solo punto, el centro
\(r^2\lt 0\)No hay ningún punto: no es una circunferencia

Además, los coeficientes de \(x^2\) y de \(y^2\) tienen que ser iguales y no puede haber término en \(xy\). Si esos dos coeficientes valen \(A\) y \(A\) no es 1, se divide toda la ecuación entre \(A\), como en el ejemplo 4.

Ejemplo 3: paso \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\) a la forma reducida y hallo el centro y el radio.
  1. Agrupo los términos en \(x\) y en \(y\), y paso el término independiente al segundo miembro:\[(x^2-6x)+(y^2+4y)=12\]
  2. Completo cuadrados. Sumo a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de \(x\), que es \((-3)^2=9\), y el de \(y\), que es \(2^2=4\):\[(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)\]\[=12+9+4\]
  3. Factorizo cada paréntesis, que ahora es un cuadrado perfecto:\[(x-3)^2+(y+2)^2=25\]
  4. Conclusión: el centro es \(C(3,\ -2)\) y el radio es \(r=\sqrt{25}=5\). Con las fórmulas sale igual:\[C\left(-\frac{-6}{2},\ -\frac{4}{2}\right)=(3,\ -2)\]\[r^2=\frac{36}{4}+\frac{16}{4}+12=25\]
Ejemplo 4: hallo el centro y el radio de \(2x^2+2y^2-8x+12y+2=0\).
  1. Divido toda la ecuación entre 2, para que los coeficientes de \(x^2\) y de \(y^2\) valgan 1:\[x^2+y^2-4x+6y+1=0\]
  2. Leo \(D=-4\), \(E=6\) y \(F=1\). El centro es:\[C\left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right)=(2,\ -3)\]
  3. Calculo el radio:\[r^2=\frac{(-4)^2}{4}+\frac{6^2}{4}-1=4+9-1=12\]\[r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\]
  4. Conclusión: el centro es \(C(2,\ -3)\) y el radio es \(r=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\).
Ejemplo 5: ¿es \(x^2+y^2+2x-4y+10=0\) una circunferencia?
  1. Leo \(D=2\), \(E=-4\) y \(F=10\).
  2. Calculo \(r^2\):\[r^2=\frac{2^2}{4}+\frac{(-4)^2}{4}-10=1+4-10\]\[=-5\]
  3. Conclusión: como \(r^2\lt 0\), ningún punto cumple la ecuación. No es una circunferencia.
💡 Circunferencias concéntricas. Son las que tienen el mismo centro y distinto radio. Las de los ejemplos 1 y 3, de centro \((3,\ -2)\) y radios \(4\) y \(5\), lo son: sus ecuaciones generales solo se diferencian en el término independiente, \(-3\) y \(-12\).

Cómo hallar la ecuación de una circunferencia

Para escribir la ecuación hacen falta el centro y el radio. Según los datos que tengas, se consiguen así. En la última columna tienes el número de los ejercicios resueltos de más abajo.

DatosCómo obtienes el centro y el radioEjercicios
Centro y radioYa los tienes: sustituyes en la ecuación reducida2
Centro y un puntoEl radio es la distancia del centro al punto, \(r=d(C,P)\)4
Extremos de un diámetroEl centro es el punto medio y \(r=\dfrac{|AB|}{2}\)5
Tres puntosSustituyes cada punto en la ecuación general y resuelves el sistema en \(D\), \(E\) y \(F\)7
Centro y recta tangenteEl radio es la distancia del centro a la recta8
Ejemplo 6: los puntos \(A(-2,\ 1)\) y \(B(4,\ -3)\) son los extremos de un diámetro. Hallo la circunferencia.
  1. El centro es el punto medio del diámetro:\[C=\left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right)=(1,\ -1)\]
  2. El radio al cuadrado. Calculo \(|AB|^2\) y lo divido entre 4, porque \(r=\dfrac{|AB|}{2}\):\[|AB|^2=(4-(-2))^2+(-3-1)^2\]\[=36+16=52\]\[r^2=\frac{52}{4}=13\]
  3. Sustituyo el centro y \(r^2\). No hace falta calcular la raíz:\[(x-1)^2+(y+1)^2=13\]
  4. Conclusión: la ecuación reducida es \((x-1)^2+(y+1)^2=13\), de radio \(\sqrt{13}\approx 3{,}61\). Su ecuación general es \(x^2+y^2-2x+2y-11=0\).
Ejemplo 7: hallo la circunferencia que pasa por \(P_1(7,\ 1)\), \(P_2(5,\ 5)\) y \(P_3(-1,\ 5)\).
  1. Sustituyo cada punto en \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) y paso \(x^2+y^2\) al segundo miembro:\[7D+E+F=-50\]\[5D+5E+F=-50\]\[-D+5E+F=-26\]
  2. Elimino \(F\) restando las ecuaciones de dos en dos, la primera menos la segunda y la segunda menos la tercera:\[2D-4E=0\]\[6D=-24\]
  3. Resuelvo. De la segunda, \(D=-4\). En la primera, \(2\cdot(-4)-4E=0\), luego \(E=-2\). Despejo \(F\) en la primera ecuación del paso 1:\[7\cdot(-4)+(-2)+F=-50\]\[F=-20\]
  4. Conclusión: la ecuación general es \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\). El centro es \(C(2,\ 1)\) y \(r^2=4+1+20=25\), así que \(r=5\). La ecuación reducida es \((x-2)^2+(y-1)^2=25\).

El sistema del ejemplo 7 es lineal y se puede resolver por sustitución, por reducción o con la regla de Cramer.

Para el último caso necesitas la distancia de un punto \((a,b)\) a una recta \(Ax+By+C=0\):

\[d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Si necesitas repasar las rectas, mira las ecuaciones de la recta.

Ejemplo 8: hallo la circunferencia de centro \(C(2,\ 1)\) que es tangente a la recta \(3x+4y-35=0\).
  1. Idea. Una recta tangente toca a la circunferencia en un solo punto, así que el radio es la distancia del centro a la recta.
  2. Calculo la distancia con \(A=3\), \(B=4\) y \(C=-35\):\[d=\frac{|3\cdot 2+4\cdot 1-35|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}\]\[=5\]
  3. Conclusión: \(r=5\) y la ecuación es \((x-2)^2+(y-1)^2=25\).

Posición de un punto y de una recta respecto a una circunferencia

Para saber dónde está un punto \(P(x_0,\ y_0)\) respecto a la circunferencia de centro \(C(a,b)\) y radio \(r\), se compara su distancia al centro con el radio. Es más cómodo comparar los cuadrados, y así te ahorras la raíz:

ComparaciónEl punto \(P\)
\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2\lt r^2\)Es interior: está dentro de la circunferencia
\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\)Está en la circunferencia
\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2\gt r^2\)Es exterior: está fuera de la circunferencia
Ejemplo 9: en la circunferencia \((x-2)^2+(y-1)^2=25\), de centro \(C(2,\ 1)\) y radio \(5\), estudio la posición de \(P_1(5,\ 5)\), \(P_2(3,\ 2)\) y \(P_3(-4,\ 6)\).
  1. Punto \(P_1\). Sustituyo y comparo con \(r^2=25\):\[(5-2)^2+(5-1)^2=9+16=25\]Es igual a \(r^2\), así que está en la circunferencia.
  2. Punto \(P_2\).\[(3-2)^2+(2-1)^2=1+1=2\]Es menor que \(25\), así que es interior.
  3. Punto \(P_3\).\[(-4-2)^2+(6-1)^2=36+25=61\]Es mayor que \(25\), así que es exterior.

Una recta puede cortar a la circunferencia en dos puntos, tocarla en uno solo o no tocarla. Se decide comparando la distancia \(d\) del centro a la recta, con la fórmula de arriba, con el radio:

DistanciaLa recta esPuntos en común
\(d\lt r\)Secante2
\(d=r\)Tangente1
\(d\gt r\)Exterior0
Circunferencia de centro C(2, 1) y radio 5 con tres rectas paralelas 3x + 4y = 5, 3x + 4y = 35 y 3x + 4y = 50: la primera es secante porque su distancia al centro es 1, la segunda es tangente porque es 5 y la tercera es exterior porque es 8
Ejemplo 10: con la misma circunferencia, estudio las rectas \(s_1:\ 3x+4y-5=0\), \(s_2:\ 3x+4y-35=0\) y \(s_3:\ 3x+4y-50=0\).
  1. Calculo las distancias del centro \(C(2,\ 1)\). En las tres, \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) y \(3\cdot 2+4\cdot 1=10\):\[d_1=\frac{|10-5|}{5}=1\]\[d_2=\frac{|10-35|}{5}=5\]\[d_3=\frac{|10-50|}{5}=8\]
  2. Comparo con \(r=5\): \(d_1\lt 5\), \(d_2=5\) y \(d_3\gt 5\).
  3. Conclusión: \(s_1\) es secante, \(s_2\) es tangente y \(s_3\) es exterior.
  4. Punto de tangencia de \(s_2\). Es el pie de la perpendicular desde el centro. Esa perpendicular tiene la dirección \((3,\ 4)\) de los coeficientes de la recta, así que sus puntos son \((2+3t,\ 1+4t)\). Sustituyo en \(s_2\):\[3(2+3t)+4(1+4t)-35=0\]\[25t-25=0\]\[t=1\]Entonces \(T=(5,\ 5)\), que es el punto \(P_1\) del ejemplo anterior.
💡 Otro método para la recta. Si despejas una variable de la recta y la sustituyes en la ecuación de la circunferencia, sale una ecuación de segundo grado. Si su discriminante es positivo, la recta es secante, si es cero, tangente, y si es negativo, exterior. Es el método de los sistemas de ecuaciones no lineales, y además te da los puntos de corte, como en el ejercicio 9.
💡 Tangente en un punto de la circunferencia. Si \(P_0(x_0,\ y_0)\) está en la circunferencia, la recta tangente en \(P_0\) es:\[(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\]En el ejemplo 10, con \(P_0=(5,\ 5)\):\[3(x-2)+4(y-1)=25\]\[3x+4y-35=0\]

Resumen de lo más importante

ConceptoQué recordar
Ecuación reducida\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), con centro \(C(a,b)\) y radio \(r\)
Centro en el origen\(x^2+y^2=r^2\)
Ecuación general\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), con \(D=-2a\), \(E=-2b\) y \(F=a^2+b^2-r^2\)
Centro y radio desde la general\(C\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)\) y \(r^2=\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F\)
¿Es una circunferencia?Sí si \(r^2\gt 0\). Si \(r^2=0\) es un punto, y si \(r^2\lt 0\), no hay puntos
Diámetro \(AB\)El centro es el punto medio de \(AB\) y \(r=\dfrac{|AB|}{2}\)
Recta \(Ax+By+C=0\)\(d=\dfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\): secante si \(d\lt r\), tangente si \(d=r\), exterior si \(d\gt r\)
Tangente en \(P_0\)\[(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\]

Para tener más fórmulas de las cónicas, consulta el artículo de las cónicas.

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Copiar el signo del paréntesis. En \((x+2)^2+(y-1)^2=9\) el centro es \((-2,\ 1)\), no \((2,\ -1)\). Es el contrario de lo que ves dentro del paréntesis.
  • Olvidar elevar el radio al cuadrado. Con \(r=4\) la ecuación termina en \(16\), no en \(4\): \((x-3)^2+(y+2)^2=16\).
  • Confundir \(F\) con \(r^2\). En \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\) el radio no es \(\sqrt{12}\). El radio sale de \(r^2=9+4+12=25\), es decir, \(r=5\).
  • No dividir entre 2 al sacar el centro. El centro es \(\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)\). En \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\) es \((3,\ -2)\), y no \((6,\ -4)\).
  • No dividir entre \(A\). En \(2x^2+2y^2-8x+12y+2=0\), si usas \(D=-8\) y \(E=12\) te sale el centro \((4,\ -6)\). Primero hay que dividir entre 2: el centro correcto es \((2,\ -3)\).
  • No comprobar \(r^2\gt 0\). En \(x^2+y^2+2x-4y+10=0\) sale \(r^2=-5\), y no hay circunferencia.
  • Olvidar la raíz de la distancia a la recta. En el ejemplo 10, \(\dfrac{|10-35|}{5}=5\). Si no divides entre \(\sqrt{A^2+B^2}=5\), te sale \(25\) y concluyes mal.

🧮 Calculadora de la ecuación de la circunferencia

Tienes tres pestañas. En «Centro y radio» escribes los coeficientes de la ecuación general y completo cuadrados: te doy el centro, el radio y la ecuación reducida, o te digo que no es una circunferencia. En «Hallar la ecuación» eliges tus datos, el centro y el radio, el centro y un punto, los extremos de un diámetro o tres puntos, y te doy la ecuación reducida y la general. Y en «Posición» estudias un punto o una recta respecto a una circunferencia: interior, exterior, secante o tangente. El cálculo es exacto y explica cada paso.

Escribe los coeficientes de la ecuación general \(Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0\). Completo cuadrados y te doy el centro, el radio y la ecuación reducida.

Escribe números enteros, decimales con coma o punto, o fracciones como 1/2. El cálculo es exacto.

🌍 Dónde aparece la ecuación de la circunferencia

🎓 Bachillerato y selectividadLa geometría analítica pide a menudo hallar una circunferencia con tres puntos o con una tangente, o estudiar rectas y circunferencias. Mira los ejercicios 7, 8 y 9.
📡 Cobertura de una antenaLa zona que cubre una antena o un wifi es un círculo. Para saber si un punto está dentro, se comprueba si es interior, como en el ejercicio 6.
⚙️ Diseño y videojuegosRuedas, engranajes y arcos se dibujan con circunferencias. En un videojuego, dos objetos redondos chocan cuando la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.
🔵 Las cónicasLa circunferencia es la primera de las cónicas. Con la elipse, la parábola y la hipérbola, las tienes en el artículo de las cónicas.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Ecuación reducida\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), con centro \(C(a,b)\). El signo de dentro del paréntesis es el contrario al de la coordenada.
Ecuación general\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), con \(D=-2a\), \(E=-2b\) y \(F=a^2+b^2-r^2\).
De general a reducidaEl centro es \(\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)\) y \(r^2=\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F\). O se completan cuadrados.
¿Es una circunferencia?Solo si \(r^2\gt 0\). Si \(r^2=0\) es un punto y si \(r^2\lt 0\) no hay ningún punto.
DiámetroEl centro es el punto medio de los extremos y el radio es la mitad de la distancia \(|AB|\).
Recta y circunferenciaSe compara la distancia \(d\) del centro a la recta con \(r\): secante si \(d\lt r\), tangente si \(d=r\) y exterior si \(d\gt r\).

⭐ Ejercicios resueltos de la ecuación de la circunferencia

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Son 10, ordenados de menos a más difícil. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

Nivel 1: leer y escribir la ecuación

EJERCICIO 1Centro y radio desde la reducida
📝 EnunciadoIndica el centro y el radio de cada circunferencia. a) \((x-5)^2+(y+3)^2=49\). b) \(x^2+y^2=20\). c) \((x+4)^2+y^2=9\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. El centro es \(C(5,\ -3)\), con los signos cambiados. Como \(r^2=49\), el radio es \(r=7\).
  2. Apartado b. No hay desplazamientos, así que el centro es \(C(0,\ 0)\). Como \(r^2=20\):\[r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47\]
  3. Apartado c. Escribo \(y^2=(y-0)^2\). El centro es \(C(-4,\ 0)\) y, como \(r^2=9\), el radio es \(r=3\).
✅ Resultado: a) \(C(5,\ -3)\) y \(r=7\). b) \(C(0,\ 0)\) y \(r=2\sqrt{5}\). c) \(C(-4,\ 0)\) y \(r=3\).
EJERCICIO 2Escribir la reducida y la general
📝 EnunciadoEscribe la ecuación reducida y la ecuación general de la circunferencia de centro \(C(-3,\ 2)\) y radio \(5\).
Ver solución paso a paso
  1. Reducida. Con \(a=-3\), \(b=2\) y \(r=5\):\[(x-(-3))^2+(y-2)^2=5^2\]\[(x+3)^2+(y-2)^2=25\]
  2. General. Desarrollo los cuadrados y paso todo al primer miembro:\[x^2+6x+9+y^2-4y+4=25\]\[x^2+y^2+6x-4y-12=0\]
✅ Resultado: Reducida: \((x+3)^2+(y-2)^2=25\). General: \(x^2+y^2+6x-4y-12=0\).
EJERCICIO 3De la general a la reducida
📝 EnunciadoPasa a la forma reducida y da el centro y el radio. a) \(x^2+y^2-10x+2y+17=0\). b) \(4x^2+4y^2+8x-16y-4=0\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Agrupo y paso el término independiente al segundo miembro:\[(x^2-10x)+(y^2+2y)=-17\]Completo cuadrados con \((-5)^2=25\) y \(1^2=1\):\[(x^2-10x+25)+(y^2+2y+1)\]\[=-17+25+1\]\[(x-5)^2+(y+1)^2=9\]
  2. Apartado b. Divido entre 4, porque los coeficientes de \(x^2\) y de \(y^2\) no son 1:\[x^2+y^2+2x-4y-1=0\]Leo \(D=2\), \(E=-4\) y \(F=-1\). El centro es \(\left(-\dfrac{2}{2},\ -\dfrac{-4}{2}\right)=(-1,\ 2)\) y:\[r^2=\frac{2^2}{4}+\frac{(-4)^2}{4}-(-1)=1+4+1\]\[=6\]
✅ Resultado: a) \(C(5,\ -1)\) y \(r=3\), con \((x-5)^2+(y+1)^2=9\). b) \(C(-1,\ 2)\) y \(r=\sqrt{6}\approx 2{,}45\).

Nivel 2: hallar la ecuación y la posición

EJERCICIO 4Centro y un punto
📝 EnunciadoHalla la ecuación de la circunferencia de centro \(C(-1,\ 3)\) que pasa por el punto \(P(1,\ -1)\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El radio al cuadrado es el cuadrado de la distancia del centro al punto:\[r^2=(1-(-1))^2+(-1-3)^2=4+16\]\[=20\]
  2. Paso 2. Sustituyo el centro y \(r^2\):\[(x+1)^2+(y-3)^2=20\]
✅ Resultado: \((x+1)^2+(y-3)^2=20\), de radio \(r=2\sqrt{5}\).
EJERCICIO 5Extremos de un diámetro
📝 EnunciadoLos puntos \(A(-3,\ -2)\) y \(B(5,\ 4)\) son los extremos de un diámetro. Halla la ecuación reducida y la general de la circunferencia.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El centro es el punto medio:\[C=\left(\frac{-3+5}{2},\ \frac{-2+4}{2}\right)=(1,\ 1)\]
  2. Paso 2. Calculo \(|AB|^2\) y lo divido entre 4:\[|AB|^2=(5-(-3))^2+(4-(-2))^2\]\[=64+36=100\]\[r^2=\frac{100}{4}=25\]
  3. Paso 3. La ecuación reducida es \((x-1)^2+(y-1)^2=25\). Para la general, desarrollo:\[x^2-2x+1+y^2-2y+1=25\]\[x^2+y^2-2x-2y-23=0\]
✅ Resultado: Reducida: \((x-1)^2+(y-1)^2=25\). General: \(x^2+y^2-2x-2y-23=0\).
EJERCICIO 6Posición de varios puntos
📝 EnunciadoDada la circunferencia \(x^2+y^2-2x-4y-20=0\), estudia la posición de \(P_1(4,\ 6)\), \(P_2(2,\ 3)\) y \(P_3(-3,\ 7)\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Hallo el centro y el radio. Con \(D=-2\), \(E=-4\) y \(F=-20\):\[C=\left(-\frac{-2}{2},\ -\frac{-4}{2}\right)=(1,\ 2)\]\[r^2=\frac{(-2)^2}{4}+\frac{(-4)^2}{4}+20=1+4+20\]\[=25\]
  2. Paso 2. Calculo el cuadrado de la distancia de cada punto al centro y lo comparo con \(r^2=25\):\[P_1:\ (4-1)^2+(6-2)^2=9+16=25\]\[P_2:\ (2-1)^2+(3-2)^2=1+1=2\]\[P_3:\ (-3-1)^2+(7-2)^2=16+25\]\[=41\]
✅ Resultado: \(P_1\) está en la circunferencia, \(P_2\) es interior (\(2\lt 25\)) y \(P_3\) es exterior (\(41\gt 25\)).

Nivel 3: tres puntos y tangentes

EJERCICIO 7Circunferencia por tres puntos
📝 EnunciadoHalla la ecuación de la circunferencia que pasa por \(P_1(2,\ 6)\), \(P_2(4,\ 2)\) y \(P_3(-5,\ 5)\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Sustituyo cada punto en \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\):\[2D+6E+F=-40\]\[4D+2E+F=-20\]\[-5D+5E+F=-50\]
  2. Paso 2. Elimino \(F\) restando la segunda a la primera y la tercera a la segunda:\[-2D+4E=-20\]\[9D-3E=30\]Simplifico, dividiendo la primera entre 2 y la segunda entre 3:\[-D+2E=-10\]\[3D-E=10\]
  3. Paso 3. De la segunda, \(E=3D-10\). En la primera:\[-D+2(3D-10)=-10\]\[5D=10\]\[D=2\]Entonces \(E=3\cdot 2-10=-4\). Despejo \(F\) en la segunda ecuación del paso 1:\[4\cdot 2+2\cdot(-4)+F=-20\]\[F=-20\]
  4. Paso 4. La ecuación general es \(x^2+y^2+2x-4y-20=0\). Su centro es \(C(-1,\ 2)\) y \(r^2=1+4+20=25\).
✅ Resultado: \(x^2+y^2+2x-4y-20=0\), es decir, \((x+1)^2+(y-2)^2=25\), de centro \(C(-1,\ 2)\) y radio \(5\).
EJERCICIO 8Circunferencia tangente a una recta
📝 EnunciadoHalla la circunferencia de centro \(C(1,\ -2)\) que es tangente a la recta \(3x+4y+20=0\) y el punto de tangencia.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El radio es la distancia del centro a la recta:\[r=\frac{|3\cdot 1+4\cdot(-2)+20|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3\]
  2. Paso 2. La ecuación es:\[(x-1)^2+(y+2)^2=9\]
  3. Paso 3. El punto de tangencia es el pie de la perpendicular desde el centro. Esa perpendicular tiene la dirección \((3,\ 4)\), así que sus puntos son \((1+3t,\ -2+4t)\). Sustituyo en la recta:\[3(1+3t)+4(-2+4t)+20=0\]\[25t+15=0\]\[t=-\frac{3}{5}\]
  4. Paso 4. Sustituyo \(t\) en los puntos de la perpendicular:\[T\]\[=\left(1+3\cdot\left(-\frac{3}{5}\right),\ -2+4\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\]\[=\left(-\frac{4}{5},\ -\frac{22}{5}\right)\]
✅ Resultado: \((x-1)^2+(y+2)^2=9\), con punto de tangencia \(T\left(-\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{22}{5}\right)\).

Nivel 4: tipo examen

EJERCICIO 9Recta y circunferencia: posición y puntos de corte
📝 EnunciadoEstudia la posición de la recta \(x+y-7=0\) respecto a la circunferencia \(x^2+y^2=25\) y halla sus puntos de corte.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El centro es \(C(0,\ 0)\) y el radio es \(r=5\). Calculo la distancia del centro a la recta:\[d=\frac{|0+0-7|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx 4{,}95\]
  2. Paso 2. Como \(d\lt r\), la recta es secante: corta a la circunferencia en dos puntos.
  3. Paso 3. Para hallarlos, despejo \(y=7-x\) y sustituyo en la circunferencia:\[x^2+(7-x)^2=25\]\[2x^2-14x+24=0\]\[x^2-7x+12=0\]Las soluciones son \(x=3\) y \(x=4\).
  4. Paso 4. Calculo \(y=7-x\) en cada caso: si \(x=3\), \(y=4\), y si \(x=4\), \(y=3\).
✅ Resultado: Es secante y corta en \((3,\ 4)\) y en \((4,\ 3)\).
EJERCICIO 10Parámetro en la ecuación
📝 EnunciadoDada la ecuación \(x^2+y^2-4x+6y+k=0\): a) Halla el centro. b) ¿Para qué valores de \(k\) es una circunferencia? c) ¿Para qué valor de \(k\) el radio vale 3?
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Con \(D=-4\) y \(E=6\), el centro es \(\left(-\dfrac{-4}{2},\ -\dfrac{6}{2}\right)=(2,\ -3)\), y no depende de \(k\).
  2. Apartado b. Calculo el radio al cuadrado, con \(F=k\):\[r^2=\frac{(-4)^2}{4}+\frac{6^2}{4}-k=4+9-k\]\[=13-k\]Es una circunferencia si \(r^2\gt 0\):\[13-k\gt 0\]\[k\lt 13\]
  3. Apartado c. Si \(r=3\), entonces \(r^2=9\):\[13-k=9\]\[k=4\]
✅ Resultado: a) \(C(2,\ -3)\). b) Para \(k\lt 13\). c) \(k=4\).

❓ Preguntas frecuentes sobre la ecuación de la circunferencia

🤔 ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?
La ecuación reducida es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), con centro \(C(a,b)\) y radio \(r\). A la reducida también se la llama ordinaria o canónica. La ecuación general es \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\). Por ejemplo, con centro \((3,\ -2)\) y radio \(4\) sale \((x-3)^2+(y+2)^2=16\).
🤔 ¿Cómo se pasa de la ecuación general a la reducida?
Hay dos formas. Con las fórmulas, el centro es \(\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)\) y \(r^2=\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F\). O completando cuadrados: se agrupan los términos en \(x\) y en \(y\), se suma a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de cada variable y se factoriza. Si los coeficientes de \(x^2\) y de \(y^2\) no son 1, se divide antes entre ese número.
🤔 ¿Cómo se sabe si una ecuación es una circunferencia?
Los coeficientes de \(x^2\) y de \(y^2\) tienen que ser iguales, no puede haber término en \(xy\) y el radio al cuadrado tiene que ser positivo: \(r^2=\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F\gt 0\). Si da \(0\) es un punto, y si es negativo no hay ningún punto. Por ejemplo, \(x^2+y^2+2x-4y+10=0\) da \(r^2=-5\) y no es una circunferencia.
🤔 ¿Cómo se halla la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos?
Se sustituye cada punto en \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), lo que da tres ecuaciones lineales en \(D\), \(E\) y \(F\). Restándolas de dos en dos se elimina \(F\) y queda un sistema de dos ecuaciones, que se resuelve. Después se despeja \(F\). Por ejemplo, los puntos \((7,\ 1)\), \((5,\ 5)\) y \((-1,\ 5)\) dan \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\).
🤔 ¿Cómo se sabe si una recta es tangente a una circunferencia?
Se calcula la distancia \(d\) del centro a la recta, \(d=\dfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\), y se compara con el radio: si \(d=r\), la recta es tangente. Si \(d\lt r\) es secante y si \(d\gt r\) es exterior. También sirve sustituir la recta en la circunferencia: si el discriminante de la ecuación de segundo grado es cero, es tangente.
🤔 ¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo?
La circunferencia es la línea formada por los puntos que están a distancia \(r\) del centro, y su ecuación es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). El círculo es la región que encierra, con los puntos de dentro, y se describe con \((x-a)^2+(y-b)^2\le r^2\). La longitud es de la circunferencia y el área es del círculo.
📚 Resumen final
  • La ecuación reducida es \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), con centro \(C(a,b)\) y radio \(r\). Con el centro en el origen, \(x^2+y^2=r^2\).
  • La ecuación general es \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\). Su centro es \(\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)\) y \(r^2=\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F\).
  • Es una circunferencia solo si \(r^2\gt 0\). Si los coeficientes de \(x^2\) y de \(y^2\) no son 1, se divide entre ellos.
  • Con un diámetro, el centro es el punto medio. Con tres puntos, se resuelve un sistema en \(D\), \(E\) y \(F\). Con una tangente, el radio es la distancia a la recta.
  • Un punto es interior, está en la circunferencia o es exterior según \(d\lt r\), \(d=r\) o \(d\gt r\), y una recta es secante, tangente o exterior con el mismo criterio.

Conclusión

Recuerda que debes identificar el centro y el radio: con ellos escribes la ecuación reducida y, desarrollándola, la general. Para hacer el camino de vuelta, completa cuadrados o usa las fórmulas del centro y del radio. Practica con los ejercicios, comprueba tus resultados con la calculadora y estudia la posición de puntos y rectas comparando distancias con el radio.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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