ejemplo de función inversa

Función inversa: cómo se calcula y ejemplos resueltos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 33 segundos · Actualizado hace 27 segundos

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es la función inversa? Definición y notación
  2. ¿Cuándo existe la función inversa? Funciones inyectivas
  3. Cómo calcular la función inversa paso a paso
  4. Gráfica de la función inversa: simetría respecto de y = x
  5. Qué hacer si la función no tiene inversa: restringir el dominio
  6. Resumen de lo más importante
  7. Errores frecuentes
  8. 🧮 Calculadora de la función inversa
  9. 🧠 Flashcards para memorizar
  10. ⭐ Ejercicios de función inversa resueltos

¿Qué es la función inversa y cómo se calcula? La función inversa de \(f\), que se escribe \(f^{-1}\), deshace lo que hace \(f\): si \(f\) lleva \(a\) hasta \(b\), la inversa lleva \(b\) de vuelta hasta \(a\). En esta guía tienes la definición, cuándo existe, cómo calcularla paso a paso, su gráfica, ejercicios resueltos y una calculadora.

⚡ Función inversa en 30 segundos
Si \(f(a)=b\), la función inversa cumple \(f^{-1}(b)=a\), y al aplicar las dos seguidas se vuelve al punto de partida:
\[f^{-1}(f(x))=x\]
Para calcularla, escribe \(y=f(x)\), despeja \(x\) y cambia los nombres de \(x\) e \(y\). Solo existe si \(f\) es inyectiva, y su gráfica es la de \(f\) reflejada en la recta \(y=x\).

Ejemplo: la inversa de \(f(x)=2x+3\) es \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}\).

¿Qué es la función inversa? Definición y notación

La función inversa de una función \(f\) es la función que deshace lo que hace \(f\). Si \(f\) transforma \(a\) en \(b\), la inversa transforma \(b\) en \(a\). Se escribe \(f^{-1}\) y se lee «f a la menos uno» o «inversa de f».

\[f(a)=b\iff f^{-1}(b)=a\]

Por eso, al aplicar una función y después su inversa, o al revés, vuelves al valor de partida:

\[f^{-1}(f(x))=x\]\[f(f^{-1}(x))=x\]

Piensa en \(f\) como una receta y en \(f^{-1}\) como la receta al revés. La función \(f(x)=3x+1\) multiplica por 3 y suma 1, así que su inversa resta 1 y divide entre 3, en ese orden:

\[f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{3}\]

Comprobamos: \(f(2)=7\) y, al deshacerlo, \(f^{-1}(7)=\frac{7-1}{3}=2\). Cuidado con la notación: el \(-1\) de \(f^{-1}\) no es un exponente.

NotaciónQué significaCon \(f(x)=3x+1\) y \(x=7\)
\(f^{-1}(x)\)La función inversa de \(f\)\(f^{-1}(7)=2\)
\(\dfrac{1}{f(x)}\)El inverso del número \(f(x)\), un cociente\(\dfrac{1}{f(7)}=\dfrac{1}{22}\)

Como \(f\) y \(f^{-1}\) se deshacen entre sí, intercambian sus papeles. Si no recuerdas qué son el dominio y el recorrido, repasa el dominio de una función.

Se cumple que…Explicación
Dominio de \(f^{-1}\)Es el recorrido de \(f\)
Recorrido de \(f^{-1}\)Es el dominio de \(f\)
Ejemplo 1: compruebo que \(g(x)=\dfrac{x-3}{2}\) es la inversa de \(f(x)=2x+3\).
  1. Calculo \(f(g(x))\):\[f(g(x))=2\cdot\dfrac{x-3}{2}+3=x-3+3\]\[=x\]
  2. Calculo \(g(f(x))\):\[g(f(x))=\dfrac{(2x+3)-3}{2}=\dfrac{2x}{2}=x\]
  3. Concluyo: las dos composiciones dan \(x\), así que \(g=f^{-1}\).
Ejemplo 2: con la tabla de valores de \(f(x)=3x+1\), obtengo la de \(f^{-1}\) intercambiando las filas.
  1. Tabla de \(f\): calculo \(f(x)\) para cinco valores de \(x\).
  2. Intercambio las filas: los valores de \(f(x)\) pasan a ser la entrada, y los de \(x\) pasan a ser la salida de \(f^{-1}\).
\(x\)01234
\(f(x)\)1471013
\(x\)1471013
\(f^{-1}(x)\)01234

¿Cuándo existe la función inversa? Funciones inyectivas

No todas las funciones tienen inversa. Para poder deshacer \(f\), cada valor de \(y\) tiene que venir de un único valor de \(x\). Las funciones que cumplen esto se llaman inyectivas:

\[f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}\]

Si dos valores distintos de \(x\) dan el mismo \(y\), no se sabe a cuál volver y no hay inversa. Por ejemplo, \(f(x)=x^{2}\) cumple \(f(2)=4\) y \(f(-2)=4\), así que \(f^{-1}(4)\) no estaría bien definida.

Gráfica de la parábola y igual a x al cuadrado cortada por la recta horizontal y igual a cuatro. La recta corta la parábola en dos puntos, el de coordenadas menos dos, cuatro y el de coordenadas dos, cuatro, así que la función no es inyectiva y no tiene inversa

En la gráfica se ve con el test de la recta horizontal: una función tiene inversa si toda recta horizontal corta su gráfica, como mucho, en un punto. También basta con que la función sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente, porque entonces nunca repite un valor de \(y\).

Función¿Tiene inversa?Por qué
\(f(x)=2x+3\)SíEs una recta no horizontal y siempre crece
\(f(x)=x^{3}\)SíSiempre crece
\(f(x)=\sqrt{x}\)SíSiempre crece en su dominio \([0,+\infty)\)
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)SíCada valor de \(y\) sale de un solo \(x\)
\(f(x)=x^{2}\)NoCumple \(f(2)=f(-2)=4\)
\(f(x)=|x|\)NoCumple \(f(3)=f(-3)=3\)
Ejemplo 3: decido si tienen inversa \(f(x)=x^{2}\) y \(g(x)=x^{3}\).
  1. Pruebo con \(f\): \(f(2)=4\) y \(f(-2)=4\). Dos valores distintos de \(x\) dan el mismo \(y\), así que \(f\) no es inyectiva y no tiene inversa en todo \(\mathbb{R}\).
  2. Pruebo con \(g\): si \(g(a)=g(b)\), entonces \(a^{3}=b^{3}\), y esto solo pasa si \(a=b\). Por tanto, \(g\) es inyectiva.
  3. Concluyo: \(g\) tiene inversa, que es la raíz cúbica \(g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\), y \(f\) no la tiene.
Ejemplo de función inversa

Cómo calcular la función inversa paso a paso

Para hallar \(f^{-1}\), sigue siempre estos pasos. Necesitas despejar una incógnita, así que si te cuesta, repasa las ecuaciones de primer grado.

  1. Comprueba que \(f\) es inyectiva, para saber que la inversa existe.
  2. Escribe \(y=f(x)\).
  3. Despeja \(x\) en función de \(y\).
  4. Intercambia los nombres: escribe \(x\) donde pusiste \(y\), y llama \(f^{-1}(x)\) al resultado.
  5. Comprueba que \(f(f^{-1}(x))=x\).
Ejemplo 4: calculo la inversa de la recta \(f(x)=3x-5\).
  1. Inyectiva: es una recta de pendiente \(3\), siempre crece, así que tiene inversa.
  2. Escribo \(y=f(x)\):\[y=3x-5\]
  3. Despejo \(x\):\[y+5=3x\]\[x=\dfrac{y+5}{3}\]
  4. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}\]
  5. Compruebo:\[f(f^{-1}(x))=3\cdot\dfrac{x+5}{3}-5=x+5-5\]\[=x\]
Ejemplo 5: calculo la inversa de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).
  1. Dominio y recorrido de \(f\): el denominador no puede ser 0, así que el dominio es \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). El recorrido es \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), porque \(f\) se acerca a 2 pero nunca lo alcanza.
  2. Escribo \(y=f(x)\) y quito el denominador:\[y=\dfrac{2x+1}{x-3}\]\[y(x-3)=2x+1\]\[xy-3y=2x+1\]
  3. Paso los términos con \(x\) a un lado y saco \(x\) como factor común:\[xy-2x=3y+1\]\[x(y-2)=3y+1\]
  4. Despejo \(x\):\[x=\dfrac{3y+1}{y-2}\]
  5. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\]Su dominio es \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), que es el recorrido de \(f\).
  6. Compruebo con un valor: \(f(4)=\dfrac{9}{1}=9\) y \(f^{-1}(9)=\dfrac{28}{7}=4\).

Las funciones de este tipo se estudian en funciones racionales. Para ahorrar tiempo, hay una fórmula que da la inversa de cualquier \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) con \(ad-bc\ne 0\):

\[f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}\]

En el ejemplo anterior, \(a=2\), \(b=1\), \(c=1\) y \(d=-3\), y sale \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\), igual que antes.

Ejemplo 6: calculo la inversa de \(f(x)=\sqrt{x-1}+2\).
  1. Dominio y recorrido de \(f\): el dominio es \([1,+\infty)\). Como una raíz nunca es negativa, el recorrido es \([2,+\infty)\). Es creciente, así que tiene inversa.
  2. Escribo \(y=f(x)\) y aíslo la raíz:\[y=\sqrt{x-1}+2\]\[y-2=\sqrt{x-1}\]
  3. Elevo al cuadrado los dos lados:\[(y-2)^{2}=x-1\]
  4. Despejo \(x\):\[x=(y-2)^{2}+1\]
  5. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=(x-2)^{2}+1\]Esta fórmula solo vale para \(x\ge 2\), que es el recorrido de \(f\).
  6. Compruebo con un valor: \(f(5)=\sqrt{4}+2=4\) y \(f^{-1}(4)=(4-2)^{2}+1=5\).

Al elevar al cuadrado trabajas como en las ecuaciones irracionales. Estas son las inversas de las funciones más habituales:

FunciónSu inversaCondición
\(f(x)=x+k\)\(f^{-1}(x)=x-k\)Para cualquier número \(k\)
\(f(x)=kx\)\(f^{-1}(x)=\dfrac{x}{k}\)Con \(k\ne 0\)
\(f(x)=x^{3}\)\(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\)Para todo \(x\) real
\(f(x)=x^{2}\)\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)Solo con \(x\ge 0\)
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)\(f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}\)Es su propia inversa, con \(x\ne 0\)
\(f(x)=e^{x}\)\(f^{-1}(x)=\ln x\)Con \(x\gt 0\)

La exponencial y el logaritmo son inversas entre sí. Si necesitas repasarlas, mira las funciones exponenciales y las propiedades de los logaritmos.

Gráfica de la función inversa: simetría respecto de y = x

Las gráficas de \(f\) y de \(f^{-1}\) son simétricas respecto de la recta \(y=x\), la bisectriz del primer y tercer cuadrante, como si esa recta fuera un espejo. Esto pasa porque intercambiar \(x\) e \(y\) lleva cada punto \((a,b)\) al punto \((b,a)\).

Gráfica de la función f de x igual a x al cuadrado, con x mayor o igual que cero, y de su inversa, la raíz cuadrada de x. Las dos curvas son simétricas respecto de la recta y igual a x. El punto P, de coordenadas dos y cuatro, de la primera curva se corresponde con el punto Q, de coordenadas cuatro y dos, de la segunda
Si en \(f\) ocurre…Entonces en \(f^{-1}\)…
Si \(f\) pasa por \((a,b)\)\(f^{-1}\) pasa por \((b,a)\)
Si \(f\) corta al eje \(OY\) en \((0,c)\)\(f^{-1}\) corta al eje \(OX\) en \((c,0)\)
Si \(f\) es creciente\(f^{-1}\) también es creciente
Si \(f\) es decreciente\(f^{-1}\) también es decreciente
Si \(f\) toca la recta \(y=x\) en un punto\(f^{-1}\) pasa por ese mismo punto

Para dibujar la inversa a partir de la gráfica de \(f\):

  1. Dibuja la gráfica de \(f\) y la recta \(y=x\).
  2. Toma varios puntos \((a,b)\) de \(f\), mejor si tienen coordenadas enteras.
  3. Intercambia las coordenadas para obtener los puntos \((b,a)\).
  4. Une los puntos con una curva suave.
Ejemplo 7: dibujo la inversa de \(f(x)=x^{2}\), con \(x\ge 0\).
  1. Tomo puntos de \(f\): son \((0,0)\), \((1,1)\), \((2,4)\) y \((3,9)\).
  2. Intercambio las coordenadas: los puntos de \(f^{-1}\) son \((0,0)\), \((1,1)\), \((4,2)\) y \((9,3)\).
  3. Uno los puntos: sale la curva verde de la figura, que es \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\). Es la reflexión de la azul respecto de \(y=x\).
\(x\)0123
\(f(x)\)0149
\(x\)0149
\(f^{-1}(x)\)0123

Si quieres repasar cómo se dibuja una función, mira cómo representar funciones fácilmente.

Qué hacer si la función no tiene inversa: restringir el dominio

Cuando una función no es inyectiva, como \(f(x)=x^{2}\), puedes restringir su dominio a un intervalo donde sí lo sea, normalmente uno en el que la función solo crece o solo decrece. Con el dominio restringido, sí existe la inversa.

Si te quedas con…La inversa de \(x^{2}\) es…
La rama \(x\ge 0\)\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\), con \(x\ge 0\)
La rama \(x\le 0\)\(f^{-1}(x)=-\sqrt{x}\), con \(x\ge 0\)

En una parábola cualquiera, el dominio se parte por la abscisa del vértice. Si no recuerdas cómo se calcula, mira el vértice de una parábola.

Ejemplo 8: calculo la inversa de \(f(x)=x^{2}-4x+1\) en la rama \(x\ge 2\).
  1. Busco el vértice: \(x_v=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2\) y \(f(2)=4-8+1=-3\). Restrinjo el dominio a \(x\ge 2\), donde \(f\) crece y su recorrido es \([-3,+\infty)\).
  2. Escribo \(y=f(x)\) en forma canónica:\[y=(x-2)^{2}-3\]
  3. Despejo \(x\):\[y+3=(x-2)^{2}\]Como \(x\ge 2\), el número \(x-2\) es positivo, así que tomo la raíz positiva:\[x-2=\sqrt{y+3}\]\[x=2+\sqrt{y+3}\]
  4. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+3}\]Su dominio es \([-3,+\infty)\) y su recorrido es \([2,+\infty)\).
  5. Compruebo con un valor: \(f(4)=16-16+1=1\) y \(f^{-1}(1)=2+\sqrt{4}=4\).

Si eliges la rama izquierda, \(x\le 2\), el número \(x-2\) es negativo y hay que tomar la raíz negativa: \(f^{-1}(x)=2-\sqrt{x+3}\). Con las funciones trigonométricas se hace lo mismo: el seno, restringido a \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), tiene como inversa el arcoseno.

Resumen de lo más importante

ConceptoQué recordar
Definición\(f^{-1}\) deshace a \(f\): \(f(a)=b\iff f^{-1}(b)=a\)
Notación\(f^{-1}(x)\) no es \(\dfrac{1}{f(x)}\)
Cuándo existeSi \(f\) es inyectiva: cada \(y\) sale de un solo \(x\). Test de la recta horizontal
Cómo se calculaEscribe \(y=f(x)\), despeja \(x\) y cambia \(x\) por \(y\)
Comprobación\(f(f^{-1}(x))=x\) y \(f^{-1}(f(x))=x\)
Dominio y recorridoEl dominio de \(f^{-1}\) es el recorrido de \(f\), y al revés
GráficaSimétrica de la de \(f\) respecto de la recta \(y=x\)
Fracción linealSi \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), entonces \(f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}\)
Sin inversaSe restringe el dominio a un intervalo donde \(f\) crezca o decrezca siempre

Para practicar con más tipos de funciones, tienes los ejercicios de funciones resueltos.

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • Confundir \(f^{-1}(x)\) con \(\frac{1}{f(x)}\). La inversa no es un cociente. Si \(f(x)=2x+3\), entonces \(f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\), y no \(\frac{1}{2x+3}\).
  • Calcular la inversa sin comprobar que existe. La función \(f(x)=x^{2}\) no tiene inversa en todo \(\mathbb{R}\), y \(\sqrt{x}\) solo es su inversa si \(x\ge 0\).
  • Equivocarse de signo al despejar. De \(y=2x+3\) sale \(x=\frac{y-3}{2}\), y no \(\frac{y+3}{2}\). Con el signo cambiado saldría \(f^{-1}(5)=4\), pero \(f(4)=11\), y no \(5\). Siempre puedes comprobarlo.
  • Olvidar cambiar \(x\) por \(y\). Al despejar sale \(x=\frac{y-3}{2}\). Para escribir \(f^{-1}\) como función de \(x\) hay que intercambiar los nombres: \(f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\).
  • Olvidar el dominio de la inversa. La inversa de \(f(x)=\sqrt{x-1}+2\) es \((x-2)^{2}+1\) solo para \(x\ge 2\). Sin esa condición sería una parábola entera, que no es inyectiva.

🧮 Calculadora de la función inversa

Tienes tres pestañas. En «Recta y racional» escribes \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) de \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), y te doy la inversa con su dominio. En «Cuadrática» escribes \(a\), \(b\) y \(c\), eliges una rama de la parábola y calculo la inversa de esa rama. Y en «Raíz cuadrada» calculo la inversa de \(f(x)=\sqrt{ax+b}+c\). En los tres casos ves el desarrollo paso a paso y una comprobación.

Escribe los coeficientes de \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\). Con \(c=0\) y \(d=1\) tienes una recta. Te doy la inversa, su dominio y una comprobación, paso a paso.

Escribe números enteros entre -99 y 99, con el signo menos para los negativos. Hace falta que \(ad-bc\ne 0\).

🌍 Para qué sirve la función inversa

🌡️ Conversión de unidadesPara pasar de grados Celsius a Fahrenheit se usa \(F=1{,}8\,C+32\). Su inversa, \(C=\dfrac{F-32}{1{,}8}\), pasa de Fahrenheit a Celsius.
🔐 CriptografíaCifrar un mensaje es aplicar una función, y descifrarlo es aplicar su inversa. En el cifrado César se suma un número a cada letra, y para descifrar se resta ese mismo número.
🚀 Exponenciales y logaritmosLa función \(e^{x}\) y el logaritmo neperiano \(\ln x\) son inversas entre sí. Por eso el logaritmo sirve para despejar un exponente. Lo ves en las funciones exponenciales.
💶 Precios con IVACon un IVA del 21 %, el precio final es \(P=1{,}21\,B\), donde \(B\) es el precio sin IVA. La inversa, \(B=\dfrac{P}{1{,}21}\), calcula el precio sin IVA: si pagas \(60{,}50\) €, el precio base era de \(50\) €.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

Función inversaEs la función \(f^{-1}\) que deshace a \(f\): si \(f(a)=b\), entonces \(f^{-1}(b)=a\). Cumple \(f^{-1}(f(x))=x\).
Notación\(f^{-1}(x)\) es la función inversa, y no es lo mismo que \(\dfrac{1}{f(x)}\). Con \(f(x)=3x+1\), \(f^{-1}(7)=2\), pero \(\dfrac{1}{f(7)}=\dfrac{1}{22}\).
Cuándo existeSi \(f\) es inyectiva: cada valor de \(y\) sale de un único \(x\). En la gráfica, toda recta horizontal la corta como mucho una vez.
Cómo se calculaSe escribe \(y=f(x)\), se despeja \(x\) en función de \(y\) y se cambian los nombres de \(x\) e \(y\). Después se comprueba que \(f(f^{-1}(x))=x\).
Dominio y recorridoEl dominio de \(f^{-1}\) es el recorrido de \(f\), y el recorrido de \(f^{-1}\) es el dominio de \(f\).
GráficaLa gráfica de \(f^{-1}\) es simétrica de la de \(f\) respecto de la recta \(y=x\). Si \(f\) pasa por \((a,b)\), \(f^{-1}\) pasa por \((b,a)\).

⭐ Ejercicios de función inversa resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

EJERCICIO 1Inversa de una recta
📝 EnunciadoCalcula la inversa de \(f(x)=5x-10\) y úsala para hallar \(f^{-1}(15)\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Escribo \(y=5x-10\).
  2. Paso 2. Despejo \(x\):\[y+10=5x\]\[x=\dfrac{y+10}{5}\]
  3. Paso 3. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=\dfrac{x+10}{5}\]
  4. Paso 4. Calculo \(f^{-1}(15)=\dfrac{15+10}{5}=5\). Compruebo: \(f(5)=25-10=15\).
✅ Resultado: \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+10}{5}\) y \(f^{-1}(15)=5\).
EJERCICIO 2Una función racional
📝 EnunciadoHalla la inversa de \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\) y su dominio.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Escribo \(y=\dfrac{3x-1}{x+2}\) y quito el denominador:\[y(x+2)=3x-1\]\[xy+2y=3x-1\]
  2. Paso 2. Paso los términos con \(x\) a un lado y saco factor común:\[xy-3x=-1-2y\]\[x(y-3)=-2y-1\]
  3. Paso 3. Despejo \(x\):\[x=\dfrac{-2y-1}{y-3}\]
  4. Paso 4. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=\dfrac{-2x-1}{x-3}\]El dominio de \(f^{-1}\) es \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\), que es el recorrido de \(f\).
  5. Paso 5. Compruebo con \(x=-1\): \(f(-1)=\dfrac{-4}{1}=-4\) y \(f^{-1}(-4)=\dfrac{7}{-7}=-1\).
✅ Resultado: \(f^{-1}(x)=\dfrac{-2x-1}{x-3}\), con dominio \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\).
EJERCICIO 3Restringir el dominio
📝 EnunciadoHalla la inversa de \(f(x)=x^{2}+1\) restringida a \(x\ge 0\), con su dominio.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Con \(x\ge 0\), la función \(f\) es creciente y su recorrido es \([1,+\infty)\).
  2. Paso 2. Escribo \(y=x^{2}+1\) y despejo \(x\):\[y-1=x^{2}\]Como \(x\ge 0\), tomo la raíz positiva:\[x=\sqrt{y-1}\]
  3. Paso 3. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}\]
  4. Paso 4. Su dominio es el recorrido de \(f\), \([1,+\infty)\). Compruebo: \(f(3)=10\) y \(f^{-1}(10)=\sqrt{9}=3\).
✅ Resultado: \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}\), con \(x\ge 1\).
EJERCICIO 4Una raíz cuadrada
📝 EnunciadoHalla la inversa de \(f(x)=\sqrt{2x-6}-1\) y su dominio.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El radicando no puede ser negativo: \(2x-6\ge 0\), es decir, \(x\ge 3\). Como una raíz nunca es negativa, el recorrido de \(f\) es \([-1,+\infty)\).
  2. Paso 2. Escribo \(y=\sqrt{2x-6}-1\) y aíslo la raíz:\[y+1=\sqrt{2x-6}\]
  3. Paso 3. Elevo al cuadrado y despejo \(x\):\[(y+1)^{2}=2x-6\]\[x=\dfrac{(y+1)^{2}+6}{2}\]
  4. Paso 4. Cambio los nombres:\[f^{-1}(x)=\dfrac{(x+1)^{2}+6}{2}\]con \(x\ge -1\).
  5. Paso 5. Compruebo: \(f(5)=\sqrt{4}-1=1\) y \(f^{-1}(1)=\dfrac{4+6}{2}=5\).
✅ Resultado: \(f^{-1}(x)=\dfrac{(x+1)^{2}+6}{2}\), con dominio \([-1,+\infty)\).
EJERCICIO 5Una función que es su propia inversa
📝 EnunciadoDemuestra que \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) es su propia inversa.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Si \(f\) es su propia inversa, debe cumplir \(f(f(x))=x\).
  2. Paso 2. Calculo el numerador y el denominador de \(f(f(x))\) por separado:\[\dfrac{x+1}{x-1}+1=\dfrac{2x}{x-1}\]\[\dfrac{x+1}{x-1}-1=\dfrac{2}{x-1}\]
  3. Paso 3. Divido los dos resultados. Los denominadores \(x-1\) se cancelan:\[f(f(x))=\dfrac{2x}{2}=x\]
  4. Paso 4. Como \(f(f(x))=x\), \(f\) es su propia inversa, y su gráfica es simétrica respecto de \(y=x\).
✅ Resultado: \(f(f(x))=x\), así que \(f^{-1}=f\).
EJERCICIO 6Pasar de Fahrenheit a Celsius
📝 EnunciadoLa fórmula \(F=1{,}8\,C+32\) pasa de grados Celsius a Fahrenheit. Halla la fórmula inversa y calcula a cuántos grados Celsius equivalen \(68\) °F.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Despejo \(C\):\[F-32=1{,}8\,C\]\[C=\dfrac{F-32}{1{,}8}\]
  2. Paso 2. Sustituyo \(F=68\):\[C=\dfrac{68-32}{1{,}8}=\dfrac{36}{1{,}8}=20\]
  3. Paso 3. Compruebo: \(1{,}8\cdot 20+32=36+32=68\).
✅ Resultado: \(C=\dfrac{F-32}{1{,}8}\), y \(68\) °F equivalen a \(20\) °C.

❓ Preguntas frecuentes sobre la función inversa

🤔 ¿Qué es la función inversa?
Es la función \(f^{-1}\) que deshace lo que hace \(f\): si \(f(a)=b\), entonces \(f^{-1}(b)=a\). Por ejemplo, la inversa de \(f(x)=2x+3\) es \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}\).
🤔 ¿Cómo se calcula la función inversa?
Se escribe \(y=f(x)\), se despeja \(x\) en función de \(y\) y se cambian los nombres de \(x\) e \(y\). Con \(f(x)=3x-5\), sale \(x=\dfrac{y+5}{3}\), así que \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}\).
🤔 ¿Cuándo tiene inversa una función?
Cuando es inyectiva: cada valor de \(y\) sale de un único valor de \(x\). En la gráfica, toda recta horizontal la corta como mucho una vez. Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes siempre tienen inversa.
🤔 ¿La función inversa es lo mismo que uno dividido entre f(x)?
No. La función inversa \(f^{-1}\) deshace a \(f\), mientras que \(\dfrac{1}{f(x)}\) es el inverso multiplicativo del número \(f(x)\). Con \(f(x)=3x+1\), \(f^{-1}(7)=2\), pero \(\dfrac{1}{f(7)}=\dfrac{1}{22}\).
🤔 ¿Cómo es la gráfica de la función inversa?
Es la simétrica de la gráfica de \(f\) respecto de la recta \(y=x\). Si \(f\) pasa por el punto \((a,b)\), su inversa pasa por \((b,a)\).
🤔 ¿Qué hago si la función no tiene inversa?
Se restringe el dominio a un intervalo donde la función sea inyectiva. Por ejemplo, \(f(x)=x^{2}\) no tiene inversa en \(\mathbb{R}\), pero con \(x\ge 0\) su inversa es \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\).
📚 Resumen final
  • La función inversa \(f^{-1}\) deshace a \(f\): \(f(a)=b\) equivale a \(f^{-1}(b)=a\).
  • Solo existe si \(f\) es inyectiva, es decir, si toda recta horizontal corta su gráfica como mucho una vez.
  • Se calcula escribiendo \(y=f(x)\), despejando \(x\) y cambiando los nombres de \(x\) e \(y\).
  • El dominio de \(f^{-1}\) es el recorrido de \(f\), y su gráfica es simétrica a la de \(f\) respecto de \(y=x\).
  • Si \(f\) no es inyectiva, se restringe su dominio a un intervalo donde sí lo sea.

Conclusión

Para calcular una función inversa, comprueba primero que existe, escribe y igual a f de x, despeja x y cambia los nombres de las variables. Recuerda que su gráfica es simétrica respecto de la bisectriz del primer cuadrante, practica con los ejercicios y comprueba tus resultados con la calculadora.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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